CHUYÊN ĐỀ VECTƠ VÀ HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
BÀI 6. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
A. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ
1
Vectơ trong không gian

Định nghĩa: Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Độ dài của vectơ trong không gian là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.
Chú ý: Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, đối với vectơ trong không gian ta cũng có các kí hiệu và khái niệm sau:
Vectơ có điểm đầu là và điểm cuối là được kí hiệu là .
Khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của vectơ thì vectơ còn được kí hiệu là
Độ dài của vectơ được kí hiệu là , độ dài của vectơ được kí hiệu là
Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó (Hình 1).
Hình 1. Đường thẳng là giá của vectơ
Tương tự như trường hợp của vectơ trong mặt phẳng, ta có các khái niệm sau đối với vectơ trong không gian:
Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau.
Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng.
Hai vectơ và được gọi là bằng nhau, kí hiệu , nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.
Chú ý: Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, ta có tính chất và các quy ước sau đối với vectơ trong không gian:
Trong không gian, với mỗi điểm và vectơ cho trước, có duy nhất điểm sao cho
Các vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, ví dụ như gọi là các vectơ-không.
Ta quy ước vectơ không có độ dài là 0, cùng hướng (và vì vậy cùng phương) với mọi vectơ.
Do đó, các vectơ không đều bằng nhau và được kí hiệu chung là .
2
Tổng và hiệu của hai vectơ trong không gian
a) Tổng của hai vectơ trong không gianTrong không gian, cho hai vectơ và . Lấy một điểm tùy ý, vẽ , . Vectơ được gọi là tổng của hai vectơ và , kí hiệu . Vậy . Phép lấy tổng hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ.
Chú ý: Tương tự như phép cộng vectơ trong mặt phẳng, phép cộng vectơ trong không gian có các tình chất sau:
· Tính chất giao hoán: .
· Tính chất kết hợp: .
· Tính chất của vectơ-không: .
Đối với vectơ trong không gian, ta có các quy tắc sau:
· Quy tắc ba điểm: Với ba điểm ta luôn có:
.
· Quy tắc hình bình hành: Nếu là hình bình hành, ta có: .
· Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp , ta có:
b. Hiệu của hai vectơ
Trong không gian, cho hai vectơ và . Hiệu của vectơ và vectơ là tổng vectơ và vectơ đối của vectơ , kí hiệu .
Phép lấy hiệu hai vectơ còn được gọi là phép trừ vectơ.
Chú ý: Trong không gian, với ba điểm tùy ý, ta luôn có: .
3. Tích của một số với một vectơ trong không gian
a. Định nghĩa:
Cho số và một vectơ . Tích của vectơ với số là một vectơ, kí hiệu .
Vectơ cùng hướng với nếu , ngược hướng với nếu và có độ dài bằng .
Phép lấy tích của một số với một vectơ gọi là phép nhân một số với một vectơ.
Quy ước: và .
b.Tính chất:
Với hai vectơ , bất kỳ, với mọi số thực và , ta có:
·
·
·
· , .
Chú ý:
· Hai vectơ và ( khác ) cùng phương khi và chỉ khi có số sao cho .
· Ba điểm phân biệt thẳng hàng khi và chỉ khi có số khác 0 sao cho .
· Hệ thức trung điểm đoạn thẳng: Nếu là trung điểm của đoạn thẳng , tuỳ ý, ta có:
.
· Hệ thức trọng tâm tam giác: Nếu là trọng tâm của tam giác , tuỳ ý, ta có:
· Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho là trọng tâm của tứ diện , tuỳ ý. Ta có:
4. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian
a. Góc giữa hai vectơ
Trong không gian, cho hai vectơ và đều khác vectơ Từ một điểm bất kì ta vẽ và . Góc cho hai vectơ và trong không gian, kí hiệu , là góc giữa hai vectơ .
Chú ý:
·
· Nếu thì ta nói rằng và vuông góc với nhau, kí hiệu là .
· Góc giữa hai vectơ cùng hướng và khác luôn bằng .
· Góc giữa hai vectơ ngược hướng và khác luôn bằng .
b. Tích vô hướng của hai vectơ
Trong không gian, cho hai vectơ và đều khác vectơ Tích vô hướng của hai vectơ và là một số thực, kí hiệu , được xác định bởi công thức sau:
Chú ý:
· Trường hợp có ít nhất một trong hai vectơ  và bằng , ta quy ước .
· Với hai vectơ  và đều khác vectơ , ta có .
· Khi  thì tích vô hướng  được kí hiệu là  và được gọi là bình phương vô hướng của vectơ .
Ta có . Vậy bình phương vô hướng của một vectơ luôn bằng bình phương độ dài của vectơ đó.
· Tính chất của tích vô hướng: Với ba vectơ bất kì và mọi số , ta có:
+ (tính chất giao hoán)
+ (tính chất phân phối)
+
Nhận xét: Từ các tính chất của tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra:



DẠNG 1
VECTƠ, CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1. Cho hình tứ diện . Có bao nhiêu vectơ có điểm đầu A và điểm cuối là các đỉnh còn lại của hình tứ diện ?
A. 1. B. 3. C. 2. D. 4.
Câu 2. . Cho hình hộp. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. . B. . C. . D. .
Câu 3. Cho hình hộp . Vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp và cùng phương véctơ là véctơ nào sau đây?

A. . B. . C. . D. .
Câu 4. Trong không gian, cho ba điểm A, B, C phân biệt. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 5. Trong không gian, cho ba điểm A, B, C phân biệt. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 6. Trong không gian, cho hình bình hành ABCD có tâm O. Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. . B. . C. . D. .
Câu 7. Cho hình tứ diện có trọng tâm . Mệnh đề nào sau đây sai.
A. . B. .
C. . D. .
Câu 8. Cho tứ diện. Gọi là trung điểm của và . Chọn khẳng định đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 9. Trong không gian cho điểm và bốn điểm không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để tạo thành hình bình hành là:
A. . B. .
C. . D. .
Câu 10. Trong không gian cho điểm và bốn điểm , , , không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để , , , tạo thành hình bình hành là
A. . B. .
C. . D. .
Câu 11. Cho tứ diện. Gọi lần lượt là trung điểm của và là trung điểm của. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. B.
C. D. .
Câu 12. Cho tứ diện . Gọi lần lượt là trung điểm của và , là trung điểm của .
Cho các đẵng thức sau, đẳng thức nào đúng?
A. B.
C. D.
Câu 13. Cho hình hộp . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 14. Cho hình hộp với tâm . Hãy chỉ ra đẳng thức sai trong các đẳng thức sau đây:
A. B.
C. D. .
Câu 15. Cho hình hộp . Chọn đẳng thức sai?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 16. Cho hình lăng trụ tam giác . Đặt trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
A. . B. . C. . D. .
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý A), B), C), D) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 17. Cho hình hộp .
A.
B.
C. .
D. .
Câu 18. Cho hình hộp
A.
B.
C. .
D. .
Câu 19. Hãy nhận xét tính đúng hoặc sai của các mệnh đề sau đây:
A. Tứ giác là hình bình hành nếu .
B. Tứ giác là hình bình hành nếu .
C. Cho hình chóp . Nếu có thì tứ giác là hình bình hành.
D. Tứ giác là hình bình hành nếu.
Câu 20. Trong mặt phẳng cho tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại .
A. Nếu là hình bình hành thì .
B. Nếu là hình thang thì
C. Nếu thì là hình bình hành.
D. Nếu thì là hình thang.
Câu 21. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Đặt ; ; ; .
A. .
B. .
C. .
D. .
Câu 22. Cho hình chóp . Gọi là giao điểm của và .
A. Nếu thì là hình thang.
B. Nếu là hình bình hành thì .
C. Nếu là hình thang thì .
D. Nếu thì là hình bình hành.
Câu 23. Cho hình chóp
A. Nếu là hình bình hành thì .
B. Nếu thì là hình bình hành.
C. Nếu là hình thang thì .
D. Nếu thì là hình thang.
Câu 24. Cho hình hộp với tâm .
A. .
B. .
C. .
D. .
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ trả lời đáp án.
Câu 25. Cho tứ diện. Gọi và lần lượt là trung điểm của và. Tìm giá trị của thích hợp điền vào đẳng thức vectơ:
Câu 26. Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh và của tứ diện . Gọi là trung điểm đoạn và là 1 điểm bất kỳ trong không gian. Tìm giá trị của thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: .
DẠNG 2
PHÂN TÍCH MỘT VECTƠ THEO CÁC VECTƠ
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 27. Cho tứ diện . Đặt gọi là trọng tâm của tam giác. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
A. . B. . C. . D. .
Câu 28. Cho tứ diện . Đặt gọi là trung điểm của Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. B.
C. . D.
Câu 29. Cho tứ diện . Gọi và lần lượt là trung điểm của và . Đặt ,,. Khẳng định nào sau đây đúng.
A. . B. .
C. . D. .
Câu 30. Cho hình lập phương . Gọi là tâm của hình lập phương. Chọn đẳng thức đúng?
A. B.
C. D. .
Câu 31. Cho lăng trụ tam giác có . Hãy phân tích (biểu thị) vectơ qua các vectơ .
A. B. C. D. .
Câu 32. Cho lăng trụ tam giác có . Hãy phân tích (biểu thị) vectơ qua các vectơ .
A. B. C. D.
PHẦN II. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ trả lời đáp án.
Câu 33. Cho tứ diện và là trọng tâm tam giác . Phân tích vectơ theo ba vectơ .
Câu 34. Cho tứ diện có là trọng tâm tam giác . Đặt ; ; . Phân tích vectơ theo ba vectơ .
Câu 35. Cho hình lăng trụ , là trung điểm của . Đặt , , . Phân tích vectơ theo ba vectơ .
DẠNG 3: BÀI TOÁN THỰC TIỄN ỨNG DỤNG VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ trả lời đáp án.
Câu 36. Một tấm sắt tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không giãn xuất phát từ điểm trên trần nhà và lần lượt buộc vào ba điểm trên tấm sắt tròn sao cho các lực căng lần lượt trên mỗi dây đôi một vuông góc với nhau và có độ lớn bằng nhau . Biết trọng lượng của tấm sắt tròn đó bằng (xem hình vẽ).
Tính lực căng của dây treo tấm sắt tròn đó.
ĐÁP ÁN CHỦ ĐỀ 1
DẠNG 1
CÁC PHÉP VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 7.Cho hình tứ diện có trọng tâm . Mệnh đề nào sau đây sai.
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn A.
Theo giả thuyết trên thì với là một điểm bất kỳ ta luôn có: .
Ta thay điểm bởi điểm thì ta có:
Do vậy là sai.
Câu 8.Cho tứ diện. Gọi là trung điểm của và . Chọn khẳng định đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
Ta có : và
nên . Vậy
Câu 9.Trong không gian cho điểm và bốn điểm không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để tạo thành hình bình hành là:
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn C.
Câu 10.Trong không gian cho điểm và bốn điểm , , , không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để , , , tạo thành hình bình hành là
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
Trước hết, điều kiện cần và đủ để là hình bình hành là:
.
Với mọi điểm bất kì khác , , , , ta có:
.
Câu 11.Cho tứ diện. Gọi lần lượt là trung điểm của và là trung điểm của. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. B.
C. D. .
Lời giải
Chọn B.
lần lượt là trung điểm của theo quy tắc trung điểm :
Suy ra: hay .
Câu 12.Cho tứ diện . Gọi lần lượt là trung điểm của và , là trung điểm của .
Cho các đẵng thức sau, đẳng thức nào đúng?
A. B.
C. D.
Lời giải
Chọn A.
.
Câu 13.Cho hình hộp . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn A.
+ Gọi là tâm của hình hộp .
+ Vận dụng công thức trung điểm để kiểm tra.
Câu 14.Cho hình hộp với tâm . Hãy chỉ ra đẳng thức sai trong các đẳng thức sau đây:
A. B.
C. D. .
Lời giải
Chọn B.
Ta có :(vô lí)
Câu 15.Cho hình hộp . Chọn đẳng thức sai?
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn D.
Ta có : nên D sai.
Do và nên . A đúng
Do nên
nên B đúng.
Do nên C đúng.
Câu 16.Cho hình lăng trụ tam giác . Đặt trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C.
+ Dễ thấy: .
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý A), B), C), D) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 17.Cho hình hộp .
A.
B.
C. .
D. .
Lời giải
A. ĐÚNG
B. ĐÚNG
C. . ĐÚNG
D. . ĐÚNG
Ta có:
,


Câu 18.Cho hình hộp
A.
B.
C. .
D. .
Lời giải
A. ĐÚNG
B. ĐÚNG
C. . ĐÚNG
D. SAI
Câu 19.Hãy nhận xét tính đúng hoặc sai của các mệnh đề sau đây:
A. Tứ giác là hình bình hành nếu .
B. Tứ giác là hình bình hành nếu .
C. Cho hình chóp . Nếu có thì tứ giác là hình bình hành.
D. Tứ giác là hình bình hành nếu.
Lời giải
A. Tứ giác là hình bình hành nếu SAI
B. Tứ giác là hình bình hành nếu . SAI
C. Cho hình chóp . Nếu có thì tứ giác là hình bình hành. ĐÚNG
D. Tứ giác là hình bình hành nếu. SAI
là hình bình hành
Câu 20.Trong mặt phẳng cho tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại .
A. Nếu là hình bình hành thì .
B. Nếu là hình thang thì
C. Nếu thì là hình bình hành.
D. Nếu thì là hình thang.
Lời giải
A. Nếu là hình bình hành thì . SAI
B. Nếu là hình thang thì ĐÚNG
C. Nếu thì là hình bình hành. SAI
D. Nếu thì là hình thang. SAI
Câu 21.Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Đặt ; ; ; .
A. .
B. .
C. .
D. .
Lời giải
A. . ĐÚNG
B. . SAI
C. . SAI
D. . SAI
Gọi là tâm của hình bình hành . Ta phân tích như sau:
(do tính chất của đường trung tuyến)
.
Câu 22.Cho hình chóp . Gọi là giao điểm của và .
A. Nếu thì là hình thang.
B. Nếu là hình bình hành thì .
C. Nếu là hình thang thì .
D. Nếu thì là hình bình hành.
Lời giải
A. Nếu thì là hình thang. ĐÚNG
B. Nếu là hình bình hành thì . ĐÚNG
C. Nếu là hình thang thì . SAI
D. Nếu thì là hình bình hành. ĐÚNG
A. Đúng vì .
Vì và thẳng hàng nên đặt
.
Mà không cùng phương nên và
B. Đúng. Hs tự biến đổi bằng cách chiêm điểm vào vế trái.
C. Sai. Vì nếu là hình thang cân có 2 đáy là thì sẽ sai.
D. Đúng. Tương tự đáp án A với là trung điểm 2 đường chéo.
Câu 23.Cho hình chóp
A. Nếu là hình bình hành thì .
B. Nếu thì là hình bình hành.
C. Nếu là hình thang thì .
D. Nếu thì là hình thang.
Lời giải
A. Nếu là hình bình hành thì . ĐÚNG
B. Nếu thì là hình bình hành. ĐÚNG
C. Nếu là hình thang thì . SAI
D. Nếu thì là hình thang. ĐÚNG
Đáp án C sai do nếu là hình thang có 2 đáy lần lượt là và thì ta có
Câu 24.Cho hình hộp với tâm .
A. .
B. .
C. .
D. .
Lời giải
A. . SAI
B. . ĐÚNG
C. . ĐÚNG
D. . ĐÚNG
Ta có mà nên sai.
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ trả lời đáp án.
Câu 25.Cho tứ diện. Gọi và lần lượt là trung điểm của và. Tìm giá trị của thích hợp điền vào đẳng thức vectơ:
Lời giải
Đáp án:
(quy tắc trung điểm)
Mà (vì là trung điểm ) .
Vậy
Câu 26.Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh và của tứ diện . Gọi là trung điểm đoạn và là 1 điểm bất kỳ trong không gian. Tìm giá trị của thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: .
Lời giải
Đáp án: .
Ta có ,
nên . Vậy
DẠNG 2
PHÂN TÍCH MỘT VECTƠ THEO CÁC VECTƠ
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 27.Cho tứ diện . Đặt gọi là trọng tâm của tam giác. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C.
Gọi là trung điểm .
Câu 28.Cho tứ diện . Đặt gọi là trung điểm của Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. B.
C. . D.
Lời giải
Chọn A.
Ta có:
Câu 29.Cho tứ diện . Gọi và lần lượt là trung điểm của và . Đặt ,,. Khẳng định nào sau đây đúng.
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn D.
Ta có .
Câu 30.Cho hình lập phương . Gọi là tâm của hình lập phương. Chọn đẳng thức đúng?
A. B.
C. D. .
Lời giải
Chọn B.
Theo quy tắc hình hộp:
Mà nên .
Câu 31.Cho lăng trụ tam giác có . Hãy phân tích (biểu thị) vectơ qua các vectơ .
A. B. C. D. .
Lời giải
Chọn D.
Ta có: .
Câu 32.Cho lăng trụ tam giác có . Hãy phân tích (biểu thị) vectơ qua các vectơ .
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D.
Theo quy tắc hình bình hành ta có:
PHẦN II. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ trả lời đáp án.
Câu 33.Cho tứ diện và là trọng tâm tam giác . Phân tích vectơ theo ba vectơ .
Lời giải
Đáp án: .
Vì là trọng tâm tam giác nên .
Câu 34.Cho tứ diện có là trọng tâm tam giác . Đặt ; ; . Phân tích vectơ theo ba vectơ .
Lời giải
Đáp án: .
Gọi là trung điểm .
Ta phân tích:
.
Câu 35.Cho hình lăng trụ , là trung điểm của . Đặt , , . Phân tích vectơ theo ba vectơ .
Lời giải
Đáp án: .
Ta phân tích như sau:
.
Dạng 3.
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ trả lời đáp án.
Câu 36.Một tấm sắt tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không giãn xuất phát từ điểm trên trần nhà và lần lượt buộc vào ba điểm trên tấm sắt tròn sao cho các lực căng lần lượt trên mỗi dây đôi một vuông góc với nhau và có độ lớn bằng nhau . Biết trọng lượng của tấm sắt tròn đó bằng (xem hình vẽ).

onthicaptoc.com 5. Chuyen de VECTO VA HTTD TRONG KG