SỞ GD&ĐT THANH HÓA
TRƯỜNG THPT THIỆU HÓA
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯƠNG HSG
NĂM HỌC 2024 - 2025
MÔN: TOÁN 12
Thời gian làm bài: 90 phút; không tính thời gian phát đề
Đề gồm 3 trang
Mã đề thi 101
(Thí sinh không được sử dụng tài liệu, CBCT không giải thích gì thêm)
Họ, tên thí sinh:..................................................................... SBD: .............................
PHẦN I. Câu trắc nghiệm với nhiều phương án lựa chọn. (Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn một phương án.)
Câu 1: Gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng tại điểm . Giá trị của bằng:
A. . B. . C. . D. .
Câu 2: Cho hàm số có bảng biến thiên như hình dưới đây.
Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là
A. . B. . C. . D.
Câu 3: Cho hàm số liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để phương trình có nghiệm thuộc đoạn .
A. . B. . C. . D. .
Câu 4: Cho tứ diện đều có cạnh bằng . Giá trị tích vô hướng bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 5: Cho hình hộp đứng , trong đó mặt đáy là hình bình hành với . Biết độ dài các cạnh và . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Câu 6: Một chiếc cân đòn tay đang cân một vật có khối lượng được thiết kế với đĩa cân được giữ bởi bốn đoạn xích sao cho là hình chóp tứ giác đều có . Độ lớn của lực căng cho mỗi sợi xích bằng (N). Biết trọng lượng của vật nặng được tính theo công thức , lấy .
Khi đó giá trị của bằng:
A. . B. . C. . D. .
Câu 7: Trong một căn phòng, người ta trang trí một bóng đèn LED có thể di chuyển trên một thanh sắt. Một đầu được treo cách trần nhà và cách từng bức tường vuông góc với nhau lần lượt là và . Đầu còn lại treo cách trần nhà , cách hai bức tường là và . Hãy tính độ dài của thanh sắt đó. (Làm tròn đến chữ số hàng phần trăm).
A. . B. . C. . D. .
Câu 8: Trong không gian với hệ trục toạ độ , cho tam giác có , , . Gọi là điểm bất kì sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị nhỏ nhất đó bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ , cho tam giác có , , . Gọi là chân đường hạ xuống từ xuống cạnh . Giá trị của bằng:
A. . B. . C. . D. .
Câu 10: Cân nặng của một số quả mít trong một khu vườn được thống kê ở bảng sau:
Tìm tần số biết phương sai là .
A. . B. . C. . D. .
Câu 11: Cho mẫu số liệu ghép nhóm về tuổi thọ (đơn vị tính là năm) của một loại bóng đèn mới như sau.
Số trung bình của mẫu số liệu này là (làm tròn đến hàng phần chục)
A. . B. . C. . D. .
Câu 12: Cho hai điểm , thuộc đồ thị hàm số trên đoạn Các điểm , thuộc trục sao cho tứ giác là hình chữ nhật và .
Diện tích hình chữ nhật bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 13: Cho . Giá trị của biểu thức là
A. . B. . C. . D..
Câu 14: Cho là hai số nguyên dương lớn hơn Biết phương trình có hai nghiệm phân biệt và phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng
A. B. C. D.
Câu 15: Gọi là tập các số thực sao cho và Biết rằng giá trị nhỏ nhất của biểu thức với đạt được tại Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. B. C. D.
Câu 16: Hai con chuồn chuồn bay trên hai quĩ đạo khác nhau, xuất phát cùng thời điểm. Một con bay trên quỹ đạo là đường thẳng từ điểm đến điểm với vận tốc . Con còn lại bay trên quĩ đạo là đường thẳng từ đến điểm với vận tốc như hình vẽ minh hoạ. Đặt là khoảng cách mà hai con chuồn chuồn bay được sau thời gian (giây), . Biết , trong đó và phân số tối giản. Giá trị của biểu thức bằng?
A. . B. . C. . D. .
Câu 17: Cho . Giới hạn bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 18: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, . Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng bằng . Lấy các điểm và thỏa mãn và . Gọi là góc tạo bởi đường thẳng và mặt phẳng . Giá trị của là
A. . B. . C. . D. .
Câu 19: Cho đa giác đều có đỉnh. Hỏi có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác và có một góc lớn hơn
A. B. C. D.
Câu 20: Cho một đa giác đều gồm đỉnh . Chọn ngẫu nhiên ba đỉnh trong số đỉnh của đa giác, xác suất ba đỉnh được chọn tạo thành một tam giác vuông là . Tìm
A. . B. . C. . D. .
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng (Đ) hoặc sai (S).
Câu 1: Cho hàm số .
a) Tập xác định của hàm số là .
b) Tập nghiệm của bất phương trình là .
c) Hàm số nghịch biến trên .
d) Cường độ một trận động đất (richter) được cho bởi công thức , với là biên độ rung chấn tối đa và là một biên độ chuẩn (hằng số). Đầu thế kỷ 20, một trận động đất ở San Francisco có cường độ 8,3 độ richter. Trong cùng năm đó, trận động đất khác Nam Mỹ có biên độ rung chấn mạnh hơn gấp 4 lần. Khi đó, cường độ của trận động đất ở Nam Mỹ xấp xỉ bằng 8,9 độ richter (làm tròn đến hàng phần chục).
Câu 2: Khi chuyển động trong không gian, máy bay luôn chịu tác động của bốn lực chính: lực đẩy của động cơ, lực cản của không khí, trọng lực và lực nâng khí động học (hình ảnh bên dưới)
Lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay. Một chiếc máy bay tăng vận tốc từ lên , trong quá trình tăng tốc máy bay giữ nguyên hướng bay. Lực cản của không khí khi máy bay đạt vận tốc và lần lượt được biểu diễn bởi hai vectơ . Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Véc-tơ biểu diễn lực nâng và trọng lực cùng phương.
b) Véc-tơ biểu diễn lực cản của không khí và lực đẩy không cùng phương.
c) Có (là một số thực dương nào đó)
d) Khi máy bay đạt vận tốc và thì với .
Câu 3. Thầy giáo thống kê lại điểm trung bình cuối năm của các học sinh lớp và ở bảng sau:
a) Điểm trung bình của lớp 11 là (làm tròn đến hàng phần chục).
b) Điểm trung bình của lớp 11 nhỏ hơn lớp 11.
c) Phương sai của mẫu số liệu lớp 11B là (làm tròn đến hàng phần trăm).
d) So sánh theo độ lệch chuẩn thì các học sinh lớp 11 học đồng đều hơn lớp 11.
Câu 4. Cho tập hợp . là tập tất cả các số tự nhiên gồm chữ số đôi một khác nhau lấy từ có dạng . là tập tất cả các số tự nhiên gồm chữ số đôi một khác nhau lấy từ .
a) Chọn ngẫu nhiên một số thuộc . Có tất cả 30 số lấy ra là số lẻ và thoả mãn .
b) Chọn thứ tự số thuộc . Xác suất để trong hai số đó có đúng một số có mặt chữ số là .
c) Chọn ngẫu nhiên một số thuộc . Xác suất để số đó không có hai chữ số liên tiếp nào cùng chẵn bằng .
d) Chọn ngẫu nhiên một số thuộc . Xác suất để chọn được số chia hết cho là .
Câu 5: Cho hình lăng trụ tam giác đều có và Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh và (tham khảo hình vẽ bên dưới).
Xét tính đúng, sai của các mệnh đề dưới đây?
a) Thể tích khối tứ diện bằng .
b) Khoảng cách giữa và là .
c) Tan của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là .
d) Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng và bằng
Câu 6. Một công ty chuyên về mua bán xe ô tô đã qua sử dụng, sau khi khảo sát thị trường trong thời gian tháng đã đưa ra công thức chung về giá trị còn lại của ô tô chỗ kể từ khi đưa vào sử dụng (các loại xe chỗ không sử dụng mục đích kinh doanh) được tính . Trong đó là giá tiền ban đầu mua xe (triệu đồng), là số năm kể từ khi đưa vào sử dụng. Các khẳng định sau đúng hay sai?
a) Anh An mua chiếc xe chỗ với giá triệu, anh sử dụng được một năm thì bán với giá triệu. Theo cách tính của công ty trên anh An đã bán lỗ.
b) Anh Bình mua chiếc xe chỗ với giá triệu, anh sử dụng được tháng rồi bán với giá triệu. Còn anh Cường mua chiếc xe chỗ với giá triệu, anh sử dụng được năm rồi bán với giá triệu. Anh Bình bán xe được giá hơn anh Cường bán xe.
c) Theo cách tính của công ty trên, sau mỗi năm sử dụng, giá trị của chiếc xe giảm đi so với giá trị ban đầu của xe.
d) Công ty mua một chiếc xe đã được sử dụng 4 năm với giá triệu đồng. Một người dự tính giá trị của chiếc xe lúc xuất xưởng là triệu đồng.
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1. Cho các số thực dương thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Câu 2. Trong lĩnh vực thuỷ lợi, cần phải xây dựng nhiều mương dẫn nước dạng Thuỷ động học (Ký hiệu diện tích tiết diện ngang của mương là , là độ dài đường biên giới hạn của tiết diện này,- đặc trưng cho khả năng thấm nước của mương; mương đựơc gọi là có dạng thuỷ động học nếu với xác định, là nhỏ nhất).
Gọi , lần lượt là chiều rộng, chiều cao của mương. Khi mương dẫn nước đủ điều kiện dạng Thuỷ động học (nếu mương dẫn nước có tiết diện ngang là hình chữ nhật). Tính tỉ số ?
Câu 3. Cho hình chóp , có đáy là hình thang . Gọi là một mặt phẳng tùy ý không đi qua và cắt các cạnh lần lượt tại các điểm thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Câu 4. Hai cầu thủ Công Phượng và Quang Hải sút phạt độc lập nhau, mỗi người sút phạt 1 lần với xác suất thành công của Công Phượng và Quang Hải lần lượt là . Biết xác suất để có ít nhất một cầu thủ sút phạt thành công gấp hai lần xác suất cả hai cầu thủ cùng sút phạt thành công. Xác suất để cả hai cầu thủ sút phạt thành công có giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu (kết quả lấy gần đúng đến hàng phần trăm)?
Câu 5: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng , và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi là hai điểm thay đổi trên hai cạnh sao cho mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng . Khi thể tích khối chóp đạt giá trị lớn nhất thì , và nguyên dương, tối giản. Tính .
Câu 6. Tìm tất cả các số nguyên để hàm số là hàm số tuần hoàn chu kỳ .
------------- Hết -------------
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI
SỞ GD&ĐT THANH HÓA
TRƯỜNG THPT THIỆU HÓA
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯƠNG HSG
NĂM HỌC 2024 - 2025
MÔN: TOÁN 12
Thời gian làm bài: 90 phút; không tính thời gian phát đề
Đề gồm 3 trang
Mã đề thi 101
(Thí sinh không được sử dụng tài liệu, CBCT không giải thích gì thêm)
Họ, tên thí sinh:..................................................................... SBD: .............................
PHẦN I. Câu trắc nghiệm với nhiều phương án lựa chọn. (Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn một phương án.)
Câu 1: Gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng tại điểm . Giá trị của bằng:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Tập xác định .
.
Bảng biến thiên:
khi .
Vậy .
Câu 2: Cho hàm số có bảng biến thiên như hình dưới đây.
Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là
A. . B. . C. . D.
Lời giải
Chọn C
Ta có: .
, .
Suy ra hàm số có một đường tiệm cận ngang .
Mặt khác số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đúng bằng số nghiệm thực của phương trình .
Mà số nghiệm thực của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng .
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại điểm.
Vậy đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng.
Vậy tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là .
Câu 3: Cho hàm số liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để phương trình có nghiệm thuộc đoạn .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Đặt .
. Ta có bảng biến thiên của hàm số
Vậy với .
Phương trình với .
Phương trình có nghiệm thuộc đoạn .
Vì
Vậy có giá trị nguyên thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 4: Cho tứ diện đều có cạnh bằng . Giá trị tích vô hướng bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có: .
Câu 5: Cho hình hộp đứng , trong đó mặt đáy là hình bình hành với . Biết độ dài các cạnh và . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có:
Theo quy tắc hình hộp, ta có , vậy
Với
Trong đó:
Do tổng hai góc kề của một hình bình hành là nên ta có góc
Áp dụng định lý cosin trong tam giác , ta có: .
Vậy .
Câu 6: Một chiếc cân đòn tay đang cân một vật có khối lượng được thiết kế với đĩa cân được giữ bởi bốn đoạn xích sao cho là hình chóp tứ giác đều có . Độ lớn của lực căng cho mỗi sợi xích bằng (N). Biết trọng lượng của vật nặng được tính theo công thức , lấy .
Khi đó giá trị của bằng:
A. . B. . C. . D. .
Chọn B
Lời giải
Gọi là tâm của hình vuông .
Ta có

.
Trọng lượng của vật nặng là .
Suy ra .
Lại có tam giác vuông cân tại nên
.
Câu 7: Trong một căn phòng, người ta trang trí một bóng đèn LED có thể di chuyển trên một thanh sắt. Một đầu được treo cách trần nhà và cách từng bức tường vuông góc với nhau lần lượt là và . Đầu còn lại treo cách trần nhà , cách hai bức tường là và . Hãy tính độ dài của thanh sắt đó. (Làm tròn đến chữ số hàng phần trăm).
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Gọi hai đầu thanh sắt lần lượt là và . Chọn hệ trục tọa độ (như hình vẽ).
Ta có ,.
Độ dài thanh sắt là .
Câu 8: Trong không gian với hệ trục toạ độ , cho tam giác có , , . Gọi là điểm bất kì sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị nhỏ nhất đó bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Gọi là điểm thoả mãn .
.
Khi đó
.
Biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất khi .
Vậy giá trị nhỏ nhất của bằng .
Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ , cho tam giác có , , . Gọi là chân đường hạ xuống từ xuống cạnh . Giá trị của bằng:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Ta có : ;

Ta có .
.
Suy ra . Vậy .
Câu 10: Cân nặng của một số quả mít trong một khu vườn được thống kê ở bảng sau:
Tìm tần số biết phương sai là .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có bảng thống kê cân nặng của các quả mít theo giá trị đại diện:
Cỡ mẫu .
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

. Vậy .
Câu 11: Cho mẫu số liệu ghép nhóm về tuổi thọ (đơn vị tính là năm) của một loại bóng đèn mới như sau.
Số trung bình của mẫu số liệu này là (làm tròn đến hàng phần chục)
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là
. Vậy .
Câu 12: Cho hai điểm , thuộc đồ thị hàm số trên đoạn Các điểm , thuộc trục sao cho tứ giác là hình chữ nhật và .
Diện tích hình chữ nhật bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Gọi , . Ta có:
Thay vào , ta được:

Do nên .
Vậy diện tích : .
Câu 13: Cho . Giá trị của biểu thức là
A. . B. . C. . D..
Lời giải
Chọn B
Ta có:






Câu 14: Cho là hai số nguyên dương lớn hơn Biết phương trình có hai nghiệm phân biệt và phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D
Ta có Phương trình này có hai nghiệm phân biệt
Tương tự từ phương trình ta có luôn đúng.
Theo Vi-ét
Suy ra Khi đó Chọn D.
Câu 15: Gọi là tập các số thực sao cho và Biết rằng giá trị nhỏ nhất của biểu thức với đạt được tại Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A
Giả thiết

Xét hàm trên
Ta có với mọi
Do đó nghịch biến trên
Nhận thấy có dạng Khi đó
Xét hàm số TXĐ:
Đạo hàm
với mọi nên đồng biến trên
Ta có sao cho
Lập bảng biến thiên ta thấy đạt giá trị nhỏ nhất tại Chọn A.
Câu 16: Hai con chuồn chuồn bay trên hai quĩ đạo khác nhau, xuất phát cùng thời điểm. Một con bay trên quỹ đạo là đường thẳng từ điểm đến điểm với vận tốc . Con còn lại bay trên quĩ đạo là đường thẳng từ đến điểm với vận tốc như hình vẽ minh hoạ. Đặt là khoảng cách mà hai con chuồn chuồn bay được sau thời gian (giây), . Biết , trong đó và phân số tối giản. Giá trị của biểu thức bằng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Xét tại thời điểm (giây), , con chuồn chuồn bay từ A về O có tọa độ là .
Con chuồn chuồn bay từ về trên quĩ đạo là đường thẳng có hệ số góc là .
Do đó tại thời điểm , nó có tọa độ là
Ta có: .
Khoảng cách giữa hai con chuồn chuồn bay được sau thời gian (giây) :
Vậy
suy ra . Do đó, .
Câu 17: Cho . Giới hạn bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có: suy ra được giới hạn có dạng vô định 0/0.
Khi đó ta có .
Khi đó
.
Câu 18: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, . Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng bằng . Lấy các điểm và thỏa mãn và . Gọi là góc tạo bởi đường thẳng và mặt phẳng . Giá trị của là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Cách 1:
♦) Ta có .
Mặt khác .
Tam giác vuông tại : .
♦) Gọi . Trong mặt phẳng : .
Suy ra
Trong mặt phẳng kẻ , ta lại có suy ra .
Từ và ta có .
♦) Ta tính được , .
.
Trong tam giác ta có .
Theo bài ra .
Áp dụng định lý cosin trong tam giác có
.
Áp dụng định lý Menelaus trong tam giác với bộ 3 điểm thẳng hàng
.
Mà nên .
♦) Xét tam giác vuông tại có .
Xét tam giác vuông tại ta có .
♦) Do (chứng minh trên) nên hay tam giác vuông tại suy ra
.
Cách 2:
Do .
Gọi là hình chiếu của xuống .
Khi đó , .
Dựng hình bình hành thì .
Ta có .
Vậy .
Câu 19: Cho đa giác đều có đỉnh. Hỏi có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác và có một góc lớn hơn
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A
Gọi là các đỉnh của đa giác đều đỉnh.
Gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác đều
Các đỉnh của đa giác đều chia thành cung tròn bằng nhau, mỗi cung tròn có số đo . Vì tam giác cần đếm có đỉnh là đỉnh của đa giác nên các góc của tam giác là các góc nội tiếp của suy ra góc lớn hơn sẽ chắn cung có số đo lớn hơn
Cố định 1 đỉnh khi đó sẽ có 2024 cách chọn đỉnh
Gọi là các đỉnh sắp thứ tự theo chiều kim đồng hồ sao cho số đo của cung nhỏ thì số đo của cung lớn và tam giác là tam giác cần đếm. Khi đó cung là hợp liên tiếp của nhiều nhất cung tròn nói trên. cung tròn thì có đỉnh trừ đi đỉnh thì còn
Do đó có cách chọn hai đỉnh . Vậy có tất cả tam giác thỏa mãn bài toán.
Câu 20: Cho một đa giác đều gồm đỉnh . Chọn ngẫu nhiên ba đỉnh trong số đỉnh của đa giác, xác suất ba đỉnh được chọn tạo thành một tam giác vuông là . Tìm
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Ta có một đa giác đều cạnh có đường chéo đi qua tâm. Ta lấy hai đường chéo thì tạo thành một hình chữ nhật. Mỗi một hình chữ nhật sẽ có bốn tam giác vuông. Vậy số tam giác vuông tạo thành từ đa giác đều đỉnh là ,
Không gian mẫu là: ,
Xác suất là: ,
Theo bài ra thì .
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng (Đ) hoặc sai (S).
Câu 1: Cho hàm số .
a) Tập xác định của hàm số là .
b) Tập nghiệm của bất phương trình là .
c) Hàm số nghịch biến trên .
d) Cường độ một trận động đất (richter) được cho bởi công thức , với là biên độ rung chấn tối đa và là một biên độ chuẩn (hằng số). Đầu thế kỷ 20, một trận động đất ở San Francisco có cường độ 8,3 độ richter. Trong cùng năm đó, trận động đất khác Nam Mỹ có biên độ rung chấn mạnh hơn gấp 4 lần. Khi đó, cường độ của trận động đất ở Nam Mỹ xấp xỉ bằng 8,9 độ richter (làm tròn đến hàng phần chục).
Lời giải
a) . Điều kiện: . Tập xác định của hàm số là .
Chọn đúng.
b) .
Điều kiện: .
. Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của bất phương trình là
Chọn sai.
c) Ta có .
Tập xác định:
Ta có . Suy ra hàm số nghịch biến trên .
Chọn đúng.
d) Ta có:
Trận động đất ở San Francisco:
Biên độ ở Nam Mỹ gấp 4 lần ở San Francisco nên .
Trận động đất ở Nam Mỹ:
Vậy cường độ của trận động đất ở Nam Mỹ khoảng 8,9 độ richter.
Chọn đúng.
Câu 2: Khi chuyển động trong không gian, máy bay luôn chịu tác động của bốn lực chính: lực đẩy của động cơ, lực cản của không khí, trọng lực và lực nâng khí động học (hình ảnh bên dưới)
Lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay. Một chiếc máy bay tăng vận tốc từ lên , trong quá trình tăng tốc máy bay giữ nguyên hướng bay. Lực cản của không khí khi máy bay đạt vận tốc và lần lượt được biểu diễn bởi hai vectơ . Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Véc-tơ biểu diễn lực nâng và trọng lực cùng phương.
b) Véc-tơ biểu diễn lực cản của không khí và lực đẩy không cùng phương.
c) Có (là một số thực dương nào đó)
d) Khi máy bay đạt vận tốc và thì với .
Lời giải
a) Vecto biểu diễn lực nâng và trọng lực có giá song song hoặc trùng nhau nên chúng cùng phương, suy ra mệnh đề đúng
b) Vecto biểu diễn lực cản của không khí và lực đẩy có giá song song hoặc trùng nhau nên chúng cùng phương, suy ra mệnh đề sai
c) Lực cản ngược hướng với lực đẩy của động cơ (lực này có hướng không đổi vì máy bay giữ nguyên hướng bay) nên cùng hướng, suy ra với và là tỉ số độ dài của hai vectơ , suy ra mệnh đề đúng
d) Vì lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay nên ta có: .
Từ ta có , vậy suy ra mệnh đề đúng
Câu 3. Thầy giáo thống kê lại điểm trung bình cuối năm của các học sinh lớp và ở bảng sau:
a) Điểm trung bình của lớp 11 là (làm tròn đến hàng phần chục).
b) Điểm trung bình của lớp 11 nhỏ hơn lớp 11.
c) Phương sai của mẫu số liệu lớp 11B là (làm tròn đến hàng phần trăm).
d) So sánh theo độ lệch chuẩn thì các học sinh lớp 11 học đồng đều hơn lớp 11.
Lời giải
a) Ta có bảng thống kê điểm trung bình theo giá trị đại diện:
Xét mẫu số liệu của lớp 11A:
Cỡ mẫu là .
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là
Chọn đúng.
b) Xét mẫu số liệu của lớp :
Cỡ mẫu là .
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là
Hai lớp 11A và 11B có điểm trung bình bằng nhau.
Chọn sai.
c) Xét mẫu số liệu của lớp :
Cỡ mẫu là .
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là
Chọn sai.
d) Xét mẫu số liệu của lớp :
Cỡ mẫu là .
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là .
Xét mẫu số liệu của lớp :
Cỡ mẫu là .
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là .
Do nên nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì học sinh lớp có điểm trung bình ít phân tán hơn học sinh lớp . Nghĩa là lớp học đồng đều hơn lớp .
Chọn đúng.
Câu 4. Cho tập hợp . là tập tất cả các số tự nhiên gồm chữ số đôi một khác nhau lấy từ có dạng . là tập tất cả các số tự nhiên gồm chữ số đôi một khác nhau lấy từ .
a) Chọn ngẫu nhiên một số thuộc . Có tất cả 30 số lấy ra là số lẻ và thoả mãn .
b) Chọn thứ tự số thuộc . Xác suất để trong hai số đó có đúng một số có mặt chữ số là .
c) Chọn ngẫu nhiên một số thuộc . Xác suất để số đó không có hai chữ số liên tiếp nào cùng chẵn bằng .
d) Chọn ngẫu nhiên một số thuộc . Xác suất để chọn được số chia hết cho là .
Lời giải
a) : “Số lấy ra là số lẻ và thoả mãn ”.
Ta có .
Trường hợp 1: . Khi đó số lấy ra có dạng .
Chọn trong chữ số từ và nhỏ hơn có . Mỗi cách chọn có duy nhất 1 số thoả mãn yêu cầu bài toán.
Do đó có số thoả mãn .
Trường hợp 2: . Khi đó số lấy ra có dạng .
Chọn trong chữ số từ và nhỏ hơn có . Mỗi cách chọn có duy nhất 1 số thoả mãn yêu cầu bài toán.
Do đó có số thoả mãn .
Suy ra
a sai.
b) : “Trong hai số đó có đúng một số có mặt chữ số ”.
.
Trong tập hợp ta thấy:
Có tất cả số có mặt chữ số
Có số không có mặt chữ số
Gọi là biến cố “trong số vừa chọn có đúng một số có mặt chữ số ”
Khi đó
Vậy xác suất cần tìm là
Vậy b sai.
c) : “Số được chọn không có hai chữ số liên tiếp nào cùng chẵn”.
.
Nhận thấy rằng không thể có chữ số chẵn hoặc chữ số chẵn vì lúc đó luôn tồn tại hai chữ số chẵn nằm cạnh nhau. Do đó,
Trường hợp 1: Cả chữ số đều lẻ có số.
Trường hợp 2. Có chữ số lẻ, chữ số chẵn. Khi đó có
Trường hợp 3. Có 2 chữ số chẵn, 2 chữ số lẻ.
Chọn 2 chữ số lẻ, 2 chữ số chẵn từ có cách.
Xếp thứ tự 2 chữ số lẻ có 2! cách.
Hai chữ số lẻ tạo thành 3 khoảng trống, xếp hai chữ số chẵn vào 3 khoảng trống và sắp thứ tự có cách.
trường hợp này có số.
Do đó,
Vậy .
Vậy c đúng.
d) : “Số được chọn chia hết cho ”.
Không gian mẫu:
Gọi số cần lập có dạng với .
Nhận xét có 8 phần tử và tổng các phần tử là 36 nên chia hết cho 9, do nên chia hết cho 9999.
=
Do chia hết cho 9999 nên chia hết cho 9999.
nên , từ đó
Với mỗi cách chọn sẽ có duy nhất cách chọn sao cho với .
Chọn có 8 cách, chọn có 6 cách, chọn có 4 cách, chọn có 2 cách.
Suy ra .
Vậy .
Vậy d đúng.
Câu 5: Cho hình lăng trụ tam giác đều có và Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh và (tham khảo hình vẽ bên dưới).
Xét tính đúng, sai của các mệnh đề dưới đây?
a) Thể tích khối tứ diện bằng .

onthicaptoc.com De KSCL HSG Toan 12 Thieu Hoa 24 25