onthicaptoc.com
PHÒNG GD&ĐT THỌ XUÂN
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: Cho biểu thức:
a) Rút gọn K
b) Tìm giá trị lớn nhất của K
Bài 2: a) Tìm tất cả các số nguyên tố x, y sao cho: x2 – 6y2 = 1.
b) Cho p và p + 2 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng p + 1 6.
Bài 3: a) Chứng minh rằng A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19
b) Giải phương trình nghiệm nguyên:
Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD, điểm P thuộc đường chéo BD ( P khác B và D), Gọi M là điểm đối xứng của C qua P
a. Chứng minh AM song song với BD
b. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của M trên AD và AB.
Chứng mỉnh ba điểm E, F, P thẳng hàng
c. Chứng minh tỉ số độ dài hai đoạn thẳng MF và FA không phụ thuộc vào vị trí
của P
Bài 5: Cho hai số thực
Hết
Bài 1
a, ĐKXĐ:


b, Nếu
Nếu , vậy K lớn nhất bằng khi x= - 1
Bài 2
a) HD:
b) HD: Vì p là số nguyên tố và p > 3, nên số nguyên tố p có 1 trong 2 dạng: 3k + 1, 3k + 2 với k N*.
- Nếu p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1) p + 2 3 và p + 2 > 3. Do đó
p + 2 là hợp số ( Trái với đề bài p + 2 là số nguyên tố).
- Nếu p = 3k + 2 thì p + 1 = 3k + 3 = 3(k + 1) (1).
Do p là số nguyên tố và p > 3 p lẻ k lẻ k + 1 chẵn k + 12 (2)
Từ (1) và (2) p + 16.
Bài 3 Chứng minh rằng A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19
HDa:
Ta có A = A = 7.52n + 12.6n = A = 7.25n + 12.6n
Vì 25 ≡ 6 (mod 19) => 25n ≡ 6n (mod 19)
=>7.25n ≡ 7.6n (mod 19) => 7.25n + 12.6n ≡ 7.6n + 12.6n ≡ 19.6n ≡ 0 (mod 19) . Điều này chứng tỏ A chia hết cho 19.
HD b:
Ta chứng minh được:

Bài 4:
a, Ta có: O là trung điểm của AC (ABCD là hình chữ nhật)
P là trung điểm của CM ( Vì M đối xứng với C qua P)
Nên Op là đường trung bình của ACM, do đó: OP//AM=> AM//BD
b, Vì OP là đường trunh bình của ACM nên OP//AM và OP= AM
Do đó: OP//AI và OP=AI=> tứ giác AIPO là hình bình hành=> PI//AC (1)
Kẻ ME//AB cắt AC tại K, ta có:
Nên AE là phân giác . Mặt khác: cân
E là trung điểm của KM,
do đó EI là đường trung bình của AMK=> EI//OA=>EI//AC (2)
Ta lại có : E, I, F thẳng hàng (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có: E, F, P thẳng hàng.
B5.HD:
onthicaptoc.com

onthicaptoc.com De thi chon HSGToan 8 cap truong 23 24