8 - 2019
Câu 1 ( ).
2
, m
x 3 6 x 18 3x x m, (1)
a) i (1) khi
m 3.
b) m .
Câu 2 (5
4 2 2 3
x x y x y 1
a) .
3 2
x y xy x 1
b) ây truy là
Parabol ACB u,
cu i c c g m
A , B trên m i tr c AA và BB
v cao 30 m . Chi n
A B trên n n c u b ng 200 m . cao ng n nh t c a dây truy n trên c u là CC 5 m.
G i Q , P , , C’, I , J , K n thành các ph n b ng nhau. Các thanh
th ng n i n n c u v n: QQ , PP , HH , CC , II , JJ , KK g i là các
dây cáp treo. Tính t dài c a các dây cáp treo?
Câu 3 (4 Cho tam giác ABC M BC a,CA b, AB c.
2 2
a) Ch minh r b c cos A a c.cosC b.cos B .
2 2 2
b) Tìm t p h p các i M sao cho MB MC MA .
Câu 4 Tr Oxy, cho A(3;1), B( 1;2) .
a) N Ox AN
b) M d : y x MA P và
MB Q PQ
2 2 2
Câu 5 Cho x, y, z : x y z 4 xyz.
x y z 2 xyz.
---------------------- -------------------------
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN LỚP 10
Năm học 2018 - 2019
Câu Đáp án Điểm
a) Đặt t 36+ xx+ − Đk : 3≤≤t 3 2 .
1.0
tl=−1( )

2
Phương trình có dạng: tt− 2−=30⇔

t= 3

1.0
Giải ra nghiệm x=-3 và x=6
1.0
2
1,0
6,0

b) (1) có nghiệm khi có phương trình có nghiệm
tt−=2 92− m t∈ 3;3 2

2

Xét hàm số với , sử dụng bảng biến thiên ta có ĐK 1.0
ft() t− 2t t∈ 3;3 2

Câu 1
−+9 62
1.0
phương trình có nghiệm 3≤−9 2m≤18− 6 2 .
⇔ ≤≤m 3
2
4 22 2 2 3 23
1,0
a) Ta có: x+ x y=(x−+xy)2x y. Đặt a=x−=xy;b x y.
2
ab+ =1 a=1.
2
Ta có hệ phương trình: . Suy ra, aa−− 20= ⇔


−+ab=−1 a=−2.


2

x−=xy 11x=±


⇔


3
y= 0
xy= 0
 

 1,0

 3

2

x+ =−2

Khi đó:  2


x
2
x− xy=−⇔2 (v n).



−3



y=
3


x
 


3
1,0
xy=−2



Câu 2
(xy; )∈−1;0 , 1;0 .
( )( )
{ }
5,0
y
B A
Q K
P
J
I
H
C
y
3 30m
y
2
y
1
5m
′ x
Q
′ ′ ′ ′ ′ ′
B P H′ O I J K A
200m
1,0
2
Giả sử Parabol có dạng: y= ax++bx c , a≠ 0 .
Chọn hệ trục như hình vẽ, khi đó parabol đi qua điểm A 100; 30 , và có đỉnh
Oxy ( )
30 10000a++100bc


−b 1

2
C(0;5). Suy ra: = 0 ⇒=P : y x+ 5 . Đoạn AB chia
( )

2a 400

5= c


=
=
=
làm 8 phần, mỗi phần 25m .
1,0
Khi đó, tổng độ dài của các dây cáp treo bằng OC++22y y + 2y
12 3
11 1
   
2 22
=5+ 2 .25+ 5+ 2 .50+ 5+ 2 .75+ 5 = 78,75 m
( )
   
400 400 400
   
2 22 2 2 2 4 4 2 2 2

a + b − c a +−c b ()b − c − a ()b − c
VP=a. c. −=b. ...=
 1,0
22ab ac 2bc

a)
2 22 2 2
(b − c )(b +−c a )
2 2
(b− c ).cosA.
1,0
2bc
  

b) Gọi D là đi xác định bởi hệ thức: DB+ DC−=DA 0. Ta có:
2 2 2 2 2 22
MB+ MC− MA= MD++DB DC−=DA
Câu 3 4,0
 
2
1,0
22 2 2
= MD+ DB+ DC−+DB DC= ...= MD− 2AB.AC.cosA.
( )
Nếu A tù, tập hợp các điểm M là tập ∅ .
1,0
Nếu A vuông, tập hợp các điểm M là D . .
{ }
Nếu A nhọn, tập hợp các điểm M là đường tròn D; 2AB.AC.cos A .
( )
a) N∈Ox sao cho AN nhỏ nhất khi N là hình chiếu của A lên Ox khi N là hình
2.0
chiếu của A lên Ox.Vậy N(3;0)
b) M∈=d : y x⇒ M (mm; )
Đường thẳng AM có phương trình (m−1)x− my− 2m=0
2m
AM cắt trục hoành tại P( ;0) 1,0
m−1
Câu 4
Đường thẳng MB có phương trình: (m− 2)x− (m++=1)y 3m 0
4,0
3m
MB cắt trục tung tại Q(0; )
m+1
mm−11+
Phương trình PQ: x+ ym1(≠±1;m≠ 0)
23mm
PQ đi qua Ix(; y ) cố định ⇔ (32xy+ − 6)m− 32xy+ = 0∀m≠±1;0
00 00 00
1,0
32xy+=6
 3
00
⇔⇔ I(1; )

−32xy+ =0 2
 00
2 22
Áp dụng BDDT Cauchy cho 6 số dương: x , y , z ,,x yz, ta được:
2 2 2 3 33 2 22
6
x + y + z ++x y+ z≥ 6 x y z =6.xyz Vì x + y +=z 4 xyz nên ta có:
0,5
2 22
Dấu bằng xảy ra .
x+ y+≥z 2.xyz ⇔ x= y= z= x= yz=⇒=x yz== 1
Câu 5
2 22
Trái với giả thiết: x + y +=z 4 xyz .
0,5 1,0
Vậy x+ y+>z 2.xyz
Ghi chú: Học sinh làm theo các cách khác vẫn được chấm điểm theo từng bước có lời giải đúng.
=
= =