HƯỚNG DẪN ÔN TẬP CHƯƠNG IV – ĐẠI SỐ 10 CƠ BẢN
I. Bất đẳng thức:
Kiến thức cần nhớ:
1. A > B A – B > 0 2. A A 3. A > B A C > B C
4. A = B 5. A C 6. A + C > B + D
7. A > B 8.
9. 10. hoặc
* Bất đẳng thức Côsi: + Nếu a, b không âm (tức là ) thì a + b 2 hoặc
Dấu “=” xảy ra a = b
+ Nếu a, b, c không âm (tức là ) thì a + b + c 3 hoặc
Dấu “=” xảy ra a = b = c
* Phương pháp chứng minh bất đẳng thức:
1. Dùng phép biến đổi tương đương:
+ Một số bất đẳng thức thông dụng: a) a2 0, dấu “=” xảy ra a = 0
b) (a – b)2 0, dấu “=” xảy ra a = b c) (a + b)2 0, dấu “=” xảy ra a = -b
d) (a + b + c)2 0, dấu “=” xảy ra a + b = -c
e) (a + b – c)2 0, dấu “=” xảy ra a + b = c
+ Phương pháp chứng minh: Để c/m: A – B 0 (đúng) và xét A = B khi nào?
Ghi nhớ: + (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
+ Nếu a, b, c là ba cạnh của tam giác thì a + b > c a + b – c > 0
(tổng hai cạnh lớn hơn cạnh thứ ba)
* Bài tập mẫu:
Bài 1: Cho a, b > 0. Chứng minh:
Giải: Ta có: (1) a2 + b2 2ab a2 – 2ab + b2 0 (a – b)2 0 (đúng)
Vậy: (1) đúng a, b > 0. Dấu “=” xãy ra a = b
Bài 2: Với a, b bất kì. Chứng minh rằng: a2 + b2 + 4ab + 2(a + b)
Giải: Ta có: a2 + b2 + 4ab + 2(a + b) (1) a2 + b2 + 4 – ab – 2a – 2b 0
2a2 + 2b2 + 8 – 2ab – 4a – 4b 0 (a2 + b2 – 2ab) + (a2 – 4a + 4) + (b2 – 4b + 4) 0
(a – b)2 + (a – 2)2 + (b – 2)2 0 (đúng). Vậy (1) đúng
Dấu “=” xảy ra a = b = 2
Bài 3: Với a, b bất kì. Chứng minh rằng:
Giải: Ta có: (1) a2 + 2ab + b2 2a2 + 2b2
a2 – 2ab + b2 0 (a – b)2 0 (đúng). Vậy (1) đúng. Dấu “=” xảy ra a = b
Bài 4: Với mọi a, b, c. Chứng minh rằng:
Giải: Ta có: (1)
(đúng). Vậy (1) đúng. Dấu “=” xảy ra a – 2b = -2c
Bài 5: Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh rằng: a3 + b3 a2b + ab2
Giải: Ta có: a3 + b3 a2b + ab2 (1) a3 + b3 – a2b – ab2 0 a3 – a2b + b3 – ab2 0
a2(a – b) – b2(a – b) 0 (a – b)(a2 – b2) 0(a – b)2(a + b) 0 (đúng). Vậy (1) đúng
Dấu “=” xảy ra a = b
Bài 6: Với mọi a, b, c. Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 ab + bc + ca
Giải: Ta có: a2 + b2 + c2 ab + bc + ca (1) a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca0
2a2 + 2b2 + 2c2 – 2ab – 2bc – 2ca0 (a2 – 2ab + b2) + (b2 – 2bc + c2) + (c2 – 2ca + a2)0
(a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 0 (đúng). Vậy: (1) đúng. Dấu “=” xảy ra a = b = c
Bài 7: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác
a) Chứng minh: (b – c)2 < a2
b) Từ đó suy ra: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)
Giải: a) a, b, c là ba cạnh của tam giác nên: * a + c > b a + c – b > 0
* a + b > c a + b – c > 0
Suy ra: (a + c – b)(a + b – c) > 0 [a – (b – c)][a + (b – c)] > 0
a2 – (b – c)2 > 0a2 > (b – c)2 (đpcm)
b) Theo câu a) Ta có: a2 > (b – c)2 , chứng minh tương tự, ta được:
b2 > (c – a)2
c2 > (a – b)2
Suy ra: a2 + b2 + c2 > (b – c)2 + (c – a)2 + (a – b)2
a2 + b2 + c2 > b2 – 2bc + c2 + c2 – 2ca + a2 + a2 – 2ab + b2
a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) (đpcm)
* Bài tập tự luyện:
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi a, b, c, ta có:
Bài 2: Cho a, b, c > 0. Chứng minh:
Bài 3: Với mọi x, y, z. Chứng minh rằng: x2 + 4y2 + 3z2 + 14 > 2x + 12y + 6z
Bài 4: Với mọi a, b. Chứng minh rằng: a2 + b2 + 1 ab + a + b
Bài 5: Với mọi x, y, z. Chứng minh rằng: 2xyz x2 + y2z2
Bài 6: Với mọi x, y. Chứng minh rằng: (x2 – y2)2 4xy(x – y)2
Bài 7: Với mọi a, b. Chứng minh rằng: 2 + a2(1 + b2) 2a(1 + b)
Bài 8: Cho a > 0, b > 0. Chứng minh rằng:
Bài 9: Cho a, b bất kì. Chứng minh rằng: a2 + 2b2 + 2ab + b + 1 > 0
2. Dùng bất đẳng thức Côsi: Với 2 số a, b không âm, ta có: a + b 2. Dấu “=” xảy ra a = b
* Bài tập mẫu:
Bài 1: Với a, b 0. Chứng minh rằng: (a + b)(ab + 1) 4ab
Giải: Ta có: a + b 2
ab + 12
Suy ra: (a + b)(ab + 1)4ab (đpcm). Dấu “=” xảy ra a = b = 1
Bài 2: Chứng minh rằng: a2(1 + b2) + b2(1 + c2) + c2(1 + a2)6abc
Giải: Ta có: a2(1 + b2) + b2(1 + c2) + c2(1 + a2) = a2 + a2b2 + b2 + b2c2 + c2 + c2a2
= (a2 + b2c2) + (b2 + c2a2) + (c2 + a2b2)
Theo BĐT Côsi, ta có: a2 + b2c2 2= 2abc
b2 + c2a22= 2abc
c2 + a2b2 2= 2abc
Suy ra: (a2 + b2c2) + (b2 + c2a2) + (c2 + a2b2) 6abc
Vậy: a2(1 + b2) + b2(1 + c2) + c2(1 + a2)6abc (đpcm). Dấu “=” xảy ra a = b = c = 1
Bài 3: Với a, b, c > 0. Chứng minh rằng: (a + b + c) 9
Giải: Ta có: a + b + c 3

Suy ra: (a + b + c) 9 hay (a + b + c) 9
Dấu “=” xảy ra a = b = c = 1
Bài 4: Với a, b, c 0 và a + b + c = 1. Chứng minh rằng: (1 – a)(1 – b)(1 – c) 8abc
Giải: Ta có: a + b + c = 1
Suy ra: (1 – a)(1 – b)(1 – c) 8(đpcm). Dấu “=” xảy ra a = b = c
Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số sau: f(x) = x(1 – x) với
Giải: Theo bất đẳng thức Côsi, ta có: x(1 – x)
Suy ra: f(x) = x(1 – x) . Vậy: Hàm số f(x) đạt GTLN bằng khi x = 1 – x 2x = 1x =
Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x + + 4 với x > 0
Giải: Theo bất đẳng thức Côsi, ta có: x + + 4 4 + = 4 + 4 = 8
Suy ra: f(x) = x + + 4 8. Vậy: Hàm số f(x) đạt GTNN bằng 8 khi x = x2 = 4 x = 2
Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = trên đoạn [-2; 3]
Giải: Ta có: f2(x) = 6 – 2x + + 2x + 4 = 10 +
10 + (6 – 2x + 2x + 4) = 20 f(x)
Vậy: Hàm số f(x) đạt GTLN bằng khi 6 – 2x = 2x + 4 4x = 2 x =
* Bài tập tự luyện:
Bài 1: Với a, b, c 0. Chứng minh: (a + b)(a + c)(b + c) 8abc
Bài 2: Với a, b, c > 0. Chứnh minh:
Bài 3: Với a, b, c 0. Chứng minh: (a + b + c)(ab + bc + ca) 9abc
Bài 4: Với a, b, c > 0. Chứng minh:
(HD: , , ; nhóm )
Bài 5: Với a, b, c > 0. Chứng minh:
(HD: , cộng vế với vế đpcm)
Bài 6: Với a, b, c 0. Chứng minh: a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca 8a2b2c2
Bài 7: Cho a, b, c 0 và abc = 1. Chứng minh: (1 + a)(1 + b)(1 + c) 8
Bài 8: Với x, y > 0. Chứng minh:
Bài 9: Với a, b, c > 0. Chứng minh:
(HD: Áp dụng BĐT Côsi cho 6 số)
Bài 10: Với a, b, c 0. Chứng minh: (a + b + c)(a2 + b2 + c2) 9abc
Bài 11: Với a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Chứnh minh:
(HD: 1 + = 1 + = 1 + 1 + , sau đó nhân vế với vế đpcm)
Bài 12: Tìm giá trị nhỏ nhất của:
a) f(x) = với x > 0 b) f(x) = với 0 < x < 1
c) f(x) = với x > 0 d) f(x) = với 0 < x < 1
e) f(x) = e) f(x) =
Bài 13: Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số sau:
a) f(x) = x3(8 – x3) trên đoạn [0; 2]
b) f(x) = (14 – 7x)(7x + 21) trên đoạn [-3; 2]
b) f(x) = (2x – 1)(3 – 5x) trên đoạn
Bài 14: Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số sau:
a) f(x) = trên đoạn [1; 5]
b) f(x) = trên đoạn [-4; 5]

onthicaptoc.com Đại số 10 ôn tập chương 4 bất đẳng thức