Đề ôn thi HSG 9 Tel: 0905.884.951 – 0929.484.951
UBND HUYỆN HOÀI NHƠN
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
Năm học 2018 – 2019
Môn: TOÁN 9
Đề chính thức
Ngày thi: 01/12/2018
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Bài 1. (4.0 điểm)
2 3 6 84
a) Thu gọn biểu thức: A .
2 3 4
2018
2
2 3 4
x
b) Cho . Tính giá trị của biểu thức B 12xx x x .
 
1 1

211 211
3 3 3 3
c) Cho x 32 2 32 2 và y 1712 2 1712 2 . Tính giá trị của biểu thức:
3 3
Cx y 3xy2018 .
Bài 2. (4.0 điểm)
a) Tìm các số nguyên dương có hai chữ số, biết số đó là bội của tích hai chữ số của chính số đó.
 
1 1 1 1


b) Chứng minh rằng số tự nhiên chia hết cho
A1.2.3.....2017.2018.1  ... 




 
2 3 2017 2018
2019.
Bài 3. (5.0 điểm)
2 2 2
2 2 2
3.1. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a b c abbc ca
a) Tính abc , biết rằng abbcca9 .
b) Chứng minh rằng: Nếu ca, cb thì cab .
2019 2019 2019
3.2. Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x y z 3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2 2 2
Ex y z .
Bài 4. (4.0 điểm) Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a . Hai điểm M, N lần lượt di động trên
AM AN
hai đoạn thẳng AB, AC sao cho  1. Đặt AMx và AN y . Chứng minh rằng:
MB NC
2 2 2
a) MN x y xy .
b) MNaxy .
c) MN luôn tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác ABC .
Bài 5. (3.0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn O, gọi M là trung điểm
của cạnh BC , H là trực tâm của tam giác ABC và K là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh
KM
BC . Tính diện tích của tam giác ABC , biết OMHK và AM30cm.
4
----------  HẾT  ----------
Trường THCS Đào Duy Từ Năm học 2018 – 2019
GV: Lê Hồng Quốc Đi rồi sẽ đến Trang 1
Đề ôn thi HSG 9 Tel: 0905.884.951 – 0929.484.951
ĐÁP ÁN THAM KHẢO
Bài 1. (4.0 điểm)
2 3 6 84
a) Thu gọn biểu thức: A .
2 3 4
Lời giải.
2 3 4 2 2 3 4
 
2 3 6 84
Ta có: A  1 2 .
2 3 4 2 3 4
2018
2
2 3 4
b) Cho x . Tính giá trị của biểu thức B 12xx x x .
 
1 1

211 211
Lời giải.
2 2
Ta có: x   2. Thay x 2 vào biểu
1 1 2

211 211
211 211
  
2018
2 3 4 2018
  2018
thức, ta được: B12 2 2  2  2  12 222 24 1 1.
 
        
 
 
3 3 3 3
c) Cho x 32 2 32 2 và y 1712 2 1712 2 . Tính giá trị của biểu thức:
3 3
Cx y 3 xy 2018
  .
Lời giải.
3
3 3 3
● Ta có x  32 2 32 2 32 23.x32 263x
 
3
3 3 3
và y  1712 2 1722 2 1712 23.y1712 2343y
 
3 3 3 3
x y 403x3y x y 3 xy 20182058
● Cộng vế theo vế, ta được:   .
3 3
3 3
 Vậy C2058 khi x 32 2 32 2 và y 1712 2 1712 2 .
Bài 2. (4.0 điểm)
a) Tìm các số nguyên dương có hai chữ số, biết số đó là bội của tích hai chữ số của chính số đó.
Lời giải.

Gọi số cần tìm là ab , theo đề, ta có 10abk.a.b . (Trong đó: 1a, b9 và a, b, k ).
10 10 10 10 1
Suy ra . Vì
b  1b91 9 k 10.
k.a1 1 1
9 a
k k
a a a

10 1


k 10

 
1 5 5
9 a  
  
Từ k  ;2; ;5;10 .
  
  
1 a 3 2
  

10:k 


a


a1

 
a3




a. 3k53 
 
1 5 8 
  
● Nếu k    k (không thỏa) hoặc k2 (thỏa) ab36 .

 
  
a 3 3
b6
  

b6



b6


Trường THCS Đào Duy Từ Năm học 2018 – 2019
GV: Lê Hồng Quốc Đi rồi sẽ đến Trang 2
Đề ôn thi HSG 9 Tel: 0905.884.951 – 0929.484.951

a1

 
a. k2 1
  
1

 
● Nếu k 2  k3 (thỏa) ab15 .
 
 
a
b5
 

b5



a1

 
a2





a.2k52
1 5 7 
  
● Nếu (không thỏa) hoặc k3 (thỏa)ab24 .
k    k
  

 
a 2 2
b4

 

b4
 


b4



a1

 
a. k51
  
1

 
● Nếu k 5  k6 (thỏa) ab12 .
 
 
a
b2
 

b2



a1



a.k101
1

 
● Nếu k 10  k11 (thỏa) ab11.
 
 
a
b1
 

b1

Vậy ab 11;12;15;24;36 .
 
 
1 1 1 1


b) Chứng minh rằng số tự nhiên A1.2.3.....2017.2018.1  ...  chia hết cho


 
 2 3 2017 2018
2019.
Lời giải.
 
1 1 1


Ta có B1.2.3.....n.1  ...  là số tự nhiên. Thật vậy




 
2 3 n
● Với n1 thì B1 đúng.
● Với n2 thì B3 đúng.

 
1 1 1


● Giả sử  đúng khi nk , nghĩa là B1.2.3.....k.1  ...  .


 
 2 3 k
 
1 1 1


● Cần chứng minh  đúng khi nk1, nghĩa là B1.2.3.....k1.1  ...  .




 
2 3 k1
   
1 1 1 1 1 1
 
 
Ta có .
1.2.3.....k1.1  ... 1.2.3.....1  ... .k11.2.3.....k
 
 
 
 
   
2 3 k1 2 3 k

 
 1 1 1
 

1.2.3.....1  ... 

 


  
2 3 k



Có k1 B .



1.2.3.....k





 
1 1 1


Vậy 1.2.3.....n.1  ... là số tự nhiên.




 
2 3 n
   
1 1 1 1 1
 
 
Suy ra, với n2k thì 1.2.3.....2k.1  ... và 1.2.....k.1 ... là các số tự nhiên
 
 
   
   
2 3 2k 2 k
 
1 1 1


  ... . k1 k2 .....2k cũng là các số tự nhiên.
  

 
k1 k2 2k
 
1 1


● Áp dụng các chứng minh ta có: 1.2.....1009.1 ... và




 
2 1009
 
1 1 1
 
 ... .1010.1011.....2018 cũng là các số tự nhiên.




 
1010 1011 2018
Trường THCS Đào Duy Từ Năm học 2018 – 2019
GV: Lê Hồng Quốc Đi rồi sẽ đến Trang 3
Đề ôn thi HSG 9 Tel: 0905.884.951 – 0929.484.951

10113


Ta có 1010.1011.....1342.....20182019


1342673

 
1 1


1.2.....1009.1 ... .1010.1011.....1342.....20182019 .


 
 
2 1009

33

Và 1.2.3.....673.....10092019


673673

 
1 1 1


1.2.....1009.  ... .1010.1011.....20182019 .


 
1010 1011 2018
 
1 1 1 1


 Vậy số tự nhiên A1.2.3.....2017.2018.1  ...  chia hết cho 2019.




 
2 3 2017 2018
Bài 3. (5.0 điểm)
2 2 2
2 2 2
3.1. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a b c abbc ca
a) Tính abc , biết rằng abbcca9 .
Lời giải.
2 2 2
2 2 2 2 2 2
Từ a b c  ab  bc  ca a b c 2 abbcca 4 abbcca .
         
2
a,b,c0
Mà abbcca9 nên abc 36abc6 .
 
b) Chứng minh rằng: Nếu ca, cb thì cab .
Lời giải.
2 2 2 2
2 2 2
Ta có a b c  ab  bc  ca  cab 4ab .
       
Không mất tính tổng quát, giả sử: cab . Khi đó, ta có:

cab2b 1

2
2

cab 4ab4b  .
 

cab2b 2
 


● 1cab0cab .

1cab2bcab0  ca0 
● , mà suy ra  vô lí.
cab
 Vậy: nếu ca, cb thì .
2019 2019 2019
3.2. Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x y z 3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2 2 2
Ex y z .
Lời giải.
Cách 1.
● Áp dụng bất đẳng thức COSI ta có các đánh giá sau:
2019 2019 2
 x x 111...12019x . Dấu  xảy ra khi x1.

2017 so1
2019 2019 2
 y y 111...12019y . Dấu  xảy ra khi y1.

2017 so1
2019 2019 2
 z z 111...12019z . Dấu  xảy ra khi z1.


2017 so1
2019 2019 2019
2019 2019 2019 2 2 2 x y z 3 2 2 2
● Khi đó: 6 x y z 60512019 x y z x y z 3 .
   
Dấu  xảy ra khi x yz1.
 Vậy E đạt giá trị lớn nhất bằng 3 khi x yz1.
Cách 2.
● Áp dụng bất đẳng thức COSI ta có các đánh giá sau:
Trường THCS Đào Duy Từ Năm học 2018 – 2019
GV: Lê Hồng Quốc Đi rồi sẽ đến Trang 4
Đề ôn thi HSG 9 Tel: 0905.884.951 – 0929.484.951
2019 3 2019 3 2019 3
 x 111...1673x ; y 111...1673y và z 111...1673z
  
672 so1 672 so1 672 so1
2019 2019 2019
 x 111...12019x ; y 111...12019y và z 111...12019z
  
2018so1 2018 so1 2018 so1
2019 2019 2019
2019 2019 2019 3 3 3 x y z 3 3 3 3

● Khi đó:  x y z 2016673 x y z x y z 3 .
 
Dấu  xảy ra khi x yz1.
2019 2019 2019
2019 2019 2019 x y z 3
 x y z 60542019xyzxyz3 .
Dấu  xảy ra khi x yz1.
COSI
3 3 3 2 2 2 2 2 2
● Suy ra 6x xy yz z 2 x y z x y z 3 .
 
3


x x


3

Dấu  xảy ra khi y  yx yz1.



3

z z


 Vậy E đạt giá trị lớn nhất bằng 3 khi .
x yz1
Cách 3. (Sử dụng BĐT HOLDER)
● Áp dụng bất đẳng thức HOLDER, ta có
2019
2019 2019 2019 2019 2019 2019 2017 2 2 2
x y z x y z 3  x y z
    
2019 2019 2019 2019
x y z 3 2019 2 2 2 2 2 2
3  x y z 3x y z .
 
Dấu bằng xảy ra khi x yz1.
 Vậy E đạt giá trị lớn nhất bằng 3 khi .
x yz1
Bài 4. (4.0 điểm) Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a . Hai điểm lần lượt di động trên
M, N
AM AN
hai đoạn thẳng AB, AC sao cho  1. Đặt AMx và AN y . Chứng minh rằng:
MB NC
2 2 2
a) MN x y xy .
b) MNaxy .
c) MN luôn tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác ABC .
Lời giải.
  
AM AN AN a
  
  
1 1 x
  

xax

AM AN 
MB NC NC  2
   
● Vì  1    xya .
   
   
MB NC AN AM AM yay a
   
1 1 y
  
  
NC MB MB 2
  
Không mất tính tổng quát ta giả sử AMAN . Kẻ MHAC như hình vẽ bên.
AM
Khi đó, ta có AHAM.cos60 .
2
a) Áp dụng định lí PYTAGO, ta có:
2
2 2 2 2 2
 MN  MH HN  AM AH  ANAH
 
2
2 2 2 2 2 2
 AM AN 2AN.AH AM AN AM.AN x y xy xy 3xy .
 
2
2 2 2
 Vậy MN x y xyxy3xy1
b) Theo đề, ta có:
AM AN AB AC
  1 1 11
MB NC MB NC
Trường THCS Đào Duy Từ Năm học 2018 – 2019
GV: Lê Hồng Quốc Đi rồi sẽ đến Trang 5
Đề ôn thi HSG 9 Tel: 0905.884.951 – 0929.484.951
a a
2 2 2 2
  3a axya 3a 3axy3xya 2axy3xy2
ax ay
2 2 2
2 2 2
Thay 2 vào 1 ta được: MN  xy 2a xy a  xy 2a xy a  axy
            
 Vậy MN axyaxy (vì xya ).
c) Gọi K, E lần lượt là trung điểm của AB, AC .
D là tâm đường tròn nội tiếp ABC .
a 3 a a
Kẻ DIMN IMN . Khi đó ta dễ dàng tính được: DKDE ; MK x; NE y .
 
6 2 2
a a
Ta có KMNE x yMN và 2 axay3xya axy .
   
2 2
KD.MK KE.NE AH.AN
● S 2S S S S DK.AK  
DMN AKD MKD NED AMN
2 2 2
2
DK.MN AH.AN a 3 a 3 x 3y
DK.AK    . axy
 
2 4 12 12 4
3 3 a 3 DK.MN
2
 
 a a axy3xy axay3xy . axy  .
     
 
 
12 12 12 2
DI.MN DK.MN
 Do đó  DIDK . Suy ra DI là bán kính đường tròn nội tiếp, mà
2 2
MNDI MN là tiếp tuyến của đường tròn.
Bài 5. (3.0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn O , gọi M là trung điểm
 
của cạnh BC , H là trực tâm của tam giác ABC và K là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh
KM
BC . Tính diện tích của tam giác ABC , biết OMHK và
AM30cm.
4
Lời giải.
● Gọi D là trung điểm của AC .
Ta chứng minh được AHB MOD (3 cặp cạnh
song song)
AH AB
  2HG2OG .
OM MD
● Gọi G là giao điểm của AM và OH . Ta chứng
minh được AGH MGOgg
AG HG AH
   2AH2OM .
GM GO OM
● Dễ dàng chứng minh được tứ giác IMKH là hình
chữ nhật (hình bình hành có 1 góc vuông).
HOKMHO4OM , suy ra 3OG4OM .
● Áp dụng định lý PYTAGO trong tam giác vuông OGM , ta có:
2
16 AM
2 2 2 2 2
OM OG GM OM  OM  5OMAMOM6cm .
9 9
Khi đó .
OH24cm; AH12cm; AK18cm
2 2 2 2
Ta có OCOA OH AH 12 5 , từ đó tính được BC2MC2 OC OM 12 19 .
AK.BC 18.12 19
2
 Vậy .
S   108 19 cm
 
ABC
2 2
Mọi sự góp ý, xin nhắn tin đến https://www.facebook.com/lehong.quoc.12
Trường THCS Đào Duy Từ Năm học 2018 – 2019
GV: Lê Hồng Quốc Đi rồi sẽ đến Trang 6

onthicaptoc.com Đề thi học sinh giỏi cấp huyện Toán 9 năm 2018 – 2019 phòng GDĐT Hoài Nhơn – Bình Định