onthicaptoc.com
ĐỀ MINH HỌA KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2025
Bài thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề
Phương án 2
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1. Đường cong nào dưới đây là đồ thị của hàm số ?
A. B. C. D.
Câu 2. Cho hàm số , với là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định?
A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 5 .
Câu 3. Cho hàm số . Hàm số có bao nhiêu điểm cực tiểu?
A. 0 . B. 1 . C. 2 . D. 3 .
Câu 4. Một loại vi khuẩn được tiêm một loại thuốc kích thích sự sinh sản. Sau t giây, số vi khuẩn được xác định theo công thức . Hỏi sau bao nhiêu giây thì số vi khuẩn lớn nhất?
A. 10 giây. B. 20 giây. C. 25 giây. D. 30 giây.
Câu 5. Cho hàm số . Biết rằng . Tính giá trị của biểu thức .
A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Câu 6. Một bức tường hình chữ nhật ABCO cao , dài 8 m . Bạn Bình trang trí bức tường bằng cách vẽ đường cong là một hàm số bậc ba trong hệ trục tọa độ như hình dưới, mỗi phần sơn một màu, phần phía trên sơn màu xanh da trời và phần phía dưới sơn màu trắng. Mỗi đơn vị trên các trục tương ứng với 1 m .
Biết 1 hộp sơn sẽ sơn được tường. Bạn Bình phải mua tối thiểu bao nhiên hộp sơn màu trắng để sơn bức tường?
A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 6 .
Câu 7. Trong không gian , cho hai vectơ . Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. B. và cùng phương.
C. . D. .
Câu 8. Trong không gian Oxyz , giao điểm của mặt phẳng và đường thẳng là điểm . Tổng bằng
A. 1 . B. 2 . C. 5 . D. -2 .
Câu 9. Trong không gian , cho mặt cầu . Tọa độ tâm của mặt cầu là
A. . B. . C. . D. .
Câu 10. Tọa độ hóa ngôi nhà kho của bác Hùng như hình dưới. Coi các bức tường và hai mái đều là hình chữ nhật, đơn vị trên mỗi trục là mét. Bác cần treo một chiếc đèn lên tâm của trần nhà (tức là giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật ). Khoảng cách từ điểm treo chiếc đèn đến mặt phẳng song song với trần nhà và đi qua đỉnh của mái nhà (đoạn thẳng ) là
A. 1 . B. 3 . C. . D. 2 .
Câu 11. Thống kê điểm trung bình môn Toán của một số học sinh lớp 12 được mẫu số liệu sau
Khoảng điểm

Tần số
8
10
16
24
13
7
4
Phương sai của mẫu số liệu về điểm trung bình môn Toán của các học sinh đó là
A. 0,616 . B. 0,785 . C. 0,78 . D. 0,609 .
Câu 12. Lớp Toán cao cấp có 95 sinh viên, trong đó có 40 nam và 55 nữ. Trong kì thi môn Xác suất thống kê có 23 sinh viên đạt điểm giỏi (trong đó có 12 nam và 11 nữ). Chọn ngẫu nhiên một sinh viên trong danh sách lớp. Tính xác suất chọn được sinh viên đạt điểm giỏi môn Xác suất thống kê, biết rằng sinh viên đó là nư?
A. . B. . C. . D. .
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1. Cho hàm số có đồ thị .
a) Tâm đối xứng của đồ thị là điểm .
b) Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là .
c) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là đường thẳng .
d) Điểm thuộc đồ thị sao cho và độ dài ngắn nhất có tung độ , với là tâm đối xứng của đồ thị .
Câu 2.
Một người đi ô tô từ đường dẫn muốn nhập vào đường cao tốc. Khi đang đi với vận tốc thì người đó bắt đầu tăng tốc để đạt được vận tốc yêu cầu tối thiểu khi nhập làn là . Biết rằng sau khi tăng tốc được 10 giây, xe người đó bắt đầu vào đường cao tốc với vận tốc . Giả sử rằng xe tăng tốc nhanh dần đều với vận tốc biểu diễn theo thời gian (giây) là một hàm số bậc nhất có dạng (đơn vị: ).
a) Khi bắt đầu vào đường cao tốc, ô tô có vận tốc .
b) Hàm số biểu diễn vận tốc của xe từ lúc bắt đầu tăng tốc đến khi vào cao tốc là
c) Quãng đường xe đi được từ lúc bắt đầu tăng tốc đến khi vào đường cao tốc là 133 m (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của mét).
d) Biết trên đường cao tốc giới hạn vận tốc tối đa là . Nếu giữ nguyên độ tăng vận tốc như vậy thì sau 26 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc ô tô sẽ đi quá vận tốc tối đa cho phép.
Câu 3. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng và mặt phẳng .
a) Đường thẳng đi qua điểm .
b) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là .
c) Đường thẳng vuông góc với và song song với mặt phẳng ( Oxy ) có một vectơ chỉ phương là .
d) Gọi là đường thẳng qua , vuông góc với đường thẳng và cắt trục Oz . Khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng nhỏ hơn .
Câu 4. Thời gian (phút) truy cập Internet một ngày của 60 học sinh trường THPT A và 60 học sinh trường THPT B được cho như sau:
Thời gian
(phút)





Số học sinh
THPT trường A
3
12
15
20
10
Thời gian
(phút)





Số học sinh
THPT trường B
4
8
12
23
13
a) Thời gian truy cập Internet trung bình một ngày của nhóm học sinh THPT trường A nhỏ hơn thời gian truy cập trung bình của nhóm học sinh THPT truờng B .
b) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian truy cập Internet một ngày của học sinh THPT trường B nhỏ hơn độ lệch chuẩn của mẫu số liệu về thời gian truy cập Internet một ngày của học sinh THPT trường A .
c) Nếu căn cứ vào sự so sánh khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu về thời gian truy cập Internet của hai nhóm, ta kết luận thời gian truy cập Internet một ngày của nhóm học sinh trường B phân tán hơn nhóm học sinh truờng A .
d) Chọn 1 học sinh THPT bất kì từ mẫu dữ liệu trên. Biết học sinh đó truy cập Internet dưới 60 phút một ngày. Khả năng chọn được học sinh truờng A cao hơn khả năng chọn được học sinh trường B .
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6 .
Câu 1. Cho đồ thị hàm số gồm 3 đoạn gấp khúc như hình dưới. Biết , tính giá trị của .
Câu 2. Giả sử số lượng quần thể nấm men tại môi trường nuôi cấy trong phòng thí nghiệm được mô hình hóa bằng hàm số , trong đó thời gian được tính bằng giờ, . Coi là thời điểm ban đầu. Cận tối thiểu bao nhiêu giờ để tốc độ tăng trưởng của quần thể nấm men không vượt quá 4 tế bào/giờ? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Câu 3. Trong không gian Oxyz , cho điểm và mặt phẳng . Tính tổng các giá trị của sao cho bình phương khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng 26 .
Câu 4. Trong không gian , cho hình hộp với , . Tính thể tích của khối hộp .
Câu 5. Một chiếc đèn tròn được treo bởi ba sợi dây không dãn xuất phát từ điểm trên trần nhà lần lượt buộc vào ba điểm trên đèn tròn sao cho tam giác đều và mặt phẳng song song với nền nhà (như hình dưới). Độ dài của mỗi đoạn dây đều bằng . Trọng lượng của chiếc đèn là 24 N và bán kính chiếc đèn là 18 cm . Giả sử các lực căng trên mỗi sợi dây có cùng độ lớn là (phụ thuộc vào độ dài của mỗi sợi dây). Biết rằng . Nếu chiều dài của mỗi đoạn dây tối thiểu là 20 cm , độ lớn của lực căng trên mỗi sợi dây có giá trị lớn nhất là bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)?
Câu 6. Trường THPT A có học sinh tham gia câu lạc bộ âm nhạc, trong đó có học sinh của câu lạc bộ biết chơi đàn guitar. Ngoài ra, có số học sinh của trường không tham gia câu lạc bộ âm nhạc nhưng cũng biết chơi đàn guitar. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh của trường. Giả sử học sinh đó biết chơi đàn guitar. Xác suất chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ âm nhạc là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
ĐÁP ÁN ĐỀ MINH HỌA KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA
PHƯƠNG ÁN 2
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
(Mỗi câu trả lời đúng thí sinh được 0,25 điểm)
Câu
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Đáp án
A
B
C
B
C
B
B
D
B
A
D
A
Câu 1 .
Tiệm cận đứng , tiệm cận xiên
Bảng biến thiên:
Câu 2. ĐKXĐ: .
Ta có: .
Hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng xác định
, với mọi và dấu bằng chỉ xảy ra tại hữu hạn các điểm .
.
Mà nên . Vậy có 3 giá trị nguyên của .
Câu 6. Diện tích phần sơn trắng là .
Do nên ta cần ít nhất 3 hộp sơn trắng.
Câu 10. Ta có . Từ .
Tọa độ của . Do đó tọa độ điểm treo đèn là .
Mặt phẳng song song với trần và đi qua có vectơ pháp tuyến là .
Do đó phương trình là .
Khoảng cách từ M đến là 1 .
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai
Điểm tối đa của 01 câu hỏi là 1 điểm.
* Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 01 ý trong 1 câu hỏi được 0,1 điểm.
* Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 02 ý trong 1 câu hỏi được 0,25 điểm.
* Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 03 ý trong 1 câu hỏi được 0,50 điểm.
* Thí sinh lựa chọn chính xác cả 04 ý trong 1 câu hỏi được 1 điểm.
Câu 1
Câu 2
Câu 3
Câu 4
a) Đ
a) S
a) Đ
a) Đ
b) Đ
b) Đ
b) S
b) S
c) S
c) Đ
c) Đ
c) S
d) Đ
d) S
d) Đ
d) Đ
Câu 1.
a) Đúng
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng .
Ta có: .
Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là đường thẳng .
Do đó tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận là .
b) Đúng
Ta có: .
.
Vậy, đồ thị hàm số có hai cực trị là .
Do đó, khoảng cách giữa hai điểm cực trị là .
c) Sai
Ta có: .
Giao điểm của đồ thị hàm số với trục là .
Ta có: .
Khi đó, phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm là đường thẳng .
d) Đúng
Điểm .
Để nhỏ nhất thì nhỏ nhất.
Ta có: .
Đặt . Khi đó, ta được: .
.
Bảng biến thiên:
Vậy .
Khi đó: .
Do .
Câu 2. a) Sai vì khi bắt đầu vào đường cao tốc, vận tốc của ô tô là .
b) Đúng vì tại và tại .
c) Đúng vì quãng đường xe đi được từ lúc bắt đầu tăng tốc đến khi vào cao tốc là
d) Sai vì: .
Để thì . Tại , ô tô vẫn chưa vượt quá giới hạn tốc độ tối đa.
Câu 3.
a) Đúng.
Ta viết lại phương trình đường thẳng dưới dạng tham số như sau
Thay vào phương trình đường thẳng ta được
. Vậy với đường thẳng đi qua điểm .
b) Sai. Ta có vectơ chỉ phương của đường thẳng là ; vetơ pháp tuyến của mặt phẳng là .
Do đó .
c) Đúng.
Gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d. Vì d vuông góc với nên .
Đồng thời, do d song song với mặt phẳng ( Oxy ) nên vuông góc với vetơ pháp tuyến của mặt phẳng tức với .
Vậy . Chọn .
d) Đúng. Gọi đường thẳng cần tìm là .
Theo câu b) vectơ chỉ phương của là .
Gọi là điểm thuộc Oz mà đường thẳng đi qua là một vectơ chỉ phương của .
Suy ra

Vậy đường thẳng đi qua nhận vectơ làm vectơ chỉ
phương có phương trình .
Giả sử là chân đường vuông góc kẻ từ O xuống . Khi đó
Để thì , do đó , tức là .
Suy ra .
Câu 4. d) Đúng vì:
Gọi là biến cố Chọn được học sinh trường A , là biến cố Chọn được học sinh trường B.
Gọi là biến cố Học sinh được chọn có thời gian sử dụng Internet dưới 60 phút một ngày, là biến cố Học sinh được chọn có thời gian sử dụng Internet ít nhất 60 phút một ngày.
Khi đó .
Do đó, . Suy ra .
Vậy xác suất để chọn được học sinh trường A cao hơn xác suất chọn được học sinh trường B.
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn
(Mỗi câu trả lời đúng thí sinh được 0,5 điểm)
Câu
1
2
3
4
5
6
Đáp số
-7
5
0,64
16
18,4
0,69
Câu 1.
Ta có phương trình đường thẳng đi qua hai điểm và là . Nên đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3 .
Khi đó và bằng diện tích của miền giới hạn bởi và bằng .
Suy ra .
Câu 2. Ta có .
Để tốc độ tăng trưởng của quần thể nấm men không vượt quá 4 tế bào/giờ thì
hoặc
hoặc
Do nên cần ít nhất 5 giờ để tốc độ tăng trưởng của quần thể nấm men không vượt quá 4 tế bào/giờ.
Câu 3.
Ta có . Theo đề bài ta có .
Suy ra . Phương trình bậc hai này có nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt .
Do đó, theo định lí Viét, tổng các giá trị của là: .
Câu 4.
Ta có .
Gọi là hình chiếu của lên mặt phẳng .
Thể tích của khối hộp là .
Ta có nên một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là
Phương trình mặt phẳng là .
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là
Ta có .
Suy ra diện tích hình bình hành ABCD là .
Thể tích của khối hộp là .
Câu 5. Gọi là tâm của tam giác đều . Ta có: .
Mặt khác . Do mô hình có dạng hình chóp tam giác đều nên ta có thể đặt: .
Khi đó:
Vậy .
. Khi đó hàm số nghịch biến trên .
Khi độ dài mỗi đoạn tối thiểu là 20 cm , ta có . Do đó độ lớn của lực căng dây lớn nhất là .
Câu 6.
Xét các biến cố: : Chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ âm nhạc;
B: Chọn được học sinh biết chơi đàn guitar.
Khi đó, .
Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:
.
Theo công thức Bayes, xác suất chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ âm nhạc, biết học sinh đó chơi được đàn guitar, là
.
onthicaptoc.com

onthicaptoc.com De tham khao thi TN THPT mon Toan 2025 phuong an 2