TRƯỜNG THPT ĐỒNG ĐẬU
Số báo danh
………………………
…........................
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LẦN 2
NĂM HỌC: 2020 - 2021
Môn thi: TOÁN - Lớp 10 THPT
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi có 01 trang - gồm 10 câu
Câu 1. Tìm tập xác địnhcủa hàm số
Câu 2. Cho phương trình với là tham số.
a. Giải phương trình với
b. Khi phương trình có nghiệm thực duy nhất. Chứng minh rằng .
Câu 3. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên.
Tìm các giá trị nguyên của tham số để phương trình có 6 nghiệm phân biệt
Câu 4. Giải phương trình
Câu 5. Giải bất phương trình
Câu 6. Giải hệ phương trình:
Câu 7. Cho hình chữ nhật có , . Tính giá trị nhỏ nhất của độ dài vectơ , trong đó là điểm thay đổi trên đường thẳng .
Câu 8. Cho tam giác vuông tại , G là trọng tâm tam giác . Tính độ dài cạnh biết cạnh , và góc giữa hai véc tơ và là nhỏ nhất.
Câu 9. Cho tam giác cân tại , nội tiếp đường tròn tâm . Gọi là trung điểm của , là trọng tâm tam giác . Chứng minh rằng .
Câu 10. Với , hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
---------------------Hết------------------
Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT ĐỒNG ĐẬU
Có 06 trang
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG LẦN 2 CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2020-2021 MÔN TOÁN 10
Câu
Nội dung
Điểm
1
Tìm tập xác địnhcủa hàm số
2,0
Hàm số xác định khi và chỉ khi
Hoặc
0,5
.
0,5
0,5
Vậy tập xác định của hàm số là .
0,5
2
Cho phương trình với là tham số.
a, Giải phương trình với
b, Khi phương trình có nghiệm thực duy nhất. Chứng minh rằng .
2,0
a, với phương trình thành

0,5
0,5
b, Xét phương trình
Đặt khi đó và phương trình đã cho trở thành: .
Phương trình có nghiệm khi và thỏa mãn: và .
hay .

0,5
Nếu thì có nghiệm khi đó suy ra có hai nghiệm phân biệt, mâu thuẫn với giả thiết có nghiệm duy nhất.
Nếu thì phương trình có nghiệm khi đó điều kiện không được thỏa mãn.
Vậy .
0,5
3
2,0
Ta có:
.
0,5
Từ đồ thị hàm số ta suy ra đồ thị hàm số như sau:
0,5
+ Phương trình có hai nghiệm phân biệt
0,25
Để phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt thì phương trình phải có 4 nghiệm phân biệt
0,25
.
0,25
Kết hợp m là số nguyên nên .
0,25
4
Giải phương trình:
2,0
ĐKXĐ:
Ta có:
0,5
0,5
0,5
Vì nên (thỏa mãn).
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất .
0,5
5
Giải bất phương trình
2,0
Điều kiện xác định:
Bất phương trình tương đương:
0,5
0,5
0,5
Vậy nghiệm của bất phương trình là hoặc
0,5
6
Giải hệ phương trình:
2,0
Hệ đã cho
0,25
Ta thấy x = 0 không là nghiệm của hệ nên từ PT (*) đặt: ta được PT:
0,25
0,25
Khi t = 1 ta có:
0,5
Khi ta có:
0,5
Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm là
0,25
7
Cho hình chữ nhật có , . Tính giá trị nhỏ nhất của độ dài vectơ , trong đó là điểm thay đổi trên đường thẳng .
2,0
.
(trung điểm của ).

0,5
(với là trọng tâm ).
0,5
tại .
0,5
Vì cân tại , nên thuộc trung tuyến và (Khi ).
0,5
8
Cho tam giác vuông tại , G là trọng tâm tam giác . Tính độ dài cạnh biết cạnh , và góc giữa hai véc tơ và là nhỏ nhất.
2,0
Gọi lần lượt là trung điểm .
Gọi là góc giữa hai véc tơ và .
Ta có:
0,5

( Do )
0,5

(Theo công thức hình chiếu véc tơ)
.
0,5
Suy ra . Dấu bằng xảy ra khi .
Ta có góc nhỏ nhất khi lớn nhất bằng . Khi đó .
0,5
9
Cho tam giác cân tại , nội tiếp đường tròn tâm . Gọi là trung điểm của , là trọng tâm tam giác . Chứng minh rằng
2,0
Ta có:
0,5
Do đó:

0,5
(Vì cân tại có là tâm đường tròn ngoại tiếp nên )
0,5
Do đó (điều phải chứng minh)
0,5
10
Với , hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
2,0
Đặt ta được
0,5
Áp dụng BĐT Cô si, ta có .
0,5
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi .
0,5
Vậy khi
0,5
---------------------Hết------------------

onthicaptoc.com Đề thi HSG môn Toán lớp 10 năm 2020 2021 THPT Đồng Đậu có đáp án