onthicaptoc.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH QUẢNG NAM
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT
NĂM HỌC 2024 – 2025 ĐỢT 2
Môn thi: TOÁN 11 (chuyên)
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 07/3/2025 Mã đề: 001
Mã đề: 001
Câu 1 (3,0 điểm) Cho dãy số xác định bởi:
Chứng minh và tìm giới hạn của dãy số .
Câu 2. (3,0 điểm) Tìm tất cả các hàm liên tục trên thỏa mãn
.
Câu 3. (3,0 điểm)
a) Cho là số nguyên dương, đặt . Chứng minh .
b) Tìm tất cả các số nguyên tố thỏa mãn .
Câu 4. (5,0 điểm) Cho tam giác nhọn có đường cao và trực tâm Đường thẳng cắt đường tròn đường kính tại (nằm giữa và ). Đường thẳng cắt đường tròn đường kính tại (nằm giữa và ). Đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt tại điểm thứ hai là .
a) Chứng minh tứ giác nội tiếp và .
b) Chứng minh ba đường thẳng đồng quy.
Câu 5. (3,0 điểm) Lớp chuyên Toán 11T có 35 học sinh. Thầy giáo chủ nhiệm muốn tổ chức chương trình trải nghiệm gồm bốn chuyến đi khác nhau sao cho mỗi học sinh trong lớp phải tham gia ít nhất một chuyến đi.
a) Tính số cách để thầy giáo chủ nhiệm thực hiện chương trình trải nghiệm đó.
b) Nếu có thêm điều kiện: Với mỗi , trong chuyến đi thứ k phải có ít nhất một học sinh đã tham gia chuyến đi thứ thì thầy giáo chủ nhiệm có bao nhiêu cách thực hiện chương trình trải nghiệm đó.
Câu 6. (3,0 điểm) Cho là các số thực dương thỏa . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
---------- HẾT ----------
- Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Giám thị không giải thích gì thêm.
- Họ và tên thí sinh:......................................................; Số báo danh...........................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH QUẢNG NAM
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT
NĂM HỌC 2024 – 2025 ĐỢT 2
HDC CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM
MÔN: TOÁN LỚP 11 (CHUYÊN)

(Bản hướng dẫn này gồm 07 trang)
Câu
Nội dung
Điểm
1
Câu 1. (3,0 điểm) Cho dãy số xác định bởi:
Chứng minh và tìm giới hạn của dãy số .
3,0
Chứng minh (*) bằng PP quy nạp.
Thật vậy, với thì đúng.
Giả sử đúng với , tức là .
0,25
Ta cần chứng minh đúng với tức là .
0,25
Thật vậy, do hàm số đồng biến trên và nên (chú ý )
0,5
Mà

Do đó .
0,5
0,5
Nhận xét
0,5
Tính được và kết luận dãy số có giới hạn bằng 1.
0,5
2
Câu 2. (3,0 điểm) Tìm tất cả các hàm liên tục trên thỏa mãn .
3,0
Ta giả sử tồn tại hàm số thỏa yêu cầu đề bài nên ta gọi là một hằng số
0,25
Ta được
0,5
+ Từ (1) thay ta được
0,25
Thay ta được
0,25
+ Gọi hàm số thì
0,25
+ Xét

0,5
(3)
(4)
0,25
Từ (2), (3), (4) suy ra
0,25
Suy ra với tùy ý.
Suy ra với là hằng số tùy ý.
0,25
Thử lại thỏa yêu cầu đề bài
0,25
3
Câu 3. (3,0 điểm)
a.
a) (1 điểm) Cho là số nguyên dương, đặt .
Chứng minh .
1,0
Biến đổi

0,25
0,25
0,25
Vậy .
0,25
b.
Câu 3.
b) (2 điểm) Tìm tất cả các số nguyên tố thỏa mãn
2,0
Nhận thấy vế phải là nguyên dương nên hai số là hai số chính phương. Ta đặt
0,25
Suy ra , vì là nguyên tố nên và
suy ra
0,25
chứng minh tương tự ta được ,
thay vào biểu thức ban đầu suy ra
0,25
Khi đó khác nhau về tính chẵn lẻ nên , ta xét 2 trường hợp sau.
* Với ta có và , ,
Nếu thì xét lần lượt thử vào thấy vô lý vì là số nguyên tố.
0,5
Suy ra , thử lại ta được bộ số thỏa mãn.
Nên .
0,25
* Với , từ , , tương tự như trên ta cũng suy ra .
Nên
0,5
Vậy có 2 bộ số
Câu
Nội dung
Điểm
4
Câu 4. (5,0 điểm) Cho tam giác nhọn có đường cao và trực tâm Đường thẳng cắt đường tròn đường kính tại (nằm giữa và ). Đường thẳng cắt đường tròn đường kính tại (nằm giữa và ). Đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt tại điểm thứ hai là .
a) Chứng minh tứ giác nội tiếp và .
b) Chứng minh ba đường thẳng đồng quy.
5,0
a.
a) Chứng minh tứ giác nội tiếp và .
2,0

0,25
Ta có và
nên
Suy ra tứ giác nội tiếp.
0,75
Từ giả thiết ta có AB, AC lần lượt là đường trung trực của EF, MN suy ra A là tâm của đường tròn (MENF).
0,5
Do đó .
0,5
b.
Câu 4.
b) Chứng minh ba đường thẳng đồng quy.
3,0
Vì tứ giác nội tiếp nên (1).
Trong (MEPK) ta có và trong (ABKE) ta có nên (2)
0,5
Từ (1), (2) và ta được , do đó P, M, F thẳng hàng.
0,25
Tương tự như trên, ta cũng chứng minh được thẳng hàng
0,25
Ta có và .
Do đó
Suy ra các điểm cùng thuộc một đường tròn
0,25
0,5
Hai đường tròn có trục đẳng phương là ; hai đường tròn có trục đẳng phương là ; hai đường tròn có trục đẳng phương là , khi đó ba đường thẳng đồng qui tại một điểm, gọi điểm đó là T.

0,5
Xét tam giác , ta có nên .
0,25
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác với cát tuyến ta có

Do đó .
0,25
Áp dụng định lý Ceva cho tam giác suy ra ba đường thẳng đồng quy.
0,25
5
Câu 5. (3,0 điểm)
Lớp chuyên Toán 11T có 35 học sinh. Thầy giáo chủ nhiệm muốn tổ chức cho lớp này chương trình trải nghiệm gồm bốn chuyến đi khác nhau sao cho mỗi học sinh trong lớp phải tham gia ít nhất một chuyến đi.
a) Tính số cách để thầy giáo chủ nhiệm thực hiện chương trình trải nghiệm đó.
b) Nếu có thêm điều kiện: Với mỗi , trong chuyến đi thứ k phải có ít nhất một học sinh đã tham gia chuyến đi thứ thì thầy giáo chủ nhiệm có bao nhiêu cách thực hiện chương trình trải nghiệm đó.
3,0
a) Tính số cách để thầy giáo chủ nhiệm thực hiện chương trình trải nghiệm đó.
1.0 điểm
a) Thầy giáo chủ nhiệm có thể cho các học sinh lớp 11T dăng kí tham gia chương trình trải nghiệm bằng các phiếu đăng kí dạng , trong đó với mỗi thì
nếu học sinh tham gia chuyến đi thứ i.
nếu học sinh không tham gia chuyến đi thứ i.
0,5
Vì mỗi học sinh trong lớp phải tham gia ít nhất một chuyến đi nên mỗi học sinh có cách đăng kí khác nhau.
Như vậy có thể có cách thực hiện chương trình trải nghiệm.
0,5
b) Nếu có thêm điều kiện: Với mỗi , trong chuyến đi thứ k phải có ít nhất một học sinh đã tham gia chuyến đi thứ thì thầy giáo chủ nhiệm có bao nhiêu cách thực hiện chương trình trải nghiệm đó.
2.0 điểm
Gọi là tập hợp những đăng kí mà không có học sinh nào tham gia cả hai chuyến đi thứ và thứ (với ) .
Trong tập hợp không có 4 loại phiếu đăng kí dạng nên
Tương tự, ta có
0,5
Trong tập hợp không có 4 loại phiếu đăng kí dạng và 2 loại phiếu đăng kí dạng nên .
Tương tự, ta có
Trong tập hợp không có 4 loại phiếu đăng kí dạng và các loại phiếu đăng kí nên .
0,5
Tập hợp có đúng 7 loại phiếu đăng kí là , nên .
0,5
Do đó

= .
0,25
Vậy số cách thực hiện chương trình trải nghiệm là
.
0,25
6
Câu 6. (3,0 điểm) Cho là các số dương thỏa . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
3,0
Ta biến đổi


0,5
Đặt điều kiện là và khi đó
0,5
Chứng minh được BĐT : (1)
1,5
Vậy
GTNN của T bằng -3 xảy ra khi hay .
0,5
Chứng minh bất đẳng thức (1):
Ta chứng minh rằng bằng biến đổi tương đương chuyển vế, quy đồng ta được biểu thức
Theo BĐT AM – GM suy ra .
0,5
0,5
0,5
---------- HẾT----------
* Lưu ý: Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong HDC nhưng đúng thì vẫn cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định.
onthicaptoc.com

onthicaptoc.com De thi HSG Toan 11 chuyen Quang Nam 24 25