onthicaptoc.com
PHÒNG GD&ĐT LÂM THAO
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2023 – 2024
MÔN THI: TOÁN 8
Thời gian làm bài: 120 phút không kể thời gian phát đề
(Đề thi gồm 02 trang)
I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN: (8,0 điểm)
Câu 1. Cho hai số thỏa mãn . Giá trị của biểu thức bằng
A.
B.
C.
D.
Câu 2. Đa thức dư trong phép chia đa thức cho đa thức là
A.
B.
C.
D.
Câu 3. Cho (với ). Giá trị của biểu thức là
A.
B.
C.
D.
Câu 4. Cho . Giá trị của biểu thức bằng
A.
B.
C.
D.
Câu 5. Cho biểu thức Số các giá trị nguyên của để biểu thức nhận giá trị nguyên là
A.
B.
C.
D.
Câu 6. Rút ra một lá bài từ bộ bài lá. Xác suất để rút được con bích là
A.
B.
C.
D.
Câu 7. Nghiệm của phương trình là
A.
B.
C.
D.
Câu 8. Cho hai đường thẳng và , với là tham số. Giá trị của để đường thẳng cắt đường thẳng tại một điểm trên trục tung là
A.
B.
C.
D.
Câu 9. Cho hình chóp tứ giác đều , chiều cao bằng , thể tích là . Khi đó diện tích xung quanh của hình chóp là
A.
B.
C.
D.
Câu 10. Cho hình thoi , biết độ dài hai đường chéo Chu vi hình thoi là
A.
B.
C.
D.
Câu 11. Cho hình bình hành , điểm thuộc cạnh sao cho . Gọi là giao điểm của và . Kết quả của tỉ số là
A.
B.
C.
D.
Câu 12. Cho hình thang có , độ dài hai đường chéo Diện tích hình thang bằng
A.
B.
C.
D.
Câu 13. Cho hình thoi có cạnh Một đường thẳng bất kì qua cắt tia đối của các tia lần lượt tại và . Khi đó tích có giá trị bằng
A.
B.
C.
D.
Câu 14. Cho hình thang có là đáy nhỏ, gọi là giao điểm của hai đường chéo. Qua kẻ đường thẳng song song với cắt và theo thứ tự tại Hệ thức nào sau đây đúng?
A.
B.
C.
D.
Câu 15. Cho hình chữ nhật có và hai đường chéo cắt nhau tại . Qua kẻ đường thẳng vuông góc với , cắt kéo dài tại . Kẻ vuông góc với tại . Khi đó tỉ số diện tích bằng
A.
B.
C.
D.
Câu 16. Bạn Nam đi siêu thị mua một món hàng đang khuyến mãi giảm giá 20%, Nam có thẻ khách hàng thân thiết của siêu thị nên được giảm thêm 2% trên giá đã giảm nữa, do đó Nam chỉ phải trả 196000 đồng cho món hàng đó. Giá ban đầu của món hàng nếu không khuyến mãi là
A.
B.
C.
D.
II. PHẦN TỰ LUẬN: (12,0 điểm)
Câu 1. (3,0 điểm)
1. Tìm các số nguyên thỏa mãn .
2. Cho số tự nhiên thỏa mãn và là các số chính phương. Chứng minh rằng
Câu 2. (4 điểm)
1. Giải phương trình
2. Cho hai số thực phân biệt thỏa mãn Tính giá trị biểu thức
Câu 3. (4 điểm)
1. Cho tam giác có ba góc nhọn. Các đường cao cắt nhau tại
a) Chứng minh rằng
b) Chứng minh rằng điểm cách đều ba cạnh của tam giác
c) Gọi lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng ,
Chứng minh rằng ba đường thẳng đồng quy tại một điểm.
2. Cho tam giác vuông tại . Hai đường phân giác trong cắt nhau tại .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Câu 4. (1 điểm) Cho hai số thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
------------------------------ Hết-----------------------------
- Họ và tên thí sinh :....................................................... Số báo danh .............................
PHÒNG GD&ĐT LÂM THAO

HƯỚNG DẪN CHẤM
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2023 – 2024
MÔN: TOÁN 8
(Hướng dẫn chấm gồm 04 trang)
I. Một số chú ý khi chấm bài
- Hướng dẫn chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách. Khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic và có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm.
- Thí sinh làm bài theo cách khác với hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với thang điểm của hướng dẫn chấm.
- Điểm bài thi là tổng điểm các câu không làm tròn số.
II. Đáp án – thang điểm
1. Phần trắc nghiệm khách quan: Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm.
Câu 1
Câu 2
Câu 3
Câu 4
Câu 5
Câu 6
Câu 7
Câu 8
C
C
B
D
B
A
D
B
Câu 9
Câu 10
Câu 11
Câu 12
Câu 13
Câu 14
Câu 15
Câu 16
C
A
D
A
B
C
C
A
2. Phần tự luận:
Nội dung
Điểm
Câu 1.
1. Tìm các số nguyên thỏa mãn .
2. Cho số tự nhiên thỏa mãn và là các số chính phương. Chứng minh rằng
3,0
1.
Vì nên ta có bảng
Vậy
0,5
0,25
0,5
0,25
2. Vì là số chính phương lẻ nên
Suy ra là số chính phương lẻ
Ta có
Suy ra
0,5
0,5
0,25
0,25
Câu 2.
1. Giải phương trình
2. Cho hai số thực phân biệt thỏa mãn Tính giá trị biểu thức
4,0
1.
Đặt . Ta có phương trình
. Vậy
0,25
0,25
0,5
0,5
0,5
2. Ta có
Vì (vì )
Suy ra
0,5
0,5
0,5
0,25
0,25
Câu 3.
1. Cho tam giác có ba góc nhọn. Các đường cao cắt nhau tại
a) Chứng minh rằng
b) Chứng minh rằng điểm cách đều ba cạnh của tam giác
c) Gọi lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng ,
Chứng minh rằng ba đường thẳng đồng quy tại một điểm.
2. Cho tam giác vuông tại . Hai đường phân giác trong cắt nhau tại .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
4,0
1.
a) Chỉ ra được
b) Chứng minh được
Tương tự: Do đó
Mà nên
là phân giác của góc . Chứng minh tương tự có là phân giác của góc
Do đó H là giao của các đường phân giác trong của tam giác . Suy ra điều phải chứng minh.
c) Do vuông tại , là trung điểm nên (trung tuyến ứng với cạnh huyền), Tương tự:
Do đó: cân tại , mà là trung điểm
là đường trung trực của
Tương tự, chứng minh được và cũng là đường trung trực của tam giác nên ba đường thẳng đồng quy tại một điểm.
1,0
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
2. Cho tam giác vuông tại . Hai đường phân giác trong cắt nhau tại . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1,0
Xét có là đường phân giác trong nên
.
Xét có là đường phân giác trong nên
.
Tương tự ta có .
Suy ra .
Đặt .
Tam giác vuông tại nên .
Như vậy
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là Dấu ‘=’ xảy ra vuông cân tại
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 4. Cho hai số thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1,0
Ta có:
Vậy
. Vậy
0,25
0,25
0,25
0,25
……….Hết……….
onthicaptoc.com

onthicaptoc.com De thi HSG Toan 8 Huyen Lam Thao 23 24