1/
Toán học là đam mê
Nhóm Toán THCS
43
Trường THCS Ngô Sĩ Liên Đề cương ôn tập học kỳ II – Toán 8
Năm học: 2017-2018
Dạng 1: Rút gọn biểu thức
x+ 2 5 1
Bài 1. Cho biểu thức A= − +
2
x+ 3 x + x− 6 2− x
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm x để A > 0
c) Tìm x để A nguyên dương.
2
22xx+ 1−+2xx 1
Bài 2. Cho các biểu thức A= và B=+
2 2
1− x x − 3x+ 2 x− 2
a) Rút gọn biểu thức A, B;
x−=2 3;
b) Tính giá trị của A khi
c) Tính C = A – B;
d) Tìm x để C .
2x x+−1 3 11x x− 3
Bài 3. Cho biểu thức A= + + và B= với 0x 9.
2
x+ 3 x− 3 9− x x+1
a) Rút gọn A;
9
b) Với P = A.B, tìm x để P= .
2
c) Tìm x để B < 1
d) Tìm số nguyên x để P = A.B là số nguyên.
2 2
13xx−+ x + 2
Bài 4. Cho biểu thức A=− và B= với 0x 9.
3 2
xx−−11 xx++1
a) Rút gọn A;
b) Biết P = A: (1 - B). Tìm x để P1.
x−1 x 3x+1 2x+1

Bài 5. Cho biểu thức
P= − − :

22
x+1 x−1 1− x x −1

a) Rút gọn P;
3
b) Tìm các giá trị của x để P= .
x−1
c) Tìm các giá trị nguyên của x để A > 1
2
x + 2x x−5 50−5x
Bài 6. Cho biểu thức
P= + +
2x++10 x 2x x 5
( )
a) Tìm điều kiện xác định của P;
b) Rút gọn biểu thức P.
1
c) Tìm các giá trị của x đểPP==0; .
4
d) Tìm các giá trị của x để P > 0; P < 0.
Nhóm Toán THCS:
https://www.facebook.com/groups/606419473051109/
2/
Toán học là đam mê
Nhóm Toán THCS
43
2x 5 2
   
Bài 7. Cho biểu thức P= − :3+
   
2
2x − 5x+ 3 2x−3 1− x
   
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P khi x thỏa mãn 2x−=1 3
c) Tìm x để P > 1
d) Tìm x nguyên để P nguyên.
2
xx12

Bài 8. Cho biểu thức A=1:+ −

2 3 2
x +1 x−1 x + x− x −1


a) Rút gọn A.
1
b) Tính giá trị của A tại x=− .
2
c) Tìm x để A< 1
d) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
Dạng 2: Phương trình và bất phương trình
Bài 1. Giải các phương trình sau:
3xx++2 3 1 5
5−xx− 6 = 4 3− 2
a) ( ) ( ) d) − = 2x+
2 6 3
2x− 2 x+ 8 x−1
2
b) 3− 4x 25− 2x = 8x + x−300 e) x− + = 7+
( )
5 6 3
23x−
5x+ 2 8x−1 4x+ 2 ( ) 13x+ 4
c) − = − 5 f) − x+ 2=
6 3 5 7 21
Bài 2. Giải các phương trình sau:
2
a) 2x x−3 + 5 x−3 = 0 d) xx−5 + 6= 0
( ) ( )
2 3 2 2
b) x − 4 − x− 2 3− 2x = 0 e) 2x + 6x = x + 3x
( )( )
( )
2
22 11
   
c) 2xx+ 5 = + 2 f) xx+ + 2 + −8= 0.
( ) ( )
   
xx
   
Bài 3. Giải các phương trình sau:
2
1 5 15 1 3xx2
−=
a) d) −=
32
x+1 x− 2 x+1 2− x x−1 x −1 x + x+1
( )( )
7 5−−xx 1 1
x−−1 x 5x 2
b) −= e) + = +
2 2
x+ 2 x− 2 4− x 8x 4x −8x 2x x− 2 8x−16
( )
x+ 5 x− 5 x+ 25 2 1 1
c) −= f) +=
2 2 2 2 2 2
x − 5x 2x +10x 2x − 50 x + 3x+ 2 x + 5x+ 6 x + 4x+ 3
Bài 4. Giải các phương trình sau:
a) x−=53 c) 2xx+1= −1
b) −5xx= 3 −16 d) 2xx+1− 5 − 2 = 3
Nhóm Toán THCS:
https://www.facebook.com/groups/606419473051109/
3/
Toán học là đam mê
Nhóm Toán THCS
43
Bài 5. Giải các bất phương trình sau rồi biểu diễn tập nghiệm trên trục số:
2
2 2
a) x− 3  x − 5x+ 4 f) xx− 4 + 3 0
( )
2
32
b) x− 3 x+ 3  x+ 2 + 3 g) x − 2x + 3x− 6 0
( )( ) ( )
4xx−−5 7 x+ 2
c)  h)  0
35 5
2x+1 3− 5x 4x+1 x+ 2
d) + 3 − i)  0
2 3 4 x− 3
5x− 3 2x+1 2− 3x x−1
e) +  − 5 k)  1
5 4 2 x− 3
Dạng 3: Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Bài 1. Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình 40km/h. Khi quay trở về A
người đó tăng vận tốc thêm 5km/h nên thời gian về hết ít hơn thời gian đi 40 phút. Tính
quãng đường AB?
Bài 2. Lúc 6 giờ, một ô tô xuất phát từ A đến B với vận tốc trung bình 40km/h. Khi đến B,
người lái xe làm nhiệm vụ giao nhận hàng trong 30 phút rồi cho xe quay trở về A với vận
tốc trung bình 30km/h. Tính quãng đường AB, biết rằng ô tô về đến A lúc 10 giờ cùng
ngày.
Bài 3. Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 24km. Một giờ sau, một người đi xe
máy từ A và đến B trước người đi xe đạp 20 phút. Tính vận tốc của mỗi xe, biết vận tốc
của xe máy gấp 3 lần vận tốc xe đạp.
Bài 4. Một ô tô đi từ A đến B cách nhau 90 km trong một thời gian nhất định. Khi đi được
1 giờ người đó dừng lại nghỉ 15 phút. Trên quãng đường còn lại người đó phải tăng vận
tốc them 10 km/h để đến B đúng dự định. Tính vận tốc ban đầu của ô tô?
Bài 5. Một người đi từ A đến B với vận tốc 9km/h. Khi đi từ B trở về A người đó chọn
đường khác dài hơn đường cũ 6km, và đi với vận tốc lớn hơn lúc đi là 3km/h nên thời
gian về ít hơn thời gian đi là 20 phút. Tính chiều dài quãng đường AB.
Bài 6. Lúc 8h30’ một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 40km/h, đến 10h cùng ngày
một người khác đi xe máy từ B đến A với vận tốc 60km/h. Hỏi hai người gặp nhau lúc
mấy giờ, biết rằng họ gặp nhau tại chính giữa quãng đường.
Bài 7. Hai ca nô khởi hành cùng một lúc chạy từ A đến B. Ca nô thứ nhất chạy với vận
tốc 20km/h, ca nô thứ hai chạy với vận tốc 24km/h. Trên đường đi, ca nô thứ hai dừng lại
40 phút để sửa xong vẫn đến B cùng một lúc với ca nô thứ nhất. Tính chiều dài quãng
song AB.
Bài 8. Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B hết 1 giờ 10 phút và đi ngược dòng từ B
về A hết 1 giờ 30 phút. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B, biết vận tốc của dòng nước
là 2km/h.
Nhóm Toán THCS:
https://www.facebook.com/groups/606419473051109/
4/
Toán học là đam mê
Nhóm Toán THCS
43
Bài 9. Một tổ may áo theo kế hoạch mỗi ngày phải may 30 áo. Tổ đã may mỗi ngày 40 áo
nên đã hoàn thành trước thời hạn 3 ngày, ngoài ra còn may them được 20 chiếc áo nữa.
Tính số áo mà tổ đó phải may theo kế hoạch.
Bài 10. Một đội đánh cá dự định mỗi tuần đánh bắt 20 tấn cá, nhưng mỗi tuần đã vượt
mức 6 tấn nên chẳng những hoàn thành kế hoạch sớm một tuần mà còn vượt mức đánh
bắt 10 tấn. Tính mức cá đánh bắt theo kế hoạch?
Bài 11. Hai tổ sản xuất phải dệt 140 áo len. Trong thực tế tổ 1 đã vượt mức 10% kế hoạc
của mình, tổ 2 vượt mức 5 % kế hoạch của mình nên cả hai tổ đã dệt được 150 áo len. Hỏi
theo kế hoạch mỗi tổ phải dệt được bao nhiêu áo len?
Bài 12. Hai công nhân cùng làm chung một công việc dự định trong 12 giờ sẽ hoàn thành
xong công việc. Họ làm chung với nhau trong 4 giờ thì người thứ nhất chuyển đi làm việc
khác, người thứ hai phải làm nốt công việc trong 10 giờ. Hỏi nếu người thứ hai làm một
mình thì bao lâu sẽ hoàn thành xong công việc.
Bài 13. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì đầy trong 3 giờ 20 phút. Người ta cho vòi
4
thứ nhất chảy 3 giờ và vòi thứ hai chảy 2 giờ thì được bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một
5
mình thì trong bao lâu mới đầy bể?
Bài 14. Hai giá sách có 450 cuốn. Nếu chuyển 50 cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì
5
số sách ở giá thứ nhất bằng số sách ở giá thứ hai. Tính số sách ban đầu của mỗi giá.
4
Dạng 4: Bài tập hình học.
Bài 1. Cho góc xAy. Trên tia Ax lấy 2 điểm B và C sao cho AB = 8cm, AC = 15cm. Trên tia
Ay lấy 2 điểm D và E sao cho AD = 10cm, AE = 12cm.
a) CMR: ABE và ADC đồng dạng;
b) CMR: AB.DC = AD.BE;
c) Tính DC, biết BE = 10cm;
d) Gọi I là giao điểm của BE và CD. CMR: IB.IE =ID.IC.
Bài 2. Cho ABC nhọn có hai đường cao BF, CE cắt nhau tại H. Tia AH cắt BC tại D.
a) Chứng minh: AEC và AFB đồng dạng;
b) Chứng minh AE.AB = AF.AC rồi từ đó suy ra AEF đồng dạng với
ACB.
c) Chứng minh: BDH đồng dạng BFC và BH.BF + CH.CE = BC.
d) Vẽ DM ⊥ AB tại M, DN⊥ AC tại N. Chứng minh MN //EF.
Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại B, đường cao BH. Cho AB = 15cm, BC = 20cm.
a) Chứng minh: CHB CBA
2
b) Chứng minh: AB = AH.AC
c) Tính độ dài AC, BH.
d) Kẻ HK ⊥ AB tại K, HI ⊥ BC tại I. Chứng minh BKI BCA
e) Kẻ trung tuyến BM của ABC cắt KI tại N. Tính diện tích BKN.
Nhóm Toán THCS:
https://www.facebook.com/groups/606419473051109/
5/
Toán học là đam mê
Nhóm Toán THCS
43
Bài 4. Cho hình bình hành ABCD, AC là đường chéo lớn. kẻ CE vuông góc với AB taị E,
CF vuông góc với AD tại F, BI vuông góc với AC tại I.
a) Chứng minh tam giác AIB đồng dạng với tam giác AEC.
b) Chứng minh tam giác AIE đồng dạng với tam giác ABC.
2
c) Chứng minh AB.AE + AF.CB = AC .
2
d) Tia BI cắt đường thẳng CD tại Q và cắt cạnh AD tại K. Chứng minh BI = IK.IQ
Bài 5. Cho hình chữ nhật ABCD có các cạnh AB = 4cm, BC = 3cm. Qua B vẽ đường thẳng
vuông góc với BD cắt DC tại E.
2
a) Chứng minh tam giác BDC đồng dạng với tam giác EDB, từ đó suy ra DB = DC.;DE
b) Tính DB, CE;
c) Vẽ CF vuông góc với BE tại F. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Nối OE cắt CF tại I và
cắt BC tại K. Chứng minh I là trung điểm của đoạn CF.
d) Chứng minh rằng: ba điểm D,K,F thẳng hàng.
Bài 6: Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Đường vuông
góc AB tại B và đường vuông góc với AC tại C cắt nhau tại K. Gọi M là trung điểm của
BC. Chứng minh:
a) Chứng minh ADB AEC và AED ACB ;
b) Chứng minh: HE.HC = HD.HB;
c) Chứng minh H, M, K thẳng hàng và góc AED bằng góc ACB.
2
d) AH cắt BC tại O. Chứng minh: BE.BA + CD.CA = BC .
HO HD HE
e) Chứng minh + + = 1;
AO BD CE
f) Chứng minh H là giao điểm các đường phân giác của tam giác ODE.
0
g) Cho góc ACB= 45 , gọi P là trung điểm của DC. Từ D kẻ đường thẳng vuông góc với
BP tại I và cắt CK tại N. Tìm tỉ số diện tích của tứ giác CPIN và diện tích tam giác DCN.
h) Tam giác ABC có điều kiện gì thì tứ giác BHCK là hình thoi? Hình chữ nhật?
Bài 7. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH và trung tuyến AM. Kẻ
MF vuông góc với AC tại F, FD vuông góc MC tại D. Phân giác góc C cắt FD, MF lần lượt
tại I và K. Kẻ ME vuông góc với AB tại E.
CD CI DI
a) Chứng minh == và IF= KF;
CF CK FI
b) Tứ giác AEMF là hình gì?
c) Chứng minh AHC MFC và AH.EB = HB.ME;
d) Chứng minh MF.AB = MF.AC;
2
e) Chứng minh BH.BC = 4.AE
Nhóm Toán THCS:
https://www.facebook.com/groups/606419473051109/
6/
Toán học là đam mê
Nhóm Toán THCS
43
Bài 8. Cho tam giác ABC vuông tại C (CA < CB). Lấy điểm I bất kì trên cạnh AB. Trên nửa
mặt phẳng AB chứa C, kẻ tia Ax, By cùng vuông góc với AB. Đường vuông góc với IC
cắt Ax, By lần lượt tại M và N.
a) Chứng minh tam giác CAI đồng dạng với tam giác CBN.
b) Chứng minh AB.NC = IN.CB.
c) Chứng minh góc MIN là góc vuông.
d) Tìm vị trí của điểm I để diện tích tam giác IMN gấp hai lần diện tích tam giác ABC.
Bài 9. Cho hình thang cân MNPQ (MN//PQ, MN < PQ), NP = 15cm, đường cao NI = 12cm,
QI =16cm.
a) Tính IP;
b) Chứng minh QN⊥ NP ;
c) Tính diện tích hình thang MNPQ;
d) Gọi E là trung điểm của PQ. Đường thẳng vuông góc EN tại N cắt đường thẳng PQ
2
tại K. Chứng minh rằng: KN = KP.KQ
Bài 10. Cho tam giác nhọn ABC, H là trực tâm, G là trọng tâm, O là giao điểm các đường
trung trực của tam giác. Chứng minh rằng: H, G, O thẳng hàng và HG = 2GO.
Bài 11. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH với AB = 12cm, BC = 9cm, AE = 10cm.
a) Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH.
b) Gọi I và O lần lượt là tâm đối xứng của hình chữ nhật EFGH và ABCD. Đường thẳng
OI song song với những mặt phẳng nào?
c) Chứng tỏ rằng hình chóp I.ABCD có các cạnh bên bằng nhau nhưng không phải hình
chóp
d) Tính diện tích xung quanh của hình chóp I.ABCD.
Dạng 5: Một số bài tập nâng cao.
Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
2 2 2
1) a + b + c  ab+ bc+ ca
2
2 2 2
2) 33a + b + c  a+ b+ c  ab+ bc+ ca \
( ) ( ) ( )
2
3) a+ b+ c  4a b− c
( ) ( )
2
22
(xy+ )
xy
4) a) + ab0; 0
( )
a b a+ b
2
2 2 2
x++y z
x y z ( )
+ +  abc 0;  0;  0
b) ( )
a b c a++b c
2
2 2 2 2
c) ax+by  a + b x + y
( )
( )( )
5) Với a, b, c là các số thực thỏa mãn a+b+ c+ ab+bc+ ca= 6.Chứng minh rằng
2 2 2
abc+ +  3.
Nhóm Toán THCS:
https://www.facebook.com/groups/606419473051109/
7/
Toán học là đam mê
Nhóm Toán THCS
43
25a−−b b a
Bài 2. Cho A=+ . Tính giá trị của biểu thức A, biết b > a >0 và
33a−+b a b
22
10a −3b + ab= 0.
2
22
Bài 3. Cho x, y thỏa mãn x+ y = x− 2 y+ 2 .Tính giá trị biểu thức A=+x y .
( ) ( )( )
Bài 4. Tìm GTLN, GTNN (nếu có) của các biểu thức sau:
2
xx−+33
6 −4
1) A= 2) B= 3)C= (cho x1)
2 2 2
4xx++4 3 64++xx xx−+21
1 12x+ 34
4) D= x+ x 4 5) Q= 6) E= x−1+ 2 x− 2 + x− 3+ 4
( )
2
x x + 2
3 3 3 3 3 3
a + b b + c c + a
Bài 5. 1) Cho a > 0; b > 0; c > 0 và a + b + c = 6. Tìm GTNN của Q= + +
ab bc ca
22
2) Tìm GTNN của A= x + y − xy− x+ 4y+ 600
Bài 6. Tìm m để hai bất phương trình sau tương đương:
mx+−51x
2
+ 2 1; xx+1 + 22  0 (2)
( ) ( )
( )
12 2
Nhóm Toán THCS:
https://www.facebook.com/groups/606419473051109/
8/
Toán học là đam mê
Nhóm Toán THCS
43
Hướng dẫn giải:
Dạng 1:
x+ 2 5 1
Bài 1. A= − +
2
x+ 3 x + x− 6 2− x
22
Ta có: x + x− 6= x + 3x− 2x− 6= x(x+ 3)− 2(x+ 3)= (x− 2)(x+ 3)
Điều kiện xác định: xx 2; −3
a) Rút gọn biểu thức A
x+ 2 5 1
A= − −
Có
x+ 3 (x− 2)(x+ 3) x− 2
22
x+ 2 x− 2 − 5− (x+ 3)
( )( ) x − 4− 5− x− 3 x − x−12
= = =
(x+ 3)(x− 2) x+ 3 x− 2 x+ 3 x− 2
( )( ) ( )( )
2
xx+−34
x − 4x+ 3x−12 ( )( ) x− 4
= = =
x+ 3 x− 2 x+ 3 x− 2 x− 2
( )( ) ( )( )
x− 4
Vậy với xx 2; −3thì A= .
x− 2
x
b) Tìm để A 0
x− 4
Với để A 0 =>  0 ..
xx 2; −3
x− 2
x 4


Kết hợp điều kiệnxx 2; −3 x 2




x−3


x 4


Vậy với x 2 thì A 0 .




x−3


+
c) Tìm x để A .
xx 2; −3
Với .
xx− 4 − 2− 2 2
Ta có A= = =1− .
x− 2 x− 2 x− 2
2

(xU−2) (2)  x− 2  1;2
 ( )  


2
 
+ x− 2
+
Để A => 1−  =  x 2 
 x 2
  
x− 2 2

  
1
x 4
x 4

 


 x− 2
Ta có bảng:
x−2
−2 −1 1 2
0(chọn) 1(chọn) 3(loại) 4(loại)
x
+
x 0;1 A
Vậy với   Thì .
Nhóm Toán THCS:
https://www.facebook.com/groups/606419473051109/
9/
Toán học là đam mê
Nhóm Toán THCS
43
2
22xx+
1−+2xx 1
Bài 2. A= B=+
2 2
1− x x − 3x+ 2 x− 2
2
1− x = 1− x 1+ x
( )( )

Ta có: nên điều kiện xác định của AB; là xx1;  2.

2
x − 3x+ 2= x−1 x− 2
( )( )


a) Rút gọn biểu thức AB; .
Với xx1;  2, ta có:
2
21xx+
2x + 2x ( ) 2x
A===
1− x 1+ x 1− x 1+ x 1− x
( )( ) ( )( )
2
xx− 2
1− 2x x+1 1− 2x+ x −1 ( ) x
B= + = = =
x−1 x− 2 x− 2 x−1 x− 2 x−1 x− 2 x−1
( )( ) ( )( ) ( )( )
A x−=23
b) Tính giá trị khi .
x− 2= 3 x= 5(tm)

Với xx1;  2, ta có: x−23=  

x− 2=−3 x=−1(loai)

2.5 −5
Thay x= 5 vào biểu thức A ta được A== .
1− 5 2
c) Tính C=−A B .
2x x 2x+ x 3x
Với xx1;  2, ta có C= A− B= − = =
1− x x−1 1− x 1− x
d) Tìm để .
x C
Với xx1;  2
3.0
Nếu xC=00 = = Vậy x= 0(tm) .
10−
−3( x−1)− 3
3xx−3 3
Nếu x 0  C= = = =−3−
1− x x−1 x−1 x−1
33
Để C =−3−  =  = x−1 U (3)= x−1  1;3
( ) ( )  
xx−−11
Ta có bảng:
x−1 −3 3
−1 1
x −2 (chọn) 0 (chọn) 2 (loại) 4 (chọn)
Vậy x−2;0;4 thì C
 
Bài 3.
a) Với
09x
2x x−3 + x+1 x+ 3 − 3−11x
2x x+−1 3 11x 2x x+−1 3 11x ( ) ( )( ) ( )
A= + + = + − =
2 2
x+ 3 x− 3 9− x x+ 3 x− 3 x − 9
(xx+−33)( )
22 2
33xx+
2x − 6x+ x + 3x+ x−3+11x 3x + 9x ( ) 3x
= === .
xx+−33 x+ 3 x−3 x+ 3 x−3 x−3
( )( ) ( )( ) ( )( )
Nhóm Toán THCS:
https://www.facebook.com/groups/606419473051109/