onthicaptoc.com
ĐỀ MINH HỌA KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2025
Bài thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề
Phương án 1
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1. Cho hàm số xác định, liên tục trên và có đồ thị như hình dưới.
Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số cho trên đoạn
[-2; 2]. Giá trị bằng
A. . B. C. . D. .
Câu 2. Cho hàm số . Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên .
B. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một đường tiệm cận.
C. Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số không đi qua gốc toạ độ.
D. Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị.
Câu 3. Hàm số nào trong bốn hàm số dưới đây có đồ thị như hình vẽ?
A. . B. . C. . D. .
Câu 4. Giả sử rằng số dân của một thị xã sau năm (kể từ năm 2022) được tính bởi công thức (đơn vị của được tính bằng nghìn người). Hỏi trong khoảng thời gian từ năm 2022 đến năm 2030 (tức là ), số dân lớn nhất của thị xã đó là bao nhiêu?
A. 20,1 nghìn người. B. 20,6 nghìn người. C. 21,8 nghìn người. D. 20,4 nghìn người.
Câu 5. Cho hàm số là một nguyên hàm của hàm số và thỏa mãn . Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. B. . C. D. .
Câu 6. Một bồn chứa nước bị rò rỉ với tốc độ chảy ra vào thời điểm phút được cho bởi công thức (lít/phút). Biết rằng (lít) là thể tích nước chảy ra khỏi bồn tính tới thời điểm phút. Gọi thể tích nước chảy ra khỏi bồn trong 15 phút đầu tiên kể từ khi nước bị rò rỉ và là thể tích nước chảy ra khỏi bồn từ sau phút thứ 15 đến hết phút thứ 30 . Tính .
A. 30 lít. B. 50 lít. C. 450 lít. D. 3075 lít.
Câu 7. Cho hình hộp . Khi đó, vectơ bằng vectơ nào dưới đây?
A. . B. . C. . D. .
Câu 8. Phương trình mặt cầu tâm và đi qua điểm là
A. . B. .
C. . D. .
Câu 9. Trong không gian , cho điểm và mặt phẳng . Gọi ( d ) là đường thẳng đi qua và vuông góc với . Gọi là giao điểm của ( d ) và mặt phẳng . Tọa độ điểm là
A. . B. . C. . D. .
Câu 10. Trong không gian (đơn vị trên mỗi trục là ), một máy bay đang di chuyển với hướng bay không đổi từ điểm đến vị trí hạ cánh là . Góc tạo bởi đường bay của máy bay và mặt đất có giá trị gần nhất với phương án nào sau đây?
A. . B. . C. . D. .
Câu 11. Mỗi ngày bác Hương đều đi bộ để rèn luyện sức khỏe. Quãng đường đi bộ mỗi ngày (đơn vị: km) của bác Hương trong 20 ngày được thống kê lại ở bảng sau:
Quãng đường (km)





Số ngày
3
6
5
4
2
Phương sai của mẫu số liệu về quãng đường đi bộ mỗi ngày của bác Hương (kết quả làm tròn tới hàng phần trăm) là
A. 0,13 . B. 0,36 . C. 2,85 . D. 3,39 .
Câu 12. Một mảnh đất chia thành 2 khu vườn: Khu có 300 cây ăn quả, khu có 400 cây ăn quả. Trong đó, số cây cam ở khu A và khu B lần lượt là 200 cây và 250 cây. Chọn ngẫu nhiên 1 cây trong mảnh đất. Xác suất cây được chọn là cây cam, biết rằng cây đó ở khu B là
A. . B. . C. . D. .
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1. Cho hàm số có đồ thị và đường thẳng như hình dưới.
a)
b) Phương trình đường thẳng là .
c) Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị , trục hoành và các đường thẳng xung quanh trục là (đvtt).
d) Gọi lần lượt là diện tích của hình phẳng (phần gạch chéo) và hình phẳng (xem hình vẽ). Khi đó .
Câu 2. Cho một chất điểm chuyển động trên đường thẳng. Vận tốc của chất điểm trong khoảng thời gian từ đến được cho bởi đồ thị như hình dưới, bao gồm các đoạn thẳng và nửa đường tròn đường kính . Ở đây, thời gian tính bằng giây, vận tốc tính bằng là thời điểm chất điểm bắt đầu chuyển động. Khi đó:
a) Vận tốc của chất điểm tại thời điểm giây là .
b) Sau thời điểm 6 giây thì chất điểm chuyển động theo chiều dương.
c) Gia tốc của chất điểm tại thời điểm giây là .
d) Quãng đường mà chất điểm đi được trong 4 giây đầu tiên là 4 m .
Câu 3. Trong không gian , cho hai đường thẳng

a) Góc giữa hai đường thẳng và (tính chính xác đến hàng đơn vị của độ) là .
b) Mặt phẳng chứa điểm và vuông góc với đường thẳng đi qua gốc toạ độ O.
c) Hai đường thẳng và chéo nhau.
d) Giả sử lần lượt là hai điểm thuộc các đường thẳng sao cho độ dài đoạn nhỏ nhất. Khi đó, .
Câu 4. Tại World Cup 2022, FIFA sử dụng công nghệ quay mới để ghi lại những diễn biến trên sân vận động nhanh chóng và chi tiết hơn. Công nghệ này gồm một máy quay điều khiển từ xa, được gắn bằng dây cáp nối đến các góc sân. Để lắp đặt máy quay, phải có 4 điểm cao để gắn dây cáp. Dây cáp gắn máy quay được làm bằng
sợi kevlar không giãn, đồng thời sân bóng có một máy tính riêng để điều khiển các sợi dây cáp khi cần. Các sân bóng có thể tận dụng các điểm cao trên khán đài để gắn dây cáp, hoặc dựng các cột cao tạm thời (Theo ).
Giả sử sân bóng có chiều dài 320 m , chiều rộng 280 m và chiều cao của mỗi cột gắn cáp là 73 m . Bốn cột gắn cáp được dựng ở 4 góc của sân vận động. Chọn hệ trục tọa độ như hình dưới, vị trí máy quay được biểu diễn bởi điểm thuộc miền trong của khối hộp chữ nhật (đơn vị trên mỗi trục tương ứng với 1 m ).
Ta có .
a) Khi máy quay đặt tại tâm của hình hộp thì máy quay có tọa độ .
b) Khi máy quay đặt tại điểm thì máy quay cách điểm treo cáp là 202 m .
c) Giả sử ban đầu máy quay ở vị trí A. Có tình huống đá phạt penalty nên cần di chuyển máy quay tới độ cao 20 m ngay phía trên vị trí đặt quả bóng khi đá penalty có tọa độ (tức là hình chiếu vuông góc của máy quay xuống mặt sân là quả bóng). Độ dài quãng đường ngắn nhất mà máy quay phải di chuyển là 150 m (kết quả làm tròn tới hàng đơn vị của mét).
d) Khi máy quay cách đều bốn điểm treo cáp một khoảng là 215 m thì máy quay có độ cao lớn hơn 35 m so với mặt sân bóng.
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6 .
Câu 1. Cho hàm số có đạo hàm . Hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm . Tính giá trị của .
Câu 2. Một cánh cổng, với cổng vòm có dạng parabol, gồm hai phần: phần hai cánh cửa có dạng hình chữ nhật , phần còn lại là phần trang trí (như hình dưới). Biết rằng và . Tính diện tích (đơn vị: ) phần trang trí của cổng.
Câu 3. Trong không gian , cho điểm và mặt phẳng . Mặt phẳng đi qua , vuông góc với và song song với trục có phương trình là . Tính giá trị của .
Câu 4. Một máy bay bay ngang qua một trạm kiểm soát không lưu và cách trạm kiểm soát này một khoảng (theo đường chim bay) là 14 km . Cho hệ tọa độ được thiết lập như
hình dưới (đơn vị trên mỗi trục là kilômét), O là vị trí trạm kiểm soát và là vị trí của máy bay (coi máy bay là một điểm trong không gian), người ta tính được . Khi đó, nếu điểm có tọa độ thì có giá trị là bao nhiêu?
Câu 5. Thời gian sử dụng mạng xã hội trong một ngày của một số học sinh được thống kê trong biểu đồ sau:
Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Câu 6. Một cửa hàng điện thoại di động thống kê và thấy rằng, khách hàng khi đến mua điện thoại thì sẽ mua Iphone còn khách hàng sẽ mua điện thoại Samsung. Biết rằng nếu khách hàng mua Iphone, tỉ lệ dán màn hình là , còn nếu mua điện thoại Samsung thì tỉ lệ dán màn hình lên tới . Chọn ngẫu nhiên một khách hàng, thì thấy người đó mua điện thoại nhưng không dán màn hình. Biết xác suất để người đó mua điện thoại Iphone là , với là phân số tối giản. Tính .
ĐÁP ÁN ĐỀ MINH HỌA KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA
PHƯƠNG ÁN 1
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
(Mỗi câu trả lời đúng thí sinh được 0,25 điểm)
Câu
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Đáp án
C
D
C
D
A
C
C
A
B
B
A
A
Câu 4. Ta có: . Suy ra hàm số đồng biến trên nửa khoản .
Do đó, trong khoảng thời gian từ năm 2022 đến năm 2030 thì số dân lớn nhất của xã đó là vào năm 2030 .
Khi đó, số dân lớn nhất của xã đó là: (nghìn người).
Câu 5. Với phương án C , ta có ; với phương án D , ta có . Do đó ta loại hai phương án C và D .
Cả hai phương án A và B đều thỏa mãn điều kiện . Bằng cách tính đạo hàm để thử lại thì ta kết luận A là phương án đúng.
Câu 6. Ta có lít;
lít.
Vậy lít.
Câu 9. Ta có: mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến .
Vậy đường thẳng đi qua và vuông góc với có phương trình là:
Suy ra tọa độ điểm .
Câu 10. Gọi là góc hợp bởi đường bay của máy bay với mặt đất.
Khi đó .
Ta có: , vectơ pháp tuyến của là
.
Câu 12. Xét các biến cố:
M: Cây được chọn là cây cam; : Cây được chọn ở khu .
Ta có: .
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai
Điểm tối đa của 01 câu hỏi là 1 điểm.
* Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 01 ý trong 1 câu hỏi được 0,1 điểm.
* Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 02 ý trong 1 câu hỏi được 0,25 điểm.
* Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 03 ý trong 1 câu hỏi được 0,50 điểm.
* Thí sinh lựa chọn chính xác cả 04 ý trong 1 câu hỏi được 1 điểm.
Câu 1
Câu 2
Câu 3
Câu 4
a) Đ
a) Đ
a) S
a) S
b) S
b) S
b) S
b) S
c) S
c) Đ
c) Đ
c) Đ
d) S
d) S
d) S
d) Đ
Câu 1. a) Đúng vì .
b) Sai vì:
Đường thẳng đi qua hai điểm có tọa độ và .
Do đó vectơ chỉ phương của đường thẳng là .
Suy ra vectơ pháp tuyến của đường thẳng là .
Vậy phương trình của đường thẳng là hay .
c) Sai vì thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình giới hạn bởi và đường thẳng quay quanh trục là .
d) Sai vì:
Ta có: là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng và đồ thị .
Từ đồ thị, ta thấy đường thẳng cắt đồ thị tại hai điểm có hoành độ lần lượt là và .
Suy ra .
Lại có: là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị , trục và các đường thẳng .
Do đó .
Vậy .
Câu 2. b) Sai vì khi nên chất điểm chuyển động theo chiều âm.
c) Đúng vì phương trình đường thẳng chứa đoạn CD là . Suy ra .
Do đó tại thời điểm giây, gia tốc của chất điểm là .
d) Sai vì: Tổng quãng đường chất điểm đi được trong 4 giây là diện tích của miền giới hạn bởi các đường có phương trình và bằng .
Câu 3.
a) Sai
Ta có: .
Khi đó: nên .
b) Sai
Gọi là mặt phẳng đi qua điểm và vuông góc với đường thẳng .
Khi đó .
Ta có nên mặt phẳng không đi qua gốc tọa độ.
c) Đúng
Ta có:
Lấy . Suy ra .
Xét .
Vậy hai đường thẳng và chéo nhau.
d) Sai
Độ dài đoạn ngắn nhất khi là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng và .
Gọi .
Suy ra .
Ta có
Vậy .
Câu 4.
Ta có:
.
a) Sai vì .
b) Sai vì
c) Đúng vì tọa độ của máy quay là .
Độ dài ngắn nhất mà máy quay phải di chuyển là

d) Đúng vì:
Gọi lần lượt là trung điểm của các đoạn .
Do nên M thuộc mặt phẳng trung trực của đường thẳng .
Gọi là hình chiếu vuông góc của lên .
Ta có .
Khi đó .
Vậy khoảng cách từ tới mặt sân là .
Chú ý. Có thể xác định tọa độ H là tâm của hình chữ nhật, sau đó viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua H và song song với trục Oz , và tìm điểm M thuộc đường thẳng đó sao cho . Từ đó tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng .
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn
(Mỗi câu trả lời đúng thí sinh được 0,5 điểm)
Câu
1
2
3
4
5
6
Đáp số
1
3,5
1
-98
1,54
11
Câu 1. Bảng biến thiên của hàm số như sau:
Suy ra hàm số đã cho có điểm cực đại là .
Câu 2. Sử dụng hệ trục tọa độ như hình dưới.
Gọi phương trình của parabol là .
Khi đó đi qua và .
Suy ra .
Khi đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong và trục là:
Do .
Đường thẳng cắt parabol tại điểm có tung độ là .
Do đó .
Diện tích phần hai cánh hình chữ nhật là:
Vậy diện tích phần cổng làm trang trí là: .
Câu 3. Ta có một VTPT của là ; một VTCP của trục Ox là .
Theo giả thiết một VTPT của mặt phẳng cần tìm là .
Suy ra phương trình mă̆t phẳng cần tìm là .
Câu 4.
Tứ giác là hình chữ nhật và nên là hình vuông.
Ta có . Do đó, .
Xét tam giác vuông tại , ta có: .
Do đó, .
Xét tam giác vuông tại , ta có: .
Do đó, .
Vậy .
Câu 5.
. .
Vậy .
Câu 6. Kí hiệu là biến cố Khách hàng mua điện thoại Iphone và là biến cố Khách hàng mua điện thoại Samsung.
Gọi là biến cố Khách hàng dán màn hình khi mua điện thoại.
Vì khi đến mua điện thoại thì khách hàng sẽ mua Iphone còn khách hàng sẽ mua điện thoại Samsung nên: .
Theo đề bài: Tỉ lệ màn hình của khách hàng mua Iphone là .
Tỉ lệ màn hình của khách hàng mua Samsung là .
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta được:

Xác suất người đó mua điện thoại nhưng không dán màn hình là

Xác suất để người không dán màn hình đó mua điện thoại Iphone chính là .
Áp dụng công thức Bayes, ta có .
Do đó .
onthicaptoc.com

onthicaptoc.com De minh hoa thi TN THPT mon Toan 2025 phuong an 1