CHUYÊN ĐỀ CHIA HẾT
A. LÝ THUYẾT.
Định nghĩa:
Tính chất:
- Nếu a chia hết cho cả m và n, trong đó m, n là hai số nguyên tố cùng nhau thì a chia hết cho m.n
- Nếu tích a.b chia hết cho c, trong đó (b; c) = 1 thì a chia hết cho c
- Với p là số nguyên tố. Nếu a.b chia hết cho p thì hoặc a chia hết cho p hoặc b chia hết cho p
- Khi chia n + 1 số nguyên dương liên tiếp cho n luôn nhận được hai số dư bằng nhau
- Trong n số nguyên liên tiếp, luôn có duy nhất 1 số chia hết cho n
- Nếu thì tồn tại hai số nguyên x, y sao cho:
- Ta có:
- Ta có: với n là số tự nhiên lẻ
LUYỆN TẬP
Dạng 1: SỬ DỤNG TÍCH CÁC SỐ LIÊN TIẾP
Phương pháp :
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương ta đều có: .
HD:
Ta có: , như vậy ta cần chứng minh .
Do là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho cả 2 và 3
Bài 2: Chứng minh rằng :
HD :
Ta có:
Vì là ba số nguyên liên tiếp và
Bài 3: Chứng minh rằng:
HD:
Ta có:
Bài 4: Chứng minh rằng: lẻ
HD:
Vì m là số lẻ, Đặt
Khi đó ta có :
Thay vào A ta được :
Vì là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên 6 Vậy
Bài 5: Chứng minh rằng: chẵn
HD:
Vì n chẵn, Đặt , Khi đó ta có:
, Thay vào A ta được:
, Vì là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp
Nên chia hết cho cả 3 và 8
Bài 6: Chứng minh rằng:
HD:
Ta có:
Bài 7: Cho n là số nguyên, Chứng minh
HD:
Ta cần chứng minh và , ta có :


, Vì A là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp =>
Ngoài ra trong 4 số nguyên liên tiếp sẽ có hai số chẵn liên tiếp, một số 2 và 1 số 4
Vậy A 8
Bài 8: Chứng minh rằng:
HD:
Ta có:
là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên
Và A cũng là tích của 4 số nguyên liên tiếp, nên có 2 số chẵn, một số chia hết cho 2 và 1 số chia
hết cho 4, Nên
Bài 2: CMR: chia hết cho 24 với mọi n
HD :
Ta có:
là tích 4 số tự nhiên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 4 nên chia hết cho 8 và chia hết cho 3
Bài 9: Chứng minh rằng: là một số nguyên với mọi a nguyên
HD:
Ta có: . Vì là tích của 3 số nguyên liên tiếp => 6
Bài 10: Chứng minh rằng:
HD:
Ta có: , là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho cả 2
và 3
Mặt khác:

Thấy là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên
Bài 11: Chứng minh rằng: chẵn
HD:
Vì n là số chẵn, Đặt Khi đó ta có :
Vì là tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3
Bài 12: Chứng minh rằng: lẻ
HD:
Vì n lẻ, Đặt , Khi đó ta có: ,
Thay vào ta được: , Vì

Bài 13: Chứng minh rằng: lẻ
HD:
Vì n lẻ, Đặt: , Khi đó: ,
Thay vào ta được:
Bài 14: Chứng minh rằng: lẻ.
HD:
Ta có: , Vì n là số lẻ, Đặt
Bài 15: Chứng minh rằng: tổng lập phương của ba số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 9
HD:
Gọi 3 số nguyên liên tiếp lần lượt là:
Gọi
Thấy: Vậy
Bài 16: Cho a, b, c là các số nguyên. Chứng minh rằng : khi và chỉ khi
HD :
Xét
Mà là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên
Như vậy A6 =>
Bài 17: Chứng minh rằng: lẻ
HD:
Vì n lẻ, Đặt , Khi đó:

Thay vào A ta được:
Bài 18: Tìm số tự nhiên n sao cho:
HD:
Ta có:
Vì cần chứng minh
Từ (1) hoặc
Từ (2) là thỏa mãn.
Bài 20: Chứng minh rằng trong 1900 số tự nhiên liên tiếp có 1 số có tổng các chữ số chia hết cho 27.
HD:
Giả sử 1900 số tự nhiên liên tiếp là: (1)
Trong 1000 số tự nhiên liên tiếp: phải có 1 số chia hết cho 1000,
giả sử là , Khi đó có tận cùng là 3 chữ số 0
Giả sử tổng các chữ số của là s khi đó 27 số
Có tổng các chữ số lần lượt là: , sẽ có 1 số chia hết cho 27.
Bài 3: Cho a, b là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp, CMR: chia hết cho 48
ta có: ,
HD :
Vì a,b là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp nên:
với n
Nên
Nên chia hết cho 16 và chia hết cho 3 nên chia hết cho 48
Dạng 2: XÉT TẬP HỢP SỐ DƯ TRONG PHÉP CHIA
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên ta có : .
HD :
Ta có : n hoặc là số chẵn với mọi số tự nhiên n nên
Lấy n chia cho 3 ta được :
Với
Với
Với
Bài 2: Cho số nguyên a không chia hết cho 2 và 3, Chứng minh rằng :
HD :
Vì a không chia hết cho 2 và 3 nên a có dạng :
Với
Với
Bài 3: Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho:
HD:
Ta có:
,
Khi đó: hoặc hoặc
Bài 4: Chứng minh rằng có vô số tự nhiên n sao cho và chia hết cho 13
HD:
Đặt
Chọn sao cho , Vậy với mọi số đều thỏa mãn.
Bài 5: Chứng minh rằng nếu thì
HD:
Vì
Khi đó:
Thấy: và
Với
Với
Bài 6: Tìm tất cả các số tự nhiên n để
HD:
Lấy n chia cho 3 ta có:
Với
Với ,
Mà chia 7 dư 1
Với
Mà chia 7 dư 3
Vậy với thì
Bài 7: Chứng minh rằng:
HD:
Lấy n chia cho 5 ta được:
Với
Với
Với
Bài 8: Cho và , Chứng minh rằng:
HD:
Ta có:
Xét
Bài 9: Chứng minh rằng nếu thì
HD:
Vì
Với
Bài 10: Tìm số tự nhiên n để:
HD:
Xét
Ta có:
Xét các TH cụ thể ta được:
Bài 11: Cho hai số tự nhiên m, n thỏa mãn: , Chứng minh rằng:
HD:
Ta có:
Nếu ĐPCM
Nếu =>

Nên , ĐPCM.
Bài 12: Tìm tất cả các số nguyên x sao cho :
HD :
Ta có :
Nếu thỏa mãn 
Nếu
Bài 13: Cho hai số tự nhiên a, b, Chứng minh rằng:
HD:
Ta có:
Mặt khác:

Bài 15: Cho a, b là các số nguyên dương sao cho chia hết cho tích a.b
Tính giá trị của biểu thức:
HD:
Gọi , ta có: và
Vì và và
Vì và
Vậy
Bài 16: Cho m, n là hai số nguyên tố cùng nhau. Hãy tìm ước số chung lớn nhất của hai số
và
HD :
Gọi , Vì cùng tính chẵn lẻ. khi đó :
và (1)
Nếu A, B chẵn thì m, n lẻ và d chẵn, Từ (1) =>
Nếu A, B lẻ thì d lẻ, Từ , tương tự :
Vì
Bài 17: Cho số tự nhiên , Chứng minh rằng: nếu thì
HD:
Ta có: , ta cần chứng minh
Mặt khác : có chữ số tận cùng là b
Đặt
Nếu có tận cùng là
Nếu tận cùng là

Bài 18: Cho số tự nhiên , Chứng minh rằng:
HD:
Đặt:
Mặt khác, với n lẻ ta có:
Nên

Mà
Bài 19: Cho . Chứng minh rằng
HD:
Ta có:


Mà
Bài 20: Cho , thỏa mãn: ,
Chứng minh rằng:
HD:
Đặt , Hơn nữa
Thì trong đó các số bằng 1 và -1 là bằng nhau. Giả sử có m số 1 và m số -1
và và
Từ đó ta được m là số chẵn => n chia hết cho 4.
Bài 21: Tìm hai số nguyên dương a, b sao cho: và
HD:
Ta có:
Vì
Chọn

Dạng 3: CHỨNG MINH PHẢN CHỨNG
Bài 1: Chứng minh rằng :
HD:
Giả sử tồn tại số tự nhiên n để
Khi đó: ,
Mà , thay vào S ta được:
trái với giả sử, Vậy S không chia hết cho 49 với mọi số tự nhiên n
Bài 2: Chứng minh:
HD:
Giả sử: (1)
Từ (1)

Lại có: mâu thuẫn với giả thiết, Vậy
Bài 3: Chứng minh rằng:
HD:
Giả sử:
Nhưng nhưng vì 11
Bài 4: Xét phân số Hỏi có bao nhiêu phân số tự nhiên n trong khoảng từ 1 đến 2002 sao cho
phân số A chưa tối giản.
HD:
Giả sử A chưa tối giản. Đặt
Ta có: . Ngược lại:
Nếu chứ tối giản
Do đó, ta chỉ cần tìm n sao cho
Vậy có tất cả 69 giá trị của m thì n sẽ có 69 giá trị để A chưa tối giản.
Bài 5: Chứng minh rằng:
HD:
Bài 6: Có tồn tại số tự nhiên n sao cho không
HD:
Giả sử tông tại số tự nhiên n để

Vì 7 là số nguyên tố từ đó ( vô lý)
Bài 7: Chứng minh rằng:
HD:
Giả sử tồn tại số tự nhiên n sao cho
Vì 3 là số nguyên tố nên hoặc
Nếu nhưng không chia hết cho 9
Nếu nhưng không chia hết cho 9
Bài 8: Chứng minh rằng:
HD:
Giả sử tồn tại số tự nhiên n để
Vì 17 là số nguyên tố nên Khi đó:
Bài 9: Tìm tất cả các cặp số nguyên dương sao cho:
HD:
Gỉả sử
Đặt , Do , khi đó ta có:
,
Vì , Do ta có :
TH1 : thay vào đẳng thức ta được :
Ta được:
TH2: và , Thay vào đẳng thức ta được:
ta được:
Nếu thì từ
Vậy các cặp số
Dạng 4: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT: LẺ
Bài 1: Chứng minh rằng
HD:
Ta có: , ta cần chứng minh
Ta có :
Áp dụng tính chất : với mọi n tự nhiên và
Khi đó : và => Vậy A12
Tương tự : Khi đó
Bài 2: Cho , CMR :
HD:
Ta cần chứng minh và
Ta có :
Áp dụng tính chất :
Tương tự :
Bài 3: Cho , Chứng minh rằng:
HD:
Ta có:
Vì và
Bài 4: Chứng minh rằng:
HD :
Ta có:
Bài 5: Chứng minh rằng:
HD:
Ta có:
Vì và
Bài 6: Chứng minh rằng:
HD:
Ta có:
Bài 7: CMR với mọi số tự nhiên n ta có :
HD :
Ta có: =
Vì nên ta có đpcm
Bài 8: Chứng minh rằng:
HD:
Ta có:
Bài 9: Chứng minh rằng:
HD:
Tách .
Khi đó:
Lại có: , và
Khi đó:
Mặt khác: ,
Mà và
Bài 10: Chứng minh rằng:
HD:
Với
Với


Bài 11: Chứng minh rằng:
HD:
Ta có:
Bài 12: Chứng minh rằng:
HD:
Ta có:
Bài 13: Chứng minh rằng: và n là số chẵn
HD:
Đặt hay
Mặt khác: và
Bài 14: Tìm giá trị của n để:
HD:
Ta có:
Bài 15: Tìm số tự nhiên n để
HD:
Ta có:
Bài 16: Cho a, b là hai số chính phương lẻ liên tiếp, Chứng minh rằng:
HD:
Đặt , Khi đó ta có:
và 3
Bài 17: Cho ba số nguyên dương a, b, c thỏa mãn: , Chứng minh rằng:
HD :
Ta có : 60=3.4.5, đặt
Nếu a, b, c đều không chia hết cho 3 chia hết cho 3 dư 1
, Do đó có ít nhất 1 số chia hết cho 3. Vậy
Nếu a, b, c đều không chia hết cho 5 chia 5 dư 1 hoặc 4
chia 5 dư 2 hoặc 0 hoặc 3 , Do đó có ít nhất 1 số chia hết cho 5 => M5
Nếu a, b, c là các số lẻ chia 4 dư 1
Do đó 1 trong hai số a, b phải là số chẵn.
Giả sử b là số chẵn:
+ Nếu c là số chẵn =>M4
+ Nếu c là số lẻ, mà là số lẻ
chẵn
Vậy
Bài 18: Chứng minh rằng:
HD :
Ta có: ,
Thấy không đồng thời cùng chẵn hoặc cùng lẻ => ĐPCM
Dạng 5: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP
Bài 1: Chứng minh
HD:
Với đúng
Giả sử và
Ta cần chứng minh với thì
Thật vậy:
Vậy
Bài 2: Chứng minh rằng:
HD:
Bài 3: Chứng minh rằng:
HD:
Chuyên đề 4: SỰ CHIA HẾT CỦA SỐ NGUYÊN
A. Kiến thức cần nhớ
Giả sử a, b, c là các số nguyên dương, ta có các tính chất sau
1. Nếu 2. Nếu
3. Nếu ( BCNN) 4.
5. Nếu 6. Nếu
7. Nếu 8. Nếu
9. Trong n số nguyên liên tiếp có 1 và chỉ 1 số chia hết cho n
10. Tính chất chia hết của một tổng, của một hiệu, một tích
+) +) +)
B. Bài tập và các dạng toán
Dạng 1: Chứng minh quan hệ chia hết
- Để chứng minh biểu thức A(n) chia hết cho số m, ta phân tích A(n) thành nhân tử, trong đó có 1 nhân tử là m
- Nếu m là hợp số, ta phân tích m thành tích các thừa số đôi một nguyên tố cùng nhau, rồi chứng minh A(n) chia hết cho tất cả các số đó.
- Khi chứng minh A(n) chia hết cho m thực chất là ta xét mọi trường hợp về số dư khi chia A(n) cho m
Bài 1: Chứng minh rằng
a. b.
c. d.
Lời giải:
a. Ta có :
b.
c.
d.
+) Nếu
+) Nếu
+) Tương tự như vậy ta xét a = 7k + 2,3,4,5,6 đều chia hết cho 7. (đpcm)
Bài 2: Chứng minh rằng
a. b.
c. d.
Lời giải:
a. Ta có:
b.
c.
d.
Bài 3: Chứng minh với mọi n lẻ thì
a. b.
c. d.
Lời giải:
a. Ta có:
Vì n là số lẻ nên n + 1 và n + 3 là tích của hai số chẵn liên tiếp nên chia hết cho 8
b.
Vì n lẻ, đặt n = 2k + 1
c.
d.
Đặt n = 2k + 1 ( k thuộc Z )
Bài 4: Chứng minh rằng số
Lời giải:
Là tích của 7 số nguyên liên tiếp
+) Tồn tại 1 bội của 7 và 1 bội của 5
+) Tồn tại 2 bội của 3 ( chia hết cho 9)
+) Tồn tại 3 bội của 2 có 1 bôi của 4 nên chia hết cho 16
Vậy A chia hết cho 5040

onthicaptoc.com 7 Chuyen de boi duong HSG toan 8 Chia het