onthicaptoc.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH QUẢNG NAM
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT ĐỢT 2
NĂM HỌC 2022-2023
Môn thi: TOÁN LỚP 10 (CHUYÊN)
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Ngày thi: 15/3/2023
Câu 1. (3,0 điểm)
Giải phương trình sau .
Câu 2. (3,0 điểm)
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng
.
Câu 3. (3,0 điểm)
Cho là số thực, tìm tất cả các hàm đơn điệu thỏa mãn
.
Câu 4. (3,0 điểm)
a) Chứng minh rằng số không phải là số chính phương.
b) Cho đa thức với hệ số nguyên và xác định trên tập số thực . Chứng minh rằng phương trình có số nghiệm nguyên không lớn hơn 2026.
Câu 5. (5,0 điểm).
a) Cho là tam giác nhọn, là điểm bất kỳ trên cạnh thỏa . Trên các cạnh lần lượt lấy các điểm sao cho . Gọi lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác . Gọi là trực tâm của tam giác . Chứng minh tứ giác nội tiếp.
b) Cho tam giác nhọn có đường cao . Gọi điểm D trên cạnh thỏa , điểm di động trên đoạn . Gọi là giao điểm của và , là giao điểm của và . Chứng minh rằng điểm thuộc đường thẳng cố định.
Câu 6. (3,0 điểm)
Cho đa giác đều cạnh . Gọi lần lượt là số tam giác và số tứ giác lập ra từ các đường chéo của đa giác đều đã cho. Tìm biết .
---------- HẾT ----------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu, không được sử dụng máy tính cầm tay.
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:...................................................................; Số báo danh:..............
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH QUẢNG NAM
KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT ĐỢT 2
NĂM HỌC 2022 – 2023
HDC CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM
MÔN: TOÁN 10

(Bản hướng dẫn này gồm 06 trang)
Nội dung
Điểm
Câu 1. (3,0 điểm) Giải phương trình sau
3,0
Cách 1
Điều kiện:
1,0
Bình phương hai vế ta được
1,0
Thử lại:
Loại nghiệm .
Nhận 2 nghiệm .
0,5
0,5
Cách 2
Điều kiện:

0,5

1,0

0,5
Phương trình
0,5
Xét phương trình còn lại vô nghiệm.
Tập nghiệm của phương trình đã cho là

0,5
Câu 2. (3,0 điểm)
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng
.
3,0
Ta có:
0,5
nên
tương tự ; .
BĐT trở thành
0,5
Đặt , ta được BĐT

1,0
Ta có , ,
0,5
suy ra:
Đẳng thức xảy ra khi , điều này là không thể.
Vậy hay
.
0,5
Nội dung
Điểm
Câu 3. (3,0 điểm)
Cho là số thực, tìm tất cả các hàm đơn điệu thỏa mãn .
3,0
Giả sử tồn tại hàm thỏa yêu cầu đề bài,
đơn điệu trên nên là hàm số đơn ánh.
0,25
Xét ,

Hàm số không thỏa yêu cầu hàm số đơn điệu.
0,25
0,25
Xét
Thay ta có suy ra
0,25
do đó và .
0,5
Từ phương trình ban đầu thay bởi ta được
.
0,5
Suy ra là hàm cộng tính, hơn nữa đơn điệu nên (c là hằng số).
0,25
Kết hợp biểu thức và ta được

0,25
Thử lại thỏa mãn yêu cầu của đề.
0,5
Câu 4. (3,0 điểm)
a) Chứng minh rằng số không phải là số chính phương.
1,0
Ta có

0,25
Với ta có

0,5
Vì là hai số chính phương liên tiếp, nên giữa chúng không tồn tại số chính phương nào.
Vậy không phải số chính phương.
0,25
b) Cho đa thức với hệ số nguyên và xác định trên tập số thực . Chứng minh rằng phương trình có số nghiệm nguyên không lớn hơn 2026.
2,0
với

0,25
Gọi là nghiệm nguyên phân biệt của phương trình ,
và là nghiệm nguyên phân biệt của phương trình .
Khi đó với mọi
0,25
Giả sử m + n > 2026. Vì nên .
Do đó tồn tại các nghiệm nguyên thỏa mãn .
0,5
Các nghiệm nói trên thỏa mãn:

Suy ra
0,25
Vì với mọi nên từ (1) suy ra , điều này mâu thuẫn với .
Do đó . Vậy phương trình có số nghiệm nguyên không lớn hơn 2026.
0,5
0,25
Câu 5. (5,0 điểm)
a) Cho là tam giác nhọn, là điểm bất kỳ trên cạnh thỏa . Trên các cạnh lần lượt lấy các điểm sao cho . Gọi lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác . Gọi là trực tâm của tam giác . Chứng minh tứ giác nội tiếp.
2,0
0,25
Do các tam giác lần lượt cân tại nên .
0,5
Ta có: .
0,5
Vì là trực tâm của nên .
0,5
Suy ra: . Vậy tứ giác nội tiếp.
0,25
b) Cho tam giác nhọn có đường cao . Gọi điểm D trên cạnh thỏa mãn , điểm di động trên đoạn . Gọi là giao điểm của và , là giao điểm của và . Chứng minh rằng điểm thuộc đường thẳng cố định.
3,0

Gọi H là giao điểm của DI và cạnh BC.
Ta có 3 đường thẳng đồng quy trong tam giác DKC là DH, KE, FC, theo định lý Ceva ta được .
1,0
Ba điểm thẳng hàng B, E, F, theo định lý Menelaus ta được .
Nhân (1) với (2) vế theo vế ta được
1,0
0,5
suy ra nên DH cố định.
Vậy I thuộc đoạn thẳng cố định.
0,5
Nội dung
Điểm
Câu 6. (3,0 điểm)
Cho đa giác đều cạnh . Gọi lần lượt là số tam giác và số tứ giác lập ra từ các đường chéo của đa giác đều đã cho. Tìm biết .
3,0
Gọi số đỉnh của đa giác đều cạnh lần lượt là .
Số tam giác có 3 cạnh là 3 đường chéo của đa giác là

1,0
Xét tứ giác có 4 cạnh là 4 đường chéo của đa giác và có 1 đỉnh là :
Khi đó không phải là đỉnh của tứ giác. Ta cần chọn thêm các đỉnh thỏa mãn: (vì 2 đỉnh của tứ giác không phải là 2 đỉnh kề nhau của đa giác).
Mỗi cách chọn bộ 3 đỉnh như trên là 1 cách chọn bộ 3 số phân biệt trong số tự nhiên từ đến .
Do đó có tứ giác có đỉnh thỏa yêu cầu bài toán.
0,5
0,25
Vì đa giác có đỉnh và mỗi tứ giác được đếm lặp lại 4 lần (theo cách đếm trên) nên số tứ giác có thể lập được từ các đường chéo của đa giác đã cho là

0,5
Theo giả thiết:
.
0,5
Đối chiếu giả thiết chọn n = 10.
0,25
* Lưu ý:
Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong hướng dẫn chấm nhưng đúng thì vẫn cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định.
onthicaptoc.com

onthicaptoc.com De thi HSG Toan 10 chuyen Quang Nam 22 23