SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG 1
TRƯỜNG THPT TRẦN NGUYÊN HÃN
LỚP 11 - NĂM HỌC 2020-2021
Môn: TOÁN
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(Đề thi có 01 trang) Thời gian bàm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Họ, tên thí sinh: ……………………………………. Số báo danh: ………………
Câu 1 (6 điểm): Giải các phương trình, bất phương trình sau:
1) 3 sin 2x 3 6sin x 3 cos x 0
3x 
2 3 2
2sin (  ) 3 cos x(1 3tan x)
2 4
2)
1
2sin x1
2
3) x  x 2 x 2 3
2
3sin 2x 2cos x
Câu 2 (2 điểm): Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y
sin 2x 2cos 2x 4
Câu 3 (4 điểm):
1 1 1
1) Tính tổng S   
2 2 2
A A A
2 3 2020
2) Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 lập được bao nhiêu số có 4 chữ số đôi một
khác nhau và chia hết cho 11 đồng thời tổng của 4 chữ số của nó cũng chia hết cho 11.
Câu 4 (2 điểm): Trong mặt phẳng Oxy, cho hình bình hành ABCD, hình chiếu của điểm D
lên AB, BC lần lượt là M(-2;2), N(2;-2). Biết rằng đường thẳng DB có phương trình là
3x - 5y + 1 = 0 và hoành độ điểm B lớn hơn 0. Tìm tọa độ điểm B.
Câu 5 (4 điểm): Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành, M là trung điểm
của SA và E là trung điểm của SB; P thuộc cạnh SC sao cho SC = 3SP.
1) Dựng giao điểm của DB với mặt phẳng (MPE).
2) Gọi N là một điểm thuộc cạnh SB, mặt phẳng (MNP) cắt SD tại Q.
SB SD
Chứng minh   5
SN SQ
Câu 6 (2 điểm): Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn: a + b + c = 3
a b c 3
Chứng minh rằng P =
  
ab 3c bc 3a ca 3b 4
------------------ Hết ------------------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ tên, Chữ kí của cán bộ coi thi:……………………………………………………
ĐÁP ÁP ĐỀ THI HSG MÔN TOÁN – KHỐI 11- LẦN1- NĂM HỌC 2020-2021
Câu Đáp án Điểm
1
1) Biến đổi thành (2sin x1)( 3 cos x 3) 0
1
 5
giải ta được x=  k2 ; x=  k2 ( 3 cos x 3 0 vô nghiệm)
1
6 6
1
2)Điều kiện và Biến đổi thành
sinx cos x 0
2

sin(3x ) sinx
3 1


x  k

6


 k
1

x 

3 2

7  
Đói chiếu đk pt có nghiệm x  k2 , x  k2 , x  k
6 6 3
3)Đk
x 2
Bpt đưa về
2
( x  x 2 2) ( x 21) 0
1
(x 3)(x 2) x 3
   0
2
x 21 1
x  x 2 2
 x 3
Từ gt ta có (y 3)sin 2x (2y1) cos 2x1 4y
0,5
9 6 5 9 6 5
Pt trên có nghiệm cho ta   y
2
11 11
1,25
9 6 5
kết luận GTLN của y bằng
11
0,25
9 6 5
GTNN của y bằng
11
1 1 1 1
1) Ta có   
2
1
A k(k1) k1 k
k
1 1 1 1 1 2019
Cho =
k 2,3,..., 2020  S 1     .
3 1
2 2 3 2019 2020 2020
2) Gọi số cần tìm là abcd
 (a c) (b d )11
suy ra a+c và b+d đều chia hết cho 11
1
(a c) (b d)11
Có 2+9=3+8=4+7=5+6 nên có 4.2.3.2=48 số 1
Gọi I(x;y) là tâm hình bình hành ABCD, do IM=IN nên x=y
có I thuộc BD nên 3x-5y+1=0 từ đó suy ra x=y= 0,5
0,75
34
có IB=ID=IM= do đó D,B thuộc đường tròn dường kính BD
2
1 1 17
2 2
có pt là (x )  (y )  (1).
2 2 2
Lại có tọa độ B,D thỏa mãn 3x-5y+1=0 (2)
4 0,75
Giải hệ (1),(2) vói hoành độ điểm B lớn hơn 0 ta được B(3;2)
0,5
1) Gọi O là tâm của đáy ,SO cắt MP tại I,IE cắt DB tại J là điểm
càn dựng 2
2)Ta c/m bổ đề :cho tam giác SAB ,O là trung điểm của AB.Một
SA SB SO
đt cắt SA,SO ,SB tại M,N,P CMR   2 (1)
SM SP SN
5
CM : kẻ AH//MN ,BK//MN ( H,K thuộc SO) ta có
SA SH SB SK
 ,  ,OH OK
(1)
SM SN SP SN
1
SB SD SA SC 2SO
1
Áp dụng bổ đề trên ta được     ( ) =5
SN SQ SM SP SI
a b c
1) (1điểm) ta có P=  
(a c)(b c) (b c)(b a) (c a)(c b)
a a(a c) a(b c) 3a
1
   ,tương tự và cộng laị ta được P
(a b)(a c) 8 8 4
2
9 (a b c)  ab ac bc
 
6
4 8
2
9 (a b c) 1 3
2
   (a b c) 
4 8 24 4
2
(a b c)
(Do ab bc ca )
1
3
Dấu bằng khi a=b=c=1

onthicaptoc.com Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 năm 2020 2021 THPT Trần Nguyên Hãn có đáp án