BÀI TẬP TRẢ LỜI NGẮN VECTƠ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Câu 1: Một chiếc máy được đặt trên một giá đỡ ba chân với điểm đặt và các điểm tiếp xúc vối mặt đất của ba chân lần lượt là Biết rằng trọng lực tổng hợp của chiếc máy là . Tìm được tọa độ của các lực tác dụng lên giá đỡ khi đó tích vô hướng của bằng?
Lời giải
Trả lời: 9861
Ta có: vì đèn cân bằng và trọng lực của đèn tác dụng đều lên 3 chân của giá đỡ
Do đó:
Mà
Vậy
Suy ra .
Câu 2: Trong không gian với một hệ trục toạ độ cho trước , ra đa phát hiện một chiếc máy bay di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm đến điểm trong 10 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì cao độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là gì?
Lời giải
Trả lời: .
Gọi là vị trí của máy bay sau 5 phút tiếp theo. Vì hướng của máy bay không đổi nên và cùng hướng. Do vận tốc của máy bay không đổi và thời gian bay từ đến gấp đôi thời gian bay từ đến nên .
Do đó .
Mặt khác, nên
Từ đó và vì vậy .
Toạ độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là .
Vậy cao độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là: .
Câu 3: Cho hình hộp . Giả sử điểm thuộc , điểm thuộc và , đặt .Có một cặp sao cho , khi đó tính biểu thức
Lời giải
Trả lời: 1
Ta có: .
Khi đó, theo quy tắc hình hộp ta có: .
Ta có: .
Từ , ta có , suy ra:
.
.
Từ , suy ra .
Vậy .
Do đó:
Điều kiện để là hay
Do không cùng phương nên từ suy ra:
.
Vậy biểu thức .
Câu 4: Trong hóa học, cấu tạo của phân tử ammoniac () có dạng hình chóp tam giác đều mà đỉnh là nguyên tử nitrogen và đáy là tam giác với là vị trí của ba nguyên tử hydrogen . Góc tạo bởi liên kết , có hai cạnh là hai đoạn thẳng nối với hai trong ba điểm , gọi là góc liên kết của phân tử . Góc này xấp xỉ . Trong không gian , cho một phân tử được biểu diễn bởi hình chóp tam giác đều với là tâm của đáy. Nguyên tử nitrogen được biểu diễn bởi điểm thuộc trục , ba nguyên tử hydrogen ở các vị trí trong đó và song song với trục như hình vẽ minh hoạ:
Tính khoảng cách giữa hai nguyên tử nitrogen với nguyên tử hdrogen
Lời giải
Trả lời: 2,15
Gọi là khoảng cách giữa hai nguyên tử nitrogen với nguyên tử hydrogen nên
Do tam giác đều và có tâm nên
Áp dụng định lý cosin, ta có:
.
Câu 5: Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi bốn dây không dãn xuất
phát từ điểm trên trần nhà lần lượt buộc vào bốn điểm trên nền tròn sao cho tứ giác là hình vuông. Độ dài của bốn đoạn dây đều bằng . Trọng lượng của chiếc đèn là và bán kính của chiếc đèn là . Gọi là độ lớn của các lực căng trên mỗi sợi dây. Khi đó, là một hàm số với biến số là . Tìm chiều dài tối thiểu của mỗi sợi dây, biết rằng mỗi sợi dây đó được thiết kế chịu được lực căng tối đa là .
Lời giải
Trả lời: 80,5
Các lực căng trên mỗi sợi dây tại cũng là các lực căng trên mỗi sợi dậy tại .
Gọi tâm chiếc đèn là .
 Xét theo phương , vì đèn cân bằng theo phương thẳng đứng nên ta có:
Chiếu lên :

Xét tam giác vuông vuông tại : .
Ta có là hình vuông và suy ra là hình chóp tứ giác đều. .
Từ ta có: .
Vậy .
.
Vậy chiều dài tối thiểu của mỗi sợi dây là .
Câu 6: Trong không gian, cho hình lập phương. Gọi là điểm thỏa , là trung điểm của , là giao điểm của và . Biết . Tổng bằng bao nhiêu?
Lời giải
Trả lời: 1,8
Ta có tam giác đồng dạng với tam giác nên suy ra:
. Suy ra
Câu 7: Một chiếc xe đang kéo căng sợi dây cáp trong công trường xây dựng, trên đó đã thiết lập hệ toạ độ như hình vẽ dưới với độ dài đơn vị trên các trục tọa độ bằng . Tìm được tọa độ của vectơ . Khi đó tính
Lời giải
Trả lời: .
Ta có: và ; . Vậy
Câu 8: Hình bên dưới minh họa sơ đồ một ngôi nhà trong không gian , trong đó nền nhà, bốn bức tường và hai mái nhà đều là hình chữ nhật. Tính số đo góc dốc của mái nhà, tức là số đo của góc nhị diện có cạnh là đường thẳng , hai mặt lần lượt là và .
Lời giải
Trả lời: .
Để tính góc đốc của mái nhà, ta tính số đo của góc nhị diện có cạnh là đường thẳng , hai mặt lần lượt là và .
Do mặt phẳng vuông góc với hai mặt phẳng và ; ; nên là góc phẳng nhị diện cần tìm.
Tứ giác là hình chữ nhật nên ,
Do nằm trên mặt phẳng nên tọa độ điểm .
Ta có , suy ra
Do đó, . Vậy góc đốc mái nhà khoảng .
Câu 9: Cho tứ diện . Gọi là trọng tâm tam giác và điểm thuộc cạnh sao cho . Khi đó . Tìm tổng .
Lời giải
Trả lời: .
Ta có thuộc cạnh và nên .
Do là trọng tâm tam giác nên hay . Mà nên .
Câu 10: Hai chiếc khinh khí cầu cùng bay lên tại một địa điểm. Sau một thời gian bay, chiếc khinh khí cầu thứ nhất cách điểm xuất phát về phía Đông và về phía Nam , đồng thời cách mặt đất . Chiếc khinh khí cầu thứ hai cách điểm xuất phát về phía Bắc và về phía Tây , đồng thời cách mặt đất . Xác định khoảng cách giữa chiếc khinh khí cầu thứ nhất và chiếc khinh khí cầu thứ hai .
Lời giải
Trả lời: .
Chọn hệ trục tọa độ , với gốc đặt tại điểm xuất phát của hai chiếc khinh khí cầu, mặt phẳng trùng với mặt đất, trục hướng về phía Bắc, trục hướng về phía Tây, trục hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo kilômét .
Chiếc khinh khí cầu thứ nhất có tọa độ .
Chiếc khinh khí cầu thứ hai có tọa độ .
Khoảng cách giữa chiếc khinh khí cầu thứ nhất và chiếc khinh khí cầu thứ hai là:
Câu 11: Cho hình chóp tứ giác đều có , . Gọi là trọng tâm tam giác . Tính góc giữa đường thẳng với đường thẳng .
Lời giải
Trả lời: .
Gọi .
Tam giác vuông:
Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Chọn . Ta có :
, , , , , .
Vì là trọng tâm tam giác nên .
Ta có : , .
Góc giữa đường thẳng với đường thẳng bằng:
.
Câu 12: Một chậu hoa được treo như hình vẽ. Biết rằng ba sợi dây có ba lực ,, có độ lớn bằng . Biết sợi dây thứ hai hợp với sợi dây thứ nhất và sợi dây thứ ba đều bằng , sợi dây thứ nhất hợp với sợi dây thứ ba góc . Tính độ lớn của hợp lực , và
Lời giải
Trả lời: .
wĐặt
wGọi I là trung điểm của đoạn
với và là hình bình hành
wTam giác OAC vuông tại O
wTrong tam giác ABC ta có
wTrong tam giác BOI ta có
Vậy độ lớn của lực tổng hợp là
Câu 13: Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị đo lấy kilômét, ra đa phát hiện một máy bay chiến đấu di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm đến điểm trong 30 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì sau 6 phút tiếp theo máy bay đến vị trí . Tính
Lời giải
Trả lời: .
Gọi là tọa độ của máy bay sau 6 phút tiếp theo.
Vì máy bay giữ nguyên hướng bay nên và cùng hướng.
Do máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và thời gian bay từ gấp 5 lần thời gian bay từ nên
Suy ra
Câu 14: Trong một góc phòng học có treo hai chiếc đèn. Chiếc thứ nhất cách mặt đất và cách mỗi bức tường Chiếc thứ hai cách mặt đất và cách mỗi bức tường Hãy lập một hệ trục tọa độ phù hợp trong không gian để xác định vị trí của hai chiếc đèn, từ đó tính khoảng cách giữa hai chiếc đèn .
Lời giải
Trả lời: .
Chọn hệ trục có gốc trùng với góc phòng, các trục trùng với các mép tường như hình vẽ. Đơn vị trên trong không gian được lấy theo mét. Khi đó tọa độ của chiếc đền thứ nhất là và tọa độ của chiếc đền thứ hai là .
Vậy khoảng cách giữa hai chiếc đèn là
.
Câu 15: Trong không gian cho hai véc tơ và thỏa mãn . Gọi là tập tất cả các giá trị của tham số . Khi đó tổng các phần tử của bằng bao nhiêu.
Lời giải
Trả lời: .
Ta có , .
.
Bài ra ta có
Tổng các tổng các phần tử của là .
Câu 16: Trong không gian với hệ trục tọa độ cho trước, một vệ tinh bắt đầu từ tọa độ và đang di chuyển trong không gian với vectơ vận tốc . Sau 10 giây, vệ tinh thay đổi hướng và di chuyển theo vectơ mới trong 5 giây. Tọa độ cuối cùng của vệ tinh là Tính
Lời giải
Trả lời: .
Vị trí điểm cũng là tọa độ của vectơ
Vị trí vệ tinh sau 10 giây là điểm B tương ứng với tọa độ :
Vị trí vệ tinh sau 5 giây là điểm C tương ứng với tọa độ :
Vậy
Câu 17: Trong không gian tọa độ , cho điểm Gọi là điểm khác và không trùng với các điểm sao cho . Khi đó, kết quả làm tròn đến 1 chữ số thập phân là bao nhiêu?
Lời giải
Trả lời: .
Ta có
Câu 18: Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật , mặt phẳng song song với mặt mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được buộc vào móc của chiến cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng một góc như hình vẽ. Chiếc cần cẩu kéo khung sắt lên theo phương thẳng đứng. Biết lực căng đều có cường độ và trọng lượng khung sắt là . Tính trọng lượng của chiếc xe ô tô .
Lời giải
Trả lời: .
Gọi O là tâm hình chữ nhật , Theo bài toán thì là hình chóp có đường cao là
Theo quy tắc hình bình hành:
dây cáp có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng một góc nên:
Vì chiếc xe ô tô ở vị trí cân bằng nên:
Suy ra trọng lượng của chiếc xe ô tô:
Câu 19: Trong không gian với một hệ trục toạ độ cho trước , ra đa phát hiện một chiếc máy bay di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm đến điểm trong 10 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì toạ độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là . Tính .
Lời giải
Trả lời: 1954.
Vị trí của máy bay sau 5 phút tiếp theo là .
Vì hướng của máy bay không đổi nên và cùng hướng.
Do vận tốc của máy bay không đổi và thời gian bay từ đến gấp đôi thời gian bay từ đến nên .
Do đó .
Mặt khác, nên
Từ đó .
Câu 20: Một chậu cây được đặt trên một giá đỡ có bốn chân với điểm đặt và các điểm chạm mặt đất của bốn chân lần lượt là . Cho biết trọng lực tác dụng lên chậu cây có độ lớn và được phân bố thành bốn lực có độ lớn bằng nhau như hình vẽ. Tính
Lời giải
Trả lời: 156
Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình vuông.
Ta có:
. Do đó là hình chóp tứ giác đều.
Các vecto có điểm đầu tại và điểm cuối lần lượt là .
Ta có nên cũng là hình chóp tứ giác đều.
Gọi là trọng lực tác dụng lên chậu cây và là tâm của hình vuông . Ta có:
Ta có: .
Do tam giác vuông cân nên
Chứng minh tương tự ta cũng có:
Suy ra: .
Câu 21: Một chi tiết trong bộ trang sức có hình bát diện đều, được gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Các hình chóp và là các hình chóp tứ giác đều cạnh .
Tính tổng hoành độ các đỉnh .
Lời giải
Trả lời: .
Ta có nên ,
Ta có nên .
Tổng hoành độ các đỉnh là:
.
Câu 22: Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới của một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật , mặt phẳng song song với mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được buộc vào móc E của chiếc cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp và có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng một góc bằng . Chiếc cần cẩu đang kéo khung sắt lên theo phương thẳng đứng.
Biết rằng các lực căng đều có cường độ là và trọng lượng của khung sắt là . Tính trọng lượng lớn nhất của chiếc xe ô tô ?
Lời giải
Trả lời:
Gọi , lần lượt là các điểm sao cho
Vì có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng () một góc bằng nên bẳng nhau và cùng tạo với mặt phẳng một góc bằng .
Vì là hình chữ nhật nên cũng là hình chữ nhật.
Gọi là tâm của hình chữ nhật .
Ta suy ra .
Do đó, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc .
Suy ra .
Ta có nên .
Tam giác vuông tại O nên .
Theo quy tấc ba điếm, ta có ,
Vì là trung điếm của và nên
Từ đó suy ra .
Do đó, .
Gọi là trọng lực của khung sắt có chứa chiếc ô tô.
Vì chiếc khung sắt chứa xe ô tô đang được kéo lên. Suy ra trọng lượng của khung sắt chứa chiếc xe ô tô là
Vì trọng lượng của khung sắt là nên trọng lượng của chiếc xe ô tô là:
Câu 23: Trong không gian cho hai vec tơ . Góc giữa hai vec tơ và bằng bao nhiêu
Lời giải
Trả lời: 126,7
Vậy
Câu 24: Trong một phòng học được thiết kế dạng hình hộp chữ nhật, với chiều dài , chiều rộng và chiều cao . Hai bạn An và Bình làm nhiệm vụ trực nhật, mạng nhện cần quét ở góc ngoài cùng trên trần nhà, An bảo không nên đứng ngay vị trí đó ở nền nhà quét vì sẽ bụi rơi xuông người mình, An lại đố bạn Bình ‘nếu mình đứng ở giữa nhà quét thì mình phải kéo chối quét nhà dài ra mấy mét để quét được vị trí mạng nhên, biết An cầm chổi cao ’. Bình trả lời đứng vị trí đó chổi dài cũng không tới. Hỏi Bình đã tính được bao nhiêu?
Lời giải
Trả lời:5.22
Xét hệ tọa độ như hình vẽ, ta có vị trí mạng nhện ở vị trí cầm chổi , Vậy chổi phải có độ dài
Câu 25: Một căn phòng dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài , rộngvà cao có hai chiếc quạt treo tường. Chiếc quạt A treo chính giữa bức tường và cách trần, chiếc quạt B treo chính giữa bức tường và cách trần . Hỏi khoảng cách giữa hai chiếc quạt AB cách nhau bao nhiêu m
Lời giải
Trả lời: 5,025
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, khi đó ta có điểm và điểm . Do đó độ dài đoạn thẳng
Câu 26: Trong không gian , cho hai điểm và . Điểm thuộc mặt phẳng sao cho đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó bằng?
Lời giải
Trả lời: 5
Gọi là trung điểm .
Suy ra .

.
đạt giá trị nhỏ nhất khi đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó là hình chiếu của lên mặt phẳng .
Vậy ; ; .
Câu 27: Trong không gian cho hai điểm . Gọi lần lượt là giao điểm của đường thẳng với các mặt phẳng tọa độ và . Biết rằng nằm trên đoạn sao cho . Giá trị của tổng là
Lời giải
Trả lời: 187
Ta có: .
Vì lần lượt là giao điểm của với các mặt phẳng và nên .
Vì nằm trên đoạn sao cho nên ta có:

Vậy .
Câu 28: Trong không gian , cho hai điểm . Điểm thuộc đoạn thẳng thỏa mãn . Tính giá trị của biểu thức
Lời giải
Trả lời:
Do điểm thuộc đoạn thẳng thỏa mãn nên
Ta có: và .
Khi đó ta có . Vậy
Câu 29: Cho tứ diện đều cạnh bằng . Gọi là trung điểm của ; là trung điểm của biết . Giá trị của bằng bao nhiêu?
Lời giải
Trả lời:
Xét tứ diện đều cạnh bằng , ta có: .
Do là trung điểm của ; là trung điểm của nên ta có:
Khi đó: .
Vậy .
Câu 30: Cho hai vectơ thỏa mãn: . Tính . .
Lời giải
Trả lời: .
Ta có: .
.
Câu 31: Một chiếc đèn trang trí hình tròn được treo song song với mặt phẳng trần nhà nằm ngang bởi ba sợi dây không giãn đôi một vuông góc . Biết lực căng dây tương ứng trên mỗi dây lần lượt là thỏa mãn . Tính trọng lượng của chiếc đèn đó. .
Lời giải
Trả lời:
Ta có: .
Vẽ hình vuông , ta có .
Vẽ hình chữ nhật , ta có .
Suy ra: .
Xét hình vuông , cạnh , có đường chéo .
Xét tam giác vuông , vuông tại , có
Vậy .
Câu 32: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 điểm
Điểm thuộc trục hoành sao cho . Khi đó giá trị bằng bao nhiêu?
Lời giải
Trả lời: -37
Do điểm nên ta gọi ta có .
Vậy .
Câu 33: Trong không gian tọa độ Oxyz cho và tạo với nhau một góc . Biết rằng , tính giá trị của biểu thức
Lời giải
Trả lời: 9,69
Ta có:
Tương tự
Do đó .
Câu 34: Người ta cần lắp một camera phía trên sân bóng để phát sóng truyền hình một trận bóng đá, camera có thể di động để luôn thu được hình ảnh rõ nét về diễn biến trên sân. Các kĩ sư dự định trồng bốn chiếc cột cao và sử dụng hệ thống cáp gắn vào bốn đầu cột để giữ camera ở vị trí mong muốn.
Mô hình thiết kế được xây dựng như sau: Trong hệ trục toạ độ hình tứ diện đều đến một mặt của nó, biết rằng chiều cao của khối rubik là .
Lời giải
Trả lời: 2
Đặt tên khối rubik là tứ diện đều có là trọng tâm tam giác , là trọng tâm tứ diện . Do đó,
Vì chiều cao của rubik bằng nên
Vậy khoảng cách từ trọng tâm của một khối rubik hình tứ diện đều đến một mặt của nó bằng .
Câu 35: Môt chiếc khinh khí cầu bay lên từ địa điểm cho trước. Sau khoảng thời gian bay, chiếc khinh khí cầu cách địa điểm xuất phát về hướng nam và về hướng đông, đồng thời cách mặt đất là . Chọn hệ trục toạ độ với gốc đặt tại điểm xuất phát của chiếc khinh khí cầu, mặt phẳng trùng với mặt đất, trục hướng về nam, trục hướng về phía đông và trục hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo kilomet.
Tính khoảng cách từ địa điểm xuất phát đến địa điểm hiện tại của khinh khí cầu
Lời giải
Trả lời:
Với hệ trục toạ độ đã chọn thì vị trí hiện tại của khinh khí cầu là .
Khi đó khoảng cách từ địa điểm xuất phát đến địa điểm hiện tại của khinh khí cầu là:
Câu 36: Một chiếc cân đòn tay đang cân một vật có khối lượng được thiết kế với đĩa cân được giữ bởi bốn đoạn xích sao cho là hình chóp tứ giác đều có . Biết độ lớn của lực căng cho mỗi sợi xích có dạng . Lấy , khi đó giá trị của bằng bao nhiêu?
Lời giải
Trả lời: .
Gọi là tâm của hình vuông .
Ta có
.
Trọng lượng của vật nặng là . Suy ra .
Lại có tam giác vuông cân tại nên
.
Vậy .
Câu 37: Cho hình lập phương có đường chéo . Gọi là tâm hình vuông và điểm thỏa mãn: . Khi đó độ dài của đoạn bằng với và là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức .
Lời giải
Trả lời: 17
Ta có: .
Gọi là tâm của hình vuông .
Lại có:
Suy ra .
Khi đó .
Câu 38: Khi chuyển động trong không gian, máy bay luôn chịu tác động của 4 lực chính: lực đẩy của động cơ, lực cản của không khí, trọng lực và lực nâng khí động học.
Lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay. Một chiếc máy bay tăng vận tốc từ 900 lên 920, trong quá trình tăng tốc máy bay giữ nguyên hướng bay. Lực cản của không khí khi máy bay đạt vận tốc 900 và 920 lần lượt biểu diễn bởi hai véc tơ và với . Tính giá trị của .
Lời giải
Trả lời: 0,96
Vì trong quá trình máy bay tăng vận tốc từ 900 lên 900, máy bay giữ nguyên hướng bay nên hai véc tơ và có cùng hướng và .
Gọi lần lượt là vận tốc của chiếc máy bay khi đạt 900 và 920.
Suy ra , .
Vì lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay nên .
Từ đó suy ra: .
Câu 39: Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới của một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật , mặt phẳng song song với mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được buộc vào móc của chiếc cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng một góc bằng . Chiếc cần cẩu kéo khung sắt lên theo phương thẳng đứng.
Tính trọng lượng của chiếc xe ô tô , biết rằng các lực căng , đều có cường độ là và trọng lượng của khung sắt là .
Lời giải
Trả lời: 13281
Ta có
Ta có
Tương tự ta cũng có
Vậy trọng lực ôtô là:
Câu 40: Một chất điểm nằm trên mặt phẳng nằm ngang , chịu tác động bởi ba lực . Các lực có giá nằm trong và , còn lực có giá vuông góc với và hướng lên trên. Xác định hợp lực của các lực , biết rằng độ lớn của ba lực đó lần lượt là , và .
Lời giải
Trả lời: 17,34
Vẽ .
Dựng hình bình hành và hình bình hành .
Hợp lực tác động vào vật là
Áp dụng định lí côsin trong tam giác , ta có
.
Vì nên , suy ra là hình chữ nhật.
Do đó tam giác vuông tại .
Ta có .
Suy ra
Vậy độ lớn của hợp lực là .
Câu 41: Trong không gian tọa độ , hình chiếu của điểm trên trục là điểm . Khi đó giá trị của bằng bao nhiêu?
Lời giải
Trả lời:7
Ta có: Hình chiếu của điểm trên trục là điểm
; ;
Vậy .
Câu 42: Trong không gian với hệ tọa độ , cho các điểm ,,,. Điểm nào trong 4 điểm đó thuộc mặt phẳng . Hãy tính tổng
Lời giải
Trả lời:7
Điểm thuộc mặt phẳng . Suy ra .
Câu 43: Ở một sân bay, ví trí của máy bay được xác định bởi điểm trong không gian .
Gọi là hình chiếu vuông góc của xuống mặt phẳng . Cho biết . Tìm .
Lời giải
Trả lời: 81,9
Ta có:
Suy ra
Câu 44: Gạch ống là một sản phẩm được tạo hình thành từ đất sét và nước, được kết hợp lại ới nhau theo một công thức chung hợp lý mới có thể tạo ra hỗ hợp dẻo quoánh, sau đó chúng được đổ vào khuôn, rồi đem phơi hoặc sất khô và cuối cùng là đưa vào lò nung. Một viên gạch hình hộp chữ nhật có kích thước dài ,rộng . Bên trong có bốn lỗ hình trụ bằng nhau có đường kính
Tính thể tích đất sét để làm một viên gạch. .
Lời giải
Trả lời:
Thể tích viên gạch không tính bốn lỗ hình trụ là:
Thể tích bốn lỗ hình trụ là:
Thể tích viên gạch viên gạch là:
Câu 45: Trong không gian với hệ tọa độ , cho biết , , . là chân đường cao hạ từ đỉnh xuống . Khi đó bằng bao nhiêu? .
Lời giải
Trả lời: .
;
Vì thẳng hàng nên , . Ta có .
Nên .
Khi đó: .
Mà là chân đường cao hạ từ đỉnh xuống nên
.
.
Câu 46: Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm cách điểm xuất phát về phía nam và về phía đông, đồng thời cách mặt đất . Chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát về phía bắc và về phía tây, đồng thời cách mặt đất . Người ta cần tìm một vị trí trên mặt đất để tiếp nhiên liệu cho hai khinh khí cầu sao cho tổng khoảng cách từ vị trí đó tới hai khinh khí cầu nhỏ nhất. Giả sử vị trí cần tìm cách địa điểm hai khinh khí cầu bay lên là theo hướng nam và theo hướng tây. Tính tổng .
Lời giải
Trả lời: 3
Chọn hệ trục toạ độ với gốc đặt tại điểm xuất phát của hai khinh khí cầu, mặt phẳng trùng với mặt đất với trục hướng về phía nam, trục hướng về phía đông và trục hướng thẳng đứng lên trời , đơn vị đo lấy theo kilômét.
Chiếc khinh khí cầu thứ nhất và thứ hai ở vị trí . Ta có .
Gọi là điểm đối xứng của qua mặt phẳng , . Khi đó .
.
cùng phương nên .
Câu 47: Trong không gian với hệ tọa độ cho hai điểm và . Biết là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác . Giá trị bằng
Lời giải
Trả lời: 0
Ta có , , do đó .
Gọi là chân đường phân giác trong kẻ từ , ta có , suy ra . Do đó .
Ta có .

Do đó .
Câu 48: Trong không gian với một hệ trục toạ độ cho trước, ra đa phát hiện một chiếc máy bay di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm đến điểm trong 10 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì toạ độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo khi đó
Lời giải
Trả lời: 1689
Gọi là vị trí của máy bay sau 10 phút bay tiếp theo. Vì hướng của máy bay không đổi nên và cùng hướng. Do vận tốc máy bay không đổi và thời gian bay từ đến bằng thời gian bay từ đến nên . Do đó, .
Mặt khác: nên
Vậy . Vậy tọa độ của máy bay trong 10 phút tiếp theo là .
Câu 49: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , Tam giác với ; , nhận điểm làm trọng tâm của nó thì giá trị của tổng bằng.
Lời giải
Trả lời: -2
Vậy
Câu 50: Trong không gian , cho hai điểm , . Điểm thuộc đoạn sao cho , tọa độ điểm là. Khi đó bằng?
Lời giải
Trả lời:0
Gọi . Vì M thuộc đoạn AB nên:
Suy ra
Câu 51: Trong không gian với hệ tọa độ , cho tam giác có , , . Gọi là chân đường phân giác trong góc của tam giác . Giá trị của bằng
Lời giải
Trả lời: 5
Ta có , .
Gọi , theo tính chất phân giác ta có . Suy ra .
Ta có và .
Do đó .
Câu 52: Trong không gian với hệ trục tọa độ cho hình thang vuông tại và . Ba đỉnh , , Hình thang có diện tích bằng . Giả sử đỉnh , tìm
Lời giải
Trả lời: 6
Ta có ; .
Theo giả thiết là hình thang vuông tại và và có diện tích bằng nên .
Do là hình thang vuông tại và nên .
Giả sử khi đó ta có .
Câu 53: Một chiếc xe đang kéo căng sợi dây cáp trong công trường xây dựng, trên đó đã thiết lập hệ toạ độ như Hình với độ dài đơn vị trên các trục tọa độ bằng . Tìm được tọa độ của vectơ , khi đó
Lời giải
Trả lời:2,5
Vậy
Câu 54: Một thiết bị thăm dò đáy biển được đẩy bởi một lực giúp thiết bị thực hiện độ dời . Tính công sinh bởi lực .
Lời giải
Trả lời: 510

onthicaptoc.com 60 Bai tap tra loi ngan vecto va he truc toa do trong khong gian