SỞ GD-ĐT HẢI DƯƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TRƯỜNG
Trường THPT chuyên Nguyễn Trãi NĂM HỌC 2021-2022
Thời gian làm bài: 180 phút
Môn: Toán
Câu 1. (2 điểm)
u  3
n
Cho dãy số xác định bởi
u  u  0,u  n1 .
 
n
n1 11n
5 u
n
a) Chứng minh rằng dãy u có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
 
n
n1
n
1 T
n
b) Đặt T  . Tìm
lim .
n 
u  3
n
54n
k1
k
Câu 2. (2 điểm) Tìm tất cả các hàm số sao cho:
f :¡¡
2018
f y f x  f x  y  2017yf (x), x, y¡ .
 
   
Câu 3. (2 điểm)
2 2022
Có bao nhiêu cách lát kín bảng bởi các viên domino 12 và 21 ?
Câu 4. (2 điểm)
ABC AB BC I ABC
Cho tam giác nhọn với . Cho là tâm nội tiếp của tam giác và  là đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC tại K . Đường
AK T M BC N
thẳng cắt  tại điểm thứ hai . Cho là trung điểm của và là điểm chính giữa cung
»
BC chứa A của  . Đoạn thẳng NT cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC ở P . Chứng minh rằng
KI X
a) Cho cắt ()BIC tại điểm thứ hai thì N;;T X thẳng hàng.
b) PM‖ AK .
Câu 5. (2 điểm)
* 2
Cho dãy số ; x ¥ ; a là nghiệm dương của phương trình x  kx10 (
x  a.x n¥
 
o
nn1
kk¥;1) với số nguyên dương k cho trước.
Khi đó chứng minh rằng xx 1 (mod k).
nn11
Giải
Câu 1 :
*
n¥
a) Ta chứng minh bằng quy nạp theo , dãy u bị chặn trên bởi 1 và là một dãy tăng.
 
n
n1
x 3
*
u 1. u 1 n¥ .
+) Ta có Giả sử Vì hàm fx  là đồng biến trên khoảng
1 n
5 x
(;1) nên u 1u  f u  f 1 1.
   
n n1 n
*
Vậy u 1 với mọi n¥ .
n
3
+) Ta có uu . Giả sử uu n 2.Do uu,1 và f là đồng biến trên khoảng
 
21 nn1
nn1
5
(;1) nên u  f u  f u  u .
   
n11n n n
Vậy dãy u tăng và bị chặn trên nên có giới hạn hữu hạn.
 
n
n1
a1
a 3 
+) Đặt lim ua a 1 . Suy ra a .
 
n

n
5 a a 3

Vậy lim u 1.
n
n

4(u  3) 1 1 2
k1
b) Ta có uk 3   1  2 .
 
k 
5 u u  3 4 u  3
k11k k
nn

1 1 1 1 1
Tn   21 

n 
u  3 u  3 3 4 u  3
11kk22kk

1 1 1 1
 nT  .
n
12 4 2 u  3
n
1 1 1 T 1
n
Suy ra Tn    lim  .
n
n
6 2un3 5 4 10
n
Câu 2 :
Giả sử hàm số fx() thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+)Trong (1) thay y bởi fx() ta có :
2018 2
f 0  f x  f (x)  2017( f (x)) ,x¡ (2).
   
2018
+)Trong (1) thay y bởi x ta có :
2018 2018
f x  f (x)  f 0  2017x f (x),x¡ (3).
 
 
2018
Từ (2) và (3) suy ra f x ( f (x) x ) 0,x¡ (4).
 
2018
Vậy nếu có x sao cho fx( ) 0 thì f (x )x . Vậy f 0  0.
 
0 0
00
2018
Dễ thấy có hai hàm số fx( ) 0 và f (x)x ,x¡ thỏa mãn (4).
1
2
+) Ta chứng minh nếu có hàm số fx() khác hai hàm số fx() và fx() mà thỏa mãn cả (1) và
1 2
(4) thì vô lý.
2018
Vì fx() khác fx() nên x ¡ : f (x ) 0. Vậy f (x )x .
1 11
11
Vì fx() thỏa mãn (4) và khác fx() nên x ¡ : x  0; f (x ) 0.
2 2 2 2
+) Trong (1) cho x 0 f (y) f (y),y¡ .
x  0
2
Không mất tổng quát, giả sử
+)Trong (1) thay x bởi x và y bởi ()x ta có :
2 1
2018
f (x ) f (x  x )
1 2 1
2018
x  f (x ) f (x )
1 1 1
2018 2018 2018 2018
 f (x  x )(x  x ) x .
2 1 2 1 1
(vô lý).
+) Bằng cách thử trực tiếp vào (1) ta có kết quả hàm số cần tìm là f (x) 0,x¡ .
Câu 3:
Gọi an() là số cách lát.
Ta xét hai trường hợp sau:
+) Nếu hàng 2 ô đầu tiên được lát bởi viên gạch 21 thì bảng trên trở thành 2(n 1) ; ta có
cách lát.
an( 1)
+) Nếu 4 ô vuông 22 ở 2 hàng đầu tiên được lát bởi 2 viên gạch 12 thì ta có an() cách lát.
Như vậy a(n) a(n1) a(n2) với aa(1)1; (2) 2 .
Suy ra a()n  F là số Fibonacci thứ n .
n
Như vậy số cách lát là F
2022
Câu 4:
»
AI S S A
a) Cho cắt ()ABC tại điểm thứ hai , như vậy là trung điểm cung BC không chứa .
AITX
Theo tính chất trục đẳng phương thì là tứ giác nội tiếp, từ đó:
()AITX
0 0
ATNASNSIX 180 XIA  180 XTA
Và suy ra thẳng hàng
N;;T X
P I M()BIC IAI ()ABC A
b) Đặt là , với là tâm đường tròn bàng tiếp góc . Theo
A A
tính chất trục đẳng phương NPSI là tứ giác nội tiếp. Khi đó
A
TNSTASTXI PXI PI SPNS
A
Và từ đó suy ra N;;P T thẳng hàng. Như vậy, PNT (BIC). Suy ra PI SPNSTAI
AA
và PM‖ AK (đpcm).
Câu 5:
+) Ta có x  a.1x  x 
n11n n
xx 1
nn11
 x .
n
aa
xx 1
nn11
+) Do a là số vô tỉ nên x
n
aa
x

n1
 +) xn1  ¥ (1)
n

a

x 1

n1
+)  1 n¥ (2)

aa

+) Ta có
1

x  a.x  x  k
 
n1 nn
a


xx
   
nn
  x .k   x .k x .k x 1
n n n n1
   
aa
   
Như vậy x  k.1x  x 
n11n n
Suy ra xx 1 (mod k) (đpcm).
nn11

onthicaptoc.com Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán Trường THPT Chuyên Nguyễn Trãi Tỉnh Hải Dương năm 2021 2022