www.thuvienhoclieu.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI OLYMPIC 24–3
QUẢNG NAM
LẦN THỨ NHẤT
Môn thi: TOÁN 10
ĐỀ THI CHÍNH T HỨC
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.
Câu 1 (5,0 điểm).
a) Giải phương trình 3x 4 x 2 x 3 .
22

3x 2y1  4y  4y 21
 

b) Giải hệ phương trình

2
2
3x2y1  x  20.

Câu 2 (3,0 điểm).
32
a) Tìm tập xác định của hàm số : y x  3x  4 .
2
b) Cho hai hàm số y x  2x 3 và y4x m (m là tham số). Tìm m để đồ thị các hàm số
trên cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B sao cho khoảng cách từ trung điểm I của đoạn thẳng
AB đến các trục tọa độ bằng nhau.
Câu 3 (3,0 điểm).
Cho ba số thực dương x, y, z thỏa x + y + z =3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
333
2x 3y z 2y 3z x 2z 3x y
     
P.  
3
2 2 2 2 2 2
33
3 z x 1 3 x y 1 3 y z 1
Câu 4 (2,0 điểm).
Trên đường tròn có bán kính bằng 1 ta lấy 17 điểm bất kỳ. Chứng minh rằng trong 17 điểm
1
đó có ít nhất ba điểm tạo thành ba đỉnh của một tam giác có diện tích nhỏ hơn .
20
Câu 5 (4,0 điểm).
0
a) Cho tam giác ABC vuông tại B có A  60 . Gọi M là trung điểm cạnh BC, N là điểm
2
thỏa mãn . Chứng minh AM  BN.
AN AC
5
b) Cho hai đường tròn (O ; r) và (O ; R) tiếp xúc trong tại A ( r < R ). Qua điểm A vẽ cát
1 2
tuyến cắt (O ) tại B và cắt (O ) tại C (B; C khác A). Một đường tròn (T) thay đổi luôn qua B
1 2
và C cắt (O ) ở D (D khác C) và cắt (O ) ở E (E khác B). Gọi M là giao điểm của CD và BE.
2 1
Chứng minh điểm M luôn di động trên một đường thẳng cố định.
Câu 6 (3,0 điểm).
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (T) có đường chéo
AC là đường kính và C(4; –2), đường chéo BD có trung điểm là M(3 ; –1). Một đường thẳng
qua D và điểm E(–1; –3) sao cho DE song song BC. Biết đường thẳng AB đi qua F(1 ; 3).
Tìm tọa độ các điểm A; B; D.
---------------Hết--------------
Thuvienhoclieu.Com Page 1
www.thuvienhoclieu.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI OLYMPIC 24–3 QUẢNG NAM LẦN THỨ NHẤT
QUẢNG NAM Môn thi: TOÁN 10
HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu Nội dung Điểm
Câu 1 2,0
Giải phương trình: 3x 4 x 2 x 3 (1)
5,0
0,25
ĐK: x  4/3 (*).
2x 6
Khi đó: (1)  x3
0,5
3x 4 x 2
x 3 (thoa (*))

0,5


3x 4 x 2 2 (2)

0.25
(2)  (3x 4)(x 2)  3 2x
2
0,25
 x – 14x + 17 = 0 và x ≤ 3/2
0,25
 x7 4 2 (thỏa (*)). Vậy (1) có 2 nghiệm: x = 3 và x7 4 2 .
22

3x 2y1  4y  4y 21
 

b) Giải hệ phương trình
3,0

2
2
3x 2y1  x  20.
  

2
22 2


3x 2y1  4y  4y 21
  3x 2y1  2y1  20
   
 
 (I) 0.5
 
2
2 2
2
3x 2y1  x  20 3x 2y1  x  20
     
 
Đặt t = 2y – 1 thì hệ (I) trở thành:
22

3x tt 20 (1)

0.25

22
3xtx 20 (2)

0.25
Nếu (x ; t) là nghiệm của hệ trên thì x > 0 và t > 0.
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được:
0.5
22
3xt(x t) t  x
0,25
 (x t)(3xt x t) 0 (1)
0,25
xt (vì x > 0, t > 0 nên 3xt + x+t > 0)
3 2
Thay t = x vào (1) ta được: 3x = x + 20.
3 2 2
 3x  x  20 0 (x 2)(3x  5x10) 0 0.25
0,25
 x = 2
3
khi đó x = 2  2y – 1 = 2  y
0.25
2
3

Vậy, hệ đã cho có nghiệm x; y  2;
 
0.25

2

Thuvienhoclieu.Com Page 2
www.thuvienhoclieu.com
Câu Nội dung Điểm
Câu 2 32 1,0
a) Tìm tập xác định của hàm số : y x  3x  4
3,0
32
0,25
Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi : x  3x  4 0
0,25
2
 (x 2) (x1) 0
x2 x2

0,25


x1 0 x1

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = {–2}  [1 ; +) 0,25
b) Tìm m …
2,0
2
Gọi (P) là parabol y x  2x 3 và d là đường thẳng y4x m
2 2
PT hoành độ g/đ của (P) và d là: x  2x 3 4x m  x  2x m 3 0 (1) 0.25
(P) và d cắt nhau tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi:
0.5
PT (1) có hai nghiệm phân biệt   0 m4
Gọi x ; x là 2 nghiệm của (1), I là trung điểm AB nên:
AB
xx
AB
0.5
x1 ; y  4x  m m 4.
II
I
2
0.25
d(I;Ox) d(I;Oy) y  x
II
0.25
 m 4 1 m3 hoac m5
0.25
Kết hợp với m > – 4 ta được m = –3.
Câu 3 Tìm GTLN
3,0
2
3 0,5
Ta có 2x 3y z x 2y 3 x1  y1  y1  3 x1 y1
        
32
Khi đó 2x 3y z  27 x1 y1 .
     0,25
0.25
Tương tự cho hai hạng tử còn lại
3
22
Do xz x z 3 x z ,x 0,z 0 . (bất đẳng thức Côsi) nên:
3 2 2
2x 3y z 27 x1 y1 y1
      
0,5
 27
.
3
22
z1 x1 z1
    
3 z x 1
0.25
Tương tự cho hai hạng tử còn lại
2 2 2
y1 z1 x1
P      
  
0,25
27 z1 x1 y1
     
2
x y z 3
 
0.5
  x y z 3 6
x y z 3
 
0,5
. Suy ra P27.6 162 . Vậy P = 162 khi x = y =z =1
min
Câu 4 
Chia hình tròn thành 8 hình quạt bằng nhau. Mỗi hình quạt có diện tích là
2,0
8
0,5
Khi đó đường tròn được chia thành 8 cung tròn
Do 17 = 2.8 + 1 nên theo nguyên lý Dirichlet có 1 cung, (giả sử cung AB) chứa
1
ít nhất 3 điểm, giả sử 3 điểm đó là M,N, P. ( với  CV )
(O)
AB
0,5
8
Thuvienhoclieu.Com Page 3
www.thuvienhoclieu.com
Ta có SS ( S diện tích viên phân)
vp
MNP vp
0,25
 2  2 2
Mà S  S S   
vp q OAB
8 4 8
0.25
Vậy có ít nhất 3 điểm trong 17 điểm đã cho lập thành 1 tam giác có diện tích
 2 2 3,2 2.1,4 1
nhỏ hơn  .
8 8 20
0,5
Câu Nội dung Điểm
Câu 5 a) 2,0
40 0,25
C Giả sử AB = 1 thì BC 3
2 2
0,25
AN AC => BN BA (BC BA)
5 5
=>5BN3BA 2BC
0,25
1
AMAB BM
= AB BC
M
2
N
0,25
2AM2AB BC

0,25
10AM.BN 3BA 2BC 2BA BC
  
22
6AB  2BC (do BA BC) 0,25
B
0,25
= –6 + 6 = 0
A
0,25
Vậy: AM  BN
Chứng minh M di động trên đường cố định 2,0
M
Ta có: P =MD.MC= MB.ME 0.25
M/(T)
0.25
P = MD.MC
M/(O )
2
0.25
P = MB.ME
M/(O )
D 1
Suy ra: P = P
M/(O ) M/(O ) 0.25
2 1
C
A B
=> M nằm trên trục đẳng phương của (O ),
1
O
1 E
và (O ) nên MA là tiếp tuyến chung của hai
2
O
2
0.5
đường tròn (O )(O )
1 2
 M di động trên đường thẳng cố định là
0.5
tiếp tuyến tại A
Câu 6 a)
E(-1;-3)
3,0
A
H
F(1;3)
M(3;1)
D
B
C(4;-2)
0,25
Thuvienhoclieu.Com Page 4
www.thuvienhoclieu.com
0,5
+ Gọi H là trực tâm tam giác ABD, ta có AB  BC  DH qua E
0,25
+ Chứng minh được tứ giác BHDC là hình bình hành
0.5
+ C và H đối xứng qua M, tìm được H(2;0).
0,25
+ Viết được PT đường thẳng DH: x –y –2=0.
0,25
+ Viết được PT đường thẳng AB : x + y – 4 = 0.
0,25
+Gọi B(b; 4 – b ) thuộc AB. Vì M là trung điểm BD, suy ra D(6 – b; b – 6 ).
0,25
D nằm trên DH nên ta có (6 – b ) – (b – 6 ) – 2 = 0 hay b = 5.
0,25
Suy ra : D(1 ; – 1 ) và B(5 ; – 1 ).
0,25
+Đường cao (AH) đi qua H(2; 0) và vuông góc BD nên có PT : x – 2 =0.
+ A là giao điểm của AH và AB nên A(2;2).
Thuvienhoclieu.Com Page 5

onthicaptoc.com Đề thi olympic môn Toán lớp 10 năm 2020 2021 tỉnh Quảng Nam có đáp án chi tiết Lần 1