1/6
Toán học là đam mê
Nhóm Toán THCS
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II
QUẬN TÂY HỒ Năm học 2017-2018
MÔN TOÁN LỚP 9
Thời gian làm bài: 90 phút
( Không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (2 điểm): Giải phương trình và hệ phương trình sau

2 x1 y 2 4

2
a) 3x  26x 48 0 b)

6 x1 2 y 2 2


Bài 2 (2 điểm): Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình
Lúc 7 giờ, một ca nô chạy xuôi dòng từ bến A đến bến B dài 30 km. Ca nô nghỉ tại B 30
phút. Sau đó, ca nô ngược dòng với vận tốc riêng không đổi từ B về đến A lúc 11 giờ 30
phút. Tính vận tốc riêng của ca nô biết vận tốc dòng nước là 4 km/h.
Bài 3 (2 điểm):
2
Cho parabol P :yx và đường thẳng d:1ymxm (m là tham số)
   
a) Tìm giá trị của m để đường thẳng d cắt parabol P tại 2 điểm AB, phân biệt.
   
b) Gọixx, lần lượt là hoành độ của hai điểm A và B . Tìm các giá trị của m thỏa
12
22
mãnxx17.
12
Bài 4 (3,5 điểm): Cho tam giác ABC nhọn. Vẽ đường tròn O đường kính BC cắt
 
AB,AC lần lượt tại F và E , CF cắt BE tại H .
a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn.
b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF . Tính số đo cung EHF , diện tích
0
hình quạt IEHF của đường tròn I nếu BAC 60 , AH  4cm.
 
c) Gọi AH cắt BC tạiD .Chứng minh FH là tia phân giác của DFE .
d) Chứng minh rằng hai tiếp tuyến của O tạiE ,F vàAH đồng quy tại một điểm.
 
22
Bài 5 (0,5 điểm): Cho a0;b 0và ab 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
S ab 2(a b)
Nhóm Toán THCS:
https://www.facebook.com/groups/606419473051109/
2/6
Toán học là đam mê
Nhóm Toán THCS
HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1 (2 điểm):
13 5

x6

3
2
a) Ta có  13  3.48 25

13 5 8

x

33

8

Vậy tập nghiệm của phương trình là S 6;

3

x1
b) Điều kiện:

y2


ax 1

Đặt Điều kiện: a,b 0

by 2


2a b 4 a1

Hệ phương trình tương đương với  (Thỏa mãn)

6a 2b 2 b 2


x1 1 x2


 (Thỏa mãn)

y2
y2 2 


Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x; y2;2
Bài 2 (2 điểm)
+) Gọi vận tốc riêng của ca nô là x (km/h). Do vận tốc của dòng nước là 4 km/h nên ta có
điều kiện x 4 .
Vận tốc của ca nô khi chạy xuôi dòng là x 4 (km/h)
Vận tốc của ca nô khi chạy ngược dòng là x 4(km/h).
+) Do chiều dài giữa 2 bến A và B là 30 km nên
30
Thời gian để ca nô đi xuôi dòng là (h)
x 4
30
Thời gian để ca nô đi ngược dòng là (h).
x 4
+) Do ca nô nghỉ tại B 30 phút nên tổng thời gian ca nô cả đi lẫn về là: 11 giờ 30 phút – 7
giờ - 30 phút = 4 giờ.
Nhóm Toán THCS:
https://www.facebook.com/groups/606419473051109/
3/6
Toán học là đam mê
Nhóm Toán THCS
Ta có phương trình sau:
30 30
 4
xx44
2
 30(x 4)30(x 4) 4(x 16)
2
 30x12030x120 4x 64
2
 4xx60 64 0
2
xx15 16 0
Giải phương trình trên ta được 2 nghiệm là x 16 và x 1.
1 2
Đối chiếu với điều kiện của x ta chọn nghiệm x16
Vậy vận tốc riêng của ca nô là 16 km/h.
Bài 3 (2 điểm)
a) Phương trình hoành độ giao điểm của d và P là:
   
2
x mxm1
2
x mxm10 (1)
2
2
Có a1;bm;cm1m  4m 4 m 2
 
Để đường thẳng d cắt parabol P tại 2 điểm AB, phân biệt thì phương trình
   
a 0


(1) phải có 2 nghiệm phân biệt  m 2

2
m20
 


Vậy với m 2 thì đường thẳng d cắt parabol P tại 2 điểm .
    AB,
b) Với m 2 , phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt xx, .
12
b

x x  m
12


a
Áp dụng định lý Viet ta có

c

x x  m1
12

 a
Theo đề bài
Nhóm Toán THCS:
https://www.facebook.com/groups/606419473051109/
4/6
Toán học là đam mê
Nhóm Toán THCS
22
xx17
12
2
 x x  2x x 17
 
1 2 1 2
2
mm 2 15 0
m 5

 tm
 

m3

Vậy với m 5 hoặc m3 thì hoành độ giao điểm của d và P thỏa mãn
   
22
xx17.
12
Bài 4 (3,5 điểm):
A
I
E
F
H
B C
D
O
a) - Xét O đường kính BC có:
 
0 0
BEC 90 ; BFC 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
=> BEAC;CF AB .
0 0 0
- Xét tứ giác AEHF có: AEHHFA 90 90 180
Mà 2 góc ở vị trí đối nhau => tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn.
0
b) - Vì I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giácAEHF . Mà AEHHFA 90
AH
=> I là trung điểm của AH => AI 2cm
2
0 0
- Xét I có: BAC 60 => sdEHF2.sdBAC 120 .
 
Nhóm Toán THCS:
https://www.facebook.com/groups/606419473051109/
5/6
Toán học là đam mê
Nhóm Toán THCS
00
.rn. .2.120 4
- Có: l    ()cm
00
EHF
180 180 3
2 0 2 0
.rn. .2 .120 4
2
S    ()cm
IEHF
00
360 360 3
c) - Xét ABC có: BEAC;CF AB . Mà CF cắt BE tại H
=> AH BC tại D .
0 0 0
- Xét tứ giác BFHD có: HFBHDB 90 90 180
Mà 2 góc ở vị trí đối nhau => tứ giác BFHDnội tiếp đường tròn.
=> HBDHFD (góc nội tiếp chắn HD ).
- Tứ giác AEHF nội tiếp => HFEHAE (góc nội tiếp cùng chắn HE ).
Mà HBDHAE (cùng phụ với ACB ).
=> HFEHFD => FH là tia phân giác của DFE .
d) - Xét AEH vuông tại E có : I là trung điểm của AH
=> => cân tại =>
IEIH IEH I IEH IHE
Mà BHDIHE (đối đỉnh); BHDECO (cùng phụ với EBC ); ECOOEC (OEC cân)
0 0 0
=> IEH OEC Mà OECOEH 90 => IEHOEH 90 => OEI  90
=> EI là tiếp tuyến của O tại E .
 
Chứng minh tương tự có : FI là tiếp tuyến của O tại F .
AH E F AH
Mà I là trung điểm của => Hai tiếp tuyến củaO tại , và đồng quy
Bài 5 (0,5 điểm)
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương a0;b 0ta được:
1
22
a  b  2ab1 2ab ab (1)
2
Nhóm Toán THCS:
https://www.facebook.com/groups/606419473051109/
6/6
Toán học là đam mê
Nhóm Toán THCS
Ta có:
22 22
a  b  1   2ab 1   1 2ab
ab a b
22
   11   2 a b 2 (2)
ab a b
1
Từ  ,(2) ta có: S ab 2(a b)  2 2
1
2
2
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi: ab
2
1 2
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là S 2 2 tại ab
2
2
Nhóm Toán THCS:
https://www.facebook.com/groups/606419473051109/

onthicaptoc.com Đề thi học kỳ 2 Toán 9 năm học 2017 – 2018 phòng GD và ĐT Tây Hồ – Hà Nội