onthicaptoc.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
TỈNH QUẢNG NAM

(Đề gồm có 01 trang)
KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT
NĂM HỌC 2021-2022
Môn thi : TOÁN 10 (CHUYÊN)
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Ngày thi : 22/3/2022
Câu 1. (3,0 điểm)
Giải hệ phương trình sau

Câu 2. (3,0 điểm)
Cho ba số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Câu 3. (3,0 điểm)
Tìm tất cả các hàm đơn điệu thỏa mãn
Câu 4. (3,0 điểm)
Tìm tất cả các số tự nhiên có hai chữ số (với ), biết rằng tổng tất cả các chữ số nguyên từ a đến b bằng .
Câu 5. (5,0 điểm)
1) Cho tam giác ABC có ba cạnh thỏa mãn Chứng minh nhọn và
2) Cho tam giác ABC (AB < AC, tù) có đường cao AH, tia phân giác trong góc A là Ax. Gọi (O1) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABH, (O2) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ACH.
a) Trên tia Ax lấy điểm D nằm ngoài hai đường tròn (O1), (O2). Hai đường thẳng DB, DC lần lượt cắt (O1), (O2) tại điểm thứ hai là K và L. Đường thẳng vuông góc với AD tại A cắt hai đường tròn (O1), (O2) lần lượt tại điểm thứ hai là E và F. Chứng minh tứ giác EFLK nội tiếp đường tròn.
b) Đường thẳng d tiếp xúc với hai đường tròn (O1), (O2) lần lượt tại P, Q. Các tiếp tuyến tại P, Q của đường tròn ngoại tiếp tam giác HPQ cắt nhau tại N. Lấy điểm M đối xứng với A qua PQ. Chứng minh H, M, N thẳng hàng.
Câu 6. (3,0 điểm)
Trong hình vuông có cạnh bằng 1, ta đặt một số đường tròn mà tổng chu vi của chúng bằng 2022. Chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng có điểm chung với ít nhất 644 đường tròn trong các đường tròn này.
---------- HẾT ----------
* Thí sinh không được sử dụng tài liệu, không được sử dụng máy tính cầm tay.
* Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:.......................................................................; Số báo danh:..........................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH QUẢNG NAM
KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT
NĂM HỌC 2021 - 2022
HDC CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM
MÔN: TOÁN 10 (CHUYÊN)

(Bản hướng dẫn này gồm 06 trang)
Nội dung
Điểm
Câu 1 (3,0) Giải hệ phương trình sau
3,0
Điều kiện:

- Nhận xét: không thỏa hệ
- Xét



Khi đó phương trình còn lại trở thành:



*
Với thì
*
Với thì
Đối chiếu với điều kiện, tập nghiệm của hệ phương trình đã cho là

Câu 2. (3,0 điểm)
Cho ba số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3,0
+ Ta có:

Tương tự suy ra:


mà

Tương tự suy ra:
Ta có:, ,

(1)
mà: hay hay (2)
Lấy (1) cộng (2) vế theo vế

Suy ra , dấu bằng xảy ra khi
Vậy khi
Nội dung
Điểm
Câu 3. (3,0 điểm)
Tìm tất cả các hàm đơn điệu thỏa mãn
3,0
Vì là hàm đơn điệu nên là hàm đơn ánh.
+ Thay ta có
Thay ta có hay
+ Thay bởi ta có :

(vì là hàm đơn ánh).
là hàm cộng tính.
Hơn nữa đơn điệu nên (k là hằng số).
+ Thay biểu thức vào hệ thức ta được


+ Kiểm tra thỏa mãn yêu cầu của đề.
Câu 4. (3,0 điểm)
Tìm tất cả các số tự nhiên có hai chữ số (với ), biết rằng tổng tất cả các chữ số nguyên từ a đến b bằng .
3,0
Theo đề ta có
Nên a ≤ 4.
Ta xét các trường hợp sau:
+ Nếu a = 4 và thì mâu thuẩn.!
( hoặc suy ra , mà 4 + 5 khác 45 nên TH này không xảy ra)
+ Nếu a = 3 thì .
Suy ra
Mà ta có
nên (b - 1)b = 66, phương trình này không có nghiệm
0,5
+ Nếu a =2 thì suy ra
Khi đó (b – 1)b = 42, suy ra b = 7, ta có nghiệm .
+ Nếu a =1 thì suy ra .
Khi đó ta có (b – 1)b = 20, suy ra b = 5, ta có nghiệm .
Vậy có hai số tự nhiên thỏa đề là 27 và 15.
Câu 5. (5,0 điểm)
1) Cho tam giác ABC có ba cạnh thỏa mãn Chứng minh nhọn và
1,5
Ta có



Suy ra là góc nhọn.



Vậy .
2) Cho tam giác ABC (AB < AC, tù) có đường cao AH, tia phân giác trong góc A là Ax. Gọi (O1) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABH, (O2) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ACH.
c) Trên tia Ax lấy điểm D nằm ngoài hai đường tròn (O1), (O2). Hai đường thẳng DB, DC lần lượt cắt (O1), (O2) tại điểm thứ hai là K và L. Đường thẳng vuông góc với AD tại A lần lượt cắt hai đường tròn (O1), (O2) tại điểm thứ hai là E và F. Chứng minh tứ giác EFLK nội tiếp đường tròn.
d) Đường thẳng d tiếp xúc với hai đường tròn (O1), (O2) lần lượt tại P, Q. Các tiếp tuyến tại P, Q của đường tròn ngoại tiếp tam giác HPQ cắt nhau tại N. Lấy điểm M đối xứng với A qua PQ. Chứng minh H, M, N thẳng hàng.
3,5
Hình vẽ câu a) (0,25 điểm)
Hình vẽ câu b) (0,25 điểm)
a) Chứng minh tứ giác EFLK nội tiếp
Ta có
Mà tứ giác AKDL nội tiếp đường tròn đường kính AD có AE là tiếp tuyến
Nên
Suy ra .
Vậy tứ giác EFLK nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh H, M, N thẳng hàng
+ Gọi I là giao điểm của PQ và AH.
Ta có .
Suy ra tứ giác HPMQ nội tiếp đường tròn. (1)
+ Chứng minh hai tam giác IPA và IHP đồng dạng, suy ra được
+ Chứng minh hai tam giác IQA và IHQ đồng dạng, suy ra được
Suy ra (2)
Từ (1) và (2) suy ra HPMQ là tứ giác điều hòa.
Do đó N nằm trên đường chéo HM, hay ba điểm H, M, N thẳng hàng.
Nội dung
Điểm
Câu 6. (3,0 điểm)
Trong hình vuông có cạnh bằng 1, ta đặt một số đường tròn mà tổng chu vi của chúng bằng 2022. Chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng có điểm chung với ít nhất 644 đường tròn trong các đường tròn này.
3,0
+ Gọi các đường tròn là với bán kính tương ứng là (là số nguyên dương)
+ Với mỗi đường tròn , ta dựng đường kính song song với cạnh AB của hình vuông, sau đó chiếu theo phương vuông góc với cạnh AB lên cạnh AB, ta thu được hình chiếu tương ứng của đường kính này trên cạnh AB, có độ dài bằng đường kính bằng .
+ Do tổng chu vi các đường tròn bằng 2022 nên

Theo nguyên lý Đirichlet thì trong các hình chiếu trên cạnh AB của các đường kính nói trên tồn tại hình chiếu có chung ít nhất một điểm, gọi I là một trong các điểm chung đó
Khi đó, đường thẳng qua I và vuông góc với AB có điểm chung với ít nhất 644 đường tròn.
* Lưu ý:
Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong HDC nhưng đúng thì vẫn cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định.
onthicaptoc.com

onthicaptoc.com De thi HSG Toan 10 chuyen Quang Nam 21 22