SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 12 THPT
QUẢNG TRỊ Khóa ngày 03 tháng 10 năm 2017
Môn thi: TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1. (4,0 điểm)
4 2 2
Tìm m để đồ thị hàm số y x  2(m 2)x  m ( m tham số thực) có ba điểm cực
0
trị là ba đỉnh của một tam giác có một góc bằng 120 .
Câu 2. (5,0 điểm)
5 2
1. Giải phương trình x  4x 2x1 2(2x 1) 2x1 x .
2. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
 x y z
.
A x y z 6  
 
y z x
 
Câu 3. (6,0 điểm)
1. Cho hình chóp đều S.ABCD. Mặt phẳng (P) qua A vuông góc với SC cắt
SB 2
SB,SC,SD lần lượt tại B ,C , D . Biết rằng AB a,  và C nằm trên cạnh SC .
SB 3
a) Tính diện tích tứ giác AB C D .
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và B C .
2. Cho đường tròn (O) cắt các cạnh của tam giác ABC tại sáu điểm phân biệt
D, E, F,G, I, H sao cho D và E nằm trên BC , F và G nằm trên CA , I và H nằm
trên Chứng minh rằng nếu các đường thẳng đi qua vuông góc , qua
AB. D BC F
vuông góc CA , qua H vuông góc AB đồng quy thì các đường thẳng đi qua E vuông
góc BC , qua G vuông góc CA , qua I vuông góc AB đồng quy.
Câu 4. (3,0 điểm)
5x  4
*
n
1. Cho dãy số (x ) thỏa mãn x  5; x  ,n�.
n 1 n1
x  2
n
Tìm số hạng tổng quát của (x ) và tính lim x .
n n
4 3 2
2. Cho hàm số f  x x  ax  bx  cx d ( a,b,c,d là các số thực) thỏa mãn
f 10  f 14
   
f 1 100, f 2  200, f 3  300. Tính giá trị của biểu thức P  582 .
     
16
Câu 5. (2,0 điểm)
* k k 0 k1 1 0 k
Cho m,n,k ,m k . Chứng minh C  C C  C C ... C C .
mn1 m n m1 n1 mk nk
--------------------------Hết-------------------------
Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay và tài liệu.
Họ và tên thí sinh:……………………………………Số báo danh:………………………
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 12
QUẢNG TRỊ Khóa ngày 03 tháng 10 năm 2017
Môn thi: TOÁN
HƯỚNG DẪN CHẤM
(Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)
Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một phương án giải, học sinh làm đúng theo
phương án khác cho điểm tối đa theo ý câu đó.
Tổ chấm chỉ chi tiết biểu điểm chấm, không làm thay đổi thang điểm chấm của
từng câu.
Câu Đáp án Điểm
3
y  4x  4(m 2)x. 0, 25
x 0

y  0 . Hàm số có ba cực trị khi m2.

2
0,75
x  m 2

0, 5
x 0
Khi đó y  0

x m 2.

C1
0,5
4đ
Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là
2
A(0;m ), B( m 2;4m 4),C( m 2;4m 4).
0

0,5
Vì tam giác ABC cân đỉnh A nên BAC 120 . Gọi H là trung điểm của BC,
H (0;4m 4).
1 0,5
4 4
Ta có AB 2AH  m 2 (m 2)  4(m 2)  m2 .
3
3
1,0
1
0,5
Điều kiện: x . Đặt t 2x1, t 0.
2
5 5
0,5
Phương trình trở thành: x  x t  t (1).
C2
Ý1 5 4
0,5
Xét f (x) x  x, f (x) 5x 1 0,x. Do đó hàm số f (x) đồng biến trên �.
3đ
Từ (1) ta được x t. 0,5
x 0 1,0

Từ đó ta có x 2x1  x 1.

2
x  2x1 0

2
x x y x
0,5
3
Ta có    3  3x (do x, y, z 0 và xyz 1) .
y y z yz
y y z z z x x y z
C2 0,5
Tương tự    3y,    3z nên    x y z (1)
z z x x x y y z x
Ý2
Vì x y z 0 , và cùng với (1) ta có:
2đ
0,5
2
A x y z 6 x y z =9 x y z 3  9
    
Khi x y z1 A 9.Vậy giá trị trị lớn nhất của A bằng 9.
0,5
S
(P) / /BD (do cùng vuông góc với AC). Suy ra
B D / /BD  B D  AC .
0,5
Gọi G là giao điểm của AC và SO, theo định lý
B
C
SH SB 2
Thales ta có   .Nên G là trọng tâm 0,5
G
SO SB 3
D
B
C3
tam giác SAC. Vậy tam giác SAC là tam giác đều
A
O cạnh a 2.
Ý1
C
D
Tứ giác ABCD có 2 đường chéo vuông góc nên
4đ
có diện tích là
1,0
2
1 1 a 6 2 a 3
S  AC .B D  . . a 2 .
2 2 2 3 3
2. Vì AD / /(SBC) nên d(AD, B C ) d(AD,(SBC))
1,0
 d(A,(SBC)) 2d(O,(SBC)) 2h.
Tứ diện O.SBC có OS,OB,OC vuông góc nhau từng đôi một tại O nên
1,0
1 1 1 1 14 a 42
Vậy
    . d(AD, B C ) 2h .
2 2 2 2 2
h SO OB OC 3a 7
2. Gọi các đường thẳng qua D, E lần lượt 0, 5
vuông góc BC là x và x; tương tự y và y;
z và z. Gọi D là giao điểm thứ 2 của x
với (O).
C3
Ta có: x//x và O là trung điểm DE (vì 0,5
0

Ý2
EDD  90 ).
2đ
Xét phép đối xứng tâm Đ biến D thành 0,5
o
E nên biến x thành x.
Tương tự Đ biến y, z lần lượt thành y,
o
0,5
z.
Vì x, y, z đồng quy nên x, y, z đồng
quy.
*
Dễ thấy x  0,n .
n
0,25
5x  4 x  4 5x  4 6(x 1)
n1 n1 n1 n1
x  4  4 ; x 1 1
0,25
n n
x  2 x  2 x  2 x  2
n1 n1 n1 n1
C4
x  4 1 x  4 1 x  4 1 x  4 1 0,5
n n1 n2 1
   ...  .
2 n1 n
x 1 6 x 1 6 x 1 6 x 1 6
Ý1 n n1 n2 1
n
2đ 4.6 1
*
Do đó x  ,n
n
n
6 1
0,5
n
0,5
4.6 1
lim x  lim  4.
n
n
6 1
Đặt h x  f x 100x .
   
0,25
Ta có h 1  h 2  h 3  0 nên các số -1, -2, -3 là nghiệm đa thức bậc
     
0,25
bốn h(x);
C4
do đó h(x) có dạng
Ý2
h x  x1 x 2 x 3 x x  f x  x1 x 2 x 3 x x 100x
             
0 0
0,25
1đ
f 10  f 14
   
Khi đó  582 2017.
0,25
16
Đếm số tất cả các bộ số nguyên T  a ,a ,...,a với
 
1 2 mn1k
1 a  a  ... a  m n1 bằng hai cách:
1 2 mn1k
1,0
mn1k k
- Số cách chọn m n1 k phần tử trong m n1phần tử là C  C .
mn1 mn1
- Với mỗi i (0 i k) , cho phần tử a của T nhận giá trị m i1.
m1k
C5
Bộ T a ,a ,...,a , 1 a  a  ... a  m i và
1 1 2 mk 1 2 mk
2đ
T  a ,a ,...,a , m i 2 a  a  ... a  m n1.
 
2 mk2 mk3 mn1k mk2 mk3 mn1k
1,0
k k k
mk n ki i k ki i
Số tất cả bộ T là C C  C C Vậy C  C C .
  
mi ni mi ni mn1 mi ni
i0 i0 i0
-----------------------Hết-----------------------

onthicaptoc.com Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2017 tỉnh Quảng Trị có đáp án