onthicaptoc.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH QUẢNG NAM
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT
NĂM HỌC 2023 – 2024 ĐỢT 2
Môn thi: TOÁN 10 (CHUYÊN)
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Khóa thi ngày: 15/3/2024
Câu 1. (3,0 điểm)
Giải hệ phương trình .
Câu 2. (3,0 điểm)
Tìm tất cả các hàm xác định trên tập số thực thoả mãn điều kiện và với mọi số thực .
Câu 3. (3,0 điểm)
a) Cho là hai số nguyên dương phân biệt bất kỳ, chứng minh rằng tích số không phải là lũy thừa nguyên dương của .
b) Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình .
Câu 4. (5,0 điểm)
Cho hai đường tròn và với , cắt nhau tại và sao cho . Đường thẳng cắt đường tròn tại và cắt đường tròn tại sao cho các điểm nằm trên đường thẳng theo thứ tự đó. Tia cắt đường tròn tại (khác ) và cắt đoạn thẳng tại . Tia cắt đường tròn tại (khác ) và cắt đoạn thẳng tại .
a) Chứng minh ba điểm thẳng hàng.
b) Tính theo .
Câu 5. (3,0 điểm)
Có tất cả bao nhiêu cách lấy cùng lúc ba thẻ từ hộp đựng thẻ được ghi số từ đến sao cho các số ghi trên ba thẻ đó là độ dài ba cạnh của một tam giác?
Câu 6. (3,0 điểm)
Cho ba số thực dương . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
---------- HẾT ----------
- Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
- Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.
- Họ và tên thí sinh:......................................................; Số báo danh...........................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH QUẢNG NAM
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT
NĂM HỌC 2023 – 2024 ĐỢT 2
HDC CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM
MÔN: TOÁN LỚP 10 (CHUYÊN)

(Bản hướng dẫn này gồm 06 trang)
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 1. (3,0 điểm) Giải hệ phương trình
3.0
Điều kiện: .
0.25
0.5
Thay (3) vào (2) ta được:


0.5

0.5
Với , thay vào (3): (vô nghiệm).
0.5
Với , thay vào (3): (thỏa mãn điều kiện).
0.5
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: .
0.25
Câu 2. (3,0 điểm) Tìm tất cả các hàm xác định trên tập số thực thoả mãn điều kiện và với mọi số thực .
3.0
Xét phương trình: (1)
Thay vào (1) ta được: .
0.5
Đặt và , phương trình (1) viết lại:
(2)
0.5
Với mọi , (3)
0.5
Thay vào (3) ta được:
0.5
Do đó . Do nên .
0.5
Thử lại, hàm thỏa mãn điều kiện đề cho.
Vậy hàm cần tìm là .
0.5
Câu 3. (3,0 điểm)
a) Cho là hai số nguyên dương phân biệt bất kỳ, chứng minh rằng tích số không phải là lũy thừa nguyên dương của .
1.0
Giả sử tồn tại hai số nguyên dương phân biệt để là lũy thừa nguyên dương của . Khi đó tồn tại .
Từ đó:

0.25
Do đó:
0.25
Ta có:

là lũy thừa nguyên dương bé nhất của đồng dư nên
0.25
Vì nên từ (2) suy ra , mâu thuẫn với (1).
Vậy tích số không phải là lũy thừa nguyên dương của , với hai số nguyên dương phân biệt bất kỳ.
0.25
b) Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình .
2.0
Nếu thì , nếu thì .
0.5
Ta xét trường hợp cả và đều khác .
Trường hợp 1:
- Nếu và thì .
Với (thỏa ) thì , PT này không có nghiệm nguyên.
- Nếu và thì (1)
Mặt khác , mâu thuẫn với (1).
0.5
Trường hợp 2:
Khi đó , suy ra .
0.25
+ Nếu thì được phương trình: ,
PT này không có nghiệm nguyên.
+ Nếu thì
(mâu thuẫn với ).
0.5
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm nguyên là: và .
0.25
Câu 4. (5,0 điểm) Cho hai đường tròn và với , cắt nhau tại và sao cho . Đường thẳng cắt đường tròn tại và cắt đường tròn tại sao cho các điểm nằm trên đường thẳng theo thứ tự đó. Tia cắt đường tròn tại (khác ) và cắt đoạn thẳng tại . Tia cắt đường tròn tại (khác ) và cắt đoạn thẳng tại .
a) Chứng minh ba điểm thẳng hàng.
2.0
Hình vẽ đúng cho 0,5 điểm
0.5
0.5
Ta có: ,
0.5
Do đó: (do tứ giác nội tiếp nên ). Suy ra thẳng hàng.
0.5
b) Tính theo .
3.0
Chứng minh tương tự câu a) ta được: thẳng hàng.
Áp dụng định lý Menelaus vào tam giác và đường thẳng , ta được
(1)
0.5
Áp dụng định lý Menelaus vào tam giác và đường thẳng , ta được
(2)
0.5
Từ (1) và (2) suy ra (3)
0.5
Ta có: , mà nên .
Ta có: .
(do các tứ giácvà nội tiếp).
0.5
Do đó nội tiếp, suy ra .
0.5
(4)
Thay (4) vào (3) ta được
0.5
Câu 5. (3,0 điểm) Có tất cả bao nhiêu cách lấy cùng lúc ba thẻ từ hộp đựng thẻ được ghi số từ đến sao cho các số ghi trên ba thẻ đó là độ dài ba cạnh của một tam giác?
3.0
Gọi là số ghi trên 3 thẻ được lấy ra thỏa yêu cầu bài toán.
Đặt .
Ta thấy: và khi thì .
Số cách lấy thỏa mãn yêu cầu bài toán là .
0.5
Trường hợp 1: là số chẵn, .
+ Xét khi đó . Từ .
Suy ra . Số cách chọn là: .
+ Xét , khi đó (thỏa điều kiện).
Suy ra . Số cách chọn là: .
0.5
Vậy với thì
.
0.5
Trường hợp 2: là số lẻ, .
+ Xét khi đó . Từ .
Suy ra . Số cách chọn là: .
+ Xét , khi đó (thỏa điều kiện).
Suy ra . Số cách chọn là: .
0.5
Vậy với thì
.
0.5
Vậy tổng tất cả các cách lấy ba thẻ thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

0.5
Câu 6. (3,0 điểm) Cho các số thực dương . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
3.0
Đặt , suy ra: và .
0.5
Khi đó
(do ).
0.5
Ta có:

Do đó

0.5
Áp dụng BĐT AM-GM cho ba số ta được:
(1)
0.5
Áp dụng BĐT AM-GM cho ba số ta được:
(2)
Đẳng thức ở (1) và (2) xảy ra khi .
0.5
Do đó và khi hay .
Vậy giá trị nhỏ nhất của bằng đạt được khi .
0.5
* Lưu ý:
Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong hướng dẫn chấm nhưng đúng thì vẫn cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định.
onthicaptoc.com

onthicaptoc.com De thi HSG Toan 10 Chuyen Quang Nam 23 24