BÀI TOÁN THỰC TẾ NGUYÊN HÀM
Câu 1. Một gia đình sản xuất chiếu cói ở Nga Sơn mỗi ngày sản xuất được chiếc chiếu Chi phí biên để sản xuất chiếc chiếu ( tính bằng nghìn đồng) cho bởi hàm số sau:. Biết rằng chi phí cố định ban đầu để sản xuất là nghìn đồng. Giả sử gia đình này bán hết chiếu mỗi ngày với giá nghìn đồng / chiếc chiếu. Tính lợi nhuận tối đa theo đơn vị nghìn đồng mà gia đình đó thu được?
Câu 2. Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ độ cao với vận tốc tại thời điểm cho bởi công thức , ( là thời điểm viên đạn được bắn lên). Tìm độ cao (tính theo ) của viên đạn so với mặt đất ở thời điểm 1 giây sau khi viên đạn đạt độ cao lớn nhất (làm tròn đến hàng phần trăm).
Câu 3. Hai công ty, công ty A và công ty B, cùng ra mắt sản phẩm cạnh tranh thị trường mới vào cùng thời điểm. Thị phần được đo bằng số lượng khách hàng lũy kế.
Công ty A: Bắt đầu với 0 khách hàng. Trong giai đoạn đầu, chiến dịch marketing hiệu quả giúp tốc độ thu hút khách hàng mới của họ tăng dần theo thời gian, được mô tả bởi hàm (nghìn khách hàng/tháng), với là số tháng kể từ khi ra mắt.
Công ty B: Nhờ có uy tín từ trước, họ bắt đầu với 10 nghìn khách hàng đặt trước sản phẩm. Sau đó, họ duy trì một tốc độ thu hút khách hàng mới ổn định là 10 nghìn khách hàng/tháng.
Hỏi sau khoảng bao nhiêu tháng kể từ khi ra mắt, tổng số lượng khách hàng lũy kế của công ty A bằng tổng số lượng khách hàng lũy kế của công ty B (tính cả 10 nghìn khách hàng ban đầu) ?
Câu 4. Người ta thả một vật từ một vị trí trên cao cho rơi xuống mặt đất theo phương thẳng đứng. Biết gia tốc trọng trường tại nơi thả vật bằng 9,8 m/s2. Giả sử lực tác động của không khí đối với vật trong quá trình rơi là không đáng kể. Biết rằng sau 4 giây thì vật bắt đầu chạm mặt đất. Hỏi vị trí của vật trước khi thả rơi cao bao nhiêu mét so với mặt đất? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)
Câu 5. Người ta quan sát một quần thể vi khuẩn đang tăng trưởng, ban đầu gồm 500 vi khuẩn. Sau một ngày và sau bốn ngày kể từ khi bắt đầu quan sát, số lượng vi khuẩn của quần thể đó tương ứng là 600 vi khuẩn, 1300 vi khuẩn. Gọi P(t) là số lượng vi khuẩn của quần thể đó tại thời điểm t ngày kể từ khi bắt đầu quan sát, 0 ≤ t ≤ 10. Người ta ước tính tốc độ tăng trưởng của quần thể vi khuẩn đó được mô tả bởi (vi khuẩn/ngày), trong đó a, b là hằng số. Hỏi số lượng vi khuẩn của quần thể đó sau 9 ngày kể từ khi bắt đầu quan sát là bao nhiêu?
Câu 6. Kí hiệu là chiều cao của một cây (tính theo mét) sau khi trồng năm. Biết rằng sau năm đầu tiên cây cao 3 m. Trong các năm tiếp theo, cây phát triển với tốc độ (tính theo mét/năm). Chiều cao của cây đó sau 5 năm (làm tròn đến hàng phần mười) bằng bao nhiêu mét?
Câu 7. Cá hồi Thái Bình Dương đến mùa sinh sản thường bơi từ biển ngược dòng vào sông và đến thượng nguồn các dòng sông để đẻ trứng. Giả sử cá bơi ngược dòng sông với vận tốc là . Nếu coi thời điểm ban đầu là lúc cá bắt đầu bơi vào dòng sông thì khoảng cách xa nhất mà con cá có thể bơi được là bao nhiêu km?
Câu 8. Một vật được ném lên từ độ cao với vận tốc được cho bởi công thức ). Gọi là độ cao của vật tại thời điểm . Sau bao nhiêu giây kể từ khi bắt đầu được ném lên thì vật đó chạm đất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét)?
Câu 9. Một máy bay đang chuyển động thẳng đều trên mặt đất với vận tốc thì bắt đầu tăng tốc với độ biến thiên vận tốc là hàm số có đồ thị hàm số là đường thẳng như hình vẽ.
Sau 15s tăng tốc thì máy bay đạt đến vận tốc đủ lớn để phóng khỏi mặt đất. Hãy tính vận tốc (m/s) khi máy bay bắt đầu rời khỏi mặt đất.
Câu 10. Một nghiên cứu chỉ ra rằng sau tháng kể từ bây giờ, dân số của thành phố A sẽ tăng với tốc độ (người/tháng). Dân số của thành phố sẽ tăng thêm bao nhiêu trong 4 tháng tới. Viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị. Cho biết
Câu 11. Sản phẩm A có hàm lợi nhuận biên theo sản lượng là
Biết rằng, nếu chỉ bán được 100 sản phẩm thì công ti lỗ 50000 đơn vị tiền tệ (1 đơn vị tiền tệ là 1000 đồng). Ta tìm được hàm lợi nhuận theo là một hàm số bậc hai có dạng , tính ?
Câu 12. Một vật chuyển động với hàm số gia tốc là . Biết rằng đồ thị hàm số trên đoạn được cho như hình dưới đây và vận tốc tại thời điểm là .
Tại thời điểm giây, vận tốc của vật là bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
Câu 13. Chủ một trung tâm thương mại muốn cho thuê một số gian hàng như nhau. Người đó muốn tăng giá cho thuê của mỗi gian hàng thêm (triệu đồng) . Tốc độ thay đổi doanh thu từ các gian hàng đó được biểu diễn bởi hàm số , trong đó tính bằng triệu đồng. Biết rằng nếu người đó tăng giá thuê cho mỗi gian hàng thêm 10 triệu đồng thì doanh thu là 12000 triệu đồng. Tìm giá trị của (triệu đồng) để người đó có doanh thu là cao nhất?
Câu 14. Một vật chuyền động với gia tốc được cho bởi hàm số . Lúc bắt đầu chuyển động vật có vận tốc . Tính gia tốc của vật tại thời điểm vận tốc đạt giá trị lớn nhất trong đầu tiên.
Câu 15. Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc tại thời điểm là thời điểm viên đạn được bắn lên) cho bởi . Tìm độ cao của viên đạn (tính từ mặt đất) khi nó đạt độ cao cực đại (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Câu 16. Một hồ nuớc bị ô nhiễm được xử lí bằng một chất diệt khuẩn. Tốc độ phát triển của số lượng vi khuẩn sống sót được mô hình bởi với là số lượng vi khuẩn trên mỗi nuớc và là số ngày tính từ khi hồ nuớc được xử lí. Biết số lượng vi khuẩn ban đầu là 10000 con/ml nước. Sử dụng mô hình này xác định lượng vi khuẩn sau 5 ngày.
Cho biết
Câu 17. Người ta thay nước mới cho một bể bơi có dạng hình hộp chữ nhật có độ sâu là . Giả sử là chiều cao (tính bằng cm) của mực nước bơm được tại thời điểm t giây, biết rằng tốc độ tăng của chiều cao mực nước tại giây thứ là và lúc đầu hồ bơi không có nước. Hỏi sau bao nhiêu giây thì nước bơm được độ sâu của hồ bơi? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Cho biết
Câu 18. Đối với các dự án xây dựng, chi phí nhân công lao động được tính theo số ngày công. Gọi là số lượng công nhân được sử dụng ở ngày thứ (kể từ khi khởi công dự án). Gọi là số ngày công được tính đến hết ngày thứ (kể từ khi khởi công dự án). Trong kinh tế xây dựng, người ta đã biết rằng . Một công trình xây dựng dự kiến hoàn thành trong 400 ngày. Số lượng công nhân được sử dụng cho bởi hàm số trong đó tính theo ngày tính theo người. Đơn giá cho một ngày công lao động là 400000 đồng. Tính chi phí (tỷ đồng) nhân công lao động của công trình đó (cho đến lúc hoàn thành).
Câu 19. Một quần thể vi sinh vật có tốc độ tăng số lượng cá thể được ước lượng bởi
(cá thể/ngày) vớitrong đó là số lượng cá thể vi sinh vật tại thời điểm ngày kể từ thời điểm ban đầu. Biết rằng ban đầu quần thể có 1000 cá thể.
Ước lượng số cá thể của quần thể sau 5 ngày kể từ thời điểm ban đầu (kết quả làm tròn đến hàng trăm).
Câu 20. Một vật chuyển động dọc theo một đường thẳng (có gắn trục toạ độ với độ dài đơn vị bằng 1m). Biết rằng vật chuyển động với vận tốc (tính theo là , tính theo giây) và lúc đầu vật ở vị trí có toạ độ . Tại thời điểm giây, vật cách vị trí ban đầu bao xa?
Câu 21. Giả sử tốc độ tăng trưởng của một quần thể muỗi thoả mãn công thức
trong đó là thời gian tính theo ngày, là số cá thể muỗi tại thời điểm . Biết rằng ban đầu quần thể muỗi có 2000 cá thể. Đặt . Chứng tỏ rằng . Từ đó, tìm được với .
Khí đó, hãy tìm số lượng cá thể của quần thể muỗi sau 3 ngày (kết quả làm tròn đến hàng trăm).
Câu 22. Trong một dịch cúm, tốc độ tăng số trường hợp mắc bệnh của một thành phố được ước lượng bởi (trường hợp/ngày) trong đó là số trường hợp mắc bệnh sau thời gian ngày kể từ khi bắt đầu dịch. Biết rằng thời điểm bắt đầu dịch có 5 trường hợp mắc bệnh. Ước lượng số trường hợp mắc bệnh của thành phố sau 10 ngày dịch bắt đầu.
Câu 23. Khi nghiên cứu dịch sốt xuất huyết ở một địa phương, các chuyên gia y tế ước tính rằng tại ngày thứ có người mắc bệnh (sau khi đã làm tròn đến chữ số hàng đơn vị). Biết rằng tốc độ lan truyền bệnh là và ngày đầu tiên người ta phát hiện ra 50 bệnh nhân. Hãy xác định số người mắc bệnh ở ngày thứ 10.
Câu 24. Cây cà chua khi trồng có chiều cao 5 cm. Tốc độ tăng chiều cao của cây cà chua sau khi trồng được cho bởi hàm số , trong đó tính theo tuần, tính bằng centimét/tuần. Gọi là độ cao của cây cà chua ở tuần thứ . Vào thời điểm cây cà chua đó phát triển nhanh nhất thì cây cà chua cao bao nhiêu centimét?( làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Câu 25. Cường độ dòng điện trong một dây dẫn tại thời điểm giây là:
với là điện lượng truyền trong dây dẫn tại thời điểm . Biết khi giây, điện lượng truyền trong dây dẫn là . Tính điện lượng truyền trong dây dẫn khi .
Câu 26. Một xe ô tô sau khi chờ hết đèn đỏ đã bắt đầu chuyển động với vận tốc được biểu thị bằng đồ thị là đường cong parabol như hình bên dưới. Biết rằng sau phút thì xe đạt đến vận tốc cao nhất m/phút và bắt đầu giảm vận tốc, đi được phút thì xe chuyển động đều.
Hỏi quãng đường xe đã đi được trong khoảng 10 phút đầu tiên là bao nhiêu mét?
Câu 27. Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc phụ thuộc vào thời gian có đồ thị vận tốc là một đường parabol có đỉnh và trục đối xứng vuông góc với trục hoành như hình vẽ. Tính quãng đường vật di chuyển được trong nửa thời gian sau của chuyển động đó (kết quả làm tròn đến hàng phần chục và tính theo đơn vị )
Câu 28. Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi là thể tích nước bơm được sau giây. Cho và ban đầu bể không có nước. Sau giây thì thể tích nước trong bể là . Sau giây thì thể tích nước trong bể là . Hỏi thể tích nước trong bể là bao nhiêu m3 sau khi bơm được giây.
Câu 29. Doanh thu bán hàng của một doanh nghiệp khi bán một loại sản phẩm là số tiền (triệu đồng) thu được khi đơn vị sản phẩm được bán ra. Tốc độ biến động (thay đổi) của doanh thu khi đơn vị sản phẩm đã được bán là hàm số . Đại diện của doanh nghiệp cho biết tốc độ biến đổi của doanh thu khi bán một loại sản phẩm được cho bởi , ở đó là số lượng sản phẩm đã bán. Tìm doanh thu của doanh nghiệp khi đã bán 2000 sản phẩm là bao nhiêu trăm triệu đồng?
Câu 30. Trọng lượng của một bào thai người nặng khoảng 0,04 ounce (1 ounce = 28,3485 gram) sau 8 tuần tuổi. Trong suốt 35 tuần tiếp theo, trọng lượng của bào thai này được dự đoán tăng với tốc độ , với là cân nặng tính bằng ounce và là thời gian tính bằng tuần. Hãy tính trọng lượng của bao thai sau 25 tuần tuổi (Làm tròn kết quả đến chữ số hàng phần trăm).
Câu 31. Tốc độ phát triển của số lượng vi khuẩn trong hồ bơi được mô hình bởi hàm số , , trong đó là số lượng vi khuẩn trên mỗi ml nước tại ngày thứ . Số lượng vi khuẩn ban đầu là 500 con trên mỗi ml nước. Biết rằng mức độ an toàn cho người sử dụng hồ bơi là số vi khuẩn phải dưới 3000 con trên mỗi ml nước. Hỏi sau bao nhiêu ngày thì người ta phải xử lí và thay nước mới cho hồ bơi.
Câu 32. Một hồ bơi có dạng hình hộp chữ nhật có chiều cao đang không chứa nước. Người ta cần thay nước mới cho hồ bơi nên dùng máy bơm để bơm nước vào hồ, giả sử là chiều cao của mực nước đã được bơm vào tại thời điểm giờ. Biết rằng tốc độ tăng chiều cao của mực nước tại giờ thứ kể từ lúc bắt đầu bơm nước vào hồ là . Hỏi sau bao nhiêu giờ kể từ lúc bắt đầu bơm thì hồ đạt được độ sâu (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Câu 33. Một xe ô tô đang chuyển động đều thì người lái xe nhìn thấy chướng ngại vật trên đường. Sau 1 giây thì người lái xe bắt đầu đạp phanh. Ô tô chuyển động chậm dần đều với gia tốc . Biết rằng kể từ lúc nhìn thấy chướng ngại vật cho đến khi dừng hẳn thì xe đi thêm được quãng đường 41,6 mét. Vận tốc của xe khi người lái xe bắt đầu phanh là bao nhiêu ?
Câu 34. Nước bốc hơi từ một bát hình bán cầu có bán kính với tốc độ , trong đó là thời gian tính bằng giờ. Giả sử bán kính của bát là và ban đầu (lúc ) bát chứa đầy nước. Hỏi sau bao nhiêu giờ (làm tròn kết quả đến hàng phần chục) thì bát cạn nước?
Câu 35. Một tấm ván gỗ chỉ được hỗ trợ ở hai đầu và , cách nhau 4 m. Tấm ván võng xuống dưới do trọng lượng của nó tạo thành một đường cong. Xét trên hệ trục như hình vẽ dưới, đơn vị mỗi trục là mét, đường cong trong hình vẽ có phương trình .
Khi đó với . Hỏi tấm ván bị võng xuống so với phương ngang một khoảng lớn nhất bao nhiêu cm (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Câu 36. Tốc độ giải ngân 2 tỷ tiền trợ cấp dành cho một vùng A bị thiệt hại về Iũ lụt tỉ lệ thuận với bình phương của (), trong đó là thời gian tính bằng ngày và là số tiền còn lại chưa giải ngân. Hỏi số tiền còn lại chưa giải ngân sau 40 ngày là bao nhiêu triệu đồng, biết rằng toàn bộ số tiền sẽ được giải ngân trong 100 ngày.
Câu 37. Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi là thể tích nước bơm được sau giây. Biết rằng và ban đầu bể không có nước. Sau 5 giây, thể tích nước trong bể là , sau 10 giây, thì thể tích trong bể là . Thể tích nước trong bể sau khi bơm được 20 giây bằng
Câu 38. Một bể ban đầu chứa đầy nước, bể có dạng hình trụ với chiều cao bằng 9 m và bán kính đáy bằng 2 m. Nước bắt đầu chảy ra từ một vòi nước ở đáy bể. Gọi là thể tích chất lỏng đã thoát ra tại thời điểm (phút) sau khi mở vòi thì . Biết sau 15 phút độ cao của mực nước trong bể bằng 4 m.
Sau 42 phút, thể tích chất lỏng còn lại trong bể là bao nhiêu lít (làm tròn kết quả đến đơn vị).
Câu 39. Gọi là mức nước ở một bồn chứa sau khi bơm nước vào bồn được giây. Biết rằng và lúc đầu bồn không có nước. Sau 162 giây, mực nước của bồn là 27 cm. Biết bồn chứa nước cao , hỏi sau bao nhiêu giây bồn chứa nước sẽ đầy.
Câu 40. Một bể nước hình hộp chữ nhật cao 1 m và có đáy là hình vuông cạnh 2 m. Ban đầu bể đầy nước. Người ta mở một cái vòi ở đáy, nước chảy ra với tốc độ tỷ lệ thuận với căn bậc hai của độ cao của nước tại bất kì thời điểm nào. Giả sử độ cao của nước trong bể tại thời điểm là và là thể tích của nước hiện tại sau phút mở vòi thì ta có . Biết rằng, mực nước giảm 19 cm sau 2 phút, hỏi sau bao nhiêu phút thì bể cạn nước.
Câu 41. Một miếng thịt nướng được lấy ra khỏi ngăn đá của tủ lạnh và để trên bàn để rã đông. Nhiệt độ của miếng thịt nướng khi nó được lấy ra khỏi ngăn đá là và giờ sau đó, nhiệt độ của miếng thịt nướng tăng với tốc độ giờ. Nhiệt độ của miếng thịt sau 2 giờ là bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
Câu 42. Một cái cây được gieo trồng từ hạt trong một chiếc chậu. Chiều cao của nó sau (năm) được cho bởi hàm số (đơn vị mét). Tốc độ thay đổi chiều cao của nó sau (năm) là (mét/năm) với . Sau khi trồng được 4 năm, cây được lấy ra khỏi chậu và trồng xuống đất, chiều cao của nó theo thời gian khi này thay đổi với tốc độ . Hỏi sau 4 năm trồng xuống đất cây cao bao nhiêu mét? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Câu 43. Vi khuẩn HP (Helicobacter pylori) gây đau dạ dày sau ngày thứ với số lượng là nếu phát hiện sớm thì bệnh nhân sẽ được cứu chữa. Biết rằng và sau 1 ngày bệnh nhân có 2000 con vi khẩn trong dạ dày. Sau 15 ngày bệnh nhân phát hiện ra bị bệnh. Hỏi khi đó có bao nhiêu con vi khuẩn trong dạ dày. Viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị...
Câu 44. Vì nước và dầu không hoà tan vào nhau nên nếu dầu đổ vào nước sẽ tạo thành một mảng hình trụ trên bề mặt nước. Bán kính của mảng này lan ra với tốc độ tỉ lệ thuận với chiều cao của mảng dầu. Giả sử một lít dầu bị đổ trên mặt hồ tĩnh lặng. Bán kính ban đầu của vết tràn là 20 cm và sau 2 giây nó tăng lên 50 cm. Hỏi sau bao nhiêu phút (làm tròn đến hàng phằn mười) thì bán kính vết tràn đạt 5 mét?
Câu 45. Theo định luật làm mát của Newton thì tốc độ làm mát của một vật tỉ lệ thuận với chênh lệch nhiệt độ giữa vật đó và môi trường xung quanh, với điều kiện là chênh lệch này không quá lớn. Giả sử là nhiệt độ của vật thể (đơn vị: độ C) tại thời điểm (đơn vị: phút) và là nhiệt độ của môi trường xung quanh, chênh lệch giữa nhiệt độ của vật thể và môi trường xung quanh là thì với là hằng số. Một cốc nước đang ở nhiệt độ phòng là được đưa vào ngăn mát tủ lạnh có nhiệt độ là . Sau 30 phút, nhiệt độ của cốc nước được đo lại là . Hỏi sau một tiếng trong tủ lạnh, nhiệt độ cốc nước là bao nhiêu độ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1. Một gia đình sản xuất chiếu cói ở Nga Sơn mỗi ngày sản xuất được chiếc chiếu Chi phí biên để sản xuất chiếc chiếu ( tính bằng nghìn đồng) cho bởi hàm số sau:. Biết rằng chi phí cố định ban đầu để sản xuất là nghìn đồng. Giả sử gia đình này bán hết chiếu mỗi ngày với giá nghìn đồng / chiếc chiếu. Tính lợi nhuận tối đa theo đơn vị nghìn đồng mà gia đình đó thu được?
Lời giải
Đáp án:
Chi phí để sản xuất chiếc chiếu ( tính bằng nghìn đồng) là hàm số:
.
Do chi phí cố định ban đầu để sản xuất là nghìn đồng nên
Từ đó ta có lợi nhuận theo đơn vị nghìn đồng mà mỗi ngày gia đình đó thu được là:
.
Mà nên .
Lợi nhuận tối đa mà gia đình đó thu được là: ( nghìn đồng)
Câu 2. Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ độ cao với vận tốc tại thời điểm cho bởi công thức , ( là thời điểm viên đạn được bắn lên). Tìm độ cao (tính theo ) của viên đạn so với mặt đất ở thời điểm 1 giây sau khi viên đạn đạt độ cao lớn nhất (làm tròn đến hàng phần trăm).
Lời giải
Đáp án: .
Gọi là độ cao (tính bằng mét) của viên đạn tại thời điểm (tính bằng giây).
Ta có: .
Tại thời điểm , ta có .
Vậy .

.
BBT:
Từ bảng biến thiên suy ra viên đạn đạt độ cao lớn nhất tại thời điểm .
Do đó độ cao của viên đạn so với mặt đất ở thời điểm 1 giây sau khi viên đạn đạt độ cao lớn nhất là .
Câu 3. Hai công ty, công ty A và công ty B, cùng ra mắt sản phẩm cạnh tranh thị trường mới vào cùng thời điểm. Thị phần được đo bằng số lượng khách hàng lũy kế.
Công ty A: Bắt đầu với 0 khách hàng. Trong giai đoạn đầu, chiến dịch marketing hiệu quả giúp tốc độ thu hút khách hàng mới của họ tăng dần theo thời gian, được mô tả bởi hàm (nghìn khách hàng/tháng), với là số tháng kể từ khi ra mắt.
Công ty B: Nhờ có uy tín từ trước, họ bắt đầu với 10 nghìn khách hàng đặt trước sản phẩm. Sau đó, họ duy trì một tốc độ thu hút khách hàng mới ổn định là 10 nghìn khách hàng/tháng.
Hỏi sau khoảng bao nhiêu tháng kể từ khi ra mắt, tổng số lượng khách hàng lũy kế của công ty A bằng tổng số lượng khách hàng lũy kế của công ty B (tính cả 10 nghìn khách hàng ban đầu) ?
Lời giải
Đáp án:
Gọi là số lượng khách hàng luỹ kế của công ty A với là số tháng kể từ khi ra mắt sản phẩm ()
Ta có .
Công ty A bắt đầu với 0 khách hàng nên .
Vậy .
Vì công ty B bắt đầu với 10 nghìn khách hàng đặt trước sản phẩm. Sau đó, họ duy trì một tốc độ thu hút khách hàng mới ổn định là 10 nghìn khách hàng/tháng, nên số lượng khách hàng lũy kế của công ty B sau tháng ra mắt sản phẩm là ().
Ta có
Vì nên .
Vậy sau 5 tháng ra mắt, tổng số lượng khách hàng lũy kế của công ty A bằng tổng số lượng khách hàng lũy kế của công ty B (tính cả 10 nghìn khách hàng ban đầu).
Câu 4. Người ta thả một vật từ một vị trí trên cao cho rơi xuống mặt đất theo phương thẳng đứng. Biết gia tốc trọng trường tại nơi thả vật bằng 9,8 m/s2. Giả sử lực tác động của không khí đối với vật trong quá trình rơi là không đáng kể. Biết rằng sau 4 giây thì vật bắt đầu chạm mặt đất. Hỏi vị trí của vật trước khi thả rơi cao bao nhiêu mét so với mặt đất? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)
Lời giải
Đáp án: 78,4.
Ta có vận tốc của vật (m/s) với t (giây) là thời gian tính từ lúc bắt đầu thả
Với t = 0 thì v = 0 nên C = 0 suy ra (m/s).
Độ cao (mét) của vật
Với t = 0 thì h = 0 nên C1 = 0 suy ra (m).
Sau 4 giây thì chạm mặt đất nên độ cao của vật trước khi thả rơi bằng (m)
Câu 5. Người ta quan sát một quần thể vi khuẩn đang tăng trưởng, ban đầu gồm 500 vi khuẩn. Sau một ngày và sau bốn ngày kể từ khi bắt đầu quan sát, số lượng vi khuẩn của quần thể đó tương ứng là 600 vi khuẩn, 1300 vi khuẩn. Gọi P(t) là số lượng vi khuẩn của quần thể đó tại thời điểm t ngày kể từ khi bắt đầu quan sát, 0 ≤ t ≤ 10. Người ta ước tính tốc độ tăng trưởng của quần thể vi khuẩn đó được mô tả bởi (vi khuẩn/ngày), trong đó a, b là hằng số. Hỏi số lượng vi khuẩn của quần thể đó sau 9 ngày kể từ khi bắt đầu quan sát là bao nhiêu?
Lời giải
Đáp án: 3200.
Ta có
Ban đầu gồm 500 vi khuẩn nên .
Sau 1 ngày có 600 vi khuẩn nên (1)
Sau 4 ngày có 1300 vi khuẩn nên (2).
Từ (1) và (2) ta có a = 0 và b = 150.
Vậy số vi khuẩn sau 9 ngày là .
Câu 6. Kí hiệu là chiều cao của một cây (tính theo mét) sau khi trồng năm. Biết rằng sau năm đầu tiên cây cao 3 m. Trong các năm tiếp theo, cây phát triển với tốc độ (tính theo mét/năm). Chiều cao của cây đó sau 5 năm (làm tròn đến hàng phần mười) bằng bao nhiêu mét?
Lời giải
Trả lời: 5,3
, suy ra .
Ta có , suy ra . Do đó .
Câu 7. Cá hồi Thái Bình Dương đến mùa sinh sản thường bơi từ biển ngược dòng vào sông và đến thượng nguồn các dòng sông để đẻ trứng. Giả sử cá bơi ngược dòng sông với vận tốc là . Nếu coi thời điểm ban đầu là lúc cá bắt đầu bơi vào dòng sông thì khoảng cách xa nhất mà con cá có thể bơi được là bao nhiêu km?
Lời giải
Trả lời: 20
Quãng đường con cá bơi được khi bơi ngược dòng là:
Vi nên suy ra .
Do đó: .
Vậy khoảng cách xa nhất mà con cá có thể bơi được là .
Câu 8. Một vật được ném lên từ độ cao với vận tốc được cho bởi công thức ). Gọi là độ cao của vật tại thời điểm . Sau bao nhiêu giây kể từ khi bắt đầu được ném lên thì vật đó chạm đất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét)?
Lời giải
Trả lời: 11
Ta có .
Vì vật được ném lên từ độ cao nên . Suy ra .
Vậy . Khi vật bắt đầu chạm đất ứng với .
Nên ta có hoặc .
Do nên (s).
Câu 9. Một máy bay đang chuyển động thẳng đều trên mặt đất với vận tốc thì bắt đầu tăng tốc với độ biến thiên vận tốc là hàm số có đồ thị hàm số là đường thẳng như hình vẽ.
Sau 15s tăng tốc thì máy bay đạt đến vận tốc đủ lớn để phóng khỏi mặt đất. Hãy tính vận tốc (m/s) khi máy bay bắt đầu rời khỏi mặt đất.
Lời giải
Trả lời: 678
Đường thẳng đi qua gốc tọa độ và điểm nên suy ra
Ta hiểu rằng, nguyên hàm của gia tốc chính là vận tốc của vật chuyển động. Do đó ta có
Tại thời điểm bắt đầu tăng tốc thì xem như và vận tốc lúc đó là
Suy ra .
Vậy vận tốc máy bay đạt được khi bắt đầu phóng khỏi mặt đất là
Câu 10. Một nghiên cứu chỉ ra rằng sau tháng kể từ bây giờ, dân số của thành phố A sẽ tăng với tốc độ (người/tháng). Dân số của thành phố sẽ tăng thêm bao nhiêu trong 4 tháng tới. Viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị. Cho biết
Lời giải
Trả lời: 57
Gọi là dân số của thành phố sau tháng kể từ bây giờ.
Tốc độ thay đổi của dân số là .
Suy ra .
Do , nên ta có
Số dân trong 4 tháng tới là
(người).
Câu 11. Sản phẩm A có hàm lợi nhuận biên theo sản lượng là
Biết rằng, nếu chỉ bán được 100 sản phẩm thì công ti lỗ 50000 đơn vị tiền tệ (1 đơn vị tiền tệ là 1000 đồng). Ta tìm được hàm lợi nhuận theo là một hàm số bậc hai có dạng , tính ?
Lời giải
Trả lời: 1
Ta có
là hằng số.
Vì đơn vị tiền do bị lỗ, nên ta có
Vậy .
Hàm lợi nhuận là
Khi đó
Câu 12. Một vật chuyển động với hàm số gia tốc là . Biết rằng đồ thị hàm số trên đoạn được cho như hình dưới đây và vận tốc tại thời điểm là .
Tại thời điểm giây, vận tốc của vật là bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
Lời giải
Trả lời: 8,7
Từ đồ thị ta có .
Mà nên .
Vì vận tốc là hàm số liên tục nên
.
Do đó .
Câu 13. Chủ một trung tâm thương mại muốn cho thuê một số gian hàng như nhau. Người đó muốn tăng giá cho thuê của mỗi gian hàng thêm (triệu đồng) . Tốc độ thay đổi doanh thu từ các gian hàng đó được biểu diễn bởi hàm số , trong đó tính bằng triệu đồng. Biết rằng nếu người đó tăng giá thuê cho mỗi gian hàng thêm 10 triệu đồng thì doanh thu là 12000 triệu đồng. Tìm giá trị của (triệu đồng) để người đó có doanh thu là cao nhất?
Lời giải
Trả lời: 15
Ta có: .
Khi người đó tăng giá cho thuê mỗi gian hàng thêm 10 triệu đồng thì doanh thu là 12000 triệu đồng. Nên ứng với ta có suy ra
Vậy . Ta có là một hàm số bậc hai với hệ số và đồ thị hàm số có đỉnh là .
Vậy doanh thu cao nhất mà người đó có thể thu về là 12250 triệu đồng và khi đó mỗi gian hàng đã tăng giá cho thuê thêm 15 triệu đồng.
Câu 14. Một vật chuyền động với gia tốc được cho bởi hàm số . Lúc bắt đầu chuyển động vật có vận tốc . Tính gia tốc của vật tại thời điểm vận tốc đạt giá trị lớn nhất trong đầu tiên.
Lời giải
Trả lời: 0
Vận nốc của vật được biểu diễn bởi hàm số .
Khi bắt đầu chuyển động, vật có vận tốc nên ta có:
Suy ra . Mà . Vậy vận tốc đạt giá trị lớn nhất tại . Khi đó, gia tốc của vật tại thời điểm là .
Câu 15. Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc tại thời điểm là thời điểm viên đạn được bắn lên) cho bởi . Tìm độ cao của viên đạn (tính từ mặt đất) khi nó đạt độ cao cực đại (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Lời giải
Trả lời: 1653
Độ cao của viên đạn tại thời điểm là
Thay ta được . Vậy .
Viên đạn đạt độ cao cực đại tại thời điểm . Khi đó,
Câu 16. Một hồ nuớc bị ô nhiễm được xử lí bằng một chất diệt khuẩn. Tốc độ phát triển của số lượng vi khuẩn sống sót được mô hình bởi với là số lượng vi khuẩn trên mỗi nuớc và là số ngày tính từ khi hồ nuớc được xử lí. Biết số lượng vi khuẩn ban đầu là 10000 con/ml nước. Sử dụng mô hình này xác định lượng vi khuẩn sau 5 ngày.
Cho biết
Lời giải
Trả lời: 2500
Tốc độ phát triển của số lượng vi khuẩn sống sót được mô hình cho bởi công thức đạo hàm
288
Nguyên hàm của là hàm biểu diễn số lượng vi khuẩn sống sót trong ngày thứ .
Ta có
Vì số lượng vi khuẩn ban đầu là nước nên ta có
Vậy hàm số biểu thị số lượng vi khuẩn sống sót tại ngày thứ là
Số vi khuẩn sau 5 ngày sẽ là
Câu 17. Người ta thay nước mới cho một bể bơi có dạng hình hộp chữ nhật có độ sâu là . Giả sử là chiều cao (tính bằng cm) của mực nước bơm được tại thời điểm t giây, biết rằng tốc độ tăng của chiều cao mực nước tại giây thứ là và lúc đầu hồ bơi không có nước. Hỏi sau bao nhiêu giây thì nước bơm được độ sâu của hồ bơi? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Cho biết
Lời giải
Trả lời: 7234
Ta biết rằng, chiều cao của mực nước bơm được chính là nguyên hàm của tốc độ tăng của chiều cao mực nước.
Lúc ban đầu (tại ) hồ bơi không chứa nước, nghĩa là
Suy ra mực nước bơm được tại thời điểm giây là
Theo giả thiết, lượng nước bơm được bằng độ sâu của hồ bơi nên ta có
Câu 18. Đối với các dự án xây dựng, chi phí nhân công lao động được tính theo số ngày công. Gọi là số lượng công nhân được sử dụng ở ngày thứ (kể từ khi khởi công dự án). Gọi là số ngày công được tính đến hết ngày thứ (kể từ khi khởi công dự án). Trong kinh tế xây dựng, người ta đã biết rằng . Một công trình xây dựng dự kiến hoàn thành trong 400 ngày. Số lượng công nhân được sử dụng cho bởi hàm số trong đó tính theo ngày tính theo người. Đơn giá cho một ngày công lao động là 400000 đồng. Tính chi phí (tỷ đồng) nhân công lao động của công trình đó (cho đến lúc hoàn thành).
Lời giải
Trả lời: 64
Tại thì
Vậy
Số ngày công tính đến khi hoàn thành dự án là: (ngày)
Chi phí nhân công lao động của công trình đó là: tỷ VND
Câu 19. Một quần thể vi sinh vật có tốc độ tăng số lượng cá thể được ước lượng bởi
(cá thể/ngày) vớitrong đó là số lượng cá thể vi sinh vật tại thời điểm ngày kể từ thời điểm ban đầu. Biết rằng ban đầu quần thể có 1000 cá thể.
Ước lượng số cá thể của quần thể sau 5 ngày kể từ thời điểm ban đầu (kết quả làm tròn đến hàng trăm).
Lời giải
Trả lời: 2100
.
Theo giả thiết, ta có , suy ra .
Do đó .
(cá thể).
Câu 20. Một vật chuyển động dọc theo một đường thẳng (có gắn trục toạ độ với độ dài đơn vị bằng 1m). Biết rằng vật chuyển động với vận tốc (tính theo là , tính theo giây) và lúc đầu vật ở vị trí có toạ độ . Tại thời điểm giây, vật cách vị trí ban đầu bao xa?
Lời giải
Trả lời: 36
Ta có .
Theo giả thiết, , suy ra .
Vậy .
Ta có .
Vậy tại thời điểm , vật cách vị trí ban đầu 36 m.
Câu 21. Giả sử tốc độ tăng trưởng của một quần thể muỗi thoả mãn công thức
trong đó là thời gian tính theo ngày, là số cá thể muỗi tại thời điểm . Biết rằng ban đầu quần thể muỗi có 2000 cá thể. Đặt . Chứng tỏ rằng . Từ đó, tìm được với .
Khí đó, hãy tìm số lượng cá thể của quần thể muỗi sau 3 ngày (kết quả làm tròn đến hàng trăm).
Lời giải
Trả lời: 3600
.
Suy ra .
Do đó, , suy ra (với ).
Ta có , suy ra , suy ra .
(cá thể).
Câu 22. Trong một dịch cúm, tốc độ tăng số trường hợp mắc bệnh của một thành phố được ước lượng bởi (trường hợp/ngày) trong đó là số trường hợp mắc bệnh sau thời gian ngày kể từ khi bắt đầu dịch. Biết rằng thời điểm bắt đầu dịch có 5 trường hợp mắc bệnh. Ước lượng số trường hợp mắc bệnh của thành phố sau 10 ngày dịch bắt đầu.
Lời giải
Trả lời: 324
Ta có
Theo giả thiết, suy ra , suy ra .
Vậy .
(trường hợp).
Vậy sau 10 ngày kể từ khi dịch bắt đầu, thành phố có khoảng 324 trường hợp mắc bệnh.
Câu 23. Khi nghiên cứu dịch sốt xuất huyết ở một địa phương, các chuyên gia y tế ước tính rằng tại ngày thứ có người mắc bệnh (sau khi đã làm tròn đến chữ số hàng đơn vị). Biết rằng tốc độ lan truyền bệnh là và ngày đầu tiên người ta phát hiện ra 50 bệnh nhân. Hãy xác định số người mắc bệnh ở ngày thứ 10.
Lời giải
Trả lời: 278
Từ giả thiết ta có
Vậy .
Số người mắc bệnh ở ngày thứ 10 là: .
Câu 24. Cây cà chua khi trồng có chiều cao 5 cm. Tốc độ tăng chiều cao của cây cà chua sau khi trồng được cho bởi hàm số , trong đó tính theo tuần, tính bằng centimét/tuần. Gọi là độ cao của cây cà chua ở tuần thứ . Vào thời điểm cây cà chua đó phát triển nhanh nhất thì cây cà chua cao bao nhiêu centimét?( làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Lời giải
Đáp số: .
Ta có: .
Cây cà chua khi trồng có chiều cao 5 cm nên , suy ra .
Do đó .
Ta chi cần tìm giá trị lớn nhất của với .
Ta có: , suy ra khi bằng 0 hoặc 10.
Ta thấy . Khi đó, đạt giá trị lớn nhất bằng trên đoạn .
Vậy chiều cao tối đa của cây cà chua đó là .
Câu 25. Cường độ dòng điện trong một dây dẫn tại thời điểm giây là:
với là điện lượng truyền trong dây dẫn tại thời điểm . Biết khi giây, điện lượng truyền trong dây dẫn là . Tính điện lượng truyền trong dây dẫn khi .
Lời giải
Đáp số: .
Ta có: .
Do nên
Như vậy .
Vậy .
Câu 26. Một xe ô tô sau khi chờ hết đèn đỏ đã bắt đầu chuyển động với vận tốc được biểu thị bằng đồ thị là đường cong parabol như hình bên dưới. Biết rằng sau phút thì xe đạt đến vận tốc cao nhất m/phút và bắt đầu giảm vận tốc, đi được phút thì xe chuyển động đều.
Hỏi quãng đường xe đã đi được trong khoảng 10 phút đầu tiên là bao nhiêu mét?
Lời giải
Trả lời: 8160
Dựa vào đồ thị ta có phương trình vận tốc của ô tô là với và với . Trong khoảng 6 phút đầu phương trình quãng đường là .
Tại thời điểm xe ô tô xuất phát ta có và suy ra nên phương trình quãng đường là .
Trong khoảng 6 phút đầu ô tô đi được quãng đường là và 4 phút tiếp theo ô tô đi được quãng đường là
Vậy quãng đường ô tô đi được trong 10 phút đầu là m.
Câu 27. Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc phụ thuộc vào thời gian có đồ thị vận tốc là một đường parabol có đỉnh và trục đối xứng vuông góc với trục hoành như hình vẽ. Tính quãng đường vật di chuyển được trong nửa thời gian sau của chuyển động đó (kết quả làm tròn đến hàng phần chục và tính theo đơn vị )
Lời giải
Đáp số:
Dựa vào đồ thị ta tìm được vận tốc .
Quãng đường vật di chuyển được trong thời gian 4h là một nguyên hàm của
Ta có .
Quãng đường vật di chuyển được trong 2h đầu là .
Quãng đường vật di chuyển được trong 4h là .
Quãng đường vật di chuyển được trong nửa thời gian sau của chuyển động là: .
Câu 28. Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi là thể tích nước bơm được sau giây. Cho và ban đầu bể không có nước. Sau giây thì thể tích nước trong bể là . Sau giây thì thể tích nước trong bể là . Hỏi thể tích nước trong bể là bao nhiêu m3 sau khi bơm được giây.
Lời giải
Trả lời: 8400
Ta có:
Chọn
Sau giây thì thể tích nước trong bể là :
Sau 10 giây thì thể tích nước trong bể là :
Ta có hệ:
Nên thể tích nước trong bể sau khi bơm được 20 giây là
Câu 29. Doanh thu bán hàng của một doanh nghiệp khi bán một loại sản phẩm là số tiền (triệu đồng) thu được khi đơn vị sản phẩm được bán ra. Tốc độ biến động (thay đổi) của doanh thu khi đơn vị sản phẩm đã được bán là hàm số . Đại diện của doanh nghiệp cho biết tốc độ biến đổi của doanh thu khi bán một loại sản phẩm được cho bởi , ở đó là số lượng sản phẩm đã bán. Tìm doanh thu của doanh nghiệp khi đã bán 2000 sản phẩm là bao nhiêu trăm triệu đồng?
Lời giải
Trả lời: 800
Doanh thu của doanh nghiệp là .
Vì nên . Vậy .
Doanh thu của doanh nghiệp khi bán 2000 sản phẩm là:
triệu đồng.
Câu 30. Trọng lượng của một bào thai người nặng khoảng 0,04 ounce (1 ounce = 28,3485 gram) sau 8 tuần tuổi. Trong suốt 35 tuần tiếp theo, trọng lượng của bào thai này được dự đoán tăng với tốc độ , với là cân nặng tính bằng ounce và là thời gian tính bằng tuần. Hãy tính trọng lượng của bao thai sau 25 tuần tuổi (Làm tròn kết quả đến chữ số hàng phần trăm).
Lời giải
Trả lời: 2,15
Theo giả thiết, trọng lượng của bào thai này được dự đoán tăng với tốc độ là hàm số , nên chính là nguyên hàm của :
Đặt
Sau 8 tuần tuổi thì bào thai cân nặng khoảng 0,04 ounce nên:
Do đó ta có hàm số cân nặng của bào thai là:
,
Cân nặng của bào thai sau 25 tuần tuổi là:
.
Câu 31. Tốc độ phát triển của số lượng vi khuẩn trong hồ bơi được mô hình bởi hàm số , , trong đó là số lượng vi khuẩn trên mỗi ml nước tại ngày thứ . Số lượng vi khuẩn ban đầu là 500 con trên mỗi ml nước. Biết rằng mức độ an toàn cho người sử dụng hồ bơi là số vi khuẩn phải dưới 3000 con trên mỗi ml nước. Hỏi sau bao nhiêu ngày thì người ta phải xử lí và thay nước mới cho hồ bơi.
Lời giải
Trả lời: 10
Theo giả thiết, số lượng vi khuẩn tăng với tốc độ là hàm số , nên chính là nguyên hàm của :
Số lượng vi khuẩn lúc ban đầu là 500 con trên mỗi ml nước nên:
Suy ra hàm số biểu thị cho số lượng vi khuẩn tại ngày thứ là:
Số lượng vi khuẩn dưới 3000 con trên mỗi ml nước thì người bơi vẫn an toàn, ta có:
Vậy vào ngày thứ 10 hồ bơi không còn an toàn, cần phải thay nước mới.
Câu 32. Một hồ bơi có dạng hình hộp chữ nhật có chiều cao đang không chứa nước. Người ta cần thay nước mới cho hồ bơi nên dùng máy bơm để bơm nước vào hồ, giả sử là chiều cao của mực nước đã được bơm vào tại thời điểm giờ. Biết rằng tốc độ tăng chiều cao của mực nước tại giờ thứ kể từ lúc bắt đầu bơm nước vào hồ là . Hỏi sau bao nhiêu giờ kể từ lúc bắt đầu bơm thì hồ đạt được độ sâu (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Lời giải
Trả lời : .
* .
* .
* .
Vậy sau khi bơm khoảng 6 giờ thì độ sâu của mực nước trong hồ là 2,1 (m).
Câu 33. Một xe ô tô đang chuyển động đều thì người lái xe nhìn thấy chướng ngại vật trên đường. Sau 1 giây thì người lái xe bắt đầu đạp phanh. Ô tô chuyển động chậm dần đều với gia tốc . Biết rằng kể từ lúc nhìn thấy chướng ngại vật cho đến khi dừng hẳn thì xe đi thêm được quãng đường 41,6 mét. Vận tốc của xe khi người lái xe bắt đầu phanh là bao nhiêu ?
Lời giải
Kết quả: 16
Gọi vận tốc của xe khi bắt đầu phanh là
Vận tốc tại thời điểm kể từ lúc bắt đầu phanh là: .
Vận tốc của vật tại thời điểm bắt đầu phanh xe là nên ta có
Quãng đường vật đi được tại thời điểm kể từ khi bắt đầu đạp phanh là .
Ta có .
Khi xe dừng hẳn ta có .
Quãng đường xe đi được từ khi bắt đầu đạp phanh đến khi dừng hẳn là .
Quãng đường người lái xe đi từ khi nhìn thấy chướng ngại vật đến khi đạp phanh là .
Theo bài ra ta có phương trình .
Giải phương trình ta được .
Vậy vận tốc khi người lái xe bắt đầu phanh là .
Câu 34. Nước bốc hơi từ một bát hình bán cầu có bán kính với tốc độ , trong đó là thời gian tính bằng giờ. Giả sử bán kính của bát là và ban đầu (lúc ) bát chứa đầy nước. Hỏi sau bao nhiêu giờ (làm tròn kết quả đến hàng phần chục) thì bát cạn nước?
Lời giải
Trả lời: 20,9
Vì bát có dạng là 1 nửa hình cầu với bán kính nên ta có thể tích của bát khi chứa đầy nước là
Theo định nghĩa nguyên hàm, ta có lượng nước trong bát là .
Biết tại thời điểm ban đầu thì bát đầy nước nên ta có .
Suy ra
Bát cạn nước khi giờ.
Câu 35. Một tấm ván gỗ chỉ được hỗ trợ ở hai đầu và , cách nhau 4 m. Tấm ván võng xuống dưới do trọng lượng của nó tạo thành một đường cong. Xét trên hệ trục như hình vẽ dưới, đơn vị mỗi trục là mét, đường cong trong hình vẽ có phương trình .
Khi đó với . Hỏi tấm ván bị võng xuống so với phương ngang một khoảng lớn nhất bao nhiêu cm (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Lời giải
Trả lời: 5,7
Khoảng võng xuống lớn nhất so với phương ngang của tấm ván là bằng với min. Do đó, ta cần đi tìm hàm . Và ta sẽ sử dụng các công thức để tìm được hàm . Thực hiện như sau:
Ta có
Tiếp đến, ta có
Dựa vào hình vẽ, ta có
Suy ra .
Xét hàm số trên đoạn
Ta có
Vậy tấm ván bị võng xuống so với phương ngang một khoảng lớn nhất là hay .
Câu 36. Tốc độ giải ngân 2 tỷ tiền trợ cấp dành cho một vùng A bị thiệt hại về Iũ lụt tỉ lệ thuận với bình phương của (), trong đó là thời gian tính bằng ngày và là số tiền còn lại chưa giải ngân. Hỏi số tiền còn lại chưa giải ngân sau 40 ngày là bao nhiêu triệu đồng, biết rằng toàn bộ số tiền sẽ được giải ngân trong 100 ngày.
Lời giải
Trả lời: 432
Vì tỉ lệ thuận với bình phương của , nên ta có
Theo công thức nguyên hàm, ta có
Từ giả thiết, ta có số tiền còn lại chưa giải ngân tại thời điểm là bằng 2000 triệu đồng .
Khi đó
Vì toàn bộ số tiền sẽ được giải ngân trong 100 ngày nên ta có
.
Suy ra
Vậy số tiền còn lại chưa giải ngân sau 40 ngày là (triệu đồng)
Câu 37. Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi là thể tích nước bơm được sau giây. Biết rằng và ban đầu bể không có nước. Sau 5 giây, thể tích nước trong bể là , sau 10 giây, thì thể tích trong bể là . Thể tích nước trong bể sau khi bơm được 20 giây bằng
Lời giải
Trả lời: 220
Ta có
Lúc đầu, bể không có nước, nên , suy ra , và
Sau 5 giây, thể tích nước trong bể là , nên ta có
Sau 10 giây, thể tích nước trong bể là , nên ta có
Xét hệ phương trình:
Thể tích của bể sau 20 giây là
Câu 38. Một bể ban đầu chứa đầy nước, bể có dạng hình trụ với chiều cao bằng 9 m và bán kính đáy bằng 2 m. Nước bắt đầu chảy ra từ một vòi nước ở đáy bể. Gọi là thể tích chất lỏng đã thoát ra tại thời điểm (phút) sau khi mở vòi thì . Biết sau 15 phút độ cao của mực nước trong bể bằng 4 m.
Sau 42 phút, thể tích chất lỏng còn lại trong bể là bao nhiêu lít (làm tròn kết quả đến đơn vị).
Lời giải
Theo đề bài, ta có:
Chiều cao bể
Bán kinh đáy bể
Thể tích ban đầu của bể:
Tốc độ thoát nước: .
Sau 15 phút, độ cao mực nước trong bể là 4 m.
là thể tích chất lỏng đã thoát ra tại thời điểm (phút) sau khi mở vòi.
Lấy nguyên hàm:
Biết tại thời điểm ban đầu bể đầy nước nên
. Vậy .
Sau 15 phút, độ cao mực nước trong bể là 4 m, vậy nước thoát ra là 5 m.
Thể tích nước còn lại sau 15 phút là:
Thể tích nước đã thoát ra sau 15 phút là:
Thay và vào công thức :
Tính :
Vậy thể tích chất lỏng còn lại trong bể là:
Đổi:
Kết quả: Sau 42 phút, thể tích chất lỏng còn lại trong bể là khoảng 503 lít.
Câu 39. Gọi là mức nước ở một bồn chứa sau khi bơm nước vào bồn được giây. Biết rằng và lúc đầu bồn không có nước. Sau 162 giây, mực nước của bồn là 27 cm. Biết bồn chứa nước cao , hỏi sau bao nhiêu giây bồn chứa nước sẽ đầy.
Lời giải
Trả lời: 2954
Theo bài ta có:
Tại:
Tại:
Ta đổi:
Đáp án:
Câu 40. Một bể nước hình hộp chữ nhật cao 1 m và có đáy là hình vuông cạnh 2 m. Ban đầu bể đầy nước. Người ta mở một cái vòi ở đáy, nước chảy ra với tốc độ tỷ lệ thuận với căn bậc hai của độ cao của nước tại bất kì thời điểm nào. Giả sử độ cao của nước trong bể tại thời điểm là và là thể tích của nước hiện tại sau phút mở vòi thì ta có . Biết rằng, mực nước giảm 19 cm sau 2 phút, hỏi sau bao nhiêu phút thì bể cạn nước.
Lời giải
Trả lời: 20
Vì bể nước có dạng hình hộp chữ nhật có chiều cao và có đáy luôn là hình vuông cạnh 2 m nên thể tích của hình hộp tại thời điểm là
Suy ra
Ta có

onthicaptoc.com 50 Bai toan thuc te NGUYEN HAM