SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
QUẢNG NAM
Năm học: 2014 – 2015
ĐỀ CHÍNH THỨC
Khóa thi ngày 06 tháng 6 năm 2014
Môn: TOÁN (Chuyên Toán)
Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề)
Câu 1.( 2 điểm)
a/ Cho . Tính giá trị biểu thức M = ( a2 + a - 1 )2014
b/ Cho x, y là các số nguyên dương và x2 + 2y là số chính phương.
Chứng minh rằng x2 + y bằng tổng của hai số chính phương.
Câu 2.( 2 điểm)
a/ Giải phương trình sau:
b/ Giải hệ phương trình:

Câu 3.( 1điểm) Cho các hàm số và lần lượt có các đồ thị là (d) và (P).
Với giá trị nào của m thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm bên phải trục tung?
Câu 4.(2 điểm) Cho ΔABC và điểm G bất kỳ trong tam giác, qua G vẽ các tia vuông góc với BC, CA, AB lần lượt cắt các cạnh đó tại D, E, F. Trên các tia GD, GE, GF lấy các điểm A’, B’, C’ sao cho: . Gọi H là điểm đối xứng của A’ qua G.
a/ Chứng minh HB’ // GC’.
b/ Chứng minh G là trọng tâm ΔA’B’C’.
Câu 5.( 2 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC. Đường tròn (O) đường kính BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại E và D; BD cắt CE tại H; AH cắt BC tại I. Vẽ các tiếp tuyến AM, AN của đường tròn (O) (M, N là các tiếp điểm). Chứng minh:
a) H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEI.
b) Ba đường thẳng MN, BD, và CE đồng quy.
Câu 6.( 1 điểm)
Trong hệ trục Oxy có đường thẳng (d): y = 2014 - x cắt trục Ox tại điểm A, cắt Oy tại điểm B. Một điểm M( x; y) di động trên đoạn AB ( M không trùng với A và B), tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
--------------------- Hết ----------------------
Họ và tên thí sinh:……………………………………………………Số Báo Danh:………………
Chữ ký Giám thị 1 Chữ ký Giám thị 2
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN CHUYÊN
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2014 – 2015
KHÓA NGÀY 06/6/2014
Nội dung
Điểm
Câu 1: 2điểm
( tử 0.25; mẫu 0.25)
( tử 0.25; kết quả 0.25)
0.25
0.5
0.5
A = 1
0.25
b/ gt x2 + 2y = k2 ( k Î N*) suy ra x và k cùng tính chẵn, lẻ
Nếu x chẵn: x = 2m ( m Î N*) và k = 2n ( nÎ N*)
Gt y = 2n2- 2m2
Khi đó x2 + y = (2m)2 + 2n2- 2m2 = 2m2 + 2n2 = ( m + n)2 + (m-n)2 ( đpcm)
0.25
Nếu x; k lẻ : x = 2m +1( m Î N*) và k = 2n+ 1 ( nÎ N*)
Gt y = 2n2- 2m2 + 2n - 2m
Khi đó x2 + y = (2m +1)2 + 2n2- 2m2 + 2n - 2m
= m2 + n2 + 1 + 2mn + 2m + 2n + m2 + n2 - 2mn
= ( m + n + 1)2 + (m-n)2 ( đpcm)
Kết luận : Nếu x2 + 2y chính phương thì x2 + y là tổng của hai số chính phương
0.25
Cách khác: vì x; y là các số nguyên dương nên x2 + 2y > x;
x2 + 2y là số chính phương nên x2 + 2y = (x + t)2 với t
2y = t2 + 2tx t chẵn t = 2k (k )
Do đó 2y = 4k2 + 4kx y = 2k2 + 2kx x2 + y = (x + k)2 + k2
0.25
0.25
Câu 2: 2 điểm
ĐK:
Đặt
0.25

Do đó pt đã cho trở thành :
0.25
(t – 2)(t2 + 2t + 2) = 0 t = 2 (thỏa mãn)
0.25
hoặc x = 3
Đối chiếu ĐK, cả hai giá trị -1 và 3 đều thỏa mãn.
Vậy PT có tập nghiệm
0.25
b/
Pt (1) (y - 2x)(y - 2) = 0 y = 2 hoặc y = 2x
0.25
Nếu y = 2 thì pt (2) trở thành x3 + 3x2 - 4 = 0 x =1 hoăc x = -2
0.25
Nếu y = 2x thì pt (2) trở thành x3 - x2 + 2x - 2 = 0 x = 1
Suy ra y = 2
0.25
Kết luận hệ phương trình có hai nghiệm
0.25
Câu 3: 1.điểm

PT hoành độ giao điểm (1)
Đồ thị (d) cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân biệt nằm bên phải trục tung khi và chỉ khi PT (1) có hai nghiệm dương phân biệt.
0.25
PT (1) có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi :
0.25
0.25
Kết luận :
0.25
Câu 4: 2 điểm
Hình vẽ : phục vụ cho câu a, 0.25 đ
a/Ta có ( góc có cạnh tương ứng vuông góc)
Mà GA’ = GH nên
(gt)
do đó ΔABC đồng dạng với ΔB’HG (c-g-c)
=>
gọi K giao điểm B’H với đt AB ta ch/m được tứ giác BDHK nội tiếp
HB’ ^ AB
Mà GC’ ^ AB nên HB’ // GC’
0.25
0.25
0.25
b/ Gọi M trung điểm A’B’
=> GM // HB’ ( đtrb Δ A’HB’)
0.25
=> GM ^ AB ( cùng song song HB’)
=> C’ ; G; M thẳng hàng ( cùng ^ AB)
=> C’M là trung tuyến ΔA’B’C’
Tương tự ta cũng ch/m được A’G là trung tuyến
Vậy G là trọng tâm Δ A’B’C’
0.25
0.25
0.25
Câu 5: 2 điểm
Hình vẽ phục vụ câu a và b
0.25
a/ Các tứ giác BIHE ; CIHD nội tiếp suy ra
suy ra IH là phân giác của góc EID
C/minh tương tự DH là phân giác của góc EDI
Suy ra H là tâm đường tròn nội tiếp củaEDI
0.25
0.25
0.25
b/ Chứng minh được AH.AI = AE.AB = AM2
AHM đồng dạng với AMI =
0.25
Chứng minh tương tự =
C/minh tứ giác AMIN nội tiếp một đường tròn
+ =
M, H, N thẳng hàng.
Vậy ba đường thẳng MN, BD, CE đồng quy.
0.25
0.25
0.25
Câu 6: 1 điểm
Ta có A(2014 ; 0) và B( 0; 2014) theo giả thiết thì 0 < x ; y < 2014
0.25
Ta có
0.25
Lại có
Từ (1) và (2) ta có
0.25
Suy ra , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y =
Vậy GTNN của P là
0.25
Chú ý : Thí sinh giải cách khác đáp án, các giám khảo thống nhất theo thang điểm của đáp án

onthicaptoc.com Đề thi có đáp án tuyển sinh vào 10 môn toán năm 2014 THPT chuyên tỉnh quảng nam khối chuyên toán