SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT ĐỒNG ĐẬU
Đề thi có 02 trang
ĐỀ THI HSG LẦN 2 CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2020-2021
MÔN TOÁN 11
Thời gian làm bài:180 phút,không kể thời gian phát đề
Câu 1( 2,0 điểm). Giải phương trình sau: 3cos2x + 2sin( – x) – 5 = 0
Câu 2( 2,0 điểm). Với n là số nguyên dương thỏa mãn: . Tìm số hạng không chứa x trong khai triển:
Câu 3( 2,0 điểm). Cho dãy số (un) xác định như sau:
Tìm
Câu 4 ( 2,0 điểm). Giải hệ phương trình
Câu 5 ( 2,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân (AD // BC), BC = 2a, AB = AD = DC = a (a > 0). Mặt bên SBC là tam giác đều. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Biết SD vuông góc với AC. Mặt phẳng đi qua điểm M thuộc đoạn thẳng OD ( M khác O và D) và song song với đường thẳng SD và AC. Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng biết MD = x. Tìm x để diện tích thiết diện lớn nhất.
Câu 6 ( 2,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho hình chữ nhật ABCD, có đỉnh , đỉnh C nằm trên đường thẳng . Trên tia đối của tia CD lấy điểm E sao cho , biết là hình chiếu vuông góc của D lên đường thẳng BE. Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình chữ nhật ABCD.
Câu 7 (2,0 điểm). Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Trên các đoạn thẳng AD’ và C’D lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho đường thẳng MN song song với đường thẳng nối tâm của hình bình hành ABB’A’ và trung điểm của cạnh BC. Tính tỷ số .
Câu 8 (2,0 điểm). Cho dãy số {1; 2; 3;…; 2019} có bao nhiêu cách chọn ba số a,b,c khác nhau từ dãy số để ba số đó lập thành cấp số cộng.
Câu 9 (2,0 điểm). Một thợ thủ công muốn vẽ trang trí trên một hình vuông kích thước, bằng cách vẽ một hình vuông mới với các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình vuông ban đầu, và tô kín màu lên hai tam giác đối diện:(như hình vẽ). Quá trình vẽ và tô theo qui luật đó được lặp lại 5 lần. Tính số tiền nước sơn để người thợ thủ công đó hoàn thành trang trí hình vuông như trên?. Biết tiền nước sơn để sơn là 50.000đ.
Câu 10 (2,0 điểm). Cho là các số thực dương thoả mãn . Chứng minh bất đẳng thức
.
---------------------Hết------------------
Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT ĐỒNG ĐẬU
Có 04 trang
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG LẦN 1 CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2018-2019 MÔN TOÁN 10
Câu
Nội dung đáp án
Điểm
Câu 1
Giải phương trình sau: 3cos2x + 2sin( – x) – 5 = 0
2,0 điểm
Phương trình đã cho tương đương với 3cos2x + 2cosx – 5 = 0
0,5
⇔ 6cos2x + 2cosx – 8 = 0
0,5
⇔
0,5
cosx = 1 ⇔ x = k2 , k ZPhhương trình có một họ nghiệm
0,5
Câu 2
Với n là số nguyên dương thỏa mãn: . Tìm số hạng không chứa x ttrong khai triển:
2,0 điểm
Ta có: ⇔ n = 10
0,75
Xét số hạng Tk+1 = =
0,25
Khai triển không chứa x ứng với 30 – 5k = 0 ⇔ k = 6
0,5
Số hạng cần tìm T7 =
0,5
Câu 3
Cho dãy số (un) xác định như sau:
Tìm
2,0 điểm
Ta có : . Suy ra dãy (un )tăng.
0,25
- Giả sử có giới hạn là a thì : (vô lý)
nên limun =
0,75
- ta có :
0,5
Vậy : .
0,5
Câu 4
Giải hệ phương trình
2,0 điểm
Từ
0,75
TH1: x = y thế vào pt :
0,5
TH2: x = 1
0,5
Vậy nghiệm của hệ (1;1),
0,25
Câu 5
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân (AD // BC), BC = 2a, AB = AD = DC = a (a > 0). Mặt bên SBC là tam giác đều. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Biết SD vuông góc với AC. Mặt phẳng đi qua điểm M thuộc đoạn thẳng OD ( M khác O và D) và song song với đường thẳng SD và AC. Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng biết MD = x. Tìm x để diện tích thiết diện lớn nhất.
2,0 điểm
Từ M kẻ hai đường thẳng lần lượt song song với SD, AC chúng cắt theo thứ tự SB tại Q và AB tại G, AC tại N. Từ G kẻ đường thẳng song song SD, cắt SA tại E,từ N kẻ đường thẳng song song với SD cắt SC tại P. Ta được thiết diện là ngũ giác GNPQE.
0,25
Gọi I là trung điểm của BC . Tứ giác ADIC là hình thoi, suy ra AC ID. Suy ra
AC (SID) . Suy ra SI (ABCD). Ta có:
0,25
Ta tính được nên tính được ,
0,75
Tứ giác EGMQ và MNPQ là hai hình thang vuông đường cao lần lượt là GM và NM nên
0,5
Max tại
0,25
Câu 6
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho hình chữ nhật ABCD, có đỉnh , đỉnh C nằm trên đường thẳng . Trên tia đối của tia CD lấy điểm E sao cho , biết là hình chiếu vuông góc của D lên đường thẳng BE. Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình chữ nhật ABCD.
2,0 điểm
Tứ giác ADBN nội tiếp và (do ABCD là hình chữ nhật). Suy ra hay tứ giác ANCD nội tiếp được một đường tròn, mà
0,75
Giả sử , từ
0,25
Tứ giác ABEC là hình bình hành, suy ra
Đường thẳng NE qua N và song song với AC nên có phương trình
0,25
Giả sử , ta có
0,5
Từ đó dễ dàng suy ra
0,25
Câu 7
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Trên các đoạn thẳng AD’ và C’D lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho đường thẳng MN song song với đường thẳng nối tâm của hình bình hành ABB’A’ và trung điểm của cạnh BC. Tính tỷ số .
2,0 điểm
Gọi P là trung điểm của BC, Q là tâm của hình bình hành ABB’A’. Xét tam giác A’BC, ta có PQ là đường trung bình nên PQ || A’C suy ra MN ||A’C.
0,25
Đặt . Ta có
0,,75
. Do MN || A’C nên

0,75
Do đó . Vậy .
0,25
Câu 8
Cho dãy số {1; 2; 3;…; 2019} có bao nhiêu cách chọn ba số a,b,c khác nhau từ dẫy số để ba số đó lập thành cấp số cộng.
2,0 điểm
Gọi công sai là d ta có ba số a,b,c tương ứng là a, a + d, a + 2d nên c - a= 2d => c= a + 2d
0,25
Mỗi cách chọn a sẽ cho một bộ số thỏa mãn, theo đề bài có: c ≤ 2019 => a ≤ 2019 – 2d
0,25
Nếu d= 1 thì a ≤ 2017, vậy có 2017 cách chọn a, hay có 2017 cách chọn ba số a,b,c là CSC
Nếu d = 2 thì a ≤ 2015 => có 2015 cách chọn ba số a,b,c lập thành cấp số cộng
.......
Nếu d = 1009 thì a ≤ 1 nên có 1 cách chọn ba số a,b,c
1,0
Vậy số cách chọn ba số lập thành cấp số cộng là
2017 + 2015 + … + 1 = 1018081
0,5
Câu 9
Một thợ thủ công muốn vẽ trang trí trên một hình vuông kích thước, bằng cách vẽ một hình vuông mới với các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình vuông ban đầu, và tô kín màu lên hai tam giác đối diện:(như hình vẽ). Quá trình vẽ và tô theo qui luật đó được lặp lại 5 lần. Tính số tiền nước sơn để người thợ thủ công đó hoàn thành trang trí hình vuông như trên?. Biết tiền nước sơn để sơn là 50.000đ.
2,0 điểm
Gọi là tổng diện tích tam giác được tô sơn màu ở lần vẽ hình vuông thứ và S là diện tích hình vuông ban đầu.
Ta có:
1,0
Tổng diện tích cần sơn là :( )S = S = (m2)
0,75
Số tiền để người thợ thủ công đó hoàn thành trang trí hình vuông như trên là :
. 50000 = 387500đ
0,25
Câu 10
Cho là các số thực dương thoả mãn . Chứng minh bất đẳng thức
.
Ta có
0,75
Tương tự có ; .
0,25
Do đó, cộng theo vế các bất đẳng thức trên và sử dụng bất đẳng thức Schur cùng giả thiết ta được
Hay
0,5
Mặt khác
Từ và suy ra
Do vậy
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
0,5

onthicaptoc.com Đề thi HSG môn Toán lớp 11 năm 2020 2021 THPT Đồng Đậu có đáp án