SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐẮK LẮK
TRƯỜNG THPT TÔN ĐỨC THẮNG
--------------------------
KỲ THI OLYMPIC 10-3 LẦN THỨ IV
ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN: TOÁN ; LỚP: 11
Câu 1(4đ). Giải hệ phương trình:
Giải
Nội dung
Điểm
Ta có (1)
0,5
Thế vào (2) ta được:
0,5

0,5

0,5

0,5
0,5
Do
Ta có
Nên (4) vô nghiệm
0,5
Vậy
0,5
Câu 2. ( 4 đ)
Cho dãy số xác định như sau:
Tìm công thức số hạng tổng quát và giới hạn dãy số ?
Giải
Nội dung
Thang điểm
Ta có:

0,5 đ
Suy ra:
0,5 đ
0,5 đ

0,5đ
Lại có: (Cô si)
1đ
Mặt khác: .
0,5 đ
Vậy
0,5đ
Câu 3 (3 điểm):
Cho DABC có . Lấy điểm D trên cạnh BC sao cho CD = 2BD và E đối xứng với A qua D.
Chứng minh rằng .
Nội dung
Thang điểm
Gọi H là trung điểm DC, thì ABEH là hình bình hành. Lấy điểm G trên tia đối CB sao cho CG = CA.
Đặt: BD = DH = HC = , CA = b, AB = c, BE = AH = x, AD = DE = y, CE = z.
0,5đ
Ta có DABG đồng dạng DCAG nên: (1)
0,5đ
Sử dụng công thức tính đường trung tuyến trong các tam giác: DACD, DABH, DCDE ta có:
(2)
(3)
(4)
Từ (2) và (3) suy ra:
kết hợp với (1) ta có: (5)
0,5đ
Từ (3) và (4) suy ra:
kết hợp với (1) và (5) ta có:
0,5đ
do đó, hay
(trong đó: Điểm P nằm trên CE và CP = BC) suy ra
0,5đ
Ta lại có nên hai tam giác DBEP và DCEB đồng dạng
do đó:
(đpcm)
0,5đ
Câu 4(3 điểm) Tìm đa thức f(x) thỏa mãn:
Đáp án câu 4:
Ta có: x.f(x-1)= (x-3).f(x) (1)
Cho x = 0 Þ f(0) = 0 (2)
Cho x = 1 Þ f(1) = 0 (3)
Cho x = 2 Þ f(2) = 0 (4)
0,5
(2) ;(3); (4) ta suy ra f(x) chia hết cho x; x-1; x-2
0,5
f(x) = x.(x-1).(x-2).P(x)
0,5
Thay vào (1) Ta có :
x.(x-1).(x-2).(x-3).P(x-1) = x.(x-1).(x-2).(x-3).P(x)
0,5
P(x-1) = P(x) ; x
0,5
P(x) = C: hằng số
0,5
Vậy: f(x) = x.(x-1).(x-2).C Với C là hằng số.
Câu 5(3 điểm) Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên dương n sao cho chia hết cho n. Tìm tất cả các số nguyên tố có tính chất trên.
Nội dung
Thang điểm
Đáp án câu 5
Ta có chia hết cho 3.
Ta chứng minh, với mọi số nguyên dương m ta luôn có chia hết cho (1)
Với , (1) đúng
Giả sử (1) đúng với số m nguyên dương tùy ý, tức là tồn tại k nguyên dương sao cho
Khi đó: , t nguyên dương
1
Do đó (1) luôn đúng với m nguyên dương, tức là có vô số số nguyên dương n thỏa mãn chia hết cho n.
0,5

Giả sử n là số số nguyên tố và chia hết cho n. Khi đó theo định lí Fecma, chia hết cho n.
0,5
Suy ra n chia hết cho
0,5
Vậy n = 3 là số nguyên tố duy nhất thỏa mãn bài toán.
0,5
Câu 6 (3 điểm)
Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có tám chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên thuộc vào tập A. Tính xác suất để chọn được một số thuộc A và số đó chia hết cho .
Đáp án câu 6
Nội dung
Thang điểm
+) Trước hết ta tính n(A). Với số tự nhiên có tám chữ số đôi một khác nhau thì chữ số đầu tiên có 9 cách chọn và có cho 7 vị trí còn lại. Vậy
1đ
+) Giả sử ta thấy tổng các phần tử của B bằng nên số có chín chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 9 sẽ được tạo thành từ 8 chữ số đôi một khác nhau của các tập
1đ
nên số các số loại này là .
Vậy xác suất cần tìm là: .
1đ

onthicaptoc.com Đề thi Olympic 10 3 môn Toán lớp 11 năm 2019 THPT Tôn Đức Thắng có đáp án