BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI VECTƠ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Câu 1: Cho tứ diện có là trọng tâm tam giác , , . Khi đó các mệnh đề sau đúng hay sai
a)
b)
c)
d) Góc giữa hai vectơ và bằng
Lời giải
a) Vì là trọng tâm tam giác nên
Do đó mệnh đề sai
b) Vì đều nên áp dụng công thức tích vô hướng cho hai vectơ ta có
Do đó mệnh đề đúng
c) Ta có
Do đó mệnh đề đúng
d) Ta có
Mặt khác tam giác có suy ra
Vậy
Do đó mệnh đề sai
Câu 2: Một chiếc trực thăng cất cánh từ một sân bay. Xét hệ trục tọa độ có gốc tọ độ là chân tháp điều khiển sân bay; trục là hướng đông, trục là hướng bắc và trục là trục thẳng đứng, đơn vị trên mỗi trục là kilômét. Trực thăng cất cánh từ điểm trên mặt đất. Vectơ chỉ vị trí của trực thăng tại thời điểm phút sau khi cất cánh có tọa độ là Một hòn đảo ở vị trí . Gọi là vị trí của máy bay tại thời điểm phút sau khi cất cánh.
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Toạ độ điểm tại thời điểm phút sau khi máy bay cất cánh là
b) Toạ độ điểm là
c) Toạ độ của véctơ là
d) Máy bay bay đến vị trí thì khoảng cách từ máy bay đến là nhỏ nhất. Khí đó
Lời Giải
a) Gắn vào hệ trục tọa độ , ta có:
Khi đó vị trí máy bay ở thời điểm phút sau khi may bay cất cánh là
Suy ra mệnh đề đúng.
b) Khi máy bay bắt đầu khởi hành, với . Suy ra mệnh đề đúng.
c) Ta có Suy ra mệnh đề sai.
d) Ta có
Khoảng cách từ máy bay đến nhỏ nhất
Suy ra Vậy Suy ra mệnh đề sai.
Câu 3: Một em nhỏ có cân nặng kg trượt trên cầu trượt dài m. Biết rằng, cầu trượt có góc nghiêng so với phương nằm ngang là . Các khẳng định sau đúng hay sai?
a) Công thức tính độ lớn của trọng lực là , với .
b) Độ lớn của trọng lực là .
c) Góc tạo bởi trọng lực và độ dịch chuyển là .
d) Công sinh bởi trọng lực khi em nhỏ và chị của em trượt hết chiều dài cầu trượt có tổng bằng . Biết chị của em nhỏ nặng kg.
Lời giải
a) Công thức tính độ lớn của trọng lực là , với . Suy ra mệnh đề đúng
b) Độ lớn của trọng lực của em nhỏ tạo ra khi chơi cầu trượt là:
.
Suy ra mệnh đề đúng
c) Góc tạo bởi trọng lực và độ dịch chuyển là .
Suy ra mệnh đề sai
d) Công sinh ra khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt là:
Độ lớn trọng lực của chị em nhỏ tạo ra khi chơi cầu trượt là
Công sinh ra khi chị của em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt là:
Ta có :
Suy ra mệnh đề sai
Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm và .
a) .
b) Hình chiếu của trên mặt phẳng là .
c) Có đúng một điểm thuộc trục sao cho là tam giác vuông tại .
d) Đường thẳng cắt mặt phẳng tại điểm khi đó .
Lời giải
a) Tọa độ vec tơ , suy ra mệnh đề đúng.
b) Hình chiếu của trên mặt phẳng là , suy ra mệnh đề sai.
c) Do điểm thuộc trục suy ra . Để thỏa mãn điều kiện là tam giác vuông tại thì vô nghiệm. Vậy không tồn tại . Suy ra mệnh đề sai.
d) Đường thẳng cắt mặt phẳng tại điểm
 ; và thẳng hàng
Tỉ số suy ra mệnh đề sai.
Câu 5: Cho hình chóp tứ giác đều có là giao điểm của và . Biết đáy hình vuông cạnh , . Xét hệ tọa độ với các tia tương ứng trùng với các tia , , như ở hình vẽ.
a) .
b) Trục .
c) Tọa độ , lần lượt là , .
d) Tọa độ điểm để là hình bình hành là .
Lời giải
a) Đúng.
hay .
b) Đúng.
hay .
c) Sai.
.
d) Đúng.
và
Hình bình hành có hay .
.
Vậy .
Câu 6: Trong không gian , cho các điểm . Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Điểm đối xứng với điểm qua mặt phẳng là .
b) .
c) Thể tích của khối tứ diện là .
d) Điểm sao cho đạt giá trị nhỏ nhất có toạ độ là .
Lời giải
a) Điểm đối xứng với điểm qua mặt phẳng là , suy ra mệnh đề đúng.
b) Ta có , do đó:
Suy ra mệnh đề sai.
c) Ta có nên:
, suy ra mệnh đề sai.
d) Điểm .
Điểm đối xứng với điểm qua mặt phẳng là .
Vì và cùng phía so với mặt phẳng nên
Nên khi và chỉ khi thẳng hàng cùng phương
Lại có nên
cùng phương suy ra mệnh đề sai.
Câu 7: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành như hình vẽ bên dưới. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) .
b)
c) .
d)
Lời giải
a) Ta có: có cùng độ dài nhưng ngược hướng nên chúng là 2 vec tơ đối nhau, suy ra mệnh đề sai.
b) Ta có: suy ra mệnh đề đúng.
c) Ta có: , suy ra mệnh đề đúng.
d) Ta có: , suy ra mệnh đề đúng.
Câu 8: Một chiếc đèn chùm treo có khối lượng được thiết kế với đĩa đèn được giữ bởi bốn đoạn xích sao cho là hình chóp tứ giác đều có .
Biết trong đó là vectơ gia tốc rơi tự do có độ lớn , là trọng lực tác động vật có đơn bị là , là khối lượng của vật có đơn vị . Khi đó:
a) là 4 vec tơ đồng phẳng.
b) .
c) Độ lớn của trọng lực tác động lên chiếc đèn chùm bằng .
d) Độ lớn của lực căng cho mỗi sợi xích bằng .
Lời giải
a) là 4 vec tơ không đồng phẳng vì bốn cạnh của hình chóp tứ giác đều. Suy ra là mệnh đề sai.
b) là hình chóp tứ giác đều nên . Suy ra là mệnh đề đúng.
c) Độ lớn trọng lực tác động lên đèn chùm là: . Suy ra là mệnh đề sai.
d) Ta có là hình chóp tứ giác đều
Mà Tam giác đều
Gọi là trung điểm .
Hợp lực của 4 sợi xích là:
Để đèn chùm đứng yên thì hợp lực của các sợi xích phải cân bằng với trọng lực hay
Xét tam giác đều có:
Vậy độ lớn của lực căng cho mỗi sợi xích là . Suy ra là mệnh đề sai.
Câu 9: Trong không gian , cho các điểm . Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Vectơ có tọa độ là .
b) là ba điểm không thẳng hàng.
c) .
d) Xét điểm thuộc mặt phẳng sao cho đạt giá trị nhỏ nhất, khi đó tọa độ điểm .
Lời giải
a) Vectơ . Suy ra mệnh đề sai.
b) ; là ba điểm không thẳng hàng.
Suy ra mệnh đề đúng.
c) . Suy ra mệnh đề sai.
d) Lấy điểm sao cho .
.
.
là hình chiếu của lên mặt phẳng . Suy ra mệnh đề đúng.
Câu 10: Trong không gian , cho hình hộp có . Gọi lần lượt là trọng tâm của tam giác và .
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) .
b) Tọa độ điểm là
c) Cho điểm thuộc mặt phẳng . Khi độ dài đoạn thẳng ngắn nhất thì .
d) Tọa độ véc tơ
Lời giải
a) Trong không gian , nên , suy ra mệnh đề a) đúng.
b) Gọi . Ta có
Do đó, , suy ra mệnh đề b) đúng.
c) Vì thuộc mặt phẳng nên độ dài đoạn ngắn nhất khi và chỉ khi là hình chiếu của trên mặt phẳng , suy ra . Vậy mệnh đề c) sai.
d) Ta có: và nên là hình bình hành. Do đó, , suy ra mệnh đề d) sai.
Câu 11: Cho hình lập phương có cạnh bằng . Gọi lần lượt là tâm của hình vuông và .
a) .
b) .
c) .
c) .
Lời giải
a) Áp dụng quy tắc hình hộp ta có . Mệnh đề a) Sai.
b) Ta có . Mệnh đề b) Sai.
c) Ta có .
Do đó . Mệnh đề c) Đúng.
d) .
Ta có .
Suy ra . Mệnh đề d) Đúng
Câu 12: Ở một sân bay, vị trí của máy bay được xác định bởi điểm trong không gian như hình vẽ.
Gọi là hình chiếu vuông góc của xuống mặt phẳng . Cho biết , , . Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) .
b) .
c) .
d) Tọa độ của điểm là .
Lời giải
a) . Suy ra mệnh đề đúng.
b) . Suy ra mệnh đề đúng.
c) . Suy ra mệnh đề sai.
d) . Tọa độ của điểm là . Suy ra mệnh đề đúng.
Câu 13: Cho hình lăng trụ tam giác đều có và . Các mệnh đề dưới đây đúng hay sai?
a)
b) Gọi là trung điểm khi đó .
c) .
d) Góc giữa vectơ và bằng .
Lời giải
a) Đúng.
b) Đúng.
Ta có:
c) Sai.
Ta có:
d) Đúng.
Ta có
Suy ra
Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ cho tam giác có các đỉnh , , .
a) Tọa độ của véc tơ là .
b) Tọa độ trọng tâm của tam giác là .
c) Tọa độ hình chiếu của điểm trên mặt phẳng là .
d) . Tọa độ của véc tơ
Lời giải
a) Đúng.
.
b) Đúng.
.
c) Sai.
Tọa độ hình chiếu của điểm trên mặt phẳng là .
d) Sai.
Vậy .
Câu 15: Trong không gian với hệ trục tọa độ cho bốn điểm , , ,.
a) Ba điểm không thẳng hàng.
b) Ba điểm thẳng hàng.
c) Cosin của góc giữa và bằng .
d) Bốn điểm không đồng phẳng.
Lời giải
a) Đúng.
Vì nên . Suy ra ba điểm không thẳng hàng.
b) Đúng.
Vì nên .
Suy ra điểm thẳng hàng.
c) Sai.
.
.
Ta có: .
d) Sai.
Ta có , ,
Ta có nên ba vectơ đồng phẳng
Nên bốn điểm đồng phẳng.
Câu 16: Cho 3 điểm .
a) Ba điểm không thẳng hàng.
b) Điểm . Khi đó 3 điểm thẳng hàng.
c) .
d) Cho thoả mãn . Khi đó
Lời giải
a) Đúng.
Ta có . Giả sử tồn tại số sao cho vô nghiệm suy ra không tồn tại . Suy ra 3 điểm không thẳng hàng.
b) Đúng.
Ta có . Vậy 3 điểm thẳng hàng.
c) Sai.
Ta có .
d) Sai.
Ta có
Suy ra
Câu 17: Cho hình chóp có đôi một vuông góc, cạnh , là trung điểm của , là trung điểm của . Các mệnh đề dưới đây đúng hay sai?
a)
b)
c) .
d) Góc giữa vectơ và bằng .
Lời giải
a) Đúng.
b) Sai.
,
c) Đúng.
d) Sai.
,
Vậy
.
Vậy góc giữa vectơ và bằng .
Câu 18: Trong không gian hệ tọa độ cho hai điểm và
a) Tìm tọa độ vectơ
b) Cho vectơ và . Tọa độ vủa điểm là:
c) Gọi là trọng tâm của . Tọa độ hình chiếu của trên là
d) I là trung điểm của đoạn . Tọa độ của vectơ là
Lời giải
a Đ b Đ c S d Đ
a) Tọa độ vectơ tương đương với tọa độ điểm
b) Ta có nên , giả sử tọa độ của
Theo giả thiết
c) Ta có . Tọa độ hình chiếu của trên là .
d) I là trung điểm của nên tọa độ xác định bởi công thức
Theo giả thiết
Câu 19: Trong không gian , cho với , ,
a) Tọa độ trung điểm của cạnh là .
b) Tọa độ trọng tâm của là .
c) Tích vô hướng của hai véc tơ và là 31.
d) Chu vi và diện tích của lần lượt là và .
Lời giải
a) Đúng.
Gọi là trung điểm của cạnh.
Ta có:
Vậy: .
b) Đúng.
Gọi là trọng tâm của .
Ta có:
Vậy: .
c) Sai.
Ta có:
Tích vô hướng của hai véc tơ và :
.
d) Đúng.
Ta có:
Chu vi :
.
Ta có nửa chu vi là .
Áp dụng công thức Heron, ta có diện tích tam giác là:
.
Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ , cho bốn điểm điểm ; và .
a) Ba điểm thẳng hàng
b) Tam giác là tam giác vuông tại .
c) Góc giữa hai véctơ và là góc tù.
d) Bốn điểm không đồng phẳng.
Lời giải
a) Sai.
Ta có: ;
Vì nên ba điểm không thẳng hàng
b) Đúng.
Ta có: .
Suy ra tam giác là tam giác vuông tại .
c) Đúng.
Mặt khác: là góc tù.
d) Sai.
Ta có:
Khi đó: .
Suy ra đồng phẳng hay bốn điểm đồng phẳng.
Câu 21: Cho hình lập phương có cạnh bằng a. Trên các cạnh và ta lần lượt lấy các điểm M và N sao cho với . Các mệnh đề dưới đây đúng hay sai?
a)
b) Gọi là trung điểm khi đó .
c) .
d) Góc giữa vectơ và bằng .
Lời giải
a) Đúng.
b) Đúng.
Ta có:
c) Sai.
Ta có:
d) Đúng.
Ta đặt . Ta có
hay
Mặt khác
với và
Do đó
Ta có
Vì nên ta có
, vậy góc giữa vectơ và bằng .
Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ cho hình bình hành có , , .
a) Tọa độ trung điểm của là .
b) Tọa độ trọng tâm của tam giác là .
c) .
d) Tọa độ trực tâm của tam giác là .
Lời giải
a) Đúng.
Gọi là trung điểm của . Khi đó .
b) Đúng.
Gọi là trọng tâm của tam giác .
Khi đó .
c) Sai.
Ta có .
Vì là hình bình hành nên .
. Do đó .
d) Sai.
Gọi là trực tâm của tam giác . Do đó
, , , ,
.
.
Suy ra .
Vậy .
Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ , cho các điểm , , . Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Ba điểm không thẳng hàng.
b) Ba điểm thẳng hàng.
c) Góc .
d) .
Lời giải
a) Đúng.
Ta có
, với mọi nên hai véctơ và không cùng phương, dó đó ba điểm không thẳng hàng.
b) Đúng.
Ta có
, dó đó ba điểm thẳng hàng.
c) Sai.
Ta có
d) Đúng.
Ta có
Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ , cho , và .
a) Ba điểm , , không thẳng hàng.
b) Điểm thõa mãn ba điểm , , thẳng hàng thì .
c) Gọi là góc tạo bởi hai véc-tơ , thì .
d) Gọi điểm thõa mãn ba điểm , , thẳng hàng. Khi đó tích có hướng của hai véc-tơ và là .
Lời giải
a) Đúng.
Ta có, . Suy ra với mọi nên ba điểm , , không thẳng hàng.
b) Đúng.
Ta có, .
Ba điểm , , thẳng hàng suy ra .
Vậy
c) Sai.
.
d) Sai.
, .
.
Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ ,cho hai vectơ và . Các mệnh đề dưới đây đúng hay sai ?
a)
b)
c) và cùng phương.
d)
Lời giải
a) Sai
Ta có:
b) Đúng
Ta có:
c)Sai
Ta có: nên và không cùng phương.
d) Đúng
Áp dụng công thức: .
.
Câu 26: Cho 4 điểm
a) Độ dài đoạn lớn hơn độ dài đoạn .
b) thì là trung điểm của .
c) thì .
d) thì //.
Lời giải
a) Sai:
b) Đúng
Tọa độ trung điểm của đoạn là
c) Sai
để
d) Sai
Ta có
không song song với .
Câu 27: Trong không gian , cho các điểm , và .
a) Điểm thỏa mãn là hình bình hành có tọa độ là
b) Độ dài trung tuyến bằng .
c) .
d) Điểm thuộc mp sao cho ba điểm , , thẳng hàng có tọa độ là .
Lời giải
a) Sai
Ta có , .
Để là hình bình hành thì
Vậy .
b) Đúng
Tọa độ trung điểm của là .
Ta có . Suy ra .
c) Sai
Ta có ; .
Ta có
Suy ra .
d) Đúng
Vì nên . Ta có ; .
Vì 3 điểm thẳng hàng nên cùng phương với . Khi đó:
Vậy .
Câu 28: Cho hình hộp ; Các điểm lần lượt thuộc các đường thẳng và sao cho . Đặt
a).
b).
c) .
d) thì //
Lời giải
a) Sai:
Theo quy tắc hình hộp ta có
b) Đúng
c) Đúng
Tương tự ta có
d) Sai
Ta có
Vì // nên cùng phương . Từ đó ta có
Câu 29: Cho tứ diện có . Gọi lần lượt là trung điểm của và , là một điểm bất kỳ và là trọng tâm của tứ diện. Khẳng định nào sau đây đúng?

onthicaptoc.com 70 Bai tap trac nghiem DUNG SAI vecto va he truc toa do trong khong gian