LỜI GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9
THÀNH PHỐ HÀ NỘI 2020
Võ Quốc Bá Cẩn
1. · thi
B i 1 (5.0 iºm).
a) Giảiphươngtrình:
p
p
2
2
.4xC2/ x C2xC5D.x C2xC2/ 4xC5:
3 3 3 3 5 5 5 5
b) Chobốnsốthựcdươnga;b;c;d thỏamãna Cb Cc D 3d ;b Cc Cd D 3a
7 7 7 7
vàc Cd Ca D3b :ChứngminhrằngaDbDcDd:
B i 2 (5.0 iºm).
2
a) Chứngminhrằngvớimọisốtựnhiênnthìn C3nC11khôngchiahếtcho49:
b) Tìmtấtcảcácbộbasốnguyêndương.x; y; p/vớip làsốnguyêntốthỏamãn
2 2 2
x Cp y D6.xC2p/:
B i 3 (3.0 iºm).
2 2 2
a) Chohaisốthựcdươngx;y thỏamãn5.xy/ x Cy :Chứngminhrằng
1 x
 2:
2 y
2 2 2 2
b) Chobasốthựcdươngx;y;zthayđổithỏamãnđiềukiện5.xCyCz/ 14.xCyCz /:
Tìmgiátrịlớnnhấtvàgiátrịnhỏnhấtcủabiểuthức
2xCz
PD :
xC2z
B i 4 (6.0 iºm). ChotamgiácABC cóbagócnhọn,AB I:HìnhchiếuvuônggóccủađiểmI trêncáccạnhAB;AC theothứtựlàM;N vàhìnhchiếu
vuônggóccủađiểmB trêncạnhAC làQ:GọiD làđiểmđốixứngcủađiểmAquađiểmQ;
P làtâmđườngtrònnộitiếptamgiácBCD vàRlàgiaođiểmcủahaiđườngthẳngMN;BQ:
Chứngminhrằng
a) CáctamgiácBMRvàBIP đồngdạng.
b) ĐườngthẳngPRsongsongvớiđườngthẳngAC:
c) ĐườngthẳngMN điquatrungđiểmcủađoạnthẳngAP:
1
2 Lờigiảiđềthihọcsinhgiỏithànhphốlớp9thànhphốHàNội2020
B i 5 (1.0 iºm). Có15hộprỗng.Mỗibước,ngườitachọnmộtsốhộprồibỏvàomỗihộpmột
sốviênbisaochosốviênbibỏvàomỗihộplàmộtlũythừacủa2vàtrongmỗibướckhôngcó
haihộpnàocósốbiđượcbỏvàogiốngnhau.Tìmsốnguyêndươngk nhỏnhấtsaochosaukhi
thựchiệnk bước,tấtcảcáchộpđềucósốbigiốngnhau.
2. Líi gi£i v  b¼nh luªn c¡c b i to¡n
B i 1 (5.0 iºm).
a) Giảiphươngtrình:
p
p
2
2
.4xC2/ x C2xC5D.x C2xC2/ 4xC5:
3 3 3 3 5 5 5 5
b) Chobốnsốthựcdươnga;b;c;d thỏamãna Cb Cc D3d ;b Cc Cd D3a
7 7 7 7
vàc Cd Ca D3b :ChứngminhrằngaDbDcDd:
p p
5
2
Líi gi£i. a)Điềukiện:x :ĐặtaD 4xC5vàbD x C2xC5.a; b0/:Tacó
4
2 2 2
4xC2Da 3; x C2xC2Db 3:
2 2
Phươngtrìnhđãchocóthểđượcviếtlạithành.a 3/bD.b 3/a;hay
.ab/.abC3/D0:
DoabC3>0nêntừđây,tacóaDb hay
2
x C2xC5D4xC2:
Giảiphươngtrìnhnày,tađượcx2f0; 2g:Thửlại,tathấythỏamãn.Vậyphươngtrìnhđãchocó
tậpnghiệmlàSDf0; 2g:
b)Trongbasốb; d; acómộtsốhoặclàsốlớnnhất,hoặclàsốnhỏnhấttrongbốnsốđãcho.
Xétcáctrườnghợpsau.
 Tr÷íng hñp 1:blàsốlớnnhấthoặclàsốnhỏnhấttronga; b; c; d:
7 7 7 7
 Nếub làsốlớnnhấttronga; b; c; d thìtacóc ; d ; a b nên
7 7 7 7 7 7 7
c Cd Ca b Cb Cb D3b :
Mặtkhác,theogiảthiếtthìdấuđẳngthứcphảixảyra.DođócDdDaDb:
7 7 7 7
 Nếub làsốnhỏnhấttronga; b; c; d thìtacóc ; d ; a b nên
7 7 7 7 7 7 7
c Cd Ca b Cb Cb D3b :
Mặtkhác,theogiảthiếtthìdấuđẳngthứcphảixảyra.DođócDdDaDb:
 Tr÷íng hñp 2:d là số lớn nhất hoặc là số nhỏ nhất tronga; b; c; d: Chứng minh
tươngtựnhưtrườnghợptrên,tacũngcóaDbDcDd:
 Tr÷íng hñp 3: a là số lớn nhất hoặc là số nhỏ nhất tronga; b; c; d: Chứng minh
tươngtựtrườnghợp1,tacũngcóaDbDcDd:
Vậy,trongmọitrườnghợp,taluôncóaDbDcDd:
Lờigiảiđềthihọcsinhgiỏithànhphốlớp9thànhphốHàNội2020 3
B i 2 (5.0 iºm).
2
a) Chứngminhrằngvớimọisốtựnhiênnthìn C3nC11khôngchiahếtcho49:
b) Tìmtấtcảcácbộbasốnguyêndương.x; y; p/vớip làsốnguyêntốthỏamãn
2 2 2
x Cp y D6.xC2p/:
2
Líi gi£i. a)Giảsửtồntạisốtựnhiênnsaochon C3nC11chiahếtcho49:Khiđó,tacó
2 2
4.n C3nC11/D.2nC3/ C35chiahếtcho49: .1/
2
Mà35và49cùngchiahếtcho7nêntacó.2nC3/ chiahếtcho7:Suyra2nC3chiahếtcho
2
7:Từđó.2nC3/ chiahếtcho49:Kếthợpvới.1/;tađược35chiahếtcho49;mâuthuẫn.Vậy,
2
vớimọisốtựnhiênnthìn C3nC11khôngchiahếtcho49:
2 2 2
b)Do6.xC2p/chiahếtcho3nêntừphươngtrìnhđãcho,tasuyrax Cp y chiahếtcho3:
2 2 2 2
Mặtkhác,tacóđểýrằng,vớimọisốnguyênathìa chia3dư0hoặc1:Dođó,đểx Cp y
2 2 2
chiahếtcho3thìtaphảicóx vàp y cùngchiahếtcho3:Suyrax vàpy cùngchiahếtcho3:
ĐặtxD3avớianguyêndương.Phươngtrìnhđãchocóthểđượcviếtlạithành
2 2 2
9a Cp y D18aC12p: .1/
2 2 2
Do9a ; p y và18achiahếtcho9nêntừphươngtrìnhtrên,tasuyra12p chiahếtcho9;tức
p chiahếtcho3:Màp làsốnuyêntốnênpD3:Khiđó,phươngtrình.1/cóthểviếtlạithành
2 2
a Cy D2aC4;
hay
2 2
.a1/ Cy D5: .2/
2 2
Vì.a1/  0 nên từ phương trình trên, ta suy ray  5: Doy là số nguyên dương nên ta
cóy2f1; 2g:Bằngphépthửtrựctiếp,tatìmđượccáccặpsốnguyêndương.a; y/thỏamãn
phươngtrình.2/là.3; 1/và.2; 2/:Từđósuyra,cóhaibộsố.x; y; p/thỏamãnyêucầuđề
bàilà.9; 1; 3/và.6; 2; 3/:
B i 3 (3.0 iºm).
2 2 2
a) Chohaisốthựcdươngx;y thỏamãn5.xy/ x Cy :Chứngminhrằng
1 x
 2:
2 y
2 2 2 2
b) Chobasốthựcdươngx;y;z thỏamãnđiềukiện5.xCyCz/ 14.x Cy Cz /:
Tìmgiátrịlớnnhấtvàgiátrịnhỏnhấtcủabiểuthức
2xCz
PD :
xC2z
4 Lờigiảiđềthihọcsinhgiỏithànhphốlớp9thànhphốHàNội2020
Líi gi£i. a)Giảthiếtđãchocóthểđượcviếtlạithành2.x2y/.2xy/0;hay
  
x 2x
2 1 0:
y y
Từđó,tacó
1 x
 2:
2 y
b)SửdụngbấtđẳngthứcCauchy-Schwarz,tacó
    
9 5 5
2 2 2 2 2
5.xCyCz/ 5 C1 .xCz/ Cy D14 .xCz/ Cy :
5 9 9
2 2 5 2
Kếthợpvớigiảthiết,tasuyrax Cz  .xCz/ ;hay
9
.x2z/.2xz/0:
Từđây,tacó
z
x2z:
2
Suyra
2xCz 3z 3z 4
PD D2 2 D
z
xC2z xC2z C2z 5
2
và
3z 3z 5
PD2 2 D :
xC2z 2zC2z 4
4 5 5
Vậy P :BấtđẳngthứcbêntráixảyradấuđẳngthứckhizD2x vàyD x:Bấtđẳng
5 4 3
5
thứcbênphảiđạtđượcdấuđẳngthứckhixD2z vàyD z:Tómlại,giátrịlớnnhấtcủabiểu
3
5 4
thứcP là vàgiátrịnhỏnhấtcủabiểuthứcP là :
4 5
B¼nh luªn. HọcsinhcầnchứngminhlạibấtđẳngthứcCauchy-Schwarzkhisửdụng.
B i 4 (6.0 iºm). ChotamgiácABC cóbagócnhọn,AB tâmI:HìnhchiếuvuônggóccủađiểmI trêncáccạnhAB;AC theothứtựlàM;N vàhình
chiếuvuônggóccủađiểmB trêncạnhAC làQ:GọiD làđiểmđốixứngcủađiểmAqua
điểmQ;P làtâmđườngtrònnộitiếptamgiácBCD vàRlàgiaođiểmcủahaiđườngthẳng
MN;BQ:Chứngminhrằng
a) CáctamgiácBMRvàBIP đồngdạng.
b) ĐườngthẳngPRsongsongvớiđườngthẳngAC:
c) ĐườngthẳngMN điquatrungđiểmcủađoạnthẳngAP:
Líi gi£i. a)DoAM vàAN làcáctiếptuyếncủađườngtròn.I/nênAMDAN;suyratam
giácAMN cântạiA:Từđó
1 1
   
BMRD180 AMND180 .180 BAC/D90 C BAC:
2 2
Lờigiảiđềthihọcsinhgiỏithànhphốlớp9thànhphốHàNội2020 5
Mặtkhác,tacũngcó
1 1
  
BICD180 IBCICBD180 .ABCCBCA/D90 C BAC:
2 2
Dođó
BMRDBIC: .1/
DoQADQD vàBQ?AD nêntamgiácABD cântạiB:Từđó

ABRDDBRD90 BAC:
Suyra

BRMD180 BMRMBR
 
1
  
D180 90 C BAC .90 BAC/
2
1
D BAC:
2
Mặtkhác,tacũngcó(chúýrằngC; P; I thẳnghàng)
1 1 1
BPIDPBCCPCBD DBCCDCBD ADBD BAC:
2 2 2
Dođó
BRMDBPI: .2/
Từ.1/và.2/;tacó4BMRv4BIP (g-g).
A
Q
N
R
D
M
I
P
B C
b)Do4BMRv4BIP (theocâua))nêntacó
BM BI
D .3/
BR BP
và
MBRDIBP: .4/
Từ.4/;tasuyraMBRCRBIDIBPCRBI;hay
MBIDRBP: .5/

Từ .3/ và .5/; ta suy ra4BMI v4BRP (c-g-c). Do đóBRPDBMID 90 : Suy ra
RP?BQ:Mặtkhác,tacũngcóBQ?AC nênPRkAC:
6 Lờigiảiđềthihọcsinhgiỏithànhphốlớp9thànhphốHàNội2020
c)Tacó
1 1
   
RNDD180 ANMD180 .180 BAC/D90 C BAC:
2 2
Lạicó
1
PDNDADBCBDPDADBC BDC
2
1 1
 
DADBC .180 ADB/D90 C ADB
2 2
1

D90 C BAC:
2
Dođó
RNDDPDN:
Mặtkhác,theochứngminhcâub),tacóPRkDN nêntứgiácDNRP làhìnhthang.Kếthợp
vớikếtquảtrên,tasuyratứgiácDNRP làhìnhthangcân.Từđó
NPRDDRPDRDN: .6/
TamgiácRAD cóRQvừalàđườngtrungtuyếnvừalàđườngcaonêncântạiR:Suyra
RDNDRAN: .7/
Từ.6/và.7/;tacóRPNDRAN:LạicóNRPDRNA(soletrong).Dođó
 
RNPD180 NRPRPND180 RNARANDNRA:
MàhaigócRNP vàNRAởvịtrísoletrongnênRAkPN:TứgiácARPN cóPRkAN và
ARkNP nênlàhìnhbìnhhành.SuyrahaiđườngchéoRN vàAP cắtnhautạitrungđiểmcủa
mỗiđường.VậyMN điquatrungđiểmcủaAP:
B i 5 (1.0 iºm). Có15hộprỗng.Mỗibước,ngườitachọnmộtsốhộprồibỏvàomỗihộp
mộtsốviênbisaochosốviênbibỏvàomỗihộplàmộtlũythừacủa2vàtrongmỗibước
khôngcóhaihộpnàocósốbiđượcbỏvàogiốngnhau.Tìmsốnguyêndươngk nhỏnhấtsao
chosaukhithựchiệnk bước,tấtcảcáchộpđềucósốbigiốngnhau.
Líi gi£i. Giảsửsauk bước,mỗihộpđềucónviênbi.Khiđó,sốbitrongtấtcảcáchộplà15n:
m
i
Gọi2 làsốviênbinhiềunhấtđượcbỏvàomộthộpnàođóởbướcthứi .1ik/:Gọim
làsốlớnnhấttrongcácsốm ; m ; :::; m :Khiđó,ởmỗibước,sốviênbiđượcbỏvàotấtcả
1 2 k
m m1 1 0 mC1
cáchộpkhôngvượtquá2 C2 C


C2 C2 D2 1:Suyra,sauk bước,sốviênbi
mC1
trongtấtcảcáchộpkhôngvượtquák.2 1/:Dođó
mC1 mC1
15n6k.2 1/m m mC1
Mặt khác, dễ thấyn 2 nên15
2  15n < k
2 ; suy rak > 7:5: Vìk là số nguyên
dươngnênk8:Dođó,cầnkhôngíthơn8bướcđểsốbitrongtấtcảcáchộpđềubằngnhau.
Lờigiảiđềthihọcsinhgiỏithànhphốlớp9thànhphốHàNội2020 7
Mặtkhác,tacóthểthựchiện8bướcbỏbivàocáchộpnhưsau:
2 3 4 5 6 7
 B֔c 1:1; 2; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0:
2 3 4 5 6 7
 B÷îc 2:1; 2; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 0; 2 ; 0; 0; 0; 0; 0; 0:Khiđó,sốbitrongmỗihộp
2 3 4 5 6 7 7 7
lầnlượtlà2; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 0; 0; 0; 0; 0; 0:
2 3 4 5 6 7
 B÷îc 3:2; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 0; 0; 0; 2 ; 0; 0; 0; 0; 0:Khiđó,sốbitrongmỗihộp
2 3 4 5 6 7 7 7 7 7
lầnlượtlà2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 0; 0; 0; 0; 0:
 :::
6 7
 B÷îc 8:2 ; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 2 : Khi đó, số bi trong mỗi hộp lần
7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7
lượtlà2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 :
Vậyk D8:
min

onthicaptoc.com Đề thi HSG Toán 9 cấp thành phố năm học 2019 – 2020 sở GDĐT Hà Nội