onthicaptoc.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
TỈNH QUẢNG NAM


KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT
NĂM HỌC 2021-2022
Môn thi: TOÁN 11 (CHUYÊN)
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Ngày thi: 22/3/2022
Câu 1. (3,0 điểm)
Giải hệ phương trình
.
Câu 2. (3,0 điểm)
Tìm tất cả các số nguyên tố sao cho có thể viết với là các số nguyên dương.
Câu 3. (3,0 điểm)
Cho dãy số thỏa mãn .
a) Chứng minh dãy số là dãy số giảm.
b) Đặt . Tính .
Câu 4. (3,0 điểm)
Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn
, .
Câu 5. (5,0 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC có B, C cố định, A thay đổi. Phía ngoài tam giác ABC dựng các tam giác ABD, ACE vuông cân tại A và hình vuông BCFG; các điểm lần lượt là trung điểm của các cạnh và là tâm của hình vuông .
a) Chứng minh rằng vuông góc với .
b) Các đường thẳng , cắt nhau tại P. Chứng minh rằng đường thẳng AP luôn đi qua một điểm cố định khi A thay đổi.
Câu 6. (3,0 điểm)
Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 3, biết số đó gồm 2022 chữ số lấy từ tập hợp .
---------- HẾT ----------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.
Họ và tên thí sinh:........................................................................; Số báo danh...........................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH QUẢNG NAM
KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT
NĂM HỌC 2021-2022
Môn thi: TOÁN 11 (CHUYÊN)
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Ngày thi: 22/3/2022
HƯỚNG DẪN CHẤM
CÂU
NỘI DUNG
ĐIỂM
1
Câu 1. (3,0 điểm)
Giải hệ phương trình
.
Điều kiện:

Nếu hệ phương trình vô nghiệm
Vậy nên


So sánh các điều kiện hệ phương trình có nghiệm .
2
Câu 2. (3,0 điểm)
Tìm tất cả các số nguyên tố sao cho có thể viết với là các số nguyên dương.
+ Với , ta có .
+ Với , giả sử
.
Khi đó, chia hết cho nên suy ra là bội của hoặc là bội của .
Mặt khác, là số chính phương nên nó chia hết cho
chia hết cho .
chia hết cho .
Do trên, ít nhất hoặc là bội của nên và đều là bội của .
Từ đó ta được :
và
Theo trên, ta có: (vô lí).
Vậy là số duy nhất.
3
Câu 3. (3,0 điểm)
Cho dãy số thỏa mãn .
a) Chứng minh dãy số là dãy số giảm.
b) Đặt . Tính .
Câu 3a. (0,75 điểm) Chứng minh dãy số là dãy số giảm.
+ .
+ Giả sử . Ta sẽ chứng minh
Do và .
Vậy là dãy số giảm.
Câu 3b. (2,25 điểm) Đặt . Tính .
Ta có:

Do đó: .
Bằng quy nạp chứng minh được
Vì là dãy giảm mà nên tồn tại ( và hữu hạn). Lấy giới hạn 2 vế của đẳng thức ta có: .
Vậy .
4
Câu 4. (3,0 điểm)
Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn
, .
Cho
+ Với ta chọn không xảy ra.
+ Với chọn ta có
* Với ta chọn , khi đó ta có

* Với ta chọn , khi đó ta có

Thử lại thấy cả hai hàm số thoả đề bài.
Vậy ; .
5
Câu 5. (5,0 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC có B, C cố định, A thay đổi. Phía ngoài tam giác ABC dựng các tam giác ABD, ACE vuông cân tại A và hình vuông BCFG; các điểm lần lượt là trung điểm của các cạnh và là tâm của hình vuông .
a) Chứng minh rằng vuông góc với .
b) Các đường thẳng , cắt nhau tại P. Chứng minh rằng đường thẳng AP luôn đi qua một điểm cố định khi A thay đổi.
Câu 5a. (2,0 điểm) Chứng minh rằng vuông góc với .
(Vẽ hình đúng phục vụ câu a được 0,25
Không có hình vẽ hoặc vẽ hình sai thì không cho điểm câu đó)
Gọi là đỉnh thứ tư của hình vuông .
Xét  :  ;
Suy ra  :
Do  ; nên .
Câu 5b. (3,0 điểm) Các đường thẳng , cắt nhau tại P. Chứng minh rằng đường thẳng AP luôn đi qua một điểm cố định khi A thay đổi.
(Vẽ hình đúng phục vụ câu b được 0,25
Không có hình vẽ hoặc vẽ hình sai thì không cho điểm câu đó)
Gọi
Vì nên .
Do đó, tứ giác BDAM nội tiếp.
Suy ra .
Suy ra thuộc đường tròn ngoại tiếp hình vuông BCFG.
Gọi . Chứng minh tương tự ta có .
Suy ra thuộc đường tròn ngoại tiếp hình vuông BCFG.
Gọi T là giao điểm của tiếp tuyến tại F và tiếp tuyến tại G của đường tròn ngoại tiếp hình vuông BCFG .
Áp dụng định lý Pascal cho 6 điểm ta được A, P, T thẳng hàng.
Vậy đường thẳng AP luôn đi qua điểm T cố định.
6
Câu 6. (3,0 điểm) Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 3, biết số đó gồm 2022 chữ số lấy từ tập hợp .
Số các số tự nhiên , mỗi số gồm n chữ số lấy từ tập hợp là .
Gọi là số các số tự nhiên chia hết cho 3, mỗi số gồm n chữ số lấy từ tập hợp X.
Gọi là số các số tự nhiên không chia hết cho 3, mỗi số gồm n chữ số lấy từ tập hợp X. Ta có
Dễ thấy Ta tính như sau:
Giả sử A là số tự nhiên bất kì gồm n chữ số lấy từ tập hợp X, có các trường hợp sau:
1) Nếu A chia hết cho 3 thì ta viết thêm chữ số 3 hoặc chữ số 9 vào bên phải của A để được một số chia hết cho 3, gồm n+1 chữ số lấy từ tập hợp X.
2) Nếu A chia hết cho 3 dư 1 thì ta viết thêm chữ số 5 vào bên phải của A để được một số chia hết cho 3, gồm n+1 chữ số lấy từ tập hợp X.
3) Nếu A chia hết cho 3 dư 2 thì ta viết thêm chữ số 7 vào bên phải của A để được một số chia hết cho 3, gồm n+1 chữ số lấy từ tập hợp X.
Do đó thay , ta được
Ta có


Vậy số phải tính là
---------- HẾT ----------
.
onthicaptoc.com

onthicaptoc.com De thi HSG Toan 11 Quang Nam 21 22