BÀI TOÁN THỰC TẾ TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VEC TƠ TRONG KHÔNG GIAN
Câu 1. Hệ thống định vị toàn cầu GPS là một hệ thống cho phép xác định vị trí của một vật thể trong không gian. Trong cùng một thời điểm, vị trí của một điểm M trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước nhờ các bộ thu phát tín hiệu đặt trên các vệ tinh. Giả sử trong không gian với hệ tọa độ , có bốn vệ tinh lần lượt đặt tại các điểm , , , ; vị trí thỏa mãn , , , . Khoảng cách từ điểm đến điểm bằng bao nhiêu?
Câu 2. Với hệ trục tọa độ sao cho nằm trên mặt nước, mặt phẳng là mặt nước, trục hướng lên trên (đơn vị đo: mét), một con chim bói cá đang ở vị trí cách mặt nước , cách mặt phẳng , lần lượt là và phóng thẳng xuống vị trí con cá cách mặt nước , cách mặt phẳng , lần lượt là và . Tọa độ điểm lúc chim bói cá vừa tiếp xúc với mặt nước là . Tính .
Câu 3. Hình sau đây minh họa sơ đồ một ngôi nhà trong hệ trục tọa độ , trong đó nền nhà, bốn bức tường và hai mái nhà đều là hình chữ nhật. Biết . Giá trị của tổng bằng bao nhiêu?
Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là ), một cabin cáp treo xuất phát từ điểm và chuyển động đều theo đường cáp thẳng đến vị trí cách . Biết đường đi của cabin cùng phương với vectơ và sau 3 phút kể từ khi xuất phát thì cabin đến vị trí có hoành độ . Hỏi thời gian di chuyển của cabin trên quãng đường là bao nhiêu phút?
Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ (đơn vị đo lấy theo ), một Radar phát hiện một chiếc máy bay di chuyển với tốc độ và hướng không đổi từ điểm đến điểm trong 10 phút.
Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên tốc độ và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo là . Khi đó bằng bao nhiêu?
Câu 6. Hai chiếc kinh khí cầu A và B bay lên từ cùng một vị trí O trên mặt đất. Sau một khoảng thời gian, kinh khí cầu A nằm cách điểm xuất phát về phía Đông và về phía Nam, đồng thời cách mặt đất ; kinh khí cầu B nằm cách điểm xuất phát về phía Bắc và về phía Tây, đồng thời cách mặt đất (hình minh họa bên dưới). Cùng thời điểm đó, một người đứng trên mặt đất và nhìn thấy hai kinh khí cầu nói trên. Biết rằng, so với các vị trí quan sát khác trên mặt đất, vị trí người đó đứng có tổng khoảng cách đến hai kinh khí cầu là nhỏ nhất. Hỏi tổng khoảng cách nhỏ nhất ấy bằng bao nhiêu kilômét? (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Câu 7. Hình bên dưới minh họa sơ đồ một ngôi nhà trong không gian , trong đó nền nhà, bốn bức tường và hai mái nhà đều là hình chữ nhật. Tính số đo góc dốc của mái nhà, tức là số đo của góc nhị diện có cạnh là đường thẳng , hai mặt và .
Câu 8. Một bể cá đầy nước có dạng hình hộp chữ nhật với (dm), (dm) và cạnh bên bằng (dm). Một chú cá con bơi theo những đoạn thẳng từ điểm đến chạm mặt đáy của hồ, rồi từ điểm đó bơi đến vị trí điểm là trung điểm của được mô hình hóa như hình vẽ sau:
Để đường đi ngắn nhất thì chú cá bơi đến điểm dưới đáy hồ cách và những đoạn bằng và Khi đó tổng bao nhiêu ?
Câu 9. Một chiếc xe đang kéo căng sợi dây cáp trong công trường xây dựng, trên đó đã thiết lập hệ toạ độ như hình vẽ dưới với độ dài đơn vị trên các trục tọa độ bằng . Biết . Tính (làm tròn đến hàng phần mười).

Câu 10. Ở trên biển, hai con tàu và đang ở cùng một vĩ tuyến và cách nhau hải lý. Cả hai tàu đồng thời cùng khởi hành. Tàu chạy về hướng Nam với vận tốc hải lý/giờ, còn tàu chạy về vị trí hiện tại của tàu với vận tốc hải lý/giờ. Hỏi sau bao nhiêu giờ thì khoảng cách giữa hai tàu là ngắn nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là ), một cabin cáp treo xuất phát từ điểm và chuyển động đều theo đường cáp thẳng đến vị trí cách điểm một khoảng . Biết đường đi của cabin cùng phương với vectơ và sau 3 phút kể từ khi xuất phát thì cabin đi đến vị trí có hoành độ . Hỏi thời gian di chuyển của cabin trên quãng đường là bao nhiêu giây?
Câu 12. Để chuẩn bị cho một buổi triển lãm quốc tế, các trang sức có giá trị lớn được đặt bảo mật trong các khối chóp tứ giác đều và đặt lên phía trên một trụ hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông (như hình vẽ). Chọn hệ trục tọa độ (đơn vị trên mỗi trục là mét) sao cho , . Biết rằng, ban tổ chức sự kiện dự định dùng các tấm kính cường lực hình tam giác cân có cạnh bên là 60 cm để lắp ráp thành khối chóp nói trên. Khi đó, tọa độ điểm là . Tính giá trị của (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)
Câu 13. Hai chiếc flycam được điều khiển cùng bay lên tại một địa điểm. Sau một thời gian bay, chiếc flycam thứ nhất bay đến vị trí điểm cách mặt đất , cách điểm xuất phát về phía nam và về phía đông. Chiếc flycam thứ hai bay đến điểm cách mặt đất , cách điểm xuất phát về phía bắc và về phía tây. Chọn hệ trục tọa độ với gốc đặt tại điểm xuất phát của hai chiếc flycam, mặt phẳng trùng với mặt đất (coi như phẳng) có trục hướng về phía nam, trục hướng về phía đông và trục hướng thẳng đứng lên trời (đơn vị đo mỗi trục là mét). Trên mặt đất, người ta xác định được một vị trí sao cho tổng khoảng cách từ vị trí đó đến hai chiếc flycam ngắn nhất.
Hỏi khoảng cách từ điểm xuất phát đến vị trí đó bằng bao nhiêu mét?
Câu 14. Một ngôi nhà gồm hai phần. Phần thân nhà dạng hình hộp chữ nhật có chiều dài , chiều rộng , chiều cao. Phần mái nhà dạng hình chóp có các cạnh bên bằng nhau và tạo với mặt đáy góc với . Chọn hệ trục toạ độ sao cho thuộc tia thuộc tia thuộc tia (như hình vẽ). Biết (đơn vị của là centimet). Tính giá trị của biểu thức
Câu 15. Một toà nhà được thiết kế để làm 2 phòng dạy học có trang bị máy chiếu. Mái nhà là dạng mái vát như hình vẽ. Chiều dài của mỗi phòng học là và chiều rộng là , chiều cao các bức tường và . Từ vị trí cách một khoảng 10 m, người ta xây các bậc thang cao dần về phía cuối của phòng học để đặt các dãy bàn ghế học sinh trên các bậc thang đó. Chiều rộng mỗi bậc thang là 2 m và chiều cao mỗi bậc thang là 20 cm.
Chủ toà nhà muốn lắp giá treo máy chiếu tại vị trí là giao của và như hình vẽ, vuông góc với mặt sàn sao cho không vướng vào đầu học sinh khi học sinh đó đứng tại bậc thang ngay dưới máy chiếu ( chiều cao học sinh đó là 1,8 m) và cũng không che khuất tầm nhìn của học sinh ngồi ở hàng ghế sau cùng, tại vị trí trung điểm , theo phương vuông góc bức tường (chiều cao mắt học sinh so với bậc thang tại đó là 1,2m). Hỏi tổng độ dài thanh treo máy chiếu và cả thân máy chiếu lớn nhất là bao nhiêu mét? Kết quả làm tròn đến hàng phần mười.
Câu 16. Trong không gian chọn hệ trục toạ độ cho trước, đơn vị đo là kilômet, một rada phát hiện một máy bay chiến đấu di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm đến điểm trong 20 phút. Nếu đến máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì toạ độ của máy bay trong 10 phút tiếp theo là . Biết một khẩu pháo ở toạ độ vị trí điểm được bắn ra với vận tốc không đổi gấp 5 lần vận tốc máy bay nhằm bắn trúng máy bay tại vị trí . Sau bao nhiêu phút khi máy bay bay từ thì người điều khiển pháo phải bắn.
Câu 17. Người ta thường dùng cẩu trục tháp (như hình vẽ) để vận chuyển vật liệu xây dựng; thân tháp vuông góc với mặt đất, cần nâng vuông góc thân tháp dùng để làm điểm tựa nâng vật liệu, trên cần nâng có bộ phận gọi là xe con, có thể chạy dọc cần nâng nhằm di chuyển vật liệu. Ban đầu vật liệu ở mặt đất, cẩu trục dùng móc cẩu nâng vật liệu lên cao theo phương thẳng đứng và cao hơn so với vị trí cần đặt, sau đó giữ nguyên độ cao và cẩu trục quay cần nâng một góc sao cho quỹ đạo tạo thành một cung tròn cho đến khi mặt phẳng chứa cần nâng và điểm cần đặt vuông góc với mặt đất (vật liệu và điểm cần đặt cùng nằm trên một nửa mặt phẳng so với thân tháp). Tiếp đến điều chỉnh xe con nhằm di chuyển và hạ vật liệu xuống theo phương thẳng đứng đúng vị trí cần đặt. Giả sử rằng trong không gian với hệ trục tọa độ , thân tháp là trục và mặt đất là mặt phẳng (đơn vị tính bằng mét); vị trí ban đầu của vật liệu là điểm và vị trí cần đặt vật liệu là điểm . Tính quãng đường vật liệu đã di chuyển (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
Câu 18. Người ta cần lắp một camera phía trên sân bóng để phát sóng truyền hình một trận bóng đá, camera có thể di động để luôn thu được hình ảnh rõ nét về diễn biến trên sân. Các kĩ sư dự định trồng bốn chiếc cột cao và sử dụng hệ thống cáp gắn vào bốn đầu cột để giữ camera ở vị trí mong muốn. Mô hình thiết kế được xây dựng như sau: Trong hệ trục toạ độ (đơn vị độ dài trên mỗi trục là 1 m), các đỉnh của bốn chiếc cột lần lượt là các điểm (Hình vẽ). Giả sử là vị trí ban đầu của camera có cao độ bằng 25 và . Để theo dõi quả bóng đến vị trí , camera được hạ thấp theo phương thẳng đứng xuống điểm có cao độ bằng 19. (Nguồn: https:/mww.abiturloesumg.de; Abitur Bayern 2016 Geometrie V).
Tọa độ véctơ với là các số thực. Tính ?
Câu 19. Trong không gian với một hệ trục toạ độ cho trước ( đơn vị đo lấy theo kilomet), ra đa phát hiện một chiếc máy bay di chuyển với tốc độ và hướng không đổi từ điểm đến điểm trong 10 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên tốc độ và hướng bay thì toạ độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là điểm . Tính
Câu 20. Trượt nước là một trò chơi vận động được nhiều người yêu thích trong các công viên nước. Một cái máng trượt nước có thiết kế dạng cung tròn với hai đầu mút là và . Chọn hệ trục tọa độ với gốc đặt tại hình chiếu của trên mặt đất, mặt phẳng trùng với mặt đất và trục hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo mét (tham khảo hình vẽ dưới đây). Biết các điểm và một điểm nằm trên máng trượt lần lượt có tọa độ là và . Độ dài máng trượt nước đó bằng bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét)?
Câu 21. Trạm kiểm soát không lưu đang theo dõi hai máy bay. Giả sử trong không gian với hệ trục tọa độ , đơn vị đo lấy theo kilomet, tại cùng một thời điểm theo dõi ban đầu: máy bay thứ nhất ở tọa độ , bay theo hướng vectơ với tốc độ không đổi và máy bay thứ hai ở tọa độ , bay theo hướng vectơ với tốc độ không đổi . Biết rằng khoảng cách an toàn tối thiểu giữa hai máy bay là 5 hải lý (khoảng 9,3 km). Nếu hai máy bay tiếp tục duy trì hướng và tốc độ bay như trên thì sau ít nhất bao nhiêu phút (kể từ thời điểm theo dõi ban đầu), hai máy bay vi phạm khoảng cách an toàn (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
Câu 22. Trong không gian với hệ truc tọa độ , một tấm bảng đồng chất có dạng hình vuông tâm được treo nghiêng bởi 4 sợi dây gắn cố định tại điểm như hình vẽ. Biết điểm , điểm với và góc đạt giá trị lớn nhất. Gọi lần lượt là lực căng của dây , biết và .
Tính khối lượng của tấm bảng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) ( cho gia tốc trọng trường ) và trọng lượng của tấm bảng được tính bằng công thức ).
Câu 23. Trên phần mềm mô phỏng việc điều khiển drone giao hàng trong không gian . Một đội gồm ba drone giao hàng ; ; đang có tọa độ là ; ; . Gọi ; ; lần lượt là khoảng cách giữa mỗi cặp drone giao hàng trên. Tính (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
Câu 24. Xét Trái Đất trong không gian với là tâm Trái Đất, tia chứa giao điểm của kinh tuyến gốc và xích đạo, tia chứa điểm cực bắc tia giao xích đạo tại điểm thuộc bán cầu Đông, một đơn vị dài trong không gian tương ứng với km trong thực tế. Biết rằng nếu điểm có vĩ độ, kinh độ tương ứng là thì điểm có tọa độ là
Tính khoảng cách giữa hai vị trí trên bề mặt Trái Đất là cầu Hiền Lương (cũ) (Quảng Trị) có vĩ
độ, kinh độ tương ứng là và Dinh Độc Lập (TP Hồ Chí Minh) có vĩ độ, kinh độ tương ứng là (đơn vị: km, làm tròn kết quả đến hàng chục)
Câu 25. Thiên thạch với kích thước chỉ cm đến cm đến từ vùng không gian giữa các hành tinh, khi xuyên vào khí quyển Trái Đất ở độ cao km so với mực nước biển, tạo ra vùng không khí bốc cháy quanh nó rộng vài trăm mét gây nên hiện tượng sao băng. Xem Trái Đất là khối cầu có bán kính km. Chọn hệ trục tọa độ trong không gian có gốc tại tâm Trái Đất và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là km. Một thiên thạch (coi như một hạt) được phát hiện ở vị trí điểm và đang chuyển động thẳng với tốc độ không đổi km/phút đến tâm Trái Đất. Xác định thời điểm (đơn vị phút) thiên thạch bị bốc cháy kể từ lúc phát hiện (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Câu 26. Trên phần mềm mô phỏng việc điều khiển drone giao hàng trong không gian (đơn vị mét). Một đội gồm 4 drone giao hàng A, B, C, D xếp đội hình bay có dạng tam giác A; B; C và D nằm trên cạnh BC sao cho (Hình vẽ bên dưới).
Tại thời điểm các drone có tọa độ là , . Khoảng cách giữa drone A và drone D bằng bao nhiêu mét (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?
Câu 27. Một chiếc máy bay không người lái bay lên tại một điểm. Sau một thời gian bay, chiếc máy bay cách điểm xuất phát về phía Bắc và về phía Tây , đồng thời cách mặt đất . Khi đó, khoảng cách của chiếc máy bay với vị trí tại điểm xuất phát bằng bao nhiêu kilômét? ( kết quả làm tròn một chữ số thập phân)
Câu 28. Cơn bão Yagi gây thiệt hại nghiêm trọng về người và tài sản cho nước ta, trong đó nặng nề nhất là tại thôn Làng Nủ, xã Phúc Khánh, huyện Bảo Yên, tỉnh Lào Cai, lũ quét và sạt lở đất đã vùi lấp 40 ngôi nhà. Cả nước đã chung tay ủng hộ và xây dựng lại nhà sàn cho người dân Làng Nủ theo thiết kế như hình vẽ dưới đây.
Giả sử áp dụng hệ trục tọa độ như hình vẽ (đơn vị trên các trục là mét). Xét một bên của mái nhà gồm có một hình chữ nhật và một hình thang với các điểm ; ; và điểm là trung điểm .
Biết góc giữa hai vectơ và bằng . Tìm (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Câu 29. Có hai trạm thu phát sóng tín hiệu mặt đất đặt ở hai điểm O, A và vệ tinh thu phát tín hiệu tại ở vị trí M, biết vệ tinh di chuyển luôn cách mặt đất 35000km. Tín hiệu tại O phát lên vệ tinh M rồi tuyền đến trạm thu tại#A. Xét hệ trục Oxyz được chọn thỏa, ( đơn vị tọa độ là ngàn km). Biết vận tốc trung bình truyền tín hiệu giữa vệ tinh với trạm thu phát khoảng 270000km/s. Một tín hiệu phát từ O đến M, rồi truyền về A mất ít nhất bao nhiêu giây ( làm tròn đến hàng phần trăm).
Câu 30. Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm. Sau một thời gian chiếc thứ nhất cách điểm xuất phát 300 m về phía Nam và 100 m về phía Đông, đồng thời cách mặt đất 100 m. Chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát 200 m về phía Bắc và 100 m về phía Tây, đồng thời cách mặt đất 50 m. Cùng thời điểm đó, một người đứng trên mặt đất quan sát thấy hai chiếc khinh khí cầu nói trên. Biết rằng, so với các vị trí quan sát trên mặt đất, vị trí người đứng có tổng khoảng cách đến hai chiếc khinh khí cầu là nhỏ nhất. Tính khoảng cách từ vị trí người quan sát đến địa điểm xuất phát của hai chiếc khinh khí cầu (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Câu 31. Từ mặt nước trong một bể nước, tại ba vị trí đôi một cách nhau m, người ta lần lượt thả dây dọi để quả dọi chạm đáy bể. Phần dây dọi (thẳng) nằm trong nước tại ba vị trí đó lần lượt có độ dài là m, m, m. Biết đáy bể là phẳng. Hỏi đáy bể so với mặt phẳng nằm ngang một góc bao nhiêu độ? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
Câu 32. Một phần sân trường được định vị bởi các điểm như hình vẽ.
Bước đầu chúng ta lấy thăng bằng để có cùng độ cao, biết là hình thang vuông ở và với độ dài Do yêu cầu kỹ thuật khi lát phẳng phần sân trường phải thoát nước về góc sân ở nên người ta lấy độ cao ở các điểm xuống thấp hơn so với độ cao ở là tương ứng sao cho điểm đồng phẳng. Tìm
Câu 33. Để xác định vị trí của máy bay khi đang bay, người ta gắn một hệ trục tọa độ với gốc tọa độ đặt tại một sân bay để xác định tọa độ của sân bay. Biết rằng cao độ của tọa độ máy bay chính là độ cao của máy bay đối với mặt đất. Đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là m. Một máy bay đang bay với quỹ đạo là một đường thẳng trong không gian với vận tốc bay không đổi. Tại một thời điểm nào đó, máy bay đang ở vị trí có tọa độ . Sau giây, độ cao của máy bay so với mặt đất giảm m. Hỏi sau giây nữa, khoảng cách từ sân bay tới máy bay là bao nhiêu km, biết rằng trong suốt quá trình bay này, máy bay có đi qua điểm có tọa độ ?
Câu 34. Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị đo lấy kilômét, ra đa phát hiện một máy bay di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm đến điểm trong 20 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo bằng với . Tính .
..
Câu 35. Trong không gian đài kiểm soát không lưu sân bay đặt ở gốc tọa độ đơn vị trên mỗi trục tính theo ki-lô-mét. Một máy bay chuyển động theo đường thẳng, bay qua hai vị trí và Khi máy bay ở gần đài kiểm soát không lưu nhất thì khoảng cách giữa vị trí của máy bay và đài kiểm soát không lưu là bao nhiêu km? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)
Câu 36. Trong một cuộc diễn tập phòng không, một bệ phóng tên lửa phòng không được đặt tại vị trí (trong không gian Oxyz với đơn vị trên các hệ trục tính theo ki-lô-mét) có tầm bắn tối đa là 30 km và tên lửa được phóng ra với vận tốc không đổi là 500 m/s. Một máy bay không người lái bay theo một đường thẳng có véctơ chỉ phương với vận tốc không đổi là 900 km/h. Khi phát hiện máy bay không người lái tại vị trí thì tên lửa rời bệ phóng, khai hỏa và đã bắn hạ được mục tiêu. Hỏi khoảng cách từ bệ phóng tên lửa đến vị trí máy bay không người lái bị bắn hạ bằng bao nhiêu ki-lô-mét? (Giả sử cả máy bay không người lái và tên lửa đều bay theo đường thẳng và không chịu tác động của trọng lực hay lực cản không khí).
Câu 37. Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị đo là kilômét, ra đa phát hiện một máy bay chiến đấu di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm đến điểm trong 20 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là . Tính ?
Câu 38. Trong không gian với hệ trục tọa độ (đơn vị trên mỗi trục là mét), một thiết bị phát sóng wifi được đặt tại vị trí . Vùng phủ sóng của thiết bị là một hình cầu có bán kính m. Một người sử dụng điện thoại đứng ở vị trí . Sau đó, người đó di chuyển đến vị trí . Tìm giá trị nguyên của sao cho cả hai vị trí và đều có thể bắt được tín hiệu wifi từ thiết bị.
Câu 39. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, một cabin cáp treo xuất phát từ điểm và chuyển động đều theo đường cáp có vectơ chỉ phương là với tốc độ m/s (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Một camera giám sát an toàn đặt tại . Hỏi sau bao nhiêu giây kể từ khi cabin xuất phát thì cabin gần camera giám sát an toàn nhất? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Câu 40. Nhân dịp lễ 30/4/2025, tại Quảng trường trung tâm TP. Hồ Chí Minh diễn ra màn trình diễn máy bay trực thăng kéo cờ Tổ quốc và cờ Đảng. Hai máy bay cất cánh cùng lúc từ một địa điểm. Sau một thời gian chiếc thứ nhất cách điểm xuất phát 3 km về phía Nam và 1 km về phía Đông, đồng thời cách mặt đất 1 km. Chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát 2 km về phía Bắc và 1 km về phía Tây, đồng thời cách mặt đất 500m. Cùng thời điểm đó, một chiến sĩ công an đứng trên mặt đất quan sát thấy hai chiếc máy bay nói trên. Biết rằng, so với các vị trí quan sát trên mặt đất, vị trí chiến sĩ công an đứng có tổng khoảng cách đến hai chiếc máy bay là nhỏ nhất. Khoảng cách từ vị trí chiến sĩ công an quan sát đến địa điểm xuất phát của hai chiếc máy bay là bao nhiêu km (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Câu 41. Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm trong không gian. Sau một khoảng thời gian, chiếc thứ nhất nằm cách điểm xuất phát 3km về phía Đông và 2 km về phía Nam, đồng thời cách mặt đất 0,5 km, chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát 1km về phía Bắc và 1 km về phía Tây đồng thời cách mặt đất 0,3km. Cùng thời điểm đó, một người đứng trên mặt đất và nhìn thấy hai khinh khí cầu nói trên. Biết rằng, so với các vị trí quan sát khác trên mặt đất, vị trí người đó đứng có khoảng cách đến hai khinh khí cầu nhỏ nhất. Hỏi tổng khoảng cách nhỏ nhất ấy bằng bao nhiêu kilômét? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)
Câu 42. Trong không gian với hệ trục tọa độ , một tấm bảng đồng chất có dạng hình vuông tâm được treo nghiêng bởi 4 sợi dây gắn cố định tại điểm như hình vẽ. Điểm ; và góc đạt giá trị lớn nhất. Gọi lần lượt là lực căng của các sợi dây . Biết rằng N và N
Tính khối lượng (kg) của tấm bảng (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị) (Cho gia tốc trọng trường (m/s2) và trọng lượng của tấm bẳng được tính bằng công thức )
Câu 43. Trong hệ trục toạ độ cho trước (đơn vị trên trục là mét), cho một trạm thu phát sóng 5G có bán kính vùng phủ sóng của trạm ở ngưỡng 600m được đặt ở vị trí . Tìm giá trị lớn nhất của (làm tròn đến hàng đơn vị) để một người dùng điện thoại ở vị trí có thể sử dụng dịch vụ của trạm nói trên.
Câu 44. Trong không gian , một chiếc máy quay phim được đặt trên một giá đỡ ba chân với điểm đặt và các điểm tiếp xúc với mặt đất của ba chân lần lượt là (hình vẽ bên). Biết lực tác dụng của máy quay phim lên các giá đỡ lần lượt là và trọng lượng của chiếc máy là , giá trị của bằng bao nhiêu Newton (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)?
LỜI GIẢI
Câu 1. Hệ thống định vị toàn cầu GPS là một hệ thống cho phép xác định vị trí của một vật thể trong không gian. Trong cùng một thời điểm, vị trí của một điểm M trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước nhờ các bộ thu phát tín hiệu đặt trên các vệ tinh. Giả sử trong không gian với hệ tọa độ , có bốn vệ tinh lần lượt đặt tại các điểm , , , ; vị trí thỏa mãn , , , . Khoảng cách từ điểm đến điểm bằng bao nhiêu?
Lời giải
Đáp án: 3.
Do vị trí thỏa mãn
Từ ta có hệ phương trình
.
Vậy khoảng cách từ điểm đến điểm bằng .
Câu 2. Với hệ trục tọa độ sao cho nằm trên mặt nước, mặt phẳng là mặt nước, trục hướng lên trên (đơn vị đo: mét), một con chim bói cá đang ở vị trí cách mặt nước , cách mặt phẳng , lần lượt là và phóng thẳng xuống vị trí con cá cách mặt nước , cách mặt phẳng , lần lượt là và . Tọa độ điểm lúc chim bói cá vừa tiếp xúc với mặt nước là . Tính .
Lời giải
Đáp án: 28.
Ta quy ước cứ = 1 đơn vị trong hệ tọa độ .
Gọi vị trí của con chim bói cá ban đầu là , khi đó nó cách phía trên mặt nước nên , ngoài ra cách mặt phẳng , lần lượt là và nên và . Do đó tọa độ điểm .
Gọi vị trí của con cá là , khi đi con cá đang dưới mặt nước 50cm = 0,5m nên , ngoài ra cách mặt phẳng , lần lượt là và nên và . Do đó tạo độ điểm
Vì điểm lúc chim bói cá vừa tiếp xúc với mặt nước nên hay khi đó tọa độ .
Ta có 3 điểm thẳng hàng nên: .
Vậy suy ra .
Câu 3. Hình sau đây minh họa sơ đồ một ngôi nhà trong hệ trục tọa độ , trong đó nền nhà, bốn bức tường và hai mái nhà đều là hình chữ nhật. Biết . Giá trị của tổng bằng bao nhiêu?
Lời giải
Đáp án: .
Do là hình chữ nhật nên ta có nên .
Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là ), một cabin cáp treo xuất phát từ điểm và chuyển động đều theo đường cáp thẳng đến vị trí cách . Biết đường đi của cabin cùng phương với vectơ và sau 3 phút kể từ khi xuất phát thì cabin đến vị trí có hoành độ . Hỏi thời gian di chuyển của cabin trên quãng đường là bao nhiêu phút?
Lời giải
Đáp án: 15
Ta có: (do và cùng phương)
.
Suy ra .
.
Mặt khác hay .
Mà vận tốc không đổi chuyển động đều theo cáp thẳng đến và thời gian di chuyển từ đến là 3 phút
Nên thời gian di chuyển của cabin trên quãng đường là (phút).
Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ (đơn vị đo lấy theo ), một Radar phát hiện một chiếc máy bay di chuyển với tốc độ và hướng không đổi từ điểm đến điểm trong 10 phút.
Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên tốc độ và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo là . Khi đó bằng bao nhiêu?
Lời giải
Đáp án: 1555.
Do chiếc may bay di duyển với tốc độ và hướng không đổi từ đến trong 10 phút và từ đến trong 10 phút.
Nên suy ra và thẳng hàng.
Suy ra là trung điểm của
.
Vậy .
Câu 6. Hai chiếc kinh khí cầu A và B bay lên từ cùng một vị trí O trên mặt đất. Sau một khoảng thời gian, kinh khí cầu A nằm cách điểm xuất phát về phía Đông và về phía Nam, đồng thời cách mặt đất ; kinh khí cầu B nằm cách điểm xuất phát về phía Bắc và về phía Tây, đồng thời cách mặt đất (hình minh họa bên dưới). Cùng thời điểm đó, một người đứng trên mặt đất và nhìn thấy hai kinh khí cầu nói trên. Biết rằng, so với các vị trí quan sát khác trên mặt đất, vị trí người đó đứng có tổng khoảng cách đến hai kinh khí cầu là nhỏ nhất. Hỏi tổng khoảng cách nhỏ nhất ấy bằng bao nhiêu kilômét? (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Lời giải
Đáp án:.
Chọn hệ trục tọa độ sao cho điểm xuất phát là gốc như hình vẽ trên.
Khi đó tọa độ hai kinh khí cầu là
Gọi là vị trí người quan sát và là điểm đối xứng với qua mặt phẳng .
Khi đó
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi thẳng hàng và thuộc đoạn . Điều này luôn xảy ra.
Câu 7. Hình bên dưới minh họa sơ đồ một ngôi nhà trong không gian , trong đó nền nhà, bốn bức tường và hai mái nhà đều là hình chữ nhật. Tính số đo góc dốc của mái nhà, tức là số đo của góc nhị diện có cạnh là đường thẳng , hai mặt và .
Lời giải
Đáp án: .
Để tính góc của mái nhà, ta tính số đo của góc nhị diện có cạnh là đường thẳng , hai mặt lần lượt là và .
Do mặt phẳng vuông góc với hai mặt phẳng và , , nên là góc phẳng nhị diện cần tìm.
Tứ giác là hình chữ nhật nên , .
Do nằm trên mặt phẳng nên tọa độ điểm .
Ta có , suy ra:
.
Do đó, . Vậy góc dốc mái nhà khoảng .
Câu 8. Một bể cá đầy nước có dạng hình hộp chữ nhật với (dm), (dm) và cạnh bên bằng (dm). Một chú cá con bơi theo những đoạn thẳng từ điểm đến chạm mặt đáy của hồ, rồi từ điểm đó bơi đến vị trí điểm là trung điểm của được mô hình hóa như hình vẽ sau:
Để đường đi ngắn nhất thì chú cá bơi đến điểm dưới đáy hồ cách và những đoạn bằng và Khi đó tổng bao nhiêu ?
Lời giải
Đáp số: .
Dựng hệ trục như hình vẽ
Khi đó tọa độ các điểm là , , , , , .
Ta có: là trung điểm của .
Con cá bơi từ điểm đến chạm mặt đáy hồ tại điểm với , .
Gọi là điểm đối xứng của điểm qua .
Quãng đường di chuyển của con cá là
Ta có: .
Để nhỏ nhất thì ba điểm , , thẳng hàng
Suy ra , cùng phương.
.
.
Do đó .
Suy ra , .
Khi đó, , .
Vậy .
Câu 9. Một chiếc xe đang kéo căng sợi dây cáp trong công trường xây dựng, trên đó đã thiết lập hệ toạ độ như hình vẽ dưới với độ dài đơn vị trên các trục tọa độ bằng . Biết . Tính (làm tròn đến hàng phần mười).

Lời giải
Đáp án: .
Vì cùng hướng với và nên .
Xét vuông tại , có .
.
Vì cùng hướng với và nên .
Vì .
Do đó .
Vậy .
Câu 10. Ở trên biển, hai con tàu và đang ở cùng một vĩ tuyến và cách nhau hải lý. Cả hai tàu đồng thời cùng khởi hành. Tàu chạy về hướng Nam với vận tốc hải lý/giờ, còn tàu chạy về vị trí hiện tại của tàu với vận tốc hải lý/giờ. Hỏi sau bao nhiêu giờ thì khoảng cách giữa hai tàu là ngắn nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Lời giải
Đáp án: .
Quãng đường con tàu đi được sau giờ là: (hải lý)
Quãng đường con tàu đi được sau giờ là: (hải lý)
Sau giờ khoảng cách giữa hai con tàu là:
Khoảng cách giữa hai con tàu ngắn nhất bằng (hải lý) khi (giờ)
Vậy sau giờ thì khoảng cách giữa hai con tàu ngắn nhất.
Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là ), một cabin cáp treo xuất phát từ điểm và chuyển động đều theo đường cáp thẳng đến vị trí cách điểm một khoảng . Biết đường đi của cabin cùng phương với vectơ và sau 3 phút kể từ khi xuất phát thì cabin đi đến vị trí có hoành độ . Hỏi thời gian di chuyển của cabin trên quãng đường là bao nhiêu giây?
Lời giải
Đáp án: .
Gọi tọa độ điểm .
Ta có: .
Do đường đi của cabin cùng phương với vectơ nên ta có:
.
Quãng đường bằng (m).
Vận tốc của cabin bằng .
Thời gian để cabin chuyển động đều từ điểm đến điểm là: (s).
Câu 12. Để chuẩn bị cho một buổi triển lãm quốc tế, các trang sức có giá trị lớn được đặt bảo mật trong các khối chóp tứ giác đều và đặt lên phía trên một trụ hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông (như hình vẽ). Chọn hệ trục tọa độ (đơn vị trên mỗi trục là mét) sao cho , . Biết rằng, ban tổ chức sự kiện dự định dùng các tấm kính cường lực hình tam giác cân có cạnh bên là 60 cm để lắp ráp thành khối chóp nói trên. Khi đó, tọa độ điểm là . Tính giá trị của (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)
Lời giải
Đáp án: .
Đổi
Ta có
, , .
Gọi ,
Vì là khối chóp tứ giác đều nên là hình vuông và .
Vì là hình hộp chữ nhật nên .
Do đó . Suy ra thẳng hàng. Vì vậy .
Xét tam giác vuông có .
Xét tam giác vuông có .
Gọi là trung điểm của .
Ta có là hình chữ nhật và,
Mà .
Vì là hình vuông nên là hình vuông cạnh
.
Vì là hình chiếu của S trên mặt phẳng và .
Câu 13. Hai chiếc flycam được điều khiển cùng bay lên tại một địa điểm. Sau một thời gian bay, chiếc flycam thứ nhất bay đến vị trí điểm cách mặt đất , cách điểm xuất phát về phía nam và về phía đông. Chiếc flycam thứ hai bay đến điểm cách mặt đất , cách điểm xuất phát về phía bắc và về phía tây. Chọn hệ trục tọa độ với gốc đặt tại điểm xuất phát của hai chiếc flycam, mặt phẳng trùng với mặt đất (coi như phẳng) có trục hướng về phía nam, trục hướng về phía đông và trục hướng thẳng đứng lên trời (đơn vị đo mỗi trục là mét). Trên mặt đất, người ta xác định được một vị trí sao cho tổng khoảng cách từ vị trí đó đến hai chiếc flycam ngắn nhất.
Hỏi khoảng cách từ điểm xuất phát đến vị trí đó bằng bao nhiêu mét?
Lời giải
Đáp án: .
Ta có . Gọi là một vị trí trên mặt đất .
Khi đó tổng khoảng cách từ điểm đến hai điểm và là:
xảy ra khi .
Do đó vị trí để tổng khoảng cách từ nó đến hai chiếc flycam ngắn nhất là
Vậy .
Câu 14. (Chuyên Vinh 2025) Một ngôi nhà gồm hai phần. Phần thân nhà dạng hình hộp chữ nhật có chiều dài , chiều rộng , chiều cao. Phần mái nhà dạng hình chóp có các cạnh bên bằng nhau và tạo với mặt đáy góc với . Chọn hệ trục toạ độ sao cho thuộc tia thuộc tia thuộc tia (như hình vẽ). Biết (đơn vị của là centimet). Tính giá trị của biểu thức
Lời giải
Đáp án: .
Gọi lần lượt là tâm của hai đáy
Vì có các cạnh bên bằng nhau nên .
Theo giả thiết ta có .
Lại có , .
Từ đó suy ra: .
Vậy .
Câu 15. Một toà nhà được thiết kế để làm 2 phòng dạy học có trang bị máy chiếu. Mái nhà là dạng mái vát như hình vẽ. Chiều dài của mỗi phòng học là và chiều rộng là , chiều cao các bức tường và . Từ vị trí cách một khoảng 10 m, người ta xây các bậc thang cao dần về phía cuối của phòng học để đặt các dãy bàn ghế học sinh trên các bậc thang đó. Chiều rộng mỗi bậc thang là 2 m và chiều cao mỗi bậc thang là 20 cm.
Chủ toà nhà muốn lắp giá treo máy chiếu tại vị trí là giao của và như hình vẽ, vuông góc với mặt sàn sao cho không vướng vào đầu học sinh khi học sinh đó đứng tại bậc thang ngay dưới máy chiếu ( chiều cao học sinh đó là 1,8 m) và cũng không che khuất tầm nhìn của học sinh ngồi ở hàng ghế sau cùng, tại vị trí trung điểm , theo phương vuông góc bức tường (chiều cao mắt học sinh so với bậc thang tại đó là 1,2m). Hỏi tổng độ dài thanh treo máy chiếu và cả thân máy chiếu lớn nhất là bao nhiêu mét? Kết quả làm tròn đến hàng phần mười.
Lời giải
Đáp án: .
Xét hệ toạ độ với là gốc toạ độ, các điểm có toạ độ không âm.
Khi đó , là trung điểm nên hình chiếu của điểm trên sàn là suy ra toạ độ điểm , vậy cách một khoảng bằng 5 m. Tức là bậc thang tại vị trí đang là bậc thang thứ 3, có chiều cao 60 cm so với mặt sàn. Vậy toạ độ điểm .
Từ đó toạ độ đỉnh đầu học sinh đứng là . Khoảng cách . (1)
Mặt khác toạ độ điểm nên toạ độ mắt học sinh ngồi tại là điểm suy ra hiệu khoảng cách từ điểm đến sàn và từ điểm đến sàn nhà là (2)
Điều (1) và (2) cho thấy tổng độ dài của thanh treo và thân máy chiếu không quá 4,8 mét để thoả mãn đồng thời cả 2 điều kiện.
Câu 16. Trong không gian chọn hệ trục toạ độ cho trước, đơn vị đo là kilômet, một rada phát hiện một máy bay chiến đấu di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm đến điểm trong 20 phút. Nếu đến máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì toạ độ của máy bay trong 10 phút tiếp theo là . Biết một khẩu pháo ở toạ độ vị trí điểm được bắn ra với vận tốc không đổi gấp 5 lần vận tốc máy bay nhằm bắn trúng máy bay tại vị trí . Sau bao nhiêu phút khi máy bay bay từ thì người điều khiển pháo phải bắn.
Lời giải
Đáp án: .
Do vận tốc của máy bay không đổi nên thời gian và quãng đường là hai đại lượng tỉ lệ thuận.
Thời gian máy bay di chuyển từ đến là 30 phút nên , do đó .
Ta có ;
Suy ra tức là .
Ta có
Khi đó nên ba điểm , , thẳng hàng; nằm giữa và ; .
Giả sử sau phút khi máy bay bay từ thì người điều khiển pháo phải bắn.
Khi đó vận tốc khẩu pháo là kilômet/phút; vận tốc máy bay là kilômet/phút.
Theo đề bài
Suy ra .
Vậy sau 8 phút khi máy bay bay từ thì người điều khiển pháo phải bắn.
Câu 17. Người ta thường dùng cẩu trục tháp (như hình vẽ) để vận chuyển vật liệu xây dựng; thân tháp vuông góc với mặt đất, cần nâng vuông góc thân tháp dùng để làm điểm tựa nâng vật liệu, trên cần nâng có bộ phận gọi là xe con, có thể chạy dọc cần nâng nhằm di chuyển vật liệu. Ban đầu vật liệu ở mặt đất, cẩu trục dùng móc cẩu nâng vật liệu lên cao theo phương thẳng đứng và cao hơn so với vị trí cần đặt, sau đó giữ nguyên độ cao và cẩu trục quay cần nâng một góc sao cho quỹ đạo tạo thành một cung tròn cho đến khi mặt phẳng chứa cần nâng và điểm cần đặt vuông góc với mặt đất (vật liệu và điểm cần đặt cùng nằm trên một nửa mặt phẳng so với thân tháp). Tiếp đến điều chỉnh xe con nhằm di chuyển và hạ vật liệu xuống theo phương thẳng đứng đúng vị trí cần đặt. Giả sử rằng trong không gian với hệ trục tọa độ , thân tháp là trục và mặt đất là mặt phẳng (đơn vị tính bằng mét); vị trí ban đầu của vật liệu là điểm và vị trí cần đặt vật liệu là điểm . Tính quãng đường vật liệu đã di chuyển (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
Lời giải
Đáp án: 37,7.
Gọi , lần lượt là hình chiếu của điểm và điểm trên mặt phẳng .
Lúc đầu vật liệu ở vị trí di chuyển thẳng đứng theo phương song song với phương của trục quãng đường (phải cao hơn độ cao của vị trí điểm đến 1m)
Tiếp theo cẩu trục quay cần nâng di chuyển từ vị trí điểm đến vị trí điểm (di chuyển một góc có độ lớn ), khi đó vật liệu di chuyển một quảng đường .
Tiếp đến điều chỉnh xe con nhằm di chuyển từ vị trí đến vị trí (với là trung điểm của ), tức là vật liệu di chuyển quảng đường .
Cuối cùng mốc cẩu hạ vật liệu xuống theo phương thẳng đứng đúng vị trí cần đặt là điểm .
Vậy tổng quảng đường di chuyển của vật liệu là: .
Câu 18. Người ta cần lắp một camera phía trên sân bóng để phát sóng truyền hình một trận bóng đá, camera có thể di động để luôn thu được hình ảnh rõ nét về diễn biến trên sân. Các kĩ sư dự định trồng bốn chiếc cột cao và sử dụng hệ thống cáp gắn vào bốn đầu cột để giữ camera ở vị trí mong muốn. Mô hình thiết kế được xây dựng như sau: Trong hệ trục toạ độ (đơn vị độ dài trên mỗi trục là 1 m), các đỉnh của bốn chiếc cột lần lượt là các điểm (Hình vẽ). Giả sử là vị trí ban đầu của camera có cao độ bằng 25 và . Để theo dõi quả bóng đến vị trí , camera được hạ thấp theo phương thẳng đứng xuống điểm có cao độ bằng 19. (Nguồn: https:/mww.abiturloesumg.de; Abitur Bayern 2016 Geometrie V).
Tọa độ véctơ với là các số thực. Tính ?
Lời giải
Đáp án: .
Gọi lần lượt là hình chiếu của lên mặt phẳng .
Ta thấy là hình hộp chữ nhật.
Gọi là giao hai đường chéo và . Khi đó .
Ta có và camera được hạ thấp theo phương thẳng đứng từ điểm xuống điểm nên các điếm thẳng hàng.
Ta có và .
Suy ra . Vậy .
Câu 19. Trong không gian với một hệ trục toạ độ cho trước ( đơn vị đo lấy theo kilomet), ra đa phát hiện một chiếc máy bay di chuyển với tốc độ và hướng không đổi từ điểm đến điểm trong 10 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên tốc độ và hướng bay thì toạ độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là điểm . Tính
Lời giải
Đáp án: .
Do máy bay giữ nguyên tốc độ nên vận tốc của máy bay trên quãng đường và là như nhau. Ta có: .
Và máy bay giữ nguyên hướng bay nên hai vectơ cùng hướng.
Do đó
Vậy
Câu 20. Trượt nước là một trò chơi vận động được nhiều người yêu thích trong các công viên nước. Một cái máng trượt nước có thiết kế dạng cung tròn với hai đầu mút là và . Chọn hệ trục tọa độ với gốc đặt tại hình chiếu của trên mặt đất, mặt phẳng trùng với mặt đất và trục hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo mét (tham khảo hình vẽ dưới đây). Biết các điểm và một điểm nằm trên máng trượt lần lượt có tọa độ là và . Độ dài máng trượt nước đó bằng bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét)?
Lời giải
Đáp án: .
Ta có: .
; ; ; .
.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác bằng: .
. Suy ra .
Suy ra số đo cung bằng
Suy ra độ dài cung bằng .
Câu 21. Trạm kiểm soát không lưu đang theo dõi hai máy bay. Giả sử trong không gian với hệ trục tọa độ , đơn vị đo lấy theo kilomet, tại cùng một thời điểm theo dõi ban đầu: máy bay thứ nhất ở tọa độ , bay theo hướng vectơ với tốc độ không đổi và máy bay thứ hai ở tọa độ , bay theo hướng vectơ với tốc độ không đổi . Biết rằng khoảng cách an toàn tối thiểu giữa hai máy bay là 5 hải lý (khoảng 9,3 km). Nếu hai máy bay tiếp tục duy trì hướng và tốc độ bay như trên thì sau ít nhất bao nhiêu phút (kể từ thời điểm theo dõi ban đầu), hai máy bay vi phạm khoảng cách an toàn (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
Lời giải
Đáp án: .
Đổi /phút
km/phút
Vectơ vận tốc máy bay thứ nhất với m >0,
Vectơ vận tốc máy bay thứ hai với n >0,
Sau t phút duy trì hướng bay, máy bay thứ nhất bay đến vị trí M thỏa mãn
Máy bay thứ hai bay đến vị trí N thỏa mãn
Khoảng cách hai máy bay là:
Câu 22. Trong không gian với hệ truc tọa độ , một tấm bảng đồng chất có dạng hình vuông tâm được treo nghiêng bởi 4 sợi dây gắn cố định tại điểm như hình vẽ. Biết điểm , điểm với và góc đạt giá trị lớn nhất. Gọi lần lượt là lực căng của dây , biết và .
Tính khối lượng của tấm bảng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) ( cho gia tốc trọng trường ) và trọng lượng của tấm bảng được tính bằng công thức ).
Lời giải
Đáp án: .
Ta có , , .
Vì là trung điểm .
Vì điểm là tâm của hình vuông .
Góc đạt giá trị lớn nhất nhỏ nhất
Áp dụng đinh lý cosin trong tam giác ta có
(bđt Cauchy).
và
Vì
(do ).
Suy ra:
Vì tam giác cân tại nên .
Dựng và là trung điểm .
Tam giác vuông tại vuông tại
.
Dựng và là điểm thứ 4 của hình bình hành .
.
Áp dụng định lí cosin trong tam giác ta có:
.
Mặt khác .
Áp dụng định lí sin trong tam giác ta có: .
Khi vật cân bằng .
.
Câu 23. Trên phần mềm mô phỏng việc điều khiển drone giao hàng trong không gian . Một đội gồm ba drone giao hàng ; ; đang có tọa độ là ; ; . Gọi ; ; lần lượt là khoảng cách giữa mỗi cặp drone giao hàng trên. Tính (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
Lời giải
Đáp số: .
Giả sử: khi đó ta có:
Suy ra: .
Câu 24. Xét Trái Đất trong không gian với là tâm Trái Đất, tia chứa giao điểm của kinh tuyến gốc và xích đạo, tia chứa điểm cực bắc tia giao xích đạo tại điểm thuộc bán cầu Đông, một đơn vị dài trong không gian tương ứng với km trong thực tế. Biết rằng nếu điểm có vĩ độ, kinh độ tương ứng là thì điểm có tọa độ là
Tính khoảng cách giữa hai vị trí trên bề mặt Trái Đất là cầu Hiền Lương (cũ) (Quảng Trị) có vĩ
độ, kinh độ tương ứng là và Dinh Độc Lập (TP Hồ Chí Minh) có vĩ độ, kinh độ tương ứng là (đơn vị: km, làm tròn kết quả đến hàng chục)
Lời giải
Đáp án: 690.
Vì điểm có vĩ độ, kinh độ tương ứng là thì điểm có tọa độ là nên ta có tọa độ trong không gian của
- cầu Hiền Lương (cũ) (Quảng Trị) (gọi là điểm A) là ,
suy ra
- Dinh Độc Lập (TP Hồ Chí Minh) (gọi là điểm B) là
,
suy ra
Vì thuộc mặt đất nên nên
Mặt khác đường tròn đi qua có bán kính 1 và chu vi nên cung nhỏ của đường tròn có độ dài xấp xỉ bằng
Do một đơn vị dài trong không gian tương ứng với km trong thực tế nên khoảng cách giữa hai điểm là
Câu 25. Thiên thạch với kích thước chỉ cm đến cm đến từ vùng không gian giữa các hành tinh, khi xuyên vào khí quyển Trái Đất ở độ cao km so với mực nước biển, tạo ra vùng không khí bốc cháy quanh nó rộng vài trăm mét gây nên hiện tượng sao băng. Xem Trái Đất là khối cầu có bán kính km. Chọn hệ trục tọa độ trong không gian có gốc tại tâm Trái Đất và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là km. Một thiên thạch (coi như một hạt) được phát hiện ở vị trí điểm và đang chuyển động thẳng với tốc độ không đổi km/phút đến tâm Trái Đất. Xác định thời điểm (đơn vị phút) thiên thạch bị bốc cháy kể từ lúc phát hiện (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Lời giải
Đáp án: 1,73.
Khoảng cách từ thiên thạch từ lúc phát hiện đến tâm trái đất: nghìn km.
Quãng đường thiên thạch đã đi từ lúc bị phát hiện đến khi bốc cháy là
Thời gian cần tìm là: phút.
Câu 26. Trên phần mềm mô phỏng việc điều khiển drone giao hàng trong không gian (đơn vị mét). Một đội gồm 4 drone giao hàng A, B, C, D xếp đội hình bay có dạng tam giác A; B; C và D nằm trên cạnh BC sao cho (Hình vẽ bên dưới).
Tại thời điểm các drone có tọa độ là , . Khoảng cách giữa drone A và drone D bằng bao nhiêu mét (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?
Lời giải
Đáp án: 282.
Ta có : .
Gọi , có .
Do đó khoảng cách giữa drone A và drone D bằng .
Câu 27. Một chiếc máy bay không người lái bay lên tại một điểm. Sau một thời gian bay, chiếc máy bay cách điểm xuất phát về phía Bắc và về phía Tây , đồng thời cách mặt đất . Khi đó, khoảng cách của chiếc máy bay với vị trí tại điểm xuất phát bằng bao nhiêu kilômét? ( kết quả làm tròn một chữ số thập phân)
Lời giải
Đáp án: 58,5
Chọn hệ trục tọa độ , với gốc đặt tại điểm xuất phát của chiếc máy bay, mặt phẳng trùng với mặt đất, trục hướng về phía Bắc, trục hướng về phía Tây, trục hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo kilômét (xem hình vẽ).
Khi đó, chiếc máy bay có tọa độ . Khoảng cách giữa chiếc máy bay và vị trí xuất phát là
Câu 28. Cơn bão Yagi gây thiệt hại nghiêm trọng về người và tài sản cho nước ta, trong đó nặng nề nhất là tại thôn Làng Nủ, xã Phúc Khánh, huyện Bảo Yên, tỉnh Lào Cai, lũ quét và sạt lở đất đã vùi lấp 40 ngôi nhà. Cả nước đã chung tay ủng hộ và xây dựng lại nhà sàn cho người dân Làng Nủ theo thiết kế như hình vẽ dưới đây.
Giả sử áp dụng hệ trục tọa độ như hình vẽ (đơn vị trên các trục là mét). Xét một bên của mái nhà gồm có một hình chữ nhật và một hình thang với các điểm ; ; và điểm là trung điểm .
Biết góc giữa hai vectơ và bằng . Tìm (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Lời giải
Đáp án: 45
Xét hệ trục tọa độ , ta có:
Vì đối xứng qua nên tọa độ điểm là .
Vì và nên tọa độ điểm là .
Vì đối xứng qua nên tọa độ điểm là .
Khi đó: ;
Câu 29. Có hai trạm thu phát sóng tín hiệu mặt đất đặt ở hai điểm O, A và vệ tinh thu phát tín hiệu tại ở vị trí M, biết vệ tinh di chuyển luôn cách mặt đất 35000km. Tín hiệu tại O phát lên vệ tinh M rồi tuyền đến trạm thu tại#A. Xét hệ trục Oxyz được chọn thỏa, ( đơn vị tọa độ là ngàn km). Biết vận tốc trung bình truyền tín hiệu giữa vệ tinh với trạm thu phát khoảng 270000km/s. Một tín hiệu phát từ O đến M, rồi truyền về A mất ít nhất bao nhiêu giây ( làm tròn đến hàng phần trăm).
Lời giải
Trả lời: 0,32
Ta có, độ dài quãng đường truyền tín hiệu
( ngàn km)
Thời gian ít nhất để A nhận được tín hiệu từ O là: (s).
Câu 30. Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm. Sau một thời gian chiếc thứ nhất cách điểm xuất phát 300 m về phía Nam và 100 m về phía Đông, đồng thời cách mặt đất 100 m. Chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát 200 m về phía Bắc và 100 m về phía Tây, đồng thời cách mặt đất 50 m. Cùng thời điểm đó, một người đứng trên mặt đất quan sát thấy hai chiếc khinh khí cầu nói trên. Biết rằng, so với các vị trí quan sát trên mặt đất, vị trí người đứng có tổng khoảng cách đến hai chiếc khinh khí cầu là nhỏ nhất. Tính khoảng cách từ vị trí người quan sát đến địa điểm xuất phát của hai chiếc khinh khí cầu (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Lời giải
Chọn hệ trục Oxyz với gốc đặt tại điểm xuất phát của hai khinh khí cầu, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất với trục Ox hướng về phía Nam, trục Oy hướng về phía Đông và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo mét.
Gọi lần lượt là vị trí của khinh khí cầu thứ nhất, khinh khí cầu thứ hai và người quan sát.
Khi đó
Gọi là điểm đối xứng của qua mặt phẳng (Oxy).
Suy ra
Ta có
Do đó nhỏ nhất khi bằng hay là giao điểm của với mặt phẳng ().
Suy ra thẳng hàng hay cùng phương
Có
Suy ra
Vậy khoảng cách từ vị trí người quan sát đến địa điểm xuất phát của hai chiếc khinh khí cầu là:
.
Câu 31. Từ mặt nước trong một bể nước, tại ba vị trí đôi một cách nhau m, người ta lần lượt thả dây dọi để quả dọi chạm đáy bể. Phần dây dọi (thẳng) nằm trong nước tại ba vị trí đó lần lượt có độ dài là m, m, m. Biết đáy bể là phẳng. Hỏi đáy bể so với mặt phẳng nằm ngang một góc bao nhiêu độ? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
Lời giải
Đáp án: .
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có các tọa độ điểm tương ứng như sau:
,,,,,
Ta có: ;
.
Suy ra góc cần tìm là , với:
.
Vậy đáy bể so với mặt phẳng nằm ngang một góc bằng .
Cách khác:
Gọi ba vị trí trên mặt nước là . Đáy bể thỏa mãn .
Gọi lần lượt trên sao cho .
Khi đó: .
Theo công thức Herong có .
Theo công thức diện tích hình chiếu ta có độ.
Câu 32. Một phần sân trường được định vị bởi các điểm như hình vẽ.
Bước đầu chúng ta lấy thăng bằng để có cùng độ cao, biết là hình thang vuông ở và với độ dài Do yêu cầu kỹ thuật khi lát phẳng phần sân trường phải thoát nước về góc sân ở nên người ta lấy độ cao ở các điểm xuống thấp hơn so với độ cao ở là tương ứng sao cho điểm đồng phẳng. Tìm
Lời giải
Đáp số: 17,2
Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ ta có:
Gọi lần lượt là các điểm sau khi hạ xuống ta có:
Ta có
Do đồng phẳng nên
Câu 33. Để xác định vị trí của máy bay khi đang bay, người ta gắn một hệ trục tọa độ với gốc tọa độ đặt tại một sân bay để xác định tọa độ của sân bay. Biết rằng cao độ của tọa độ máy bay chính là độ cao của máy bay đối với mặt đất. Đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là m. Một máy bay đang bay với quỹ đạo là một đường thẳng trong không gian với vận tốc bay không đổi. Tại một thời điểm nào đó, máy bay đang ở vị trí có tọa độ . Sau giây, độ cao của máy bay so với mặt đất giảm m. Hỏi sau giây nữa, khoảng cách từ sân bay tới máy bay là bao nhiêu km, biết rằng trong suốt quá trình bay này, máy bay có đi qua điểm có tọa độ ?
Lời giải
Đáp án: 16,8
Gọi tọa độ ban đầu của máy bay tại thời điểm là .
Sau giây, độ cao giảm m nên tọa độ giảm đơn vị, tức là .
Gọi tọa độ sau 50 giây là .
Vận tốc bay (giả sử bay thẳng đều):
.
Sau 25 giây nữa (tổng 75 giây), ta có:

onthicaptoc.com 45 Bai toan thuc te toa do cua diem va vec to trong khong gian