HƯỚNG DẪN ÔN TẬP CHƯƠNG IV – ĐẠI SỐ 10 CƠ BẢN
II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN
* Bài tập mẫu: Bài 1: Giải các bất phương trình sau:
a) b)
c) (x + 2)(2x – 1) – 2 x2 + (x – 1)(x + 3)
Giải: a) 6(3x + 1) – 4(3 – x) 3(x + 1) – 4(2x – 1)
18x + 6 – 12 + 4x 3x + 3 – 8x + 4 18x + 4x – 3x + 8x 3 + 4 – 6 + 12
27x 13 . Vậy: Nghiệm của BPT là: hay T =
b) 15(– 2x) + 3.3 > 3.5(2x – 7) – 30x + 9 > 30x – 105
– 30x – 30x > – 105 – 9 – 60x > – 114 x < .
Vậy: Nghiệm của BPT là: x < hay T =
c) (x + 2)(2x – 1) – 2 x2 + (x – 1)(x + 3) 2x2 – x + 4x – 2 – 2 x2 + x2 + 3x – x – 3
2x2 – x + 4x – 2 – 2 – x2 – x2 – 3x + x + 3 0x – 10 x 1
Vậy: Nghiệm của BPT là: x 1 hay T =
Bài 2: Giải các bất phương trình sau:
a) b)
Giải: a) Vì x2 + 2 > 0, x2 + 1 > 0, ta có: (x2 + x + 1)(x2 + 1) > (x2 + x)(x2 + 2)
x4 + x2 + x3 + x + x2 + 1 > x4 + 2x2 + x3 + 2x – x + 1 > 0 x < 1
Vậy: Nghiệm của BPT là: x > 1 hay T =
b) Vì x2 + 2x + 2 > 0, x2 – 2x + 3 > 0, ta có:
x2 + 2x + 2 > x2 – 2x + 3 4x – 1 > 0 x >
Vậy: Nghiệm của BPT là: x > hay T =
Bài 3: Giải các hệ bất phương trình sau:
3
-1
a) b) c)
Giải: a) * Cách 1:
3
-1
Vậy: Nghiệm của hệ BPT là: hay T = [-1; 3]
* Cách 2: * 3 – x0 x3
* x + 10 x
Vậy: Nghiệm của hệ BPT là: hay T = [-1; 3]
-11
-16
b) * Cách 1:
Vậy: Hệ BPT vô nghiệm
* Cách 2: *
-11
-16
*
Vậy: Hệ BPT vô nghiệm
c)
*
3x – 3 – 4x – 6 < 12 – 3x – 15 – x 2x < 6 x < 2
* 8.1 – (x + 5) + 4(4 – x) > 8.3x – 2(x + 1)
2
7/9
8 – x – 5 + 16 – 4x > 24x – 2x – 2 – 27x > – 21 x <
Vậy: Nghiệm của hệ BPT là: x < hay T =
* Bài tập tự luyện:
Bài 1: Giải các bất phương trình sau:
a) b)
c) (2x – 1)(x + 3) – 3x + 1(x – 1)(x + 3) + x2 – 5 d) x(7 – x) + 6(x – 1) < x(2 – x)
e) f)
Bài 2: Giải các bất phương trình sau:
a) b)
Bài 3: Giải các hệ bất phương trình sau:
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
III. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT
* Kiến thức cần nhớ:
Quy tắc: “Phải cùng, Trái trái theo dấu hệ số a” hoặc “Trước trái, Sau cùng theo dấu hệ số a”
+ Bảng xét dấu nhị thức y = f(x) = ax + b
x

f(x) = ax + b
Trái dấu với hệ số a 0 Cùng dấu với hệ số a
* Bài tập mẫu:
Bài 1: Xét dấu các nhị thức sau:
a) f(x) = – 3x + 6 b) f(x) = (– 2x + 3)(x – 2) c) f(x) = (4x – 1)(3x + 5)(– 2x + 7) d) f(x) = 4x2 – 1 e) f(x) = x(3x + 6)(x – 3)2
Giải: a) f(x) = – 3x + 6; Ta có: – 3x + 6 = 0 x = 2
Bảng xét dấu:
x
2
f(x)
+ 0 –
Vậy: + f(x) > 0 khi x (; 2) + f(x) < 0 khi x (2; ) + f(x) = 0 khi x = 2
b) f(x) = (– 2x + 3)(x – 2); Ta có: * – 2x + 3 = 0 x = ; * x – 2 = 0 x = 2
Bảng xét dấu:
x
3/2 2
– 2x + 3
+ 0 –
–
x – 2
–
– 0 +
f(x)
– 0 + 0 –
Vậy: + f(x) > 0 khi x (; 2) + f(x) < 0 khi x (;) hoặc x (2;)
+ f(x) = 0 khi x = hoặc x = 2
* Cách khác: Dùng quy tắc đan dấu : a1.a2 = – 2.1 = – 2 < 0 f(x) < 0 trên
Bảng xét dấu:
x
3/2 2
f(x)
– 0 + 0 –
c) f(x) = (4x – 1)(3x + 5)(– 2x + 7)
Ta có: * 4x – 1 = 0x = ; * 3x + 5 = 0x = ; * – 2x + 7 = 0x =
Bảng xét dấu:
x
– 5/3 1/4 7/2
4x – 1
–
– 0 +
+
3x + 5
– 0 +
+
+
– 2x + 7
+
+
+ 0 –
f(x)
+ 0 – 0 + 0 –
Vậy: + f(x) > 0 khi x (; ) hoặc x (; ) + f(x) < 0 khi x (; ) hoặc x (; )
+ f(x) = 0 khi x = hoặc x = hoặc x =
* Cách khác: Dùng quy tắc đan dấu : a1.a2.a3 = 4.3.(– 2) = – 24 < 0 f(x) < 0 trên
x
– 5/3 1/4 7/2
f(x)
+ 0 – 0 + 0 –
d) f(x) = 4x2 – 1 = (2x + 1)(2x – 1); Ta có: * 2x + 1 = 0 x = ; * 2x – 1 = 0 x =
Bảng xét dấu:
x
–1/2 1/2
2x + 1
– 0 +
+
2x – 1
–
– 0 +
f(x)
+ 0 – 0 +
Vậy: + f(x) > 0 khi hoặc
+ f(x) < 0 khi + f(x) = 0 khi x = hoặc x =
e) f(x) = x(3x + 6)(x – 3)2; Ta có: * x = 0; * 3x + 6 = 0x = – 2; * x – 3 = 0x = 3
Bảng xét dấu:
x
– 2 0 3
x
–
– 0 +
+
3x + 6
– 0 +
+
+
(x – 3)2
+
+
+ 0 +
f(x)
+ 0 – 0 + 0 +
Vậy: + f(x) > 0 khi hoặc
+ f(x) < 0 khi + f(x) = 0 khi x = – 2 hoặc x = 0 hoặc x = 3
Bài tập 2: Xét dấu các nhị thức sau:
a) f(x) = b) f(x) = c) f(x) =
Giải: a) f(x) = ; Ta có: * 2x = 0 x = 0; * 3x – 4 = 0 x =
Bảng xét dấu:
x
0 4/3
2x
– 0 +
+
3x – 4
–
– 0 +
f(x)
+ 0 –
+
Vậy: + f(x) > 0 khi hoặc + f(x) < 0 khi
+ f(x) = 0 khi x = 0 + f(x) không xác định khi x =
* Cách khác: Dùng quy tắc đan dấu: a1.a2= 2.3 = 6 > 0 f(x) > 0 trên
Bảng xét dấu:
x
0 4/3
f(x)
+ 0 –
+
b) f(x) = ; Ta có: * 4x – 2 = 0x = ; * 1 – 3x = 0x = ; * 5x – 10 = 0x = 2
Bảng xét dấu:
x
1/3 1/2 2
4x – 2
–
– 0 +
+
1 – 3x
+ 0 –
–
–
5x – 10
–
–
– 0 +
f(x)
+ 0 – 0 +
–
Vậy: + f(x) > 0 khi hoặc + f(x) < 0 khi hoặc
+ f(x) = 0 khi x = hoặc x = + f(x) không xác định khi x = 2
* Cách khác: Dùng quy tắc đan dấu: a1.a2.a3 = 4.( –3).5 = – 60 < 0 f(x) < 0 trên
Bảng xét dấu:
x
1/3 1/2 2
f(x)
+ 0 – 0 +
–
c) f(x) = ; Ta có: * 1 + x = 0x = –1; * 2 – x = 0x = 2
Bảng xét dấu:
x
–1 2
1 + x
– 0 +
+
2 – x
+
+ 0 –
f(x)
– 0 +
–
Vậy: + f(x) > 0 khi + f(x) < 0 khi hoặc
+ f(x) = 0 khi x = –1 + f(x) không xác định khi x = 2
Bài tập 3: Giải các bất phương trình sau:
a) b) c)
d) e) f)
Giải: a) ; Ta có: * 8x – 5 = 0 x = ; * 3 – x = 0x = 3
Bảng xét dấu:
x
5/8 x < 3
8x – 5
– 0 +
+
3 – x
+
+ 0 –
VT
–
0 +
–
Vậy: Nghiệm của BPT là: hay T =
* Cách khác: (Sử dụng quy tắc đan dấu): a1.a2 = 8.(–1) = – 8 < 0 f(x) < 0 trên
Bảng xét dấu:
x
5/8 x < 3
VT
–
0 +
–
b)
* Cách 1: Ta có: * – 4x + 14 = 0x = ; * x – 1 = 0 x = 1
Bảng xét dấu:
x
x < 1 hoặc 7/2 < x
– 4x + 14
+
+ 0
x – 1
– 0 +
+
VT
–
+
0 –
Vậy: Nghiệm của BPT là: x < 1 hoặc x > hay T =
* Cách 2: (Sử dụng quy tắc đan dấu):
c)
, Ta có:* 4x + 8 = 0x = –2; * x + 1 = 0x = – 1
Bảng xét dấu:
x
x –2 hoặc – 1 < x
VT
+ 0
–
+
Vậy: Nghiệm của BPT là: x –2 hoặc x > – 1 hay T =
d)
, Ta có: * x + 7 = 0 x = – 7; * 2x – 1 = 0 x = ; * x + 2 = 0 x = – 2
Bảng xét dấu:
x
x –7 hoặc – 2 < x < 1/2
VT
–
+
–
+
Vậy: Nghiệm của BPT là: x –7 hoặc –2 < x < hay T =
e)
Ta có: * x = 0; * x – 4 = 0x = 4; * x + 2 = 0x = – 2; * x – 1 = 0x = 1; * x – 2 = 0x = 2
Bảng xét dấu:
x
–2 0 1 2 4
VT
–
+
–
+
–
+
Vậy: Nghiệm của BPT là: –2 < x < 0 hoặc 1 < x < 2 hoặc x > 4 hay T = (– 2; 0)(1; 2)(4; )
f)
Ta có: * x = 0; * x – 6 = 0x = 6; * x – 2 = 0x = 2; * x + 2 = 0x = – 2
Bảng xét dấu:
x
–2 0 2 6
VT
–
–
+
–
+
Vậy: Nghiệm của BPT là: x < – 2 hoặc – 2< x < 0 hoặc 2 < x < 6 hay T =
Bài 4: Giải các bất phương trình sau:
a) b) c)
d) e) f)
Giải: a) ; vì nên .Vậy: Tập nghiệm của BPT là: T =
b)
* Cách 1: Vận dụng công thức: hay
Ta có:
Vậy: Nghiệm của BPT là:
* Cách 2: Vận dụng công thức:
Ta có:
* – 5x + 14 = 0 x = ; * – 5x – 10 = 0x = – 2
Bảng xét dấu:
x
–2 x 14/5
VT
+
–
+
Vậy: Nghiệm của BPT là: hay T =
2/5
-2
* Cách 3: + Nếu 2 – 5x 0x , ta có: (1) 2 – 5x 12 – 5x 10 x – 2
Giao với đk x , ta được: (a)
14/5
2/5
+ Nếu 2 – 5x < 0x >, ta có: –2 + 5x 12 5x 14 x
Giao với đk x >, ta được: (b)
14/5
2/5
-2
Hợp (a) và (b), ta được: . Vậy: Nghiệm của BPT là:
c)
* Cách 1: Vận dụng công thức:
Ta có:
Vậy: Nghiệm của BPT là: hay x < – 4 hoặc x > 2
* Cách 2: Vận dụng công thức:
Ta có:
* 4x + 16 = 0x = – 4; * 4x – 8 = 0 x = 2
Bảng xét dấu:
x
x < – 4 hoặc 2 < x
VT
+
–
+
Vậy: Nghiệm của BPT là: x < – 4 hoặc x > 2 hay T =
d)
* Cách 1: Ta có:
. Vậy: Nghiệm của BPT là: hay T = (–7; 3)
* Cách 2: Ta có:
* –3x + 9 = 0x = 3; * –x – 7 = 0x = – 7
Bảng xét dấu:
x
– 7 < x < 3 8
VT
+
–
+
+
Vậy: Nghiệm của BPT là: hay T = (–7; 3)
e) Ta có:
Vậy: Nghiệm của BPT là: hay hoặc hay T =
f) Ta có:
6
10/3

Vậy: Tập nghiệm của BPT là: T =
2. Gặp trường hợp: “x b hoặc x a”
a) Nếu “gạch bỏ” thì gạch phần “trong”
b) Nếu “tô đậm” thì tô phần “ngoài”
3. Gặp trường hợp: “”
a) Nếu “gạch bỏ” thì gạch phần “ngoài”
b) Nếu “tô đậm” thì tô phần “trong”
Ghi nhớ: + Dấu : lấy giao “gạch bỏ”
+ Dấu : lấy hợp “tô đậm”
1. Gặp trường hợp: “x a” hoặc “x a”
a) Nếu “gạch bỏ” thì gạch phần “lõm”
b) Nếu “tô đậm” thì tô phần “lồi”
* Bài tập tự luyện:
Bài 1: Xét dấu các nhị thức sau:
a) f(x) = – 4x + 12 b) f(x) = (2x – 1)(x + 3) c) f(x) = (– 3x – 3)(x + 2)(x – 3)
d) f(x) = –x(2x – 4)2(x – 5) e) f(x) = 1 – 9x2
Bài 2: Xét dấu các biểu thức sau:
a) f(x) = b) f(x) = c) f(x) =
d) f(x) = e) f(x) = f) f(x) =
Bài 3: Giải các bất phương trình sau:
a) x(2x – 4)(3x + 2)0 b) x2(3 – x)(4x + 2) < 0 c) x(x – 5) – x(x – 2) < 0
Bài 4: Giải các bất phương trình sau:
a) b) c)
d) e) f)
Bài 5: Giải các bất phương trình sau:
a) b) c)
d) e) f)
Bài 6: Giải các bất phương trình sau:
a) b) c)
d) e) f)
IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN: ax + by c (c) (*)
* Phương pháp: Quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm (hay biểu diễn miền nghiệm)
+ Bước 1: Vẽ đường thẳng (d): ax + by = 0 (cho x = 0y = ?: A(0; ?); cho y = 0x = ?: B(?; 0))
+ Bước 2: Lấy 1 điểm không thuộc đường thẳng:
* Nếu đường thẳng (d) đi qua gốc tọa độ O thì lấy điểm M(1; 0) hoặc M(0; 1)
* Nếu đường thẳng (d) không đi qua gốc tọa độ O thì lấy điểm O(0; 0)
* Nếu đường thẳng (d) trùng với trục Ox (y = 0) thì lấy điểm M(0; 1) hoặc M(0; –1)
* Nếu đường thẳng (d) trùng với trục Oy (x = 0) thì lấy điểm M(1; 0) hoặc M(–1; 0)
+ Bước 3: Thay tọa độ điểm M vào bất phương trình (*)
+ Bước 4: * Nếu “hợp lí” thì miền chứa điểm M là miền nghiệm (miền còn lại gạch bỏ)
* Nếu “vô lí” thì miền chứa điểm M không phải là miền nghiệm (gạch bỏ) (miền còn lại là miền nghiệm
* Bài tập mẫu:
Bài 1: Biểu diễn hình học tập nghiệm của các bất phương trình sau:
a) 2x + 3y 6 b) – 3x + 2y > 0 c) 4(x + 1) – 2(y – 3) < 10 – 2y
Giải:
a) 2x + 3y 6
+ Vẽ đường thẳng (d): 2x + 3y = 6: đi qua 2 điểm A(0; 2), B(3; 0)
O
3
2
y
x
+ Chọn điểm O(0; 0) thay vào bất phương trình,
ta được: 06: thỏa
Vậy: Miền chứa điểm gốc tọa độ O(0; 0)
(miền không tô đậm) là miền nghiệm của bất phương trình đã cho
(kể cả biên)
b) – 3x + 2y > 0
y
x
3
2
O
+ Vẽ đường thẳng (d): – 3x + 2y = 0: Đi qua 2 điểm O(0; 0), A(2; 3)
+ Chọn điểm M(1; 0) thay vào bất phương trình,
ta được: –3 > 0: không thỏa
Vậy: Miền không chứa điểm M(1; 0) (miền không tô đậm)
là miền nghiệm của bất phương trình đã cho (không kể biên)

onthicaptoc.com Đại số 10 bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn