 Baøi 06
TÖÔNG GIAO GIÖÕA HAI ÑOÀ THÒ
Xét hai đồ thị C: y fx  và D: y gx  .
Phương trình hoành độ giao điểm giữa C và D là: fx gx . 1
Số điểm chung giữa C và D đúng bằng số nghiệm của phương trình 1 .
    
C và D được gọi là tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm
   

fx gx 

.


f x gx 


CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1. (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Biết rằng đường thẳng yx22 cắt đồ thị
3
hàm số yx x 2 tại điểm duy nhất có tọa độ x ;y . Tìm y .
 
00 0
A. y  4 . B. y  0 . C. y  2 . D. y 1.
0 0 0 0
2
Câu 2. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho hàm số yx21x  có đồ thị
  
C. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. C không cắt trục hoành. B. C cắt trục hoành tại một điểm.
   
C. C cắt trục hoành tại hai điểm. D. C cắt trục hoành tại ba điểm.
3 2 2
Câu 3. Biết rằng đồ thị hàm số yx3x  21x cắt đồ thị hàm số yx 3x 1
tại hai điểm phân biệt A và B . Tính độ dài đoạn thẳng AB.
A. AB 3. B. AB 2 2. C. AB 2. D. AB 1.
2
Câu 4. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số yx 1 x mxm
 
cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
  
1 1


A. m4;. B. m;  ;0 .



  
2 2
  
1 1


C. m0;4. D. m;  ;04;.



  
2 2
3 2
Câu 5. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số yx3x cắt
đường thẳng ym tại ba điểm phân biệt.
A. m4;0 . B. m 0; .
   
C. m;4. D. m;40;.
3 2
Câu 6. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình xx3 3m1 0 có
ba nghiệm phân biệt trong đó có đúng hai nghiệm lớn hơn 1.
1 5 5 7 4
A. m . B. 1m . C. 2m . D. 2m .
33 3 3 3
3 2
Câu 7. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để phương trình
m 2xx3 21m
có đúng hai nghiệm phân biệt:
1 1 5
A. m , m1. B. m , m .
2 2 2
1 5 5
C. m , m . D. m 1, m .
2 2 2
y
Câu 8. Cho hàm số y fx  xác định trên  và có đồ
3
thị như hình vẽ bên. Tìm tất cả các giá trị thực của tham
số m để phương trình fx m 2018 0 có duy nhất
một nghiệm.
x
1
A. m2015, 2019.m B. 2015m 2019.
-1 O
-1
C. m2015, 2019.m D. m2015, 2019.m
32
Câu 9. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số yx mx  4
cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
A. m 0. B. m 3. C. m 3. D. m 0.
32
Câu 10. Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số yx 3mx  2 có đúng
hai điểm chung với trục hoành.
1 1
3
A. m . B. m 2. C. m . D. m 3.
3
6
2
3
Câu 11. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình x 3mx2 0
có một nghiệm duy nhất.
A. 0m 1. B. m1 . C. m 0 . D. m1.
32
y
Câu 12. Hàm số yx2 9x 12x có đồ thị như
hình vẽ bên. Tìm tất cả các giá trị của tham số m
3
2
để phương trình 2 x 9x 12 xm 0 có sáu 5
4
nghiệm phân biệt.
A. m5.
B. 5m4.
x
C. 4m 5.
O
1 2
D. m4.
y
Câu 13. Cho hàm số y fx xác định trên  và có
 
đồ thị như hình bên. Hỏi với những giá trị nào của
5
tham số thực m thì phương trình fx m có đúng
 
hai nghiệm phân biệt.
A. 01m . B. m 5 .
1
C. m1, m 5. D. 0m 1, m5.
x
3
O 1
y
Câu 14. Cho hàm số y fx xác định trên  và có đồ
 
4
thị như hình bên. Tìm tất cả các giá trị thực của tham
số m để phương trình 20fx m có đúng bốn
 
2
x
nghiệm phân biệt.
A. 08m . B. 0m 4 . O
1
-1
C. mm0, 8. D. 2m 8.
y
Câu 15. Cho hàm số y fx  xác định trên 
3
và có đồ thị như hình bên. Hỏi phương trình
1
fx2  có bao nhiêu nghiệm?
 
2 x
1
A. 2 . B. 0 .
-1 O
-1
C. 6 . D. 4.
Câu 16. Cho hàm số y fx  xác định, liên tục trên  và có bảng biến thiên sau:
x  1 0 1 
y
 0  0  0 
y
 
0
1 1
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình fx 1 m có đúng hai
nghiệm.
A. 2m1. B. mm0, 1. C. mm2, 1. D. mm2, 1.
Câu 17. Cho hàm số y fx  xác định trên  1 và liên tục trên từng khoảng xác
định, có bảng biến thiên như sau:
x
 1 
y 


2
y
1

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y fx cắt đường thẳng
 
ym2 1 tại hai điểm phân biệt.
3 3 3
A. 1.m B. 1m 2. C. 1.m D. 1.m
2 2 2
Câu 18. Cho hàm số y fx  xác định trên  0 , liên tục trên mỗi khoảng xác
định và có bảng biến thiên như sau:
x  1 
0
y
 

0

2
y
1
 
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình fx m có đúng
hai nghiệm.
A. m 2. B. m1 , m 2. C. m 2. D. m1 , m 2.
Câu 19. Cho hàm số y fx  xác định trên  0 , liên tục trên mỗi khoảng xác
định và có bảng biến thiên như sau:
x  1 
0
y  

0

2
y
1
 
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình fx m có ba
 
nghiệm phân biệt.
A. 1 m 2. B. 1 m 2. C. 1 m 2. D. m 2.
Câu 20. Cho hàm số y fx , xác định trên  1;1 , liên tục trên mỗi khoảng xác
   
định và có bảng biến thiên sau:
1
x
 1 0 
y
   


y
3
2
3


Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đường thẳng ym21 cắt đồ thị
hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt.
A. m2. B. m1. C. m2 , m1. D. m2 , m1.
Câu 21. Giả sử tồn tại hàm số y fx xác định trên  1 , liên tục trên mỗi
   
khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau:
x 1 
 2 0 1 2

y    0 
0  0


1
y
1
0
0
2
 
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình fx m có bốn nghiệm.
A. 2 m 0. B. 20m , m 1. C. 2 m 0. D. 2 m 0.
Câu 22. Cho hàm số y fx  xác định trên  2 , liên tục trên mỗi khoảng xác
định và có bảng biến thiên sau:
x 
 2 4
0
y
 0   
0


y
1
15


Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình fx m 0 có nhiều
nghiệm thực nhất.
A. m;1 15; . B. m;15 1; .
       
C. D.
m;115;. m;151;.
Câu 23. Cho hàm số y fx  xác định trên  1, liên tục trên mỗi khoảng xác
định và có bảng biến thiên như sau:
1 
1
x 
y

0 

4
y
3
2
1

Khẳng định nào dưới đây là sai?

m1

A. Phương trình fx m có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi .

34m

B. Hàm số đạt cực đại tại x 1.
C. Hàm số đồng biến trên khoảng ;1.
D. Đồ thị hàm số y fx có ba đường tiệm cận.
 
Câu 24. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để đường thẳng
m d : ymx11
3
cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt A1;1, , BC.
yx 31x  
9 9 9
A. B. m . C. 0m . D. , m .
m 0. m 0
4 4 4
3 2
Câu 25. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số yx32x 
C cắt đường thẳng d :1ymx  tại ba điểm phân biệt có hoành độ xx, , x thỏa
12 3
2 2 2
mãn x x x  5 .
1 23
A. m3. B. m3. C. m2. D. m2.
Câu 26. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng dy: x 4 cắt
32
đồ thị hàm số yx  2mx  m34x C tại ba điểm phân biệt A 0;4, , BC
     
m
sao cho tam giác MBC có diện tích bằng 4 , với M1;3.
A. m 2 , m 3 . B. m 3 . C. m2 , m3 . D. m2 , m 3 .
Câu 27. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m
3 2
để đường thẳng cắt đồ thị của hàm số tại ba
d : ymx yx 32x m C
điểm phân biệt AB, , C sao cho ABBC .
A. m1;. B. m;3 . C. m;1. D. m;.
Câu 28. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
32
yx 3mx  6mx8 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành
cấp số cộng.
A. m 1. B. mm2, 1. C. m1. D. m 2.
4 2
Câu 29. Đồ thị hàm số yx  2x có bao nhiêu điểm chung với trục hoành?
A. 0. B. 2. C. 3. D. 4.
2 2
Câu 30. Với điều kiện nào của tham số k thì phương trình 4xx1  1k có bốn
 
nghiệm phân biệt?
A. 02k . B. k 3 . C. 1 k1. D. 0k 1 .
4 2 3
Câu 31. Cho hàm số yx mm 1x m với m là tham số thực. Tìm tất cả các
giá trị của để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.
m
A. m1. B. m 2. C. m 2. D. 0m 1.
4 2
Câu 32. Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình xx2  2017m 0 có
đúng ba nghiệm.
A. m 2015 . B. m 2016 . C. m 2017 . D. m 2018 .
42
Câu 33. Cho hàm số yx  22m x 4m với m là tham số thực. Có bao
 
nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số đã cho không có điểm chung với trục
hoành?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
2
y
Câu 34. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho
4 2
1
hàm số yx  2x có đồ thị như hình vẽ bên.
ym
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để
4 2
phương trình x 2xm có bốn nghiệm phân
-1 1
O x
biệt.
A. 0m 1. B. 0m 1.
C. D.
m1. m 0.
Câu 35. Cho hàm số y fx xác định trên  và có đồ y
 
-1
1
thị như hình bên. Tìm tất cả các giá trị thực của tham
x
O
số m để phương trình fx m có sáu nghiệm phân
 
biệt.
-3
A. 0m 4 . B. 03m .
-4
C. 34m . D. 4m3.
4 22
Câu 36. Cho hàm số với là tham số thực. Tìm tất cả các
yx2m 4x m m
giá trị của m đề đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành
độ lập thành một cấp số cộng.
3 3
A. m 1. B. m . C. m, m3. D. m 3.
4 4
x2018
Câu 37. Tìm tọa độ giao điểm M của đồ thị hàm số y với trục tung.
21x
A. M 0;0 . B. M 0;2018 . C. M 2018;0 . D. M 2018;2018 .
       
21x
2
Câu 38. Biết rằng đồ thị hàm số y và đồ thị hàm số yx x1 cắt nhau
x
tại hai điểm. Kí hiệu xy; , ;x y là tọa độ của hai điểm đó. Tìm .
    yy
1 1 2 2 1 2
A. yy 4. B. yy 6. C. yy 0. D. yy 2.
1 2 1 2 1 2 1 2
21x
và đồ thị hàm số có tất cả bao nhiêu
Câu 39. Đường thẳng yx2 2016 y
x1
điểm chung?
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
2x 4
là giao điểm của đường thẳng và đồ thị . Tìm
Câu 40. Gọi MN, dy:1x Cy: 
x1
hoành độ trung điểm x của đoạn thẳng MN .
I
5 5
A. x  . B. x  2 . C. x  1. D. x  .
I I I I
2 2
Câu 41. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y 2mxm 1
2x2
cắt đồ thị hàm số y C tại hai điểm phân biệt.
21x
A. m 1. B. m 0. C. m1. D. m 0.
Câu 42. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để đường thẳng cắt
m dy: x 2m
x3
đồ thị hàm số C tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương.
y  
x1
3 1
A. 0m 1. B. mm2, 5. C. 1m . D. 0m .
2 3
Câu 43. Gọi d là đường thẳng đi qua A1;0 và có hệ số góc m . Tìm tất cả các giá trị
x 2
thực của tham số m để d cắt đồ thị hàm số y C tại hai điểm phân biệt
x1
thuộc hai nhánh của đồ thị.
A. m 0. B. m 0. C. m 0. D. 0m 1.
Câu 44. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng dy: xm cắt
21x
đồ thị hàm số y C tại hai điểm AB, sao cho AB 2 2 .
x1
A. mm2, 1. B. mm7, 1. C. mm7, 5. D. mm1, 1.
Câu 45. Tìm giá trị thực của tham số để đường thẳng cắt đồ thị
m dy:2x m
2x
tại hai điểm phân biệt và sao cho độ dài ngắn nhất.
hàm số y C A B AB
x1
A. m3 . B. m1. C. m 3 . D. m 1.
Câu 46. Tìm giá trị thực của tham số k sao cho đường thẳng dy: x 21k cắt đồ
21x
thị hàm số y C tại hai điểm phân biệt A và B sao cho các khoảng cách từ A
 
x1
và B đến trục hoành là bằng nhau.
A. k1 . B. k3 . C. k4 . D. k2 .
Câu 47. Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng dy: xm cắt đồ thị hàm
21x
số y C tại hai điểm phân biệt AB, sao cho tam giác OAB vuông tại O , với
 
x1
O là gốc tọa độ.
1
A. m2. B. m . C. m 0. D. m 1.
2
Câu 48. Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng dy:3 xm cắt đồ thị
21x
hàm số y C tại hai điểm phân biệt A và B sao cho trọng tâm tam giác
 
x1
OAB thuộc đường thẳng :xy2 2 0 , với O là gốc tọa độ.
1 11
A. m2 . B. m . C. m . D. m 0.
5 5
Câu 49. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng dy: 2x m cắt
24x
đồ thị hàm số y C tại hai điểm phân biệt A và B sao cho 4S  15 , với
 
IAB
x1
I là giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị.
A. m5 . B. m 5 . C. m5 . D. m 0 .
3
Câu 50. Tìm trên đồ thị hàm số yx 3x 2 C hai điểm AB, mà chúng đối
xứng nhau qua điểm I1;3 .
A. A1;0 và B1;6 . B. A 0;2 và B2;4 .
       
C. A1;4 và B3;2. D. Không tồn tại.
3
x 11
2
Câu 51. Tìm trên đồ thị hàm số y xx3 hai điểm phân biệt AB, mà
3 3
chúng đối xứng nhau qua trục tung.
16 16 16 16
   
   
A. A 3; và B3; . B. A 3; và B3; .
   
   
       
   
3 3 3 3
 
16 16
 
 
C. A ;3 và B ;3 . D. Không tồn tại.
 
   
 
3 3
42
Câu 52. Cho hàm số yx mx m 1 với m là tham số thực, có đồ thị là C . Tìm tọa
 
độ các điểm cố định thuộc đồ thị C.
A. 1;0 và 1;0 . B. 1;0 và 0;1 .
       
C. 2;1 và 2;3. D. 2;1 và 0;1 .
2x2
Câu 53. Cho hàm số y có đồ thị là C. Có bao nhiêu điểm thuộc đồ thị C
x1
mà tọa độ là số nguyên?
A. 2. B. 4. C. 5. D. 6.
x 2
Câu 54. Có bao nhiêu điểm M thuộc đồ thị hàm số y sao cho khoảng cách từ
x1
M đến trục Oy bằng hai lần khoảng cách từ M đến trục Ox ?
A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 .
21x
Câu 55. Tìm trên đồ thị hàm số y những điểm M sao cho khoảng cách từ
x1
M đến tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ M đến trục hoành.
A. M2;1 , M4;3. B. M0;1, M4;3.
C. M 0;1 , M 3;2 . D. M 2;1 , M 3;2 .
       
 Baøi 06
TÖÔNG GIAO GIÖÕA HAI ÑOÀ THÒ
Xét hai đồ thị C: y fx  và D: y gx  .
Phương trình hoành độ giao điểm giữa C và D là: fx gx . 1
Số điểm chung giữa C và D đúng bằng số nghiệm của phương trình 1 .
    
C và D được gọi là tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm
   

fx gx 

.


f x gx 


CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1. (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Biết rằng đường thẳng yx22 cắt đồ thị
3
hàm số yx x 2 tại điểm duy nhất có tọa độ x ;y . Tìm y .
 
00 0
A. y  4 . B. y  0 . C. y  2 . D. y 1.
0 0 0 0
3
Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm: 22xxx  2
3
 xx30  x 0y 2 . Chọn C.
2
Câu 2. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho hàm số yx 21 x  có đồ thị
 
C. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. C không cắt trục hoành. B. C cắt trục hoành tại một điểm.
   
C. C cắt trục hoành tại hai điểm. D. C cắt trục hoành tại ba điểm.
   
Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của C với trục hoành:
2
xx2 10 x20 x 2.
 
Vậy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại một điểm. Chọn B.
3 2 2
Câu 3. Biết rằng đồ thị hàm số yx3x  21x cắt đồ thị hàm số yx 3x 1
tại hai điểm phân biệt A và B . Tính độ dài đoạn thẳng AB.
A. AB 3. B. AB 2 2. C. AB 2. D. AB 1.
3 2 2
Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm: xx3  21xx 3x1

xy 11 
2
32

 xx4 5x20 x1x20 .

xy 21 

Suy ra A 1;1 , B 2;1 AB 1. Chọn D.
   
3 2
Phương trình hoành độ giao điểm .
ax bx cxd 0

xx
0

● Nếu nhẩm được một nghiệm thì phương trình tương đương .
x
0
2

ax b xc 0

● Cô lập tham số m và lập bảng biến thiên hoặc dùng đồ thị.
● Nếu không nhẩm được nghiệm và không cô lập được m thì bài toán được giải quyết
theo hướng tích hai cực trị, cụ thể:
◦ Đồ thị cắt trục hoành đúng ba điểm phân biệt yy. 0.
CD CT
◦ Đồ thị có hai điểm chung với trục hoành  yy.  0.
CD CT
◦ Đồ thị có một điểm chung với trục hoành yy. 0 hoặc hàm số không có cực
CD CT
trị.