BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM GIỚI HẠN DÃY SỐ
A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP
GIỚI HẠN HỮU HẠN
GIỚI HẠN VÔ CỰC
1. Giới hạn đặc biệt:
;
;
2. Định lí :
a) Nếu lim un = a, lim vn = b thì
· lim (un + vn) = a + b
· lim (un – vn) = a – b
· lim (un.vn) = a.b
· (nếu b ¹ 0)
b) Nếu un ³ 0, n và lim un= a
thì a ³ 0 và lim
c) Nếu ,n và lim vn = 0
thì lim un = 0
d) Nếu lim un = a thì
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
S = u1 + u1q + u1q2 + … =
1. Giới hạn đặc biệt:

2. Định lí:
a) Nếu thì
b) Nếu lim un = a, lim vn = ±¥ thì lim= 0
c) Nếu lim un = a ¹ 0, lim vn = 0
thì lim =
d) Nếu lim un = +¥, lim vn = a
thì lim(un.vn) =
* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định: , , ¥ – ¥, 0.¥ thì phải tìm cách khử dạng vô định.
B – BÀI TẬP
DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA
Phương pháp:
Để chứng minh ta chứng minh với mọi số nhỏ tùy ý luôn tồn tại một số sao cho .
Để chứng minh ta chứng minh .
Để chứng minh ta chứng minh với mọi số lớn tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên sao cho .
Để chứng minh ta chứng minh .
Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.
Câu 1. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Nếu , thì . B. Nếu , thì .
C. Nếu , thì . D. Nếu , thì .
Câu 2. Giá trị của bằng:
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Câu 3. Giá trị của bằng:
A. 0 B. 2 C. 4 D. 5
Câu 4. Giá trị của bằng:
A. 0 B. 3 C. 5 D. 8
Câu 5. Giá trị của bằng:
A. B. C. 0 D.
Câu 6. Giá trị của bằng:
A. B. C. 0 D.
Câu 7. Giá trị của bằng:
A. B. C. 0 D.
Câu 8. Giá trị của bằng:
A. B. C. 0 D.
Câu 9. Giá trị của bằng:
A. B. C. 0 D.
Câu 10. Giá trị của bằng:
A. B. C. 0 D.
Câu 11. Giá trị của bằng:
A. B. C. 0 D.
Câu 12. Giá trị của bằng:
A. B. C. 2 D.
Câu 13. Giá trị của bằng:
A. B. C. 0 D.
Câu 14. Giá trị của bằng:
A. B. C. 0 D.
Câu 15. Giá trị của bằng:
A. B. C. D.
Câu 16. Giá trị của bằng:
A. B. C. D.
Câu 17. Giá trị của bằng:
A. B. C. 0 D.
Câu 18. Giá trị của bằng:
A. B. C. 0 D. 4
Câu 19. Giá trị của bằng:
A. B. C. 0 D.
Câu 20. Giá trị của với bằng:
A. B. C. 0 D.
DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN
Phương pháp:
Sử dụng các định lí về giới hạn, biến đổi đưa về các giới hạn cơ bản.
Khi tìm ta thường chia cả tử và mẫu cho , trong đó là bậc lớn nhất của tử và mẫu.
Khi tìm trong đó ta thường tách và sử dụng phương pháp nhân lượng liên hơn.
+ Dùng các hằng đẳng thức:
Dùng định lí kẹp: Nếu ,n và lim vn = 0 thì lim un = 0
Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây:
· Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0.
· Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa cao nhất của tử và của mẫu.
· Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là +¥ nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu cùng dấu và kết quả là –¥ nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu.
Câu 1. Cho dãy số với và . Chọn giá trị đúng của trong các số sau:
A. . B. . C. . D. .
Câu 2. Kết quả đúng của là:
A. 4. B. 5. C. –4. D. .
Câu 3. Giá trị của. bằng:
A. B. C. D.
Câu 4. Giá trị của. bằng:
A. B. C. D.
Câu 5. Kết quả đúng của là
A. . B. . C. . D. .
Câu 6. Giới hạn dãy số với là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 7. Chọn kết quả đúng của :
A. . B. . C. . D. .
Câu 8. Giá trị của bằng:
A. B. C. D.
Câu 9. Giá trị của bằng:
A. B. C. 0 D.
Câu 10. Giá trị của bằng:
A. B. C. 16 D.
Câu 11. Giá trị của bằng:
A. B. C. D.
Câu 12. Giá trị của bằng:
A. B. C. 0 D.
Câu 13. Giá trị của. bằng:
A. B. C. 8 D.
Câu 14. Giá trị của. bằng:
A. B. C. D.
Câu 15. Giá trị của. bằng:
A. B. C. 0 D.
Câu 16. Giá trị của. bằng:
A. B. C. 0 D.
Câu 17. Giá trị của. bằng:
A. B. C. D.
Câu 18. Cho dãy số với . Chọn kết quả đúng của là:
A.. B. . C. . D..
Câu 19. bằng :
A.. B.. C.. D..
Câu 20. Tính giới hạn:
A.. B.. C. D..
Câu 21. Tính giới hạn:
A.. B.. C.. D..
Câu 22. Chọn kết quả đúng của .
A. . B. . C. . D. .
Câu 23. Giá trị của (Trong đó là các số nguyên dương; ).
bằng:
A. B. C. Đáp án khác D.
Câu 24. Kết quả đúng của là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 25. bằng:
A. . B. . C. . D. .
Câu 26. Giá trị của bằng:
A. B. C. D.
Câu 27. Giá trị đúng của là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 28. Giá trị của. bằng:
A. B. C. 2 D.
Câu 29. bằng :
A.. B. . C. D..
Câu 30. bằng :
A. . B.. C.. D..
Câu 31. Giá trị của. bằng:
A. B. C. 0 D.
Câu 32. Cho các số thực a,b thỏa . Tìm giới hạn.
A. B. C. D.
Câu 33. Tính giới hạn của dãy số với . :
A. B. C. Đáp án khác D.
Câu 34. bằng:
A. . B. . C. . D. .
Câu 35. Giá trị của. bằng:
A. B. C. 3 D.
Câu 36. Giá trị của. bằng:
A. B. C. D.
Câu 37. Giá trị của bằng:
A. B. C. 0 D.
Bài 40. Giá trị của bằng:
A. B. C. D.
Câu 38. Giá trị đúng của là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 39. Giá trị của bằng:
A. B. C. 3 D.
Câu 40. Giá trị của bằng:
A. B. C. 0 D. 3
Câu 41. Giá trị của bằng:
A. B. C. D.
Câu 42. Giá trị của. bằng:
A. B. C. 0 D.
Câu 43. Giá trị của. bằng:
A. B. C. 0 D.
Câu 44. Giá trị của. bằng:
A. B. C. D.
Câu 45. Giá trị của. bằng:
A. B. C. 0 D.
Câu 46. Giá trị đúng của là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 47. Giá trị của. bằng:
A. B. C. D.
Câu 48. Giá trị của bằng:
A. B. C. 2 D.
Câu 49. bằng :
A.. B.. C.. D..
Câu 50. Giá trị của. bằng:
A. B. C. 2 D.
Câu 51. Giá trị của. bằng:
A. B. C. 0 D.
Câu 52. Giá trị của. bằng:
A. B. C. D.
Câu 53. Giá trị của. bằng:
A. B. C. 0 D.
Câu 54. Giá trị của. bằng:
A. B. C. 0 D.
Câu 55. Giá trị của. bằng:
A. B. C. Đáp án khác D.
Câu 56. Tính giới hạn của dãy số :
A. B. C. 0 D.
Câu 57. Tính giới hạn của dãy số :
A. B. C. D.
Câu 58. Tính giới hạn của dãy số trong đó . :
A. B. C. D.
Câu 59. Tính giới hạn của dãy số . :
A. B. C. D.
Câu 60. Tính giới hạn của dãy số . :
A. B. C. 3 D.
Câu 61. Tính giới hạn của dãy số với . :
A. B. C. D.
Câu 62. Tính giới hạn của dãy số . :
A. B. C. 3 D.
Câu 63. Tính giới hạn của dãy số . :
A. B. C. 3 D.
Câu 64. Tính giới hạn của dãy số . :
A. B. C. 3 D.
Câu 65. Tính giới hạn của dãy số . :
A. B. C. D.
Câu 66. Cho dãy số xác định bởi
Đặt . Tính .
A. B. C. 2 D.
Câu 67. Cho dãy được xác định như sau:
Tìm với .
A. B. C. D.
Câu 68. Cho dãy số được xác định bởi: . Tìm .
A. B. C. 3 D.
Câu 69. Cho dãy xác định như sau: . Tìm .
A. B. C. 2010 D.
Câu 70. Tìm biết
A. B. C. D.
Câu 71. Tìm biết
A. B. C. 2 D.
Câu 72. Tìm biết
A. B. C. 2 D. 1
Câu 73. Tìm biết trong đó .
A. B. C. D. 1
Câu 74. Tìm biết
A. B. C. 3 D. 1
Câu 75. Tìm biết
A. B. C. 2 D. 1
Câu 76. Gọi là dãy số xác định bởi . Tìm .
A. B. C. D. 1
Câu 77. Cho dãy số được xác định như sau.
Đặt . Tìm .
A. B. C. D. 1
Câu 78. Cho . Kí hiệu là số cặp số sao cho . Tìm .
A. B. C. D.
Câu 79. Cho dãy số có giới hạn (un) xác định bởi :. Tìm kết quả đúng của .
A.. B.. C.. D.
Câu 80. Tìm giá trị đúng của.
A. . B. . C. . D. .
Câu 81. Tính giới hạn:
A. B.. C.. D. Không có giới hạn.
Câu 82. Tính giới hạn:
A.. B.. C.. D..
Câu 83. Tính giới hạn:
A.. B.. C.. D..
Câu 84. Tính giới hạn: .
A. . B. . C. . D. .
Câu 85. Tính giới hạn: .
A. . B. . C. . D. .
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI
A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP
GIỚI HẠN HỮU HẠN
GIỚI HẠN VÔ CỰC
1. Giới hạn đặc biệt:
;
;
2. Định lí :
a) Nếu lim un = a, lim vn = b thì
· lim (un + vn) = a + b
· lim (un – vn) = a – b
· lim (un.vn) = a.b
· (nếu b ¹ 0)
b) Nếu un ³ 0, n và lim un= a
thì a ³ 0 và lim
c) Nếu ,n và lim vn = 0
thì lim un = 0
d) Nếu lim un = a thì
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
S = u1 + u1q + u1q2 + … =
1. Giới hạn đặc biệt:

2. Định lí:
a) Nếu thì
b) Nếu lim un = a, lim vn = ±¥ thì lim= 0
c) Nếu lim un = a ¹ 0, lim vn = 0
thì lim =
d) Nếu lim un = +¥, lim vn = a
thì lim(un.vn) =
* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định: , , ¥ – ¥, 0.¥ thì phải tìm cách khử dạng vô định.
B – BÀI TẬP
DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA
Phương pháp:
Để chứng minh ta chứng minh với mọi số nhỏ tùy ý luôn tồn tại một số sao cho .
Để chứng minh ta chứng minh .
Để chứng minh ta chứng minh với mọi số lớn tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên sao cho .
Để chứng minh ta chứng minh .
Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.
Câu 1. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Nếu , thì . B. Nếu , thì .
C. Nếu , thì . D. Nếu , thì .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Theo nội dung định lý.
Câu 2. Giá trị của bằng:
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Với nhỏ tùy ý, ta chọn ta có nên có .
Câu 3. Giá trị của bằng:
A. 0 B. 2 C. 4 D. 5
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Với nhỏ tùy ý, ta chọn ta có nên có .
Câu 4. Giá trị của bằng:
A. 0 B. 3 C. 5 D. 8
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Với nhỏ tùy ý, ta chọn ta có nên có .
Câu 5. Giá trị của bằng:
A. B. C. 0 D.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Với mọi số dương M lớn tùy ý ta chọn
Ta có: .
Câu 6. Giá trị của bằng:
A. B. C. 0 D.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Với mọi số dương M lớn tùy ý ta chọn thỏa
.
Ta có:
Vậy .
Câu 7. Giá trị của bằng:
A. B. C. 0 D.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Với mọi nhỏ tùy ý, ta chọn
Suy ra .
Câu 8. Giá trị của bằng:
A. B. C. 0 D.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có mà
Câu 9. Giá trị của bằng:
A. B. C. 0 D.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Với mọi số thực nhỏ tùy ý, ta chọn
Ta có: .
Câu 10. Giá trị của bằng:
A. B. C. 0 D.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Với mọi lớn tùy ý, ta chọn
Ta có:
Vậy .
Câu 11. Giá trị của bằng:
A. B. C. 0 D.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Với mọi lớn tùy ý, ta chọn
Ta có:
Suy ra .
Câu 12. Giá trị của bằng:
A. B. C. 2 D.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Với số thực nhỏ tùy ý, ta chọn
Ta có:
Vậy .
Câu 13. Giá trị của bằng:
A. B. C. 0 D.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Với số thực nhỏ tùy ý, ta chọn thỏa
Ta có: .
Câu 14. Giá trị của bằng:
A. B. C. 0 D.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Với số thực nhỏ tùy ý, ta chọn
Ta có:
Vậy .
Câu 15. Giá trị của bằng:
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Câu 16. Giá trị của bằng:
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Câu 17. Giá trị của bằng:
A. B. C. 0 D.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Câu 18. Giá trị của bằng:
A. B. C. 0 D. 4
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Câu 19. Giá trị của bằng:
A. B. C. 0 D.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Gọi là số tự nhiên thỏa: . Khi đó với mọi
Ta có:
Mà . Từ đó suy ra: .
Câu 20. Giá trị của với bằng:
A. B. C. 0 D.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Nếu thì ta có đpcm
Giả sử . Khi đó:
Suy ra: nên
Với thì .
Tóm lại ta luôn có: với .
DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN
Phương pháp:
Sử dụng các định lí về giới hạn, biến đổi đưa về các giới hạn cơ bản.
Khi tìm ta thường chia cả tử và mẫu cho , trong đó là bậc lớn nhất của tử và mẫu.
Khi tìm trong đó ta thường tách và sử dụng phương pháp nhân lượng liên hơn.
+ Dùng các hằng đẳng thức:
Dùng định lí kẹp: Nếu ,n và lim vn = 0 thì lim un = 0
Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây:
· Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0.
· Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa cao nhất của tử và của mẫu.
· Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là +¥ nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu cùng dấu và kết quả là –¥ nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu.
Câu 1. Cho dãy số với và . Chọn giá trị đúng của trong các số sau:
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học ta có
Nên ta có :
Suy ra : , mà .
Câu 2. Kết quả đúng của là:
A. 4. B. 5. C. –4. D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có ;
.
Câu 3. Giá trị của. bằng:
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.

onthicaptoc.com 85 cau trac nghiem gioi han Day so