TRƯỜNG THPT YÊN HÒA
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ II,
TỔ: TOÁN TIN
NĂM HỌC 2021 - 2022
MÔN TOÁN - KHỐI 11
CẤU TRÚC
PHẦN TT NỘI DUNG CÁC DẠNG TOÁN Trang
Phương pháp chứng minh quy nạp.
Xác định một dãy số: Tìm các số hạng của
một dãy số cho trước, tìm các số hạng của
cấp số nhân, cấp số cộng.
Xét tính tăng giảm và tính bị chặn của một
dãy số.
Xét một dãy số có là một cấp số cộng hoặc
DÃY SỐ cấp số nhân hay không. Xét xem một số cho
1 CẤP SỐ CỘNG trước có là một số hạng của cấp số cộng 2 – 11
CẤP SỐ NHÂN hoặc cấp số nhân không.
Tìm các số hạng đầu và công sai của cấp
số cộng, tìm số hạng đầu và công bội của
cấp số nhân.
Giải các bài toán sử dụng tính chất của cấp
số cộng và cấp số nhân.
Giải các bài toán thực tế áp dụng của cấp
số cộng, cấp số nhân.
Tìm giới hạn của dãy số.
ĐẠI SỐ
Tìm giới hạn của hàm số.
Giải quyết các bài toán áp dụng giới hạn.
Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm,
xét tính liên tục của hàm số trên một
GIỚI HẠN 11 –
2
khoảng.
HÀM SỐ LIÊN TỤC 20
Tìm điều kiện để hàm số liên tục tại một
điểm hoặc liên tục trên một khoảng.
Áp dụng định lý về hàm số liên tục để xét
số nghiệm của phương trình.
Các bài toán áp dụng.
Tìm đạo hàm tại một điểm của hàm số.
Tìm đạo hàm trên một khoảng của hàm số.
Tìm điều kiện để hàm số có đạo hàm.
Tìm đạo hàm cấp cao của một hàm số.
3 ĐẠO HÀM.
Bài toán tiếp tuyến của đạo hàm.
Bài toán ứng dụng thực tế của đạo hàm.
Một số bài toán khác về đạo hàm của hàm
số.
Trang 1
Các bài toán về véc tơ trong không gian. 20 -
27
Chứng minh hai đường thẳng vuông góc.
Chứng minh đường thẳng vuông góc với
mặt phẳng.
Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc.
Bài toán về góc: Góc giữa hai đường
thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt
phẳng; góc giữa hai mặt phẳng.
VÉC TƠ TRONG
Bài toán về khoảng cách: Khoảng cách từ
KHÔNG GIAN
HÌNH
một điểm đến 1 đường thẳng; khoảng cách
QUAN HỆ VUÔNG
HỌC 4
từ một điểm đến một mặt phẳng; khoảng 27 -
GÓC TRONG KHÔNG
cách từ một đường thẳng đến một mặt 38
GIAN.
phẳng; khoảng cách giữa hai mặt phẳng;
khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo
nhau.
Bài toán về giao điểm của một đường thẳng
và một mặt phẳng; bài toán về giao tuyến
của hai mặt phẳng; bài toán về thiết diện.
Một số bài toán áp dụng quan hệ vuông góc
trong không gian.
PHẦN I. GIẢI TÍCH.
Chương 3: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân
I. Lý thuyết.
1. Kiến thức.
- Trình bày được phương pháp quy nạp toán học.
- Nêu được khái niệm dãy số; cách cho dãy (công thức TQ, hệ thức truy hồi); tính tăng, giảm, bị
chặn.
- Trình bày được khái niệm cấp số cộng, tính chất, số hạng tổng quát u , tổng của n số hạng đầu
n
tiên của cấp số cộng S .
n
- Trình bày được khái niệm cấp số nhân, tính chất, số hạng tổng quát u , tổng của n số hạng đầu
n
tiên của cấp số nhân Sn.
2. Kỹ năng.
- Cách giải một số bài toán đơn giản bằng phương pháp quy nạp toán học.
- Tìm được công thức số hạng tổng quát của dãy số đơn giản. Xét được tính tăng, giảm; bị chặn
của một dãy số đơn giản cho trước.
- Tìm được các yếu tố còn lại khi cho biết 3 trong 5 yếu tố u , u , n, d, S .
1 n n
- Tìm được các yếu tố còn lại khi cho biết 3 trong 5 yếu tố u1, un, n, q, Sn.
II. Bài tập.
A. Bài tập trắc nghiệm.
1) Dãy số
n1 *
Câu 1. Cho mệnh đề “ 2  2n 3 * ,n 2, n ”. Để chứng minh mệnh đề đúng bằng
 
*
phương pháp quy nạp, bước đầu tiên cần làm là kiểm tra   đúng với n bằng bao nhiêu ?
A. n 2 B. n 2 . C. n 0. D. n 3 .
Trang 2
n1
Câu 2. Cho dãy số u , biết u  1 n 1 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
   
n n
u3 u 3
A. . B. . C. u  8 . D. u  8 .
8 8 8 8
n1
*
Câu 3. Cho dãy số u có số hạng tổng quát u  , n N . Số hạng thứ 100 của dãy số là
 
 
n n
n 2
33 37 39 35
A. B. C. D.
u  . u  . u  . u  .
100 100 100 100
34 34 34 34
n1
2  1
(u )
Câu 4. Cho dãy số được xác định như sau: u  . Tìm số hạng thứ 3 của dãy số đã
n
n
n
cho.
5 7
A. 3 . B. . C. 1. D. .
3 3
2
Câu 5. Số 7922 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số u , biết u  n 1
 
n n
79 69 89 99
A. . B. . C. . D.
1

u 
1

3

Câu 6. Cho dãy số u  thỏa mãn .

n
n1 u
 
n

u  ; n 1
n1

3n

1
Có bao nhiêu số nguyên dương thỏa mãn
n u 
n
2020
0 9 5
A. B. C. vô số D.
n
Câu 7. Cho dãy số u với u  . Khẳng định nào sau đây đúng?
 
n n
n
3
n n1
A. Số hạng thứ n1 của dãy số là u  . B. Số hạng thứ n1 của dãy số là u  .
n1 n1
n1 n1
3 3
n1 n1
C. Số hạng thứ n1 của dãy số là . D. Số hạng thứ n1 của dãy số là
u  u 
n1 n1
n1 n
3 3
u  4
1
5
Câu 8. Cho dãy số . Tìm số hạng thứ của dãy số.

u  u  n
n1 n

16 14 12 15
A. . B. . C. . D. .
u uu1 u  u u n 3
Câu 9. Cho dãy số   xác định bởi và , với mọi . Số hạng thứ 4
n 1 2 n n1 n2
của dãy có giá trị là
A. 4. B. 2. C. 5. D. 3.
Câu 10. Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số giảm?
2n 3
3 2
u  2n
A. . B. u  . C. u  n1. D. u  n .
n n n n
n1
Câu 11. Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là dãy số giảm?
n
2
1 n  1
 
A. Dãy a , với . B. Dãy b với .
  a     b 
n n n
  n
2 n
 
1
n
c d d  3.2
C. Dãy  , với c  . D. Dãy   , với .
n n n
n
3
n 1
Trang 3
*
Câu 12. Cho dãy số u , biết u  2 a n a 2,n . Dãy số u là dãy tăng khi và chỉ
     
n n n
khi
a 2 a 2 a 2 a 2.
A. . B. . C. . D.
u u
Câu 13. Trong các dãy số   cho bởi số hạng tổng quát sau, dãy số nào là dãy số tăng
n n
2n1 1 n 5 1
A. u  . B. u  . C. u  . D. u  .
n n n n
n
n1 n 3n1 2
Câu 14. Dãy số nào trong các dãy số sau đây là dãy số bị chặn trên?
 
A. u ,u  nn N . B. u ,u  2n1n N .
   
n n n n
2n 3
2  
C. u ,u  n n N . D. u ,u  n N .
   
n n n n
n 4
Câu 15. Dãy số nào trong các dãy số sau đây là dãy số bị chặn dưới?
 2 
A. u,u nn . B. u ,u n n .
n n n n
 
C. u ,u  n1n . D. u ,u 2nn .
   
n n n n
Câu 16. Dãy số nào trong các dãy số sau đây là dãy số bị chặn?
n
*
*
A. u , u  n . B. u , u  n1n .
n n n n
n1
* 2 *
C. u , u n n . D. u , u  n n .
   
n n n n
(u ) u  92n
Câu 17. Cho dãy số xác định bởi . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
n n
A. (u )bị chặn. B. (u )tăng.
n n
(u ) (u )
C. giảm và bị chặn dưới. D. giảm và bị chặn trên.
n n
u  1
1
Câu 18*. Cho dãy số u với Số hạng tổng quát u của dãy số là số hạng nào
  n
n 
2
u  u  n
 n1 n
dưới đây?
n n1 2n1 n n1 2n 2
     
A. u 1 . B. u 1 .
n n
6 6
n n1 2n1 n n1 2n 2
     
u 1 . u 1 .
C. D.
n n
6 6
*
2
Câu 19*. Cho dãy số (u ) thỏa mãn (n  3n 2)u 1 với x và dãy số (v ) thỏa mãn
n n n
v  u
 n a
1 1
v
. Biết số hạng tổng quát được biểu diễn dưới dạng v  với
 n n
*
b.n c
v  u  v  0,n
 n1 n1 n
2 2 2
a,b, c . Tính giá trị của biểu thức T a  b  c
A. T30. B. T20. C. T 20. D. T21.
u  1

1
Câu 20*. Cho dãy số u xác định bởi . Số nguyên dương n nhỏ nhất sao
 
n 
3 *
u  u  n ,n
 n1 n
cho u 1 2039190 là
n
n 2017. n 2019. n 2020. n 2018.
A. B. C. D.
2) Cấp số cộng.
Câu 21. Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng?
Trang 4
A. 1,2,4,8,16,.... B. 1,3,9, 27,81,....
C. 2,5,8,11,14,17,.... D. 1, 5, 25,125, 625,....
Câu 22. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?
A. Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân.
B. Một cấp số cộng có công sai dương là một dãy số dương.
C. Một cấp số cộng có công sai dương là một dãy số tăng.
D. Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số cộng.
u
Câu 23. Công thức nào sau đây là đúng với cấp số cộng có số hạng đầu , công sai d , n 2 ?
1
A. u  u d . B. u  u n1 d . C. u  u n1 d . D. u  u n1 d .
     
n 1 n 1 n 1 n 1
1 1
Câu 24. Cho một cấp số cộng u ,d . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
1
2 2
1 1 1 1 1
A. Dạng khai triển:  ;0;1; ;1;.... B. Dạng khai triển:  ;0; ;0; ;....
2 2 2 2 2
1 3 5 1 1 3
C. Dạng khai triển: ;1; ; 2; ;.... D. Dạng khai triển:  ;0; ;1; ;....
2 2 2 2 2 2
Câu 25. Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng.
n
2 n
u  n u2n
A. . B. u  1 .n . C. . D. u  .
 
n n
n n
n
3
u 2; u14
Câu 26. Cho cấp số cộng u có . Công sai của cấp số cộng đã cho là
 
1 5
n
A. d 4 . B. d12 . C. d 7 . D. d 3.
u3 u
Câu 27. Cho cấp số cộng u có và công sai d 2 . Số hạng tổng quát của cấp số
 
1 n
n
cộng là
A. u  2n5. B. u  3n5. C. u 2n3. D. u3n2.
n n n n
u47
Câu 28. Cho cấp số cộng u  có , công sai d 5. Số 10092 là số hạng thứ mấy của cấp
9
n
số cộng đó?
A. 2019 . B. 2018 C. 2016 . D. 2017 .
.
Câu 29. Cho cấp số cộng u với u 3 và u  21. Tính giá trị u ?
 
n 1 10 4
A. 9 . B. 3 . C. 18. D. 10.
1 4 5
Câu 30. Một cấp số cộng có hai số hạng đầu tiên lần lượt là và , hỏi số hạng thứ bằng bao
nhiêu?
A. 13. B. 16. C. 7 . D. 10.
Câu 31. Cho 3 số x,3, 7 theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Khi đó giá trị của x là
A. x4. B. x10. C. x 4 . D. x1.
Câu 32. Biết bốn số 5;x;15;y theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị của 3x2y bằng
A. 30. B. 50 . C. 80. D. 70.
u  6,u 18 u d
Câu 33. Cho cấp số cộng u  có . Tổng của số hạng đầu và công sai của
10 14 1
n
cấp số cộng u là
 
n
A. 24. B. 24 . C. 18 D. 17
Trang 5
u  8u
9 6
Câu 34. Cho cấp số nhân u với công bội nhỏ hơn 2 thỏa mãn . Tính tổng 11 số
 
n 
u u  195
 1 7
hạng đầu của cấp số nhân này.
A. 195. B. 19682. C. 6141. D. 3069.
u u 2 d 0 u ,u ,u
Câu 35. Cho cấp số cộng   có và công sai . Biết lập thành một cấp số
n 1 1 4 16
u
nhân. Tính .
10
A. u 10. B. u 16 . C. u 18 . D. u  20.
10 10 10 10
u  u  26

4 6
S
Câu 36. Cho cấp số cộng u thỏa mãn . Tính tổng .
 
2020
n 
2u  u 11
 3 9
S 12239180 S  6119590 S 6118580 S  4088480
A. . B. . C. . D. .
2020 2020 2020 2020
1 1 1
Câu 37. Cho cấp số cộng với . Tính tổng .
u u 11;u 13 S  ....
 
n 1 2
uu uu u u
1 2 2 3 99 100
9 10 10 9
A. . B. . C. . D. .
S S S S
209 211 209 200
Câu 38. Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a;b;c . Gọi p là nửa chu vi của tam giác. Biết
dãy số a;b;c; p theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tìm cosin của góc nhỏ nhất trong tam giác
đó
4 3 5 3
A. . B. . C. . D. .
5 4 6 5
Câu 39**. Một gia đình cần khoan một cái giếng để lấy nước. Họ thuê một đội khoan giếng nước.
Biết giá của mét khoan đầu tiên là 80.000 đồng, kể từ mét khoan thứ hai giá của mỗi mét khoan
5.000
tăng thêm đồng so với giá của mét khoan trước đó. Biết cần phải khoan sâu xuống 50 m
mới có nước. Hỏi phải trả bao nhiêu tiền để khoan cái giếng đó?
4.000.000 10.125.000 52.500.000 52.000.000
A. đồng. B. đồng. C. đồng. D. đồng.
Câu 40**. Litva sẽ tham gia vào cộng đồng chung châu Âu sử dụng đồng Euro là đồng tiền chung
01 01 2015.
vào ngày tháng năm Để kỷ niệm thời khắc lịch sử này, chính quyền đất nước này
quyết định dùng 122550 đồng tiền xu Litas Lithuania cũ của đất nước để xếp một mô hình kim tự
tháp. Biết rằng tầng dưới cùng có 4901 đồng và cứ lên thêm một tầng thì số đồng xu giảm đi 100
đồng. Hỏi mô hình Kim tự tháp này có tất cả bao nhiêu tầng?
A. 54. B. 50. C. 49. D. 55.
3) Cấp số nhân
Câu 41. Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?
A. 1; 2;3;4;5. B. 1;2;4;8;16 . C. 1; 1;1; 1;1. D. 1; 2; 4; 8;16 .
Trang 6
u
Câu 42. Trong các dãy số u cho bởi số hạng tổng quát sau, dãy số nào là một cấp số nhân?
 
n
n
7
n n
u  73n
A. u  7 3 . B. u  7.3 . C. u  . D. .
n n n n
3n
Câu 43. Cho cấp số nhân u , biết u  81,u  9 . Lựa chọn đáp án đúng.
 
n n n1
1 1
A. q . B. q 9 . C. q . D. q 9 .
9 9
Câu 44. Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số nhân?
1


A. Dãy số a , với a  3n 2,n . B. Dãy số b , với b  ,n .
   
n n n n
n
2 1
n  n 
C. Dãy số c , với c  2.3 ,n . D. Dãy số d , với d  2 5 ,n .
   
n n n n
u 2,u  486
Câu 45. Cho cấp số nhân u  với . Công bội của cấp số nhân u  là
1 6
n n
1 1
A. q . B. q . C. q3 . D. q 3 .
3 3
n
Câu 46. Cho cấp số nhân u biết u  3 . Công bội bằng
  q
n n
1
3 3 3
A. . B. . C. . D. .
3
u 2
Câu 47. Cho cấp số nhân u  với và q 2 . Tính số hạng thứ 2020.
1
n
2020 2021 2022 2019
A. 2 . B. 2 . C. 2 . D. 2 .
1
u u
Câu 48. Cho cấp số nhân   có công bội q 0 và u  8,u  . Tìm .
n 1
2 6
2
1 1
A. . B. 16. C. . D. 16.
2 2
u1 u  4096 u
Câu 49. Cho cấp số nhân u với và . Tính .
 
n 1 13 7
A. 64. B. 62. C. 66. D. 65.
Câu 50. Cho dãy số: 1; x; 0,36 . Tìm x để dãy số đã cho theo thứ tự lập thành cấp số nhân.
A. x0,18 . B. x0,06 .
C. Không có giá trị nào của x . D. x0, 6 .
Câu 51. Có bao nhiêu cấp số nhân gồm bốn phần tử mà tổng của chúng bằng 45 và số hạng thứ
tư bằng bốn lần số hạng thứ 2?
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Câu 52*. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập
3 2 2
thành một cấp số nhân:
x  7x  2 m  6m x 8 0
 
A. m1 hoặc m 7. B. m 1 hoặc m7. C. m 1. D. m7.
1 1 1
Câu 53. Tính tổng vô hạn sau: S 1   ...  ...
2 n
2 2 2
1
1
n
1
2 n
A. 4. B. . . C. 2. D. 2 1.
1
2
1
2
Câu 54. Cấp số nhân 5; 10; …; 1280 có bao nhiêu số hạng?
A. 9 B. 7 C. 8 D. 10
Trang 7
u 2 u  54
Câu 55. Cho cấp số nhân u có và . Tính tổng 1000 số hạng đầu tiên của cấp
 
2 5
n
số nhân đã cho.
1000 1000 1000 1000
3  1 1 3 1 3 3  1
A. . B. . C. . D. .
S  S  S  S 
1000 1000 1000 1000
2 4 6 6
Câu 56. Cho u là cấp số nhân, đặt S  uu ...u . Biết S  4,S 13 và u0, giá trị
 
n n 1 2 n 2 3 2
S
của bằng
6
481 181 35
A. . B. . C. . D. .
1 2 1
64 16 16
1 1 1 a a
Câu 57. Biết tổng S 2   ...  ... (với a,b; là phân số tối giản). Tính tích
n
3 9 3 b b
a.b
9 60 7 10
A. B. C. D.
u  3

1
S  uu u...u
Câu 58*. Cho dãy số u xác định bởi . Đặt ,
 
n  n 1 2 3 n
2u  u  1,n 1
 n1 n
S
n 1.Tính .
2020
2018 2019
1 1
   
A. . B. .
S  2024 S  2020
2020   2020  
2 2
   
2020 2018
1 1
   
C. S  2024 . D. S  2020 .
2020   2020  
2 2
   
Câu 59**. Một cơ sở khoan giếng có đơn giá như sau: giá của mét khoan đầu tiên là 50000 đồng
và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét khoan sau tăng thêm 7% so với giá của mét khoan
ngay trước đó. Tính số tiền mà chủ nhà phải trả cho cơ sở khoan giếng để khoan được 50 m giếng
 
gần bằng số nào sau đây?
A. 20326446. B. 21326446. C. 22326446. D. 23326446.
Câu 60**. Năm 2020, một hãng xe ô tô niêm yết giá bán loại xe X là 800.000.000 đồng và dự định
trong 10 năm tiếp theo, mỗi năm giảm 2% giá bán so với giá bán của năm liền trước. Theo dự định
đó, năm 2025 hãng xe ô tô niêm yết giá bán loại xe X là bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng
nghìn)?
A. 720.000.000 đồng. B. 723.137.000 đồng. C. 700.674.000 đồng. D. 737.895.000 đồng.
B. Bài tập tự luận.
Bài 1. Chứng minh rằng băng phương pháp quy nạp toán học với các đẳng thức sau:
n n1 2n1
  
2 2 2 2
a) .
1  2  3  ... n 
6
2
b)
1.4 2.7 ... n(3n 1) n n 1 (n 1)
 
2
c) 1.2 2.5 3.8... n. 3n1 n n1 với mọi n dương.
   
u 1

1

Bài 2. Cho dãy số u với
 
n  u
n
u 
 n1
 2
a) Tìm công thức của số hạng tổng quát.
Trang 8
b) Tính số hạng thứ 10 của dãy số.
u  1
1
Bài 3. Dãy số u  được xác định bằng công thức n 1

n
3
u  u  n
 n1 n
a) Tìm công thức của số hạng tổng quát.
b) Tính số hạng thứ 30 của dãy số.
2
Bài 4. Cho dãy số u , biết với n1
  u  3; u  1 u
n 1 n1 n
a) Viết năm số hạng đầu tiên của dãy số.
u
b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
n
Bài 5. Xét tính tăng, giảm của dãy số u sau:
 
n
n u  2

1
n1

a) u  b)
 3u 1
n
2
n1
n
u  ,n 2
 n
 4
Bài 6. Xét tính bị chặn của dãy số sau:
2
1.3.5... 2n1
 
4n 5
n  3n 1
u 
a) u  biết u  . b) u  , biết u  c) u  biết
n
n n n n n
2.4.6.2n
n1 n 1
1 1 1 1
       
Bài 7*. Cho S  1  1  1  ... 1 . Tính S .
10
n        
n
2 4 8 2
       
Bài 8. Chứng minh các dãy số sau là cấp số cộng.
u  2020n2021. u 2n5.
a) Dãy số u với b) Dãy số u với
   
n n n n
2 n
c) Dãy số u với u  n  n1. d) Dãy số u với u  1  3n.
     
n n n n
Bài 9. Xét trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân? Tìm công bội của cấp số nhân đó
u  3

1

 u  2
1
9
a) b)


2
u 
u  u
n1
n1 n
 
u
 n
 u  2
1
Bài 10*. Cho dãy số u được xác định bởi . Chứng minh rằng dãy số v
  ,n 1  

n n
u  4u  9
 n1 n
v u3,n1
xác định bởi là một cấp số nhân. Hãy xác định số hạng đầu và công bội của cấp
n n
số nhân đó
Bài 11. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng thỏa mãn:
S  20
4
u u  u  9


 1 2 3 u  2u  0 S  34
1 5 12
.
a) . b) c) d) 1 1 1 1 25
. 

 
2 2 2
   
u  u  u  35 S  14 S  45

 1 2 3  4  18 
u u u u 24
 1 2 3 4
Bài 12. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân, biết
u  u  51 u  6 u  u  36
  
1 5 2 5 2
a) b) c)
  
u  u  102 S  43 u  u  48
 2 6  3  6 4
Trang 9

onthicaptoc.com Đề cương ôn tập học kỳ 2 môn Toán lớp 11 Trường THPT Yên Hòa năm 2021 2022