TOÁN THỰC TẾ LIÊN QUAN ĐẠO HÀM - TÍCH PHÂN
Câu 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C, cạnh bên SA vuông góc với
mặt phẳng đáy ABC . Biết SC=1, tìm thể tích lớn nhất của khối chóp S..ABC
( )
3 2 2 3 3
A. . B. . C. . D. .
12 12 27 27
Câu 2. Người ta cắt một tờ giấy hình vuông cạnh bằng 1 để gấp thành một hình chóp tứ giác đều sao cho
bốn đỉnh của hình vuông dán lại thành đỉnh của hình chóp (hình vẽ).
Để thể tích khối chóp lớn nhất thì cạnh đáy x của hình chóp bằng:
2
2 22
A. x= . B. x= . C. x= 2 2. D. x= .
5 5 5
Câu 3. Tìm chiều dài L ngắn nhất của cái thang để có thể tựa vào tường và mặt đất, ngang qua cột đỡ
33
có chiều cao m và cách tường 0,5 m kể từ gốc của cột đỡ.
2
A. . B. . C. 3m . D. 5m .
2m 4m
Câu 4. Một con kiến đậu ở đầu của một thanh cứng mảnh có chiều dài đang dựng cạnh một
B AB L
bức tường thẳng đứng (hình vẽ).
Vào thời điểm mà đầu B bắt đầu chuyển động sang phải theo sàn ngang với vận tốc không đổi
v thì con kiến bắt đầu bò dọc theo thanh với vận tốc không đổi u đối với thanh. Trong quá
trình bò trên thanh, con kiến đạt được độ cao cực đại h là bao nhiêu đối với sàn? Cho đầu A
max
của thanh luôn tỳ lên tường thẳng đứng.
2 2 2 2
3L 2L L L
A. . B. . C. . D. .
v v 3v 2v
Trang 1
Câu 5. Một hộp không nắp được làm từ một mảnh các tông theo mẫu. Hộp có đáy là một hình vuông
3
cạnh x cm , chiều cao h cm và có thể tích là 500 cm .
( ) ( ) ( )
Tìm x sao cho diện tích mảnh các tông đó nhỏ nhất?
A. 5cm . B. 100cm . C. 10cm . D. 20cm .
Câu 6. Một nhà máy cần sản xuất một bể nước bằng tôn có dạng hình hộp đứng đáy là hình chữ nhật có
4
3
chiều dài gấp 2 lần chiều rộng không nắp, có thể tích m . Hãy tính độ dài chiều rộng của đáy
3
hình hộp sao cho tốn ít vật liệu nhất.
2
A. 2 m. B. 3 m. C. m . D. 1 m.
3
Câu 7. Cho hai vị trí A , B cách nhau 615 m , cùng nằm về một phía bờ sông như hình vẽ. Khoảng cách
từ A và từ B đến bờ sông lần lượt là 118 m và 487 m . Một người đi từ A đến bờ sông để lấy
nước mang về B .
Đoạn đường ngắn nhất mà người đó có thể đi là
A. 596,5m . B. 671,4m . C. 779,8m . D. 741,2m .
Câu 8. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho đường thẳng ∆ có phương trình tham số là:
x= 2


yt=− và hai điểm A 1;− 2;−1 , B 4;4;5 . Giả sử M abc;; thuộc ∆ sao cho MA+ MB
( ) ( ) ( )


zt1+

nhỏ nhất, khi đó tích abc là
2
A. 0 . B. . C. 1. D. 2 .
9
Trang 2
=
2
Câu 9 . Một trang chữ của cuốn sách giáo khoa cần diện tích 384cm . Lề trên và dưới là 3cm , lề trái
và phải là . Kích thước tối ưu của trang giấy là:
2cm
A. Dài 24cm ; rộng 16cm . B. Dài 24cm ; rộng 17 cm .
C. Dài 25cm ; rộng . D. Dài ; rộng 15cm .
15,36cm 25,6cm
2
Câu 10. Có một cơ sở in sách xác định rằng: Diện tích của toàn bộ trang sách là S (cm ) . Do yêu cầu kỹ
0
thuật nên dòng đầu và dòng cuối đều phải cách mép (trên và dưới) trang sách là a (cm). Lề bên
trái và bên phải cũng phải cách mép trái và mép phải của trang sách là b (cm) ba< . Các kích
( )
thước của trang sách là bao nhiêu để cho diện tích phần in các chữ có giá trị lớn nhất. Khi đó hãy
tính tỉ lệ của chiều rộng và chiều dài trang sách.
ba− 2b b ba+
A. . B. . C. . D. .
a 2a−1 a a
Câu 11. Một anh kỹ sư muốn tạo ra 1 cái lu hình trụ có diện tích bề mặt (không tính hai mặt đáy) là lớn
nhất. Bề mặt lu được quấn bởi mảnh tôn hình chữ nhật có chu vi 120 cm. Gọi chiều dài của hình
2
chữ nhật là a , chiều rộng của hình chữ nhật là b . Tính Pa+ 3b .
A. 990. B. 1660. C. 2530. D. 1108.
Câu 12. Bác nông dân có rào để ngăn đàn gà nuôi dạng hình chữ nhật. Để diện tích nuôi gà là lớn
200 m
22
nhất thì chiều dài hình chữ nhật là a (m) và chiều rộng là b (m). Khi đó a ++ab b có giá trị
bằng
A. 7525 m. B. 7600 m. C. 7500 m. D. 7900 m.
Câu 13. Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 6 cm. Người ta muốn cắt một hình thang như hình vẽ. Tìm
tổng xy+ để diện tích hình thang EFGH đạt giá trị nhỏ nhất.
2 cm E
A
B
x cm
H
3 cm
F
D
C
G y cm
72
A. 7cm . B. 5cm . C. cm . D. 4 2 cm .
2
Câu 14. Một màn ảnh hình chữ nhật cao 1,4m và đặt ở độ cao 1,8m so với tầm mắt (tính từ đầu mép
dưới của màn hình như hình vẽ). Để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí đứng sao cho góc nhìn lớn

nhất. Tính khoảng cách từ vị trí đó đến màn ảnh? Biết rằng góc BOC nhọn.
Trang 3
=
A. . B. . C. . D. .
AO= 2,4m AO= 2m AO= 2,6m AO= 3m
Câu 15. Tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường tròn bán kính 10 cm , biết một
cạnh của hình chữ nhật nằm dọc trên đường kính của đường tròn.
2 2 2 2
A. 80 cm . B. 100 cm . C. 160 cm D. 200 cm .
Câu 16 . Từ một khúc gỗ tròn hình trụ có đường kính bằng 40 cm , cần xả thành một chiếc xà có tiết diện
ngang là hình vuông và bốn miếng phụ được tô màu xám như hình vẽ dưới đây. Tìm chiều rộng
x của miếng phụ để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là lớn nhất.
3 34−17 2 3 34−19 2
A. x= cm B. x= cm
( ) ( )
2 2
5 34−15 2 5 34−13 2
C. x= cm D. x= cm
( ) ( )
2 2
Câu 17. Một ô tô đang chạy với vận tốc 15 m/s thì người lái hãm phanh. Sau khi hãm phanh, ô tô chuyển
( )
động chậm dần đều với vận tốc v t =−+5t 15 m/s trong đó t là khoảng thời gian tính bằng
() ( )
giây kể từ lúc bắt đầu hãm phanh. Hỏi từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển
được bao nhiêu mét ?
A. 22,5m . B. 45m . C. 15m . D. 90m .
22
Câu 18. Một vật chuyển động với gia tốc at( ) 3t+ t (m/s ). Vận tốc ban đầu của vật là Hỏi
2(m/s).
vận tốc của vật là bao nhiêu sau khi chuyển động với gia tốc đó được
2s.
A. 8m/s . B. 12m/s . C. 16m/s . D. 10m/s .
Câu 19. Cho mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp có R thay đổi. Biết điện trở cuộn cảm
Z 80(Ω)
L
, điện trở của tụ điện là Z 200Ω và hiệu điện thế hai đầu mạch là u= U cos100πtV . Để
( ) ( )
C 0
công suất tiêu thụ của mạch cực đại thì giá trị của R bằng
Trang 4
=
=
=
A. 120 Ω . B. 50 Ω . C. 100 Ω . D. 200 Ω .
( ) ( ) ( ) ( )
Câu 20. Cho mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp có R thay đổi. Biết điện trở cuộn cảm
, điện trở của tụ điện là và hiệu điện thế hai đầu mạch là
Z 100Ω Z 40Ω
( ) ( )
L C
u=120 2 cos100πtV . Điện trở R phải có giá trị là bao nhiêu để công suất tiêu thụ của mạch
( )
đạt cực đại và giá tri cực đại của công suất là bao nhiêu?
A. RP=60(Ω=), 120(W) . B. RP=120(Ω=), 60(W) .
max max
C. R=40Ω=, P 180 W . D. RP=120Ω=, 180 W .
( ) ( ) ( ) ( )
max max
Câu 21: Thể tích V của 1kg nước ở nhiệt độ t (t nằm giữa 0C° đến 30°C) được cho bởi công thức
2 33
V=999,87−+0,06426tt0,0085043− 0,0000679t cm . Nhiệt độ t của nước gần nhất với
( )
giá trị nào dưới đây thì khối lượng riêng của nước là lớn nhất?
A. 0°. B. −°4 . C. 30° . D. 4°.
4

1 t
3
Câu 22: Thể tích nước của một bể bơi sau t phút bơm được tính theo công thức Vt 30t−
()

100 4

0≤≤t 90 . Tốc độ bơm nước tại thời điểm t được tính bởi v t = V′ t . Trong các khẳng định
( ) () ()
sau, khẳng định nào đúng.
A. Tốc độ bơm giảm từ phút 60 đến phút thứ 90.
B. Tốc độ bơm luôn giảm.
C. Tốc độ bơm tăng từ phút 0 đến phút thứ 75.
D. Cả A, B, C đều sai.
Câu 23. Công ty XDPL muốn làm một đường ống dẫn khí từ một địa điểm A trên bờ biển đến một điểm
B trên một hòn đảo. Khoảng cách ngắn nhất từ điểm B đến bờ biển là 6 km . Giá để xây lắp mỗi
′
km đường ống trên bờ là 50.000 USD , còn xây lắp dưới nước là 130.000 USD . B là điểm trên
bờ biển sao cho BB′ vuông góc với bờ biển. Khoảng cách từ A đến B′ là .
9km
đảo
B
biển
6km
A
B
9km
bờ biển
Hỏi vị trí điểm M trên bờ biển cách A bao xa để chi phí xây lắp đường ống từ A qua M rồi
đến B là ít tốn kém nhất?
A. 9 km . B. 6 km . C. 0 km . D. 6.5 km .
Câu 24. Một điểm C trên hòn đảo có khoảng cách ngắn nhất đến bờ biển là , là điểm trên bờ
60km B
biển sao cho CB vuông góc với bờ biển . Khoảng cách từ A trên bờ biển đến B là 100km . Để
tham dự buổi họp nhóm Strong Team Toán VD – VCD ngày 28/6/2019 , thầy Quý phải tính toán
vị trí diễn ra cuộc họp tại địa điểm G trên đoạn AB để tổng chi phí đi lại của cả hai nhóm các
thầy cô là ít nhất. Biết nhóm của thầy Quý đi từ C theo đường biển chi phí đi là 500 nghìn mỗi
Trang 5
=
= =
km, nhóm cô Thêm đi từ vị trí A đi trên đất liền mỗi km chi phí là 300 nghìn. Hỏi thầy tìm được
vị trí điểm G cách B bao xa?
A. 40km . B. 60 km . C. 55km . D. 45km .
Câu 25. Một xưởng in có 8 máy in, mỗi máy in được 4000 bản in khổ giấy trong một giờ. Chi phí
A4
để bảo trì, vận hành một máy trong mỗi lần in là 50000 đồng. Chi phí in ấn của n máy chạy
trong một giờ là 20 3n+ 5 nghìn đồng. Hỏi nếu in 50000 bản in khổ giấy A4 thì phải sử dụng
( )
bao nhiêu máy để thu được nhiều lãi nhất?
A. 4 máy. B. 7 máy. C. 6 máy. D. 5 máy.
Câu 26. Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nhiên liệu
làm vỏ lon là thấp nhất, tức là diện tích toàn phần của hình trụ nhỏ nhất. Muốn thể tích của khối
trụ đó bằng V và diện tích toàn phần của hình trụ nhỏ nhất thì nhà thiết kế phải thiết kế hình trụ
có bán kính bằng bao nhiêu?
V V V V
3 3
A. . B. . C. . D. .
2π 2π π π
Câu 27. Trong một môi trường dinh dưỡng có 1000 vi khuẩn được cấy vào. Bằng thực nghiệm xác định
100t
được số lượng vi khuẩn tăng theo thời gian bởi qui luật Nt 1000+ (con vi khuẩn),
()
2
100+ t
trong đó t là thời gian (đơn vị giây). Hãy xác định thời điểm sau khi thực hiện cấy vi khuẩn vào,
số lượng vi khuẩn tăng lên lớn nhất là bao nhiêu?
A. 0 . B. 1. C. −10 . D. 10.
Câu 28. Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng: nếu trên mỗi đơn vị diện tích
của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng Qn( ) 480− 20n (gam).
Hỏi phải thả bao nhiêu con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được
nhiều cá nhất?
A. 12 . B. 14. C. 10. D. 18.
Câu 29. Đốt cháy các hidrocacbon của dãy đồng đẳng nào dưới đây thì tỉ lệ mol HO : mol CO giảm
2 2
dần khi số cacbon tăng dần ?
A. Ankan. B. Anken. C. Ankin. D. Ankylbenzen.
Câu 30. Cho phương trình phản ứng tạo thành Nitơ (IV) Oxit từ Nitơ ddiooxxit và Oxy là
o
dk ,,t xt
→
22NO+ O NO . Biết rằng đây là một phản ứng thuận nghịch . Giả sử xy, lần lượt
22←
là nồng độ phần trăm của khí NO và O tham gia phản ứng. Biết rằng tốc độ phản ứng hóa học
2
2
của phản ứng trên được xác định v= kx y , với k là hằng số của tốc độ phản ứng. Để tốc độ phản
x
ứng xảy ra nhanh nhất thì tỉ số giữa là ?
y
1 1
A. . B. 2 . C. . D. 3 .
2 3
2
Câu 31. Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức Gx 0,035x 15− x , trong đó
( ) ( )
x là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân ( x được tính bằng miligam). Tính liều lượng
thuốc cần tiêm (đơn vị miligam) cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất.
A. x= 8. B. x= 5. C. x=15. D. x=10 .
Trang 6
=
=
=
Câu 32. Các chuyên gia Y-tế ước tính số người nhiễm virus Zika kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên
23
đến ngày thứ t là ft= 45t−=t , t 0,1,2,...,25 . Nếu coi ft là một hàm xác định trên đoạn
() ( ) ()
0;25 thì ft được xem là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm t . Tốc độ truyền
[ ] ()
bệnh sẽ lớn nhất vào ngày thứ mấy?
A. 20 . B. 10. C. 15. D. 5 .
Câu 33. Trong nội dung thi điền kinh, bơi lội và đua xe đạp phối hợp được diễn ra tại một hồ bơi có
chiều rộng m và chiều dài m. Một vận động viên cần chạy phối hợp với bơi (bắt buộc cả
70 250
hai) khi phải thực hiện lộ trình xuất phát từ A đến C và đua xe đạp tới D như hình vẽ. Hỏi
rằng sau khi chạy được bao xa (quãng đường x ) thì vận động viên nên nhảy xuống để tiếp tục
bơi về đích nhanh nhất ? Biết rằng vận tốc của vận động viên khi chạy trên bờ, khi bơi và đua
xe lần lượt là 5 m/s; 1,5m/s và 10 m/s.
A. m. B. m. C. m. D. m.
139,52 129,52 109,52 119,52
Câu 34. Trong nội dung thi điền kinh, bơi lội và đua xe đạp phối hợp được diễn ra tại một hồ bơi có
chiều rộng 50 m và chiều dài 250 m. Một vận động viên cần chạy phối hợp với bơi (bắt buộc cả
hai) khi phải thực hiện lộ trình xuất phát từ A đến C và đua xe đạp tới D như hình vẽ. Hỏi
rằng sau khi chạy được bao xa (quãng đường x ) thì vận động viên nên nhảy xuống để tiếp tục
bơi về đích nhanh nhất ? Biết rằng vận tốc của vận động viên khi chạy trên bờ, khi bơi và đua
xe lần lượt là m/s; 1,5m/s và m/s.
5 10
A. 109,8 m. B. 105,8 m. C. 106,8 m. D. 107,8 m.
Câu 35. Cho một viên gạch men có dạng hình vuông OABC như hình vẽ. Sau khi tọa độ hóa, ta có
3
3
O 0;0 , A 0;1 , B 1;1 , C 1;0 và hai đường cong lần lượt là đồ thị hàm số yx= và y= x
( ) ( ) ( ) ( )
. Tính diện tích của phần không được tô đậm trên viên gạch men.
y
A
B
x
O
C
1 5 4 1
A. . B. . C. . D. .
3 4 5 2
Câu 36. Người ta làm một cái lu đựng nước bằng cách cắt bỏ 2 chỏm của một khối cầu có bán kính 5 dm
bằng 2 mặt phẳng vuông góc với đường kính và cách tâm khối cầu 3 dm . Tính thể tích của chiếc
lu.
Trang 7
3 dm
5 dm
3 dm
100
3
3 3 3
A. 41π dm . B. 132π dm . C. 43π dm . D. π dm .
( ) ( ) ( ) ( )
3
Câu 37. Một cái trống trường có bán kính các đáy là 30 cm , thiết diện vuông góc với trục và cách đều
2
hai đáy có diện tích là 1600π cm , chiều dài của trống là 1 m . Biết rằng mặt phẳng chứa trục
( )
cắt mặt xung quanh của trống là các đường Parabol. Hỏi thể tích của cái trống là bao nhiêu?
3 3 3 3
A. 425,2 dm . B. 425,2 mm . C. 425,2 cm . D. 425,2 m .
Câu 38. Bổ dọc một quả dưa hấu ta được thiết diện là hình elip có trục lớn 28cm , trục nhỏ 25cm . Biết
3
cứ 1000cm dưa hấu sẽ làm được cốc sinh tố giá 20000 đồng. Hỏi từ quả dưa hấu trên có thể
thu được bao nhiêu tiền từ việc bán nước sinh tố? Biết rằng bề dày vỏ dưa không đáng kể.
A. 180000 đồng. B. 183000 đồng. C. 185000 đồng. D. 190000 đồng.
Câu 39. Một bình hoa dạng khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
số yx=−+sin 2 và trục Ox (tham khảo hình vẽ bên dưới). Biết đáy bình hoa là hình tròn có
bán kính bằng 2 dm , miệng bình hoa là đường tròn bán kính bằng 1.5 dm . Bỏ qua độ dày của
bình hoa, Thể tích của bình hoa gần với giá trị nào trong các giá trị sau đây?
3 3 3 3
A. 100 dm . B. 104 dm . C. 102 dm . D. 103 dm .
Câu 40. Hình elip được ứng dụng nhiều trong thực tiễn, đặc biệt là kiến trúc xây dựng như đấu trường La
Mã, tòa nhà Ellipse Tower Hà Nội, sử dụng trong thiết kế logo quảng cáo, thiết bị nội thất. Xét
một Lavabo (bồn rửa) làm bằng sứ đặc hình dạng là một nửa khối elip tròn xoay có thông số kĩ
thuật mặt trên của Lavabo là: dài rộng: 660×380 mm (tham khảo hình vẽ bên dưới), Lavabo có
×
độ dày đều là 20 mm . Thể tích chứa nước của Lavabo gần với giá trị nào trong các giá trị sau:
Trang 8
3 3 3 3
A. 18,66 dm . B. 18,76 dm . C. 18,86 dm . D. 18,96 dm .
Câu 41. Một vật chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) 160−10t(m/s) . Quãng đường mà vật
chuyển động từ thời điểm t= 0s đến thời điểm mà vật dừng lại là
()
A. 1028 m . B. 1280 m . C. 1308 m . D. 1380 m .
Câu 42. Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian được tính bởi công thức
v(t) 3t+ 2(m/s) . Biết tại thời điểm thì vật đi được quãng đường là . Hỏi tại thời
t= 2s() 10(m)
điểm t= 30 s thì vật đi được quãng đường là bao nhiêu?
()
A. 1140 m. B. 300 m. C. 240 m. D. 1410 m.
Câu 43. Một vật đang chuyển động với vận tốc v= 25 m/s thì thay đổi vận tốc với gia tốc được tính
( )
2
theo thời gian t là at 2t− 6 m/s . Tính quãng đường vật đi được kể từ thời điểm thay đổi
()
( )
gia tốc đến lúc vật đạt vận tốc bé nhất.
107
57 m
A. m . B. 144 m . C. 28 m . D. .
5
Câu 44. Một mô tô chạy với vận tốc v m/s thì gặp chướng ngại vật nên người lái xe đạp phanh. Từ
( )
0
2
thời điểm đó ôtô chuyển động chậm dần với gia tốc at=−8 m/s trong đó t là thời gian tính
( )
12 m v
bằng giây. Biết từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được ( ) . Tính ?
0
3 3
3
A. 18 m/s . B. 86 m/s . C. 1269 m/s . D. 1296 m/s .
Câu 45. Đầu tháng 5 năm 2019 , ông An đầu tư vào chăn nuôi tằm với số tiền vốn ban đầu là 200 (triệu
đồng). Biết rằng trong quá trình chăn nuôi gặp thuận lợi nên số tiền đầu tư của ông liên tục tăng
12000
theo tốc độ được mô tả bằng công thức ft′()= , với t là thời gian đầu tư tính bằng tháng
2
t+ 5
( )
(thời điểm t=0 ứng với đầu tháng 5 năm 2019 ). Hỏi số tiền mà ông An thu về tính đến đầu
tháng 5 năm 2023 gần với số nào sau đây?
A. 2737 (triệu đồng). B. 2307 (triệu đồng).
C. 2370 (triệu đồng). D. 2703 (triệu đồng).
Câu 46. Giả sử rằng sau t năm, vốn đầu tư của một doanh nghiệp phát sinh lợi nhuận với tốc độ
2
′
Pt() 126+ t (triệu đồng/năm). Hỏi sau 10 năm đầu tiên thì doanh nghiệp thu được lợi nhuận
là bao nhiêu (đơn vị triệu đồng).
3257 4780
A. 5020. B. 1235. C. . D. .
3 3
Trang 9
=
=
=
=

onthicaptoc.com 500 bài toán thực tế liên quan đến đạo hàm tích phân có đáp án