onthicaptoc.com
ĐỀ KIỂM TRA THƯỜNG XUYÊN BÀI BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1: Trong không gian , cho hai véctơ là . Tọa độ của véctơ là
A. . B. . C. . D. .
Câu 2: Trong không gian , cho hai véctơ là và . Toạ độ của véctơ tương ứng là
A. . B. . C. . D. .
Câu 3: Trong không gian , cho hai véctơ là và . Tìm tích vô hướng của hai véctơ và .
A. 12. B. 20. C. 14. D. 28
Câu 4: Trong không gian , cho điểm và điểm . Tọa độ điểm là trung điểm của đoạn thẳng là
A. . B. . C. . D. .
Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm . Tọa độ trọng tâm của là
A. . B. . C. . D. .
Câu 6: Trong không gian , cho hai véctơ là và . Tìm biểu thức tọa độ của véctơ .
A. . B. . C. . D. .
Câu 7: Trong không gian , điểm đối xứng với điểm qua mặt phẳng là
A. . B. . C. . D. .
Câu 8: Trong không gian , cho điểm . Điểm đối xứng với qua trục là
A. . B. . C. . D. .
Câu 9: Trong không gian với hệ trục tọa độ cho tam giác , với , . Tìm tọa độ điểm sao cho tứ giác là hình bình hành.
A. . B. . C. . D. .
Câu 10: Trong không gian , cho hai véctơ là và . Tích vô hướng bằng
A. 12. B. 2. C. 11. D. 10.
Câu 11: Trong không gian , cho hai véctơ là và . Góc giữa hai véctơ này là
A. . B. . C. . D. .
Câu 12: Trong không gian , cho hai điểm và điểm sao cho nhỏ nhất. Giá trị của là
A. 3. B. . C. 1. D. 2.
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1: Trong không gian , cho các điểm .
a) .
b) .
c) Ba điểm không thẳng hàng.
d) Tọa độ chân đường cao vẽ từ của tam giác là .
Câu 2: Trong không gian , cho các điểm .
a) Tọa độ trung điểm của là .
b) Độ dài đoạn thẳng là .
c) Côsin bằng .
d) Gọi là đỉnh thứ tư của hình bình hành . Tọa độ hình chiếu của trọng tâm tam giác lên mặt phẳng là .
Câu 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho , với là hai véctơ đơn vị trên hai trục tọa độ , hai điểm .
a) .
b) Ba điểm thẳng hàng.
c) Điểm là điểm đối xứng của với qua . Khi đó .
d) Điểm trên mặt phẳng sao cho đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó .
Câu 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho ba điểm .
a) Tọa độ trung điểm của là .
b) .
c) Góc giữa hai đường thẳng và bằng .
d) Điểm nằm trên mặt phẳng thỏa mãn đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó .
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn
Câu 1: Trong không gian , cho hai vectơ . Nếu cùng phương với thì giá trị bằng bao nhiêu?
Câu 2: Trong không gian , cho hai điểm và . Điểm thỏa mãn . Tính .
Câu 3: Trong không gian , cho ba điểm và . Tìm để tam giác vuông tại .
Câu 4: Trong không gian , cho tam giác với . Gọi là trọng tâm của tam giác và là điểm thay đổi trên mặt phẳng . Độ dài ngắn nhất bằng bao nhiêu?
Câu 5: Trong không gian với một hệ trục tọa độ cho trước (đơn vị đó lấy theo kilomet), ra đa phát hiện một chiếc máy bay di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm đến điểm trong 10 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì sau 5 phút tiếp theo, khoảng cách từ máy bay đến gốc tọa độ bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
Câu 6: Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không dãn xuất phát từ điểm trên trần nhà lần lượt buộc vào ba điểm trên đèn tròn sao cho tam giác đều (Hình vẽ bên). Độ dài của ba đoạn dây đều bằng . Trọng lượng của chiếc đèn là 24 N và bán kính của chiếc đèn là 18 in ( 1 inch ). Gọi là độ lớn của các lực căng trên mỗi sợi dây. Khi đó là một hàm số với biến số là . Tìm chiều dài tối thiểu của mỗi sợi dây (tính bằng inch), biết rằng mỗi sợi dây đó được thiết kế để chịu được lực căng tối đa là 10 N.
LỜI GIẢI
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1: Trong không gian , cho hai véctơ là . Tọa độ của véctơ là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có .
Câu 2: Trong không gian , cho hai véctơ là và . Toạ độ của véctơ tương ứng là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có .
Câu 3: Trong không gian , cho hai véctơ là và . Tìm tích vô hướng của hai véctơ và .
A. 12. B. 20. C. 14. D. 28
Lời giải
Ta có .
Câu 4: Trong không gian , cho điểm và điểm . Tọa độ điểm là trung điểm của đoạn thẳng là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có . Vậy .
Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm . Tọa độ trọng tâm của là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có . Vậy .
Câu 6: Trong không gian , cho hai véctơ là và . Tìm biểu thức tọa độ của véctơ .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có .
Câu 7: Trong không gian , điểm đối xứng với điểm qua mặt phẳng là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Điểm đối xứng với điểm qua mặt phẳng là .
Câu 8: Trong không gian , cho điểm . Điểm đối xứng với qua trục là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có .
Vậy điểm đối xứng với qua qua trục là .
Câu 9: Trong không gian với hệ trục tọa độ cho tam giác , với , . Tìm tọa độ điểm sao cho tứ giác là hình bình hành.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi .
Ta có .
là hình bình hành . Vậy .
Câu 10: Trong không gian , cho hai véctơ là và . Tích vô hướng bằng
A. 12. B. 2. C. 11. D. 10.
Lời giải
Ta có .
Suy ra .
Câu 11: Trong không gian , cho hai véctơ là và . Góc giữa hai véctơ này là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: suy ra .
Câu 12: Trong không gian , cho hai điểm và điểm sao cho nhỏ nhất. Giá trị của là
A. 3. B. . C. 1. D. 2.
Lời giải
Ta thấy . Gọi là trung điểm của đoạn thẳng
Ta có:
Suy ra nhỏ nhất ngắn nhất là hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng .
Suy ra . Như vậy .
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1: Trong không gian , cho các điểm .
a) .
b) .
c) Ba điểm không thẳng hàng.
d) Tọa độ chân đường cao vẽ từ của tam giác là .
Lời giải
a) Sai: Ta có .
b) Sai: Ta có . Do đó .
c) Đúng: Vì suy ra không cùng phương. Vậy không thẳng hàng.
d) Sai: Gọi là chân đường cao vẽ từ của tam giác .
Ta có
Ta có: .
.
. Suy ra .
Câu 2: Trong không gian , cho các điểm .
a) Tọa độ trung điểm của là .
b) Độ dài đoạn thẳng là .
c) Côsin bằng .
d) Gọi là đỉnh thứ tư của hình bình hành . Tọa độ hình chiếu của trọng tâm tam giác lên mặt phẳng là .
Lời giải
a) Đúng: Gọi là trung điểm .
Ta có suy ra .
b) Đúng. Ta có .
c) Sai: Ta có .
d) Sai: Gọi .
Ta có .
là hình bình hành suy ra .
Gọi là trọng tâm tam giác . Ta có suy ra .
Vậy hình chiếu của lên mặt phẳng là .
Câu 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho , với là hai véctơ đơn vị trên hai trục tọa độ , hai điểm .
a) .
b) Ba điểm thẳng hàng.
c) Điểm là điểm đối xứng của với qua . Khi đó .
d) Điểm trên mặt phẳng sao cho đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó .
Lời giải
a) Đúng: Vì nên .
b) Sai: Ta có .
Vì nên không cùng phương suy ra không thẳng hàng.
c) Đúng: Vî là điểm đối xứng với qua nên là trung điểm của .
Ta có suy ra . Do đó . Vậy .
d) Đúng. Gọi là điểm thỏa mãn .
Ta có:
Do không thay đổi nên nhỏ nhất khi nhỏ nhất hay là hình chiếu của điểm trên mặt phẳng .
Do đó suy ra .
Vậy .
Câu 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho ba điểm .
a) Tọa độ trung điểm của là .
b) .
c) Góc giữa hai đường thẳng và bằng .
d) Điểm nằm trên mặt phẳng thỏa mãn đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó .
Lời giải
a) Đúng: Gọi là trung điểm . Ta có
b) Đúng: Ta có .
c) Đúng: Ta có .
Suy ra .
d) Sai: Gọi thỏa mãn
Suy ra . Khi đó .
đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi là hình chiếu của trên suy ra .
Suy ra . Vậy .
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn
Câu 1: Trong không gian , cho hai vectơ . Nếu cùng phương với thì giá trị bằng bao nhiêu?
Lời giải
Nếu cùng phương với thì tồn tại số thực sao cho . Suy ra
do đó .
Câu 2: Trong không gian , cho hai điểm và . Điểm thỏa mãn . Tính .
Lời giải
Gọi ta có và .
Do đó:
Suy ra . Suy ra suy ra .
Câu 3: Trong không gian , cho ba điểm và . Tìm để tam giác vuông tại .
Lời giải
Ta có .
Tam giác vuông tại khi và chỉ khi
Câu 4: Trong không gian , cho tam giác với . Gọi là trọng tâm của tam giác và là điểm thay đổi trên mặt phẳng . Độ dài ngắn nhất bằng bao nhiêu?
Lời giải
là trọng tâm tam giác , suy ra .
Gọi là hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng , khi đó là khoảng cách từ đến mặt phẳng , ta có
Với là điểm thay đổi trên mặt phẳng , ta có .
Do đó ngắn nhất . Vậy độ dài ngắn nhất bằng 1.
Câu 5: Trong không gian với một hệ trục tọa độ cho trước (đơn vị đó lấy theo kilomet), ra đa phát hiện một chiếc máy bay di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm đến điểm trong 10 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì sau 5 phút tiếp theo, khoảng cách từ máy bay đến gốc tọa độ bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
Lời giải
Gọi là vị trí của máy bay sau 5 phút tiếp theo. Vî hướng của máy bay không đổi nên và cùng hướng. Do vận tốc của máy bay không đổi và thời gian bay từ đến gấp đôi thời gian bay từ đến nên .
Do đó:
Mặt khác, nên
Từ đó và vì vậy .
Vậy tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là .
Khi đó, khoảng cách từ máy bay đến gốc là .
Câu 6: Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không dãn xuất phát từ điểm trên trần nhà lần lượt buộc vào ba điểm trên đèn tròn sao cho tam giác đều (Hình vẽ bên). Độ dài của ba đoạn dây đều bằng . Trọng lượng của chiếc đèn là 24 N và bán kính của chiếc đèn là 18 in ( 1 inch ). Gọi là độ lớn của các lực căng trên mỗi sợi dây. Khi đó là một hàm số với biến số là . Tìm chiều dài tối thiểu của mỗi sợi dây (tính bằng inch), biết rằng mỗi sợi dây đó được thiết kế để chịu được lực căng tối đa là 10 N.
Lời giải
Vì tam giác là tam giác đều, độ dài ba đoạn dây đều bằng .
Ta chọn hệ trục như hình vẽ, với là trọng tâm tam giác và là trung điểm .
Trong đó nằm trên trục và nằm trên trục .
Bán kính của chiếc đèn là 18 nên suy ra và .
Do đó, ta có .
Xét tam giác vuông , suy ra nên .
Ta có và .
Suy ra và .
Tồn tại hằng số sao cho ; ;
Suy ra , trong đó là trọng lực tác dụng lên bóng đèn.
Mà trọng lượng của bóng đèn là 24N nên
Vậy . Xét hàm số trên .
Ta có .
Mỗi sợi dây được thiết kế để chịu được lực căng tối đa là 10 N.
Suy ra .
Vậy chiều dài tối thiểu của mỗi sợi dây bằng 30 in thỏa mãn yêu cầu bài toán.
onthicaptoc.com

onthicaptoc.com De kiem tra thuong xuyen bai BIEU THUC TOA DO CUA CAC PHEP TOAN VECTO