PHÒNG GD&ĐT LÂM THAO
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2023 – 2024
MÔN THI: TOÁN 7
Thời gian làm bài: 90 phút không kể thời gian phát đề
(Đề thi gồm 02 trang)
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN: (6,0 điểm)
Câu 1. Giá trị của biểu thức: chia hết cho số nào sau đây
A. .
B. .
C. .
D. .
Câu 2. Cho , với là số tự nhiên chẵn. Kết quả của phép tính là
A. .
B. .
C. hoặc .
D. .
Câu 3. Cho , khi đó tỉ số bằng
A. .
B. .
C. .
D. .
Câu 4. Cho 3 số khác 0 thỏa mãn . Giá trị của biểu thức là
A. .
B. .
C. .
D. .
Câu 5. Cho đa thức thỏa mãn điều kiện: . Giá trị nào sau đây là nghiệm của đa thức ?
A. .
B. .
C. .
D. .
Câu 6. Giá trị của biểu thức với thỏa mãn điều kiện là
A. .
B. .
C. .
D. .
Câu 7. Cho đường thẳng cắt nhau tại một điểm. Số cặp góc đối đỉnh (không kể góc bẹt) được tạo thành là
A. .
B. .
C. .
D. .
Câu 8. Tam giác có ; . Kẻ tại Khi đó bằng
A. .
B. .
C. .
D. .
Câu 9. Cho tam giác cân có , khi đó chu vi tam giác bằng
A. .
B. .
C. .
D. hoặc .
Câu 10. Cho tam giác có , là đường trung tuyến. Gọi là trọng tâm của tam giác . Biết , khi đó độ dài đoạn thẳng bằng
A. .
B. .
C. .
D. .
Câu 11. Cho tam giác có . Kết quả nào sau đây là đúng
A. .
B. .
C. .
D. .
Câu 12. Bạn Hạnh tung đồng xu một số lần liên tiếp. Biết xác suất thực nghiệm xuất hiện mặt sấp là và tích của số lần xuất hiện mặt sấp với số lần xuất hiện mặt ngửa là . Hỏi bạn Hạnh đã tung đồng xu bao nhiêu lần?
A.
B.
C.
D.
II. PHẦN TỰ LUẬN: (14,0 điểm)
Câu 1. (3,0 điểm)
1.1. Tìm các số nguyên tố biết .
1.2. Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn .
Câu 2. (4,0 điểm)
2.1. Cho các số khác và thoả mãn điều kiện . Tính giá trị của biểu thức
2.2. Biết đa thức chia cho thì dư , chia cho thì dư , chia cho được thương là và còn dư. Tìm đa thức và sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến.
Câu 3. (5,0 điểm)
Cho vuông tại . Gọi là trung điểm của cạnh , lấy điểm thuộc tia đối của tia sao cho . Kẻ vuông góc với tại , vuông góc với tại .
a) Chứng minh rằng .
b) Kẻ vuông góc với tại , vuông góc với tại . Chứng minh rằng các đường thẳng đồng quy.
c) Chứng minh rằng là trung điểm của .
d) Chứng minh rằng .
Câu 4. (2,0 điểm)
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
b) Chứng minh rằng trong số tự nhiên tùy ý luôn tồn tại hai số sao cho tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho
------------------------------ Hết-----------------------------
Họ và tên thí sinh :............................................................... Số báo danh ..................
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
PHÒNG GD&ĐT LÂM THAO
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2023 – 2024
MÔN THI: TOÁN 7
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM
I. Trắc nghiệm khách quan (6,0 điểm): Mỗi câu đúng được 0,5 điểm
Câu
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Đáp án
A
A
B
B
A
B
C
D
C
C
B
D
II. Tự luận (14,0 điểm):
Câu
Đáp án
Điểm
1
1.1. Tìm các số nguyên tố biết .
1,5
Ta có:
Vì , mà nên là số chẵn liên tiếp
0,75
, mà là số nguyên tố nên
Ta có:
0,5
Vậy
0,25
1.2. Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn .
1,5
Ta có:
(chú ý: học sinh có thể phân tích thành )
Vì y nguyên thuộc các ước của 11
0,75
Ta có bảng
0,5
Vậy
0,25
2
2.1. Cho các số khác và thoả mãn điều kiện . Tính giá trị của biểu thức
2,0
Ta có:
1,0
1,0
2.2. Biết đa thức chia cho thì dư , chia cho thì dư , chia cho được thương là và còn dư. Tìm đa thức và sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến.
2,0
Vì đa thức chia cho được thương là và còn dư nên đa thức có dạng
0,75
Do chia cho thì dư , chia cho thì dư nên
0,75
0,5
3
Cho vuông tại . Gọi là trung điểm của cạnh , lấy điểm thuộc tia đối của tia sao cho . Kẻ vuông góc với tại , vuông góc với tại .
a) Chứng minh rằng .
b) Kẻ vuông góc với tại , vuông góc với tại . Chứng minh rằng các đường thẳng đồng quy.
c) Chứng minh rằng là trung điểm của .
d) Chứng minh rằng .
5,0
a) Chứng minh rằng .
1,5
Xét và có :
(Vì M là trung điểm của BC)
(2 góc đối đỉnh )
(cạnh huyền – góc nhọn)
(2 cạnh tương ứng).
b) Kẻ vuông góc với tại , vuông góc với tại . Chứng minh rằng các đường thẳng đồng quy.
1,5
Xét và có
(Vì là trung điểm của )
(2 góc đối đỉnh)
(gt)
(c-g-c)
(2 góc tương ứng)
0,75
Gọi giao điểm của và là .
Xét có: và là các đường cao, mà chúng cắt nhau ở
là trực tâm của
Mặt khác có (gt), mà (cmt) .
Từ và thẳng hàng.
Suy ra ba đường , đồng quy tại
0,75
c) Chứng minh rằng là trung điểm của .
1,0
Xét và có
là cạnh chung
(vì )
(c-g-c)
(2 cạnh tương ứng)
cân tại .
Đường cao đồng thời là đường trung tuyến của .
là trung điểm của .
d) Chứng minh rằng .
1,0
Trên lấy điểm sao cho .
Thì (3)
Trên lấy điểm sao cho
Thì (4)
Ta có (tam giác vuông tại )
(tam giác vuông tại )
Mà (tam giác cân tại ). Nên
Dễ thấy ( c-g-c)

Suy ra tam giác vuông tại nên (5)
Từ (3), (4), (5) (đpcm).
4
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1,0
a
Ta có:
Dấu xảy ra khi và chỉ khi
Vậy Min(P) = 2024 khi x = 26; y = 3
1,0
b) Chứng minh rằng trong số tự nhiên tùy ý luôn tồn tại hai số sao cho tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho
1,0
b
- Tất cả các số dư trong phép chia cho 50 được chia thành 26 nhóm sau: (0); (1; 49); (2; 48); .....; (24; 26); (25).
- Lấy 27 số tự nhiên chia cho 50 nhận được 27 số dư, 27 số dư này sẽ thuộc vào 26 nhóm trên.
- Theo nguyên lý Dirichle tồn tại ít nhất hai số dư thuộc vào 1 nhóm, tức là tồn tại 2 số có tổng số dư trong phép chia cho 50 bằng 50 hoặc hiệu số dư trong phép chia cho 50 bằng 0 => Hai số này có tổng hoặc hiệu chia hết cho 50.
1,0
GỢI Ý MỘT SỐ CÂU TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Giá trị của biểu thức: chia hết cho số nào sau đây
A. .
B. .
C. .
D. .
Ta có => A
Câu 2. Cho , với là số tự nhiên chẵn. Kết quả của phép tính là
A. .
B. .
C. hoặc .
D. .
Ta có , do n là số tự nhiên chẵn nên chọn
Khi đó => A
Câu 3. Cho , khi đó tỉ số bằng
A. .
B. .
C. .
D. .
Ta có => B
Câu 4. Cho 3 số khác 0 thỏa mãn . Giá trị của biểu thức là
A. .
B. .
C. .
D. .
Ta có
Khi đó => B
Câu 5. Cho đa thức thỏa mãn điều kiện: . Nghiệm của đa thức là
A. .
B. .
C. .
D. .
Cho , ta có suy ra là 1 nghiệm của đa thức
Cho , ta có , suy ra là 1 nghiệm của đa thức
Vậy đa thức có ít nhất 2 nghiệm là => A
Câu 6. Giá trị của biểu thức với thỏa mãn điều kiện là
A. .
B. .
C. .
D. .
Ta có
Khi đó => B
Câu 7. Cho đường thẳng cắt nhau tại một điểm. Số cặp góc đối đỉnh (không kể góc bẹt) được tạo thành là
A. .
B. .
C. .
D. .
Với n đường thẳng cắt nhau tại 1 điểm, thì số góc tạo thành không kể góc bẹt là góc
Khi , số góc tạo thành là (góc) => C
Câu 8. Tam giác có ; . Kẻ tại Khi đó bằng
A. .
B. .
C. .
D. .
Ta có
Tam giác vuông tại , do đó => D
Câu 9. Cho tam giác cân có , khi đó chu vi tam giác bằng
A. .
B. .
C. .
D. hoặc .
Theo bất đẳng thức tam giác suy ra cân tại . Khi đó
Vậy chu vi tam giác là: => C
Câu 10. Cho tam giác có , là đường trung tuyến. Gọi là trọng tâm của tam giác . Biết , khi đó độ dài đoạn thẳng bằng

onthicaptoc.com De thi HSG Toan 7 Huyen Lam Thao 23 24