SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
QUẢNG NAM NĂM HỌC 2017-2018
Môn thi : TOÁN (Toán chuyên)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian : 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Ngày thi : 11/7/2017
Câu 1 (2,0 điểm).
3x 2x x− x 1
a) Cho biểu thức A −+ với x0≥ và x≠ .
4x−1 4
2x+−3 x 2
x+ 2 (4x−1)
( )
1
Rút gọn biểu thức A và tìm x để A= .
3x
23
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên (a;b) thỏa mãn đẳng thức 9a − 6a−=b 0 .
Câu 2 (2,0 điểm).
2
a) Giải phương trình 2x + x x+ 3−1−=3 0 .
( )
22
x + y + x+ y− xy=3

b) Giải hệ phương trình

22 2
(x+ y )(xy+=1) 4− (x− y) .


Câu 3 (1,0 điểm).
2
Cho parabol (P) : y= x và đường thẳng (d) : y ax+ b . Tìm a và b để (d) cắt (P)
tại hai điểm phân biệt A, B sao cho A có hoành độ bằng 2 và khoảng cách từ A đến trục tung
bằng hai lần khoảng cách từ B đến trục tung.
Câu 4 (2,0 điểm).
Cho hình vuông ABCD, điểm E nằm trên cạnh BC (E khác B, E khác C). Hai đường
thẳng AE và CD cắt nhau tại F.
11 1
a) Chứng minh +=.
22 2
AE AF AB
b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ACD và I là trung điểm của cạnh AD. Điểm M di
AD AC
động trên đoạn thẳng ID, đường thẳng MG cắt AC tại N. Chứng minh trong
+=3;
AM AN
AM
.
trường hợp giá trị của tích AM.AN nhỏ nhất, tính tỉ số
AD
Câu 5 (2,0 điểm).
Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) và có trực tâm H. Ba
điểm D, E, F lần lượt là chân các đường cao vẽ từ A, B, C của tam giác ABC. Gọi M là trung
điểm của cạnh BC, K là giao điểm của EF và BC. Đường thẳng AK cắt đường tròn (O) tại
điểm thứ hai là N.
a) Chứng minh tứ giác BFNK nội tiếp đường tròn và HK vuông góc với AM.
b) Lấy điểm L trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) (L khác B, L khác C). Gọi P là
giao điểm của AL và BE, Q là giao điểm của BL và AD. Chứng minh đường thẳng DE cách
đều hai điểm P và Q.
Câu 6 (1,0 điểm).
Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x+ yz+ =3.
3 33
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P= x yz++y zx z xy .
--------------- HẾT ---------------
Họ và tên thí sinh: ................................................................... Số báo danh: .........................
=
=
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1.
3x 2x x− x
a) A −+
4x−1
2x+−3 x 2
x+ 2 (4x−1)
( )
3x 2x x− x
−+
4x−1
2 x−1 x2+ x2+ (4x−1)
( )( ) ( )
3x 2 x+1− 2x x+ 2 + x− x
( ) ( )
=
x+ 2 (4x−1)
( )
6x x+ 3x− 2x x− 4x+ x− x
=
x+ 2 (4x−1)
( )
4x x− x x
x2+
x+ 2 (4x−1)
( )
1 x1
A=⇔ =⇒ 3x x=x+ 2
3x 3x
x2+
⇔ 3x x− x−=2 0
⇔ 3x x− 3x+ 3x− 3 x+ 2 x−=2 0
⇔ x−1 3x+ 3 x+ 2 =0
( )( )
⇔ x−=1 0⇔ x= 1 (TM)
2 3 23 2
b) 9a− 6a− b= 0⇔ (3a−1)= b+=1 (b+1)(b− b+1)
2
Đặt d= (b1+ ; b−+b1)
2
b+1d
 b + 2b+1d

Ta có: ⇒ ⇒ 3bd⇒ 3(b+−1) 3bd⇒ 3 d

2
2
b −+b 1d b −+b 1d



2
Nên d1= hoặc d3= mà (3a−1) không chia hết cho 3 ⇒ d1=
2
⇒ b1+ ; b −+b1 là số chính phương
2 22 2
Đặt b− b+1=n ⇒ (4b− 4b+1)− 4n =−3⇔ (2b+ 2n−1)(2b− 2n−1)=−3
Lập bảng:
2b + 2b – 1 –3 –1 1 3
2b – 2n – 1 1 3 –3 –1
b 0 1 0 1
n -1 -1 1 1
⇒=b0 hoặc b1=
2
Với b=0⇒ (3a−1)=1⇒=a 0
2
Với b=1⇒ (3a−=1) 2 (loại)
Vậy (a; b)= (0; 0) .
==
=
=
Câu 2.
2
a) 2x + x x+ 3−1−=3 0 Điều kiện: x3≥−
( )
2
⇔ 2x + x x+ 3− x−=3 0
2
⇔ 2x + 2x x3+− x x3+− (x3+ )=0
⇔ 2x− x3x+ + x3+=0
( )( )
2
TH1: 2x− x+ 3= 0⇔ 2x= x+ 3 (x≥ 0)⇒ 4x= x+⇔3 (x−1)(4x+ 3)= 0⇔ x= 1

1+ 13
x= (KTM)

2 2

TH2: x+ x3+ =0⇔ x=− x3+ (−≤3 x≤ 0)⇒ x =x3+ ⇔

1− 13
x= (TM)

 2
1− 13
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x1= hoặc x= .
2
22
x + y + x+ y− xy=3 (1)

b)

22 2
(x+ y )(xy+=1) 4− (x− y) (2)


22 22
(2)⇔ (x+ y )(xy+1)=2−++(x y ) 2(xy+1)
22
⇔ (x + y − 2)(xy+ 2)=0
22
x +=y 2
⇔

xy=−2

x1=

22
TH1: x+ y= 2⇒+=x y xy+1⇔ (x−1)(y−1)= 0⇔

y1=

⇒ (x; y)∈{(1; 1); (1;−1); (−1; 1)}
2
TH2: xy=−2⇒ (x+ y)+ (x+ y)+ 3=0 (loại)
Vậy (x; y)∈{(1; 1); (1;−1); (−1; 1)}.
Câu 3.
2
A thuộc (P) : y= x và có hoành độ bằng 2 nên A(2;4) .
d đi qua A(2;4) nên 4= 2a+ b⇔ b= 4− 2a . Suy ra (d) : y= ax−+2a 4
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:
2
x− ax+ 2a− 4= 0⇔ (x− 2)(x−+a 2)= 0⇔ x= 2 hoặc x a2−
Khi đó hoành độ của A và B lần lượt là: x 2; x a− 2
AB
Khoảng cách từ A đến trục tung bằng hai lần khoảng cách từ B đến trục tung
⇒ x 2 x⇔ 2 2a− 2⇔=a 1 hoặc a3=
AB
Vậy a 1; b 2 hoặc a= 3; b=−2 .
==
= =
= =
=
Câu 4.
a)
Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với AE cắt CD tại K.
∆AKD=∆AED (g.c.g)⇒=AK AE
∆KAF vuông tại F có đường cao AD
1 1 1 11 1
⇒ += ⇒ +=
22 2 22 2
AK AF AD AE AF AB
b)
Qua C vẽ đường thẳng song song MN cắt AD ở P.
AD AC AD AP AD+ AP 2AM++MD MP
+= + = =
AM AN AM AM AM AM
2AM+−ID IM+ 2IM 3AM
3
AM AM
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM có:
AD AC AD.AC 4
3= + ≥ 2 ⇒ AM.AN≥ AD.AC : không đổi
AM AN AM.AN 9
AD AC 3 AM 2
Dấu “=” xảy ra khi ==⇒=
AM AN 2 AD 3
AD AC AM 2
Vậy +=3 ; trong trường hợp tích AM.AN nhỏ nhất thì = .
AM AN AD 3
== =
Câu 5.
Hình vẽ câu b
Hình vẽ câu a
a) Chứng minh BFNK nội tiếp:
BCEF và ACBN là các tứ giác nội tiếp
  
⇒=BFK ACB= BNK⇒ BFNK nội tiếp
Chứng minh HK vuông góc với AM:
Vẽ đường kính AJ của (O).
- Dễ dàng chứng minh BHCJ là hình bình hành; M là trung điểm BC
Nên H, M, J thẳng hàng
  
- Đã có BFNK nội tiếp ⇒ KNF=FBC=AEF⇒ AEFN nội tiếp
Nên N thuộc đường tròn đường kính AH ⇒ NH⊥ AN
Vì AJ là đường kính của (O) ⇒⊥NJ AN
Suy ra N, H, M, J thẳng hàng ⇒ MN⊥⇒AK H là trực tâm ∆AMK⇒ HK⊥ AM
b) Chứng minh đường thẳng DE cách đều hai điểm P, Q
Gọi I, J lần lượt là hình chiếu của P, Q lên DE.
 
Đặt LAC= LBC=α .
PI=EP.sin PEI=AE.tanα=.sin BAD AB.sin A.cos B.tanα
QJ=QD.sin QDJ=BD.tanα.sin ABE=AB.sin A.cos B.tanα
Suy ra PI= QJ . Vậy đường thẳng DE cách đều hai điểm P, Q.
Câu 6.
2 22 2
Ta chứng minh (xy+ yz+ zx) ≥ 3xyz(x++y z)⇔ (xy− yz) + (yz− zx) + (zx− xy) ≥ 0
2
Vì x+ yz+ =3 nên ta có: (xy++yz zx) ≥ 9xyz
22 2 2
(xy++yz zx) .(x ++y z )
2 22
Do đó: P xyz(x++y z )≤
9
6
(x++y z)
2 2 2 2
Áp dụng AM-GM bậc 3 có: (xy++yz zx) (x ++y z )≤ =27
27
Vậy P3≤ . Dấu “=” xảy ra khi x y z1.
= = =
=

onthicaptoc.com Đề thi có đáp án tuyển sinh vào 10 môn toán năm 2017 THPT chuyên tỉnh quảng nam khối chuyên toán