ĐỀ HSG TP MÃ TN16
M Ã KÝ HIỆU
[GIMINH]
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
MÔN:TOÁN .Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1. (2,0 điểm)
1.1, Cho với
a. Rút gọn P; b. Với giá trị nguyên của x để P < 0
1.2, Cho a + b = 2. Chứng minh rằng:
Câu 2. (2,0 điểm).2.1,Cho phương trình , trong đó là tham số.
Tìm để phương trình có hai nghiệm phân biệt không âm.
2.2, Giải hệ phương trình:
Câu 3. (2,0 điểm). 3.1, Chứng minh 13 + 23 + ... + 1003 là số chính phương
3.2, Cho các số dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức:

Câu 4. (3,0 điểm). Cho AB là đường kính của đường tròn (O;R). C là một điểm thay đổi trên đường tròn (C khác A và B), kẻ CH vuông góc với AB tại H. Gọi I là trung điểm của AC, OI cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O;R) tại M, MB cắt CH tại K.
4.1, Chứng minh M, A, O, C cùng thuộc một đường tròn. Suy ra MC là tiếp tuyến của (O;R).
4.2, Chứng minh K là trung điểm của CH.
4.3, Xác định vị trí của C để chu vi tam giác ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó theo R.
Câu 5. (1,0 điểm). Viết 6 số tự nhiên vào 6 mặt của một con súc sắc. Chứng minh rằng khi ta gieo súc sắc xuống mặt bàn thì trong 5 mặt có thể nhìn thấy bao giờ cũng tìm được một hay nhiều mặt để tổng các số trên đó chia hết cho 5
.................................................................
MÃ KÍ HIỆU
[GIĐUC]
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1: ( 2.0 điểm) .a) Rút gọn biểu thức A =
b) Cho x, y, z thoả mãn: xy + yz + xz = 1.
Hãy tính giá trị biểu thức: A =
c) Cho hàm số : f(x) = (x3 + 12x – 31)2016. Tính f(a) tại a =
Câu 2: (2.0 điểm) . a)Tìm m để phương trình (x2-1)(x+3)(x+5) = m có bốn nghiệm phân biệt x1, x2, x3, x4 thoả mãn điều kiện
b) Giải hệ phương trình :
Câu 3: ( 2.0 điểm) . a) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho số 28 + 211 + 2n là số chính phương .
b) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 3.
Chứng minh rằng: .
Câu 4: ( 3.0 điểm)
1.Cho đường tròn với tâm O và đường kính AB cố định. Gọi M là điểm di động trên đường tròn sao cho M không trùng với các điểm A và B. Lấy C là điểm đối xứng của O qua A. Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt đường thẳng AM tại N. Đường thẳng BN cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E. Các đường thẳng BM và CN cắt nhau tại F.
a) Chứng minh rằng tích AM.AN không đổi.
b) Chứng minh rằng A là trọng tâm của tam giác BNF khi và chỉ khi NF ngắn nhất.
2. Cho tam giác nhọn ABC, gọi AH,BI,CK là các đường cao của tam giác
Chứng minh rằng
Câu 5: (1,0 đ).Tìm tất cả các cặp số nguyên dương a,b sao cho : a + b2 chia hết cho a2b – 1.
............................................................................
MÃ KÍ HIỆU ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
[MĐUC] LỚP 9 - Môn : TOÁN
Bài 1. (2,0 điểm)
Cho biểu thức: với x > 0, x ¹ 1.
1.1. Rút gọn A.
1.2. Với những giá trị nào của x thì biểu thức nhận giá trị nguyên?
Bài 2. (2,0 điểm)
2.1. Cho phương trình x2 + ax + b = 0 có hai nghiệm c và d, phương trình x2 + cx + d = 0 có hai nghiệm a và b.Tính a,b,c,d, biết rằng các số đó đều khác 0.
2.2. Giải hệ phương trình:
Bài 3. (2,0 điểm) .
3.1. Với mỗi số nguyên dương n ≤ 2008, đặt Sn = an +bn , với a =; b =. Chứng minh Sn – 2 = . Tìm tất cả các số n để Sn – 2 là số chính phương.
3.2 Cho a; b; c là các số thuộc đoạn thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = 6 .CMR : a + b + c 0
Bài 4. (3,0 điểm) . Cho đường tròn (C ) với tâm O và đường kính AB cố định. Gọi M là điểm di động trên (C ) sao cho M không trùng với các điểm A và B. Lấy C là điểm đối xứng của O qua A. Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt đường thẳng AM tại N. Đường thẳng BN cắt đường tròn (C ) tại điểm thứ hai là E. Các đường thẳng BM và CN cắt nhau tại F.
3.1. Chứng minh rằng các điểm A, E, F thẳng hàng.
3.2.Chứng minh rằng tích AM×AN không đổi.
3.3.Chứng minh rằng A là trọng tâm của tam giác BNF khi và chỉ khi NF ngắn nhất.
Bài 5. (1,0 điểm) . Các số từ 1 đến 1984 được viết thứ tự trên một vòng tròn theo chiều kim đồng hồ. Bắt đầu từ 1, đi quanh vòng tròn theo chiều kim đồng hồ, gạch bỏ số thứ hai sau số chưa gạch đứng trước nó.Tiếp tục quá trình ấy đến khi nào trên vòng tròn còn lại một số thì thôi.Tìm số còn lại?
-------------------Hết-----------------
MÃ KÝ HIỆU
[MTAN]
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
Lớp 9 - MÔN: TOÁN
Bài 1( 2 điểm). a) Cho biểu thức: A = (x2 – x - 1 )2 + 2013
Tính giá trị của A khi x =
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có
Tính tổng
Bài 2 ( 2 điểm). a) Gọi là các nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính.
b) Giải hệ phương trình
Bài 3 ( 2 điểm). a) Cho các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn . Chứng minh A = xy chia hết cho 12.
b) Cho các số thực dương x, y, z ; .CMR
Bài 4 ( 3 điểm). Cho BC là dây cung cố định của đường tròn (O; R), (BC<2R), A là điểm di động trên cung lớn BC ( A không trùng B,C). Gọi AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC; EF cắt BC tại P, qua D kẻ đường thẳng song song với EF cắt AC tại Q và cắt AB tại R .
a) Chứng minh tứ giác BQCR là tứ giác nội tiếp.
b) Gọi M là trung điểm cạnh BC .CM: hai tam giác EPM và DEM là hai tam giác đồng dạng.
c) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 5 ( 1 điểm)
Trên mặt phẳng cho n đường thẳng đôi một song song và không có ba đường nào đồng quy. Tìm số miền n mà đường thẳng này định ra trên mặt phẳng.
-------------------Hết-------------------
MÃ KÝ HIỆU
[KYSON]
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
Lớp 9 - Năm học 2015-2016
Bài 1. (2,00 điểm).1. Rút gọn: a) với a > 0; b > 0 và ab
b) với a > 0 và a 1.
2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: , biết x + y = 6.
Bài 2. (2 điểm).1. Cho phương trình: (*)
a) Tìm các giá trị của m để phương trình (*) có nghiệm duy nhất.
b) Tìm các giá trị của m để (*) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 + x2 = m.
2. a) Giải hệ phương trình sau: ;
b) Tìm m nguyên để hệ phương trình sau có nghiệm thỏa mãn x > 0, y < 0..
Bài 3. (2 điểm). 1. Tích của bốn số tự nhiên liên tiếp bằng 3024.
a) Chứng tỏ rằng 4 số này đều có một chữ số; b) Tìm 4 số đó.
2. Cho tam giác ABC có chu vi 2p = a + b + c (a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác ABC). Chứng minh: .
Bài 4. (3 điểm). 1. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), có BC = a, AB = b, AC = c. Gọi a’, b’, c’ là khoảng cách từ các đỉnh A, B, C đến trực tâm H của tam giác. CMR các tổng a2 + a’2 ; b2 + b’2 và c2 + c’2 không đổi khi ba đỉnh A, B, C thay đổi trên đường tròn (O).
2. Từ điểm P nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính R kẻ hai tiếp tuyến PA và PB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ điểm A đến đường kính BC. Gọi K là giao điểm của AB và PO.
a) CMR: PC cắt AH tại trung điểm của AH; b) Tính AH theo R và biết PO = d.
Bài 5. (1 điểm). 1. Cho n số thực a1, a2, a3, ...., an thỏa mãn tổng của n - 1 số bất kì lớn hơn số còn lại. Chứng minh rằng trong n số này có ít nhất ba số dương.
2. Tám đội bóng tham gia giải vô địch trong đó hai đội bất kỳ phải gặp nhau đúng một lần. Biết rằng đến cuối giải không có trận nào kết thúc với tỉ số hoà. Chứng minh rằng trong tám đội nói trên, luôn tìm được bốn đội A,B,C,D sao cho kết quả giữa các trận đấu của họ là A thắng B,C,D; B thắng C,D; C thắng D.
-------------------Hết-----------------
MÃ KÝ HIỆU
[HOBINH]
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
Lớp 9 - Năm học 2015-2016
Bài 1: (2,0 điểm)
1.1 Rút gọn biểu thức A =
1.2 Chứng minh rằng với x > 0, x 1, biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:
.
Bài 2: (2,0 điểm)
2.1. Cho phương trình ẩn x, tham số m : x2 - 4x + m + 1 = 0 (1)
Tìm m để hai nghiệm của phương trình (1) thỏa mãn điều kiện .
2.2.Giải hệ phương trình
Bài 3: (2,0 điểm)
3.1. Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho số 28 + 211 + 2n là số chính phương .
3.2. Chứng minh rằng n Î , ta có : .
Bài 4: (3,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Trên cạnh BC lấy điểm E, đường thẳng qua B vuông góc với đường thẳng DE cắt DE tại H và cắt DC tại K. Gọi M là giao điểm của DB và AH.
a) Chứng minh ba điểm M, E, K thẳng hàng.
b) Chứng minh E là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác CHM.
c) Khi E di chuyển trên cạnh BC thì điểm H di chuyển trên đường nào ?
d) Khi , tính độ dài của đoạn HK theo a.
Bài 5: (1,0 điểm)
Trên mặt phẳng cho 2000 điểm thỏa mãn ba điểm bất kỳ trong số chúng đều thẳng hàng. Chứng minh rằng 2000 điểm đã cho đều thẳng hàng.
-------------------Hết-----------------
MÃ KÝ HIỆU
[KIBAI]
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
Lớp 9 - Năm học 2015-2016
Câu 1. (2.0 điểm). Cho biểu thức: P=
a. Tìm điều kiện xác định rồi rút gọn P.
b. Tính giá trị của P khi x= 7- 4
c. Với giá trị nào của x thì P đạt GTNN, Tính GTNN đó.
Câu 2. (2.0 điểm)
1. a. Giải phương trình: += 8
b. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: xy+ 4y - 4x = 19
2. Cho phương trình: x2-( 2m – 3)x + m2-3m = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn: 1< <<6
Câu 3. (2.0 điểm)
a. Cho a, b, c là các số nguyên tố khác 0, a c thỏa mãn

Chứng minh rằng : không thể là một số nguyên tố
b. Cho abc =1 và a3> 36. Chứng minh rằng:

Câu 4. (3 điểm)
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O; R). Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc cung nhỏ BC.
a) Chứng minh rằng MA = MB + MC.
b) Gọi D là giao điểm của MA và BC. Chứng minh rằng có giá trị không đổi khi M di chuyển trên cung nhỏ BC.
c) Tính tổng theo R.
Câu 5. (1 điểm) Cho a,b,c số dương thoả mãn a+b+c=1. Tính GTNN của P

-------------------Hết-----------------
MÃ KÝ HIỆU
[CHIMI]
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
Lớp 9 - Năm học 2015-2016
Câu 1. (2 điểm) :
1. Cho biểu thức: với a > 0, a ¹ 1.
Chứng minh rằng
2. Cho . Tính giá trị của biểu thức
Câu 2. (2 điểm)
1/ Cho phương trình : có 2 nghiệm phân biệt . Không giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là y thoả mãn :
và
2/ Giải phương trình :
Câu 3. (2 điểm)
1/Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho số 28 + 211 + 2n là số chính phương .
2/ Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Câu 4. (3 điểm)
Cho AB là đường kính của đường tròn (O;R). C là một điểm thay đổi trên đường tròn (C khác A và B), kẻ CH vuông góc với AB tại H. Gọi I là trung điểm của AC, OI cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O;R) tại M, MB cắt CH tại K.
1) Chứng minh MC là tiếp tuyến của (O;R).
2) Chứng minh K là trung điểm của CH.
3) Xác định vị trí của C để chu vi tam giác ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó theo R.
Câu 5. (1điểm)
Có 5 Nhà Toán học nam , 3 Nhà toán học nữ , 4 Nhà vật lí nam . Lập một đoàn công tác 3 người cần có cả nam , nữ , cả nhà toán học và nhà vật lí . Hỏi có bao nhiêu cách lập đoàn công tác?
-------------------Hết-----------------
MÃ KÝ HIỆU
[LALE]
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
Lớp 9 - Năm học 2015-2016
Câu 1. ( 2,0 điểm)
a) Rút gọn biểu thức: với
b) Tính giá trị của biểu thức với .
Câu 2. ( 2,0 điểm)
a )Tìm các số p và q của phương trình : x2 + p x + q = 0 sao cho các nghiệm của nó thỏa mãn :
b ) Giải hệ phương trình sau:
Câu 3. ( 2,0 điểm )
a)Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2x6 + y2 –2 x3y = 320
b ) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn :
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : T =
Câu 4. ( 3, 0 điểm )
Cho tam giác ABC ( AB < AC ) có , đường phân giác trong của góc cắt BC tại D. Từ D kẻ các tia Dx // AC, Dy // AB cắt AB, AC thứ tự tại M, N.
a) CMR: MN2 = MB. NC
b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác MND cắt BD tại E ( E khác D ). Gọi giao điểm của BN với CM là F. Chứng minh MBEF là tứ giác nội tiếp.
c) Chứng minh tia EF đi qua trung điểm của MN.
Câu 5 . ( 1,0 điểm )
Chứng minh rằng không tồn tại x, y là số nguyên thỏa mãn biểu thức:
2012x2015 + 2013y2018 = 2015.
-------------------Hết-----------------
MÃ KÝ HIỆU
[NULAO]
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
Lớp 9 - Năm học 2015-2016
Câu 1. (2.0 điểm)
1.1. Tính giá trị của biểu thức:
1.2. Rút gọn biểu thức với .
Câu 2. (2.0 điểm)
2.1. Cho phương trình . Tìm để phương trình
có hai nghiệm thực phân biệt , thỏa mãn .
2.2. Giải hệ phương trình .
Câu 3. (2.0 điểm)
3.1 Tìm các số tự nhiên có 2 chữ số sao cho:
3.2 Cho x, y, z dương thỏa mãn: xy + yz + xz 3
Tìm giá trị nhỏ nhất của: P =
Câu 4. (3.0 điểm)
Một đường tròn tiếp xúc với hai cạnh Ox, Oy của góc xOy lần lượt tại A và B. Từ điểm A vẽ đường thẳng song song với OB cắt đường tròn đã cho tại điểm thứ hai C. Tia OC cắt đường tròn tại E. Hai đường thẳng AE và OB cắt nhau tại K.
a) Chứng minh OK = KB
b) Chứng minh rằng:
c) Gọi a, b, c theo thứ tự là khoảng cách từ C đến AB, OB, OA.
Chứng minh a2 = bc.
Câu 5. (1.0 điểm)
Cho 2009 điểm khác nhau nằm bên trong hình chữ nhật có chiều dài 251cm và chiều rộng 4cm. Vẽ 2009 hình tròn nhận các điểm trên làm tâm và có cùng bán kính là cm. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một hình tròn trong số chúng chứa ít nhất 3 điểm trong 2009 điểm nói trên.
-------------------Hết-----------------
MÃ KÝ HIỆU
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
[PHNINH]
Lớp 9 – Năm học 2015 – 2016
Câu 1. (2,0 điểm)
Rút gọn biểu thức
1.1)
1.2) với
Câu 2. (2,0 điểm)
2.1) Cho phương trình : x– 2mx + 2m – 1 = 0. Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm x, x2 với mọi m. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức khi m thay đổi
2.2) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình x2 – 2x – 11 = y2
Câu 3. (2,0 điểm)
3.1) Tìm số tự nhiên có 3 chữ số thỏa:
3.2) Cho 100 số tự nhiên thỏa mãn điều kiện:

Chứng minh rằng trong 100 số tự nhiên đó, tồn tại hai số bằng nhau.
Câu 4. (3,0 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), các đường cao AD, BE, CF (DBC, EAC, F AB) cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) theo thứ tự ở M, N, K. Chứng minh rằng:
4.1) BH.BE + CH.CF = BC2
4.2) AH.AD + BH.BE + CH.CF =
4.3)
Câu 5. (1,0 điểm)
Cho năm số thực không âm a,b,c,d,e có tổng bằng 1. Xếp năm số này trên một đường tròn. Chứng minh rằng luôn tồn tại một cách xếp sao cho hai số bất kỳ cạnh nhau luôn có tích không lớn hơn .
--------------------- Hết --------------------
MÃ KÝ HIỆU
[QUATHANH]
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
Lớp 9 - Năm học 2015-2016
Câu 1. (2,0 điểm)
a) Tính tổng
b) Cho đa thức và a = . Tính f(a) + 2014
Câu 2. (2,0 điểm)
a) Giải phương trình nghiệm nguyên :
3x2 + 4y2 = 6x + 13
b) Giải hệ phương trình

c) Giả sử là hai nghiệm của phương trình và là nghiệm của phương trình . Tính giá trị của biểu thức:
M = theo a và b.
Câu 3. (2,0 điểm)
a) Cho b là số nguyên tố khác 3. Số A = 3n + 1 + 2015b2 (n là số tự nhiên) là
số nguyên tố hay hợp số.
b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n > 1 thì số A = n6 – n4 + 2n3 + 2n2 không thể là số chính phương.
c) Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn
Chứng minh rằng
Câu 4. (3,0 điểm) Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) vẽ 2 tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (O) (A và B là 2 tiếp điểm). Từ M kẻ cát tyến MCD ( C nằm giữa M và D), tia MD nằm giữa 2 tia MA và MO. Tia MO cắt AB tại H.
a) Chứng minh MC.MD= MH .MO.
b) Qua C kẻ đường thẳng song song với AD cắt AM tại I, cắt AB tại K.Chứng minh C là trung điểm của IK
Câu 5. (1,0 điểm) Trên mặt phẳng cho 4022 điểm, trong đó không có bất kì 3 điểm nào thẳng hàng. Người ta tô 2011 điểm bằng màu đỏ và tô 2011 điểm còn lại bằng màu xanh.Chứng minh rằng: Tồn tại một cách nối tất cả các điểm màu đỏ với tất cả các điểm màu xanh bởi 2011 đoạn thẳng không có điểm chung nào.
-------------------Hết-----------------
MÃ KÝ HIỆU
[HOPTHANH]
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
Lớp 9 - Năm học 2015-2016
Bài 1: (2.0 điểm)
1.1)Cho biểu thức
a) Tìm điều kiện của x để Q có nghĩa
b) Rút gọn biểu thức Q
1.2)Giải phương trình
Bài 2: (2.0 điểm)
1. Cho phương trình x2 - 2 (m - 1) x + 2m - 3 = 0 (1) (m là tham số).
a) Giải phương trình (1) khi m = 2.
b) Gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình (1). Hãy tính theo m và tìm giá trị nhỏ nhất của B.
2. Một tam giác vuông có chu vi 30 cm, cạnh huyền là 13 m. Tính mỗi cạnh góc vuông của tam giác vuông đó.
Bài 3: (2.0 điểm)
a/Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
b/Cho
Gi ả s ử : . Tính giá trị của biểu thức:
Bài 4: (3.0 điểm)
Cho AB là đường kính của đường tròn (O;R). C là một điểm thay đổi trên đường tròn (C khác A và B), kẻ CH vuông góc với AB tại H. Gọi I là trung điểm của AC, OI cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O;R) tại M, MB cắt CH tại K.
a) Chứng minh MC là tiếp tuyến của (O;R).
b) Chứng minh K là trung điểm của CH.
c) Xác định vị trí của C để chu vi tam giác ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó theo R.
Bài 5: (1.0 điểm)
a) Cho a, b, c > 0. Chứng minh:
b)Cho các số x, y, z dương thỏa mãn x + y + z = 1.
Chứng minh: .
………………Hết………………………
MÃ KÝ HIỆU
[KEHGIANG]
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
Lớp 9 - Năm học 2015-2016
Câu 1. (2điểm)
a) Cho ; x≠0 và .
Tính giá trị biểu thức  theo a.
b) Cho các số thực dương x , y ,z thỏa mãn điều kiện
chứng minh rằng
Câu 2. (2 điểm)
a) Cho phương trình . Tìm giá trị của tham số m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thoả mãn .
b) Giải hệ phương trình .
Câu 3. (2điểm)
a) Tìm số nguyên tố p sao cho các số đều là số nguyên tố.
b) Cho a, b, c > 0 chứng minh
Câu 4. (3điểm)
Cho 3 điểm A , B, C cố định nằm trên một đường thẳng d (B nằm giữa A và C).
Vẽ đường tròn tâm O thay đổi nhưng luôn đi qua B và C (O không thuộc đường thẳng d). Kẻ AM và AN là các tiếp tuyến với đường tròn tâm O tại M và N. Gọi I là trung điểm của BC, AO cắt MN tại H và cắt đường tròn tại các điểm P và Q (P nằm giữa A và O), BC cắt MN tại K.
a. Chứng minh 4 điểm O, M, N, I cùng nằm trên một đường tròn.
b. Chứng minh điểm K cố định khi đường tròn tâm O thay đổi.
c. Gọi D là trung điểm của HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng MP tại E. Chứng minh P là trung điểm của ME.
Câu 5. (1điểm)
Tìm cạnh của hình vuông nhỏ nhất, biết rằng: hình vuông đó chứa 5 đường tròn có bán kính bằng 1 và 5 đường tròn này đôi một không có quá 1 điểm chung.
-------------------Hết-----------------
MÃ KÝ HIỆU
[HOANGDONG]
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
Lớp 9 - Năm học 2015-2016
Bài 1. ( 2,0 điểm)
a) Cho y =
Tìm các giá trị nguyên của x để y đạt giá trị nguyên.
b) Cho . Tính tổng S = x + y.
Bài 2. (2,0 điểm)
a) Giải phương trình: (x + 1)4 = 2(x4 + 1)
b) Tìm nghiệm nguyên của hệ:
Bài 3. ( 2,0 điểm)
a) Cho a, b, c thoả mãn
Tính giá trị biểu thức Q =
b) Cho là các số thực thỏa mãn điều kiện:

Chứng minh rằng: .
Bài 4. ( 3,0 điểm)
1. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Một điểm C cố định thuộc đoạn thẳng AO (C khác A và C khác O). Đường thẳng đi qua C và vuông góc với AO cắt nửa đường tròn đã cho tại D. Trên cung BD lấy điểm M (M khác B và M khác D). Tiếp tuyến của nửa đường tròn đã cho tại M cắt đường thẳng CD tại E. Gọi F là giao điểm của AM và CD.
a) Chứng minh tam giác EMF là tam giác cân.
b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác FDM. Chứng minh ba điểm D, I, B thẳng hàng.
c) Chứng minh góc ABI có số đo không đổi khi M di chuyển trên cung BD.
2. Cho tứ giác ABCD, gọi I là giao điểm của hai đường chéo. Kí hiệu
a. Chứng minh:
b. Khi tứ giác ABCD là hình thang thì hệ thức trên xảy ra như thế nào?
Bài 5. ( 1,0 điểm)
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4 người ta lập tất cả các số thập phân mà mỗi số thập phân gồm đúng bốn chữ số 1, 2, 3, 4 và có k chữ số đứng ở bên phải dấu phảy chỉ hàng đơn vị, với . Tính tổng tất cả các số thập phân được lập.
-------------------Hết-----------------
MÃ KÍ HIỆU ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
[MIĐONG] LỚP 9 - Năm học 2015- 2016
Bài 1. (2,0 điểm)
Cho biểu thức: với x > 0, x ¹ 1.
1.1. Rút gọn A.
1.2. Với những giá trị nào của x thì biểu thức nhận giá trị nguyên?
Bài 2. (2,0 điểm)
2.1. Cho phương trình x2 + ax + b = 0 có hai nghiệm c và d, phương trình x2 + cx + d = 0 có hai nghiệm a và b.Tính a,b,c,d, biết rằng các số đó đều khác 0.
2.2. Giải hệ phương trình:
Bài 3. (2,0 điểm)
3.1. Với mỗi số nguyên dương n ≤ 2008, đặt Sn = an +bn , với a =; b =.
Chứng minh Sn – 2 = . Tìm tất cả các số n để Sn – 2 là số chính phương.
3.2 Cho a; b; c là các số thuộc đoạn thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = 6 hãy chứng minh rằng: a + b + c 0
Bài 4. (3,0 điểm)
Cho đường tròn (C ) với tâm O và đường kính AB cố định. Gọi M là điểm di động trên (C ) sao cho M không trùng với các điểm A và B. Lấy C là điểm đối xứng của O qua A. Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt đường thẳng AM tại N. Đường thẳng BN cắt đường tròn (C ) tại điểm thứ hai là E. Các đường thẳng BM và CN cắt nhau tại F.
3.1. Chứng minh rằng các điểm A, E, F thẳng hàng.
3.2.Chứng minh rằng tích AM×AN không đổi.
3.3.Chứng minh rằng A là trọng tâm của tam giác BNF khi và chỉ khi NF ngắn nhất.
Bài 5. (1,0 điểm)
Các số từ 1 đến 1984 được viết thứ tự trên một vòng tròn theo chiều kim đồng hồ. Bắt đầu từ 1, đi quanh vòng tròn theo chiều kim đồng hồ, gạch bỏ số thứ hai sau số chưa gạch đứng trước nó.Tiếp tục quá trình ấy đến khi nào trên vòng tròn còn lại một số thì thôi.Tìm số còn lại?
-------------------Hết-----------------
MÃ KÝ HIỆU
[TAMHUNG]
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
Lớp 9 - Năm học 2015-2016
Câu 1. (2,0 điểm)
Cho biểu thức: với a > 0, a ¹ 1.
a) Chứng minh rằng
b) Với những giá trị nào của a thì biểu thức nhận giá trị nguyên?
Câu 2. (2,0 điểm)
a) Cho các hàm số bậc nhất: , và có đồ thị lần lượt là các đường thẳng (d1), (d2) và (Dm). Với những giá trị nào của tham số m thì đường thẳng (Dm) cắt hai đường thẳng (d1) và (d2) lần lượt tại hai điểm A và B sao cho điểm A có hoành độ âm còn điểm B có hoành độ dương?
b) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M và N là hai điểm phân biệt, di động lần lượt trên trục hoành và trên trục tung sao cho đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định . Tìm hệ thức liên hệ giữa hoành độ của M và tung độ của N; từ đó, suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Câu 3. (2,0 điểm)
a) Giải hệ phương trình:
b) Tìm tất cả các giá trị của x, y, z sao cho:
Câu 4. (3,0 điểm)
Cho đường tròn tâm O đường kính AB cố định. Gọi M là điểm di động trên đường tròn đó sao cho M không trùng với các điểm A và B. Lấy C là điểm đối xứng của O qua A. Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt đường thẳng AM tại N. Đường thẳng BN cắt đường tròn tại điểm thứ hai là E. Các đường thẳng BM và CN cắt nhau tại F.
a) Chứng minh rằng các điểm A, E, F thẳng hàng.
b) Chứng minh rằng tích AM.AN không đổi.
c) Chứng minh rằng A là trọng tâm của khi và chỉ khi NF ngắn nhất.
Câu 5. (1,0 điểm)
Tìm tất cả các giá trị của a, b, c thỏa mãn đẳng thức sau:
(với )
---------- HẾT----------
MÃ KÝ HIỆU
[THUYSON]
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
Lớp 9 - Năm học 2015-2016
Câu 1. (2,0 điểm)
a. Rút gọn biểu thức:

b. Cho biểu thức:

+ Rút gọn biểu thức B.
+ Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của B là một số nguyên.
Câu 2. (2,0 điểm)
a. Cho phương trình: 2x2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0 (1), trong đó m là tham số.
Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: 4x12 + 4x22 + 2x1x2 = 1
b. Cho hệ phương trình
Tìm các giá trị của m để hệ đã cho có ít nhất một nghiệm thỏa mãn điều kiện x > 0; y > 0
Câu 3. (2,0 điểm)
a. Tìm 5 số nguyên sao cho mỗi số trong các số đó đều bằng bình phương của tổng 4 số còn lại
b. Cho biểu thức , trong đó . Chứng minh rằng:
Câu 4. (3,0 điểm)
Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Gọi C là trung điểm của AO. Đường thẳng a vuông góc với AB tại C cắt đường tròn (O) tại I. Trên đoạn CI lấy K (khác C và I). Tia AK cắt đường tròn (O) tại M. Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M cắt a tại N. Tia BM cắt a tại D.
a. Chứng minh MNK cân.
b. Tính diện tích ABD theo R, khi K là trung điểm của CI
c. Chứng minh khi K chuyển động trên đoạn CI thì tâm đường tròn ngoại tiếp AKD luôn thuộc một đường thẳng cố định.
Câu 5. (1,0 điểm)
Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên lẻ không chia hết cho 5 và nhỏ hơn 30. Tìm số k nhỏ nhất sao cho mỗi tập con của A gồm k phần tử đều tồn tại hai số chia hết cho nhau ?

-------------------Hết-------------------
MÃ KÝ HIỆU
[KISON]
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
Lớp 9 - Năm học 2015-2016
Bài 1. (2,00 điểm)
1. Rút gọn: a) với a > 0; b > 0 và ab
b) với a > 0 và a 1.
2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: , biết x + y = 6.
Bài 2. (2,00 điểm)
1. Cho phương trình: (*)
a) Tìm các giá trị của m để phương trình (*) có nghiệm duy nhất.
b) Tìm các giá trị của m để (*) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 + x2 = m.
2. a) Giải hệ phương trình sau: ;
b) Tìm các giá trị nguyên của m để hệ phương trình sau có nghiệm thỏa mãn x > 0, y < 0.
.
Bài 3. (2,00 điểm)
1. Tích của bốn số tự nhiên liên tiếp bằng 3024.
a) Chứng tỏ rằng 4 số này đều có một chữ số;
b) Tìm 4 số đó.
2. Cho tam giác ABC có chu vi 2p = a + b + c (a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác ABC). Chứng minh: .
Bài 4. (3,00 điểm)
1. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), có BC = a, AB = b, AC = c. Gọi a’, b’, c’ là khoảng cách từ các đỉnh A, B, C đến trực tâm H của tam giác. Chứng minh rằng các tổng a2 + a’2 ; b2 + b’2 và c2 + c’2 không đổi khi ba đỉnh A, B, C thay đổi trên đường tròn (O).
2. Từ điểm P nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính R kẻ hai tiếp tuyến PA và PB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ điểm A đến đường kính BC. Gọi K là giao điểm của AB và PO.
a) Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm của AH;
b) Tính AH theo R và biết PO = d.
Bài 5. (1,00 điểm)
1. Cho n số thực a1, a2, a3, ...., an thỏa mãn tổng của n - 1 số bất kì lớn hơn số còn lại. Chứng minh rằng trong n số này có ít nhất ba số dương.
2. Tám đội bóng tham gia giải vô địch trong đó hai đội bất kỳ phải gặp nhau đúng một lần. Biết rằng đến cuối giải không có trận nào kết thúc với tỉ số hoà. Chứng minh rằng trong tám đội nói trên, luôn tìm được bốn đội A,B,C,D sao cho kết quả giữa các trận đấu của họ là A thắng B,C,D; B thắng C,D; C thắng D.

onthicaptoc.com ĐỀ HSG TP MÃ TN16