CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
I. NGUYÊN HÀM
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa
Cho là tập con của tập số thực .
• Cho hàm số xác định trên . Hàm số được gọi là nguyên hàm của hàm số trên nếu với mọi thuộc .
• Nếu là một nguyên hàm của hàm số trên thì mọi nguyên hàm của hàm số trên đều có dạng với là một hằng số. Vì vậy, .
• Mọi hàm số liên tục trên đều có nguyên hàm trên . Ta có: .
2. Tính chất
Cho là hai hàm số liên tục trên .
• với .
• .
• .
3. Nguyên hàm một số hàm số sơ cấp cơ bản
• Với ta có . • .
• •
• •
• Với ta có
B. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Dạng 1. Nguyên hàm hàm lũy thừa
Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số:
a) b) .
Lời giải
a) .
b)
Dạng 2. Nguyên hàm hàm số lượng giác
Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số:
a) b) c) .
Lời giải
a) .
b) .
c) .
Dạng 3. Nguyên hàm hàm số mũ
Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm của các hàm số:
a) b) c) .
Lời giải
a) .
b) .
c) .
Dạng 4. Nguyên hàm có điều kiện
Bài toán: Tìm nguyên hàm của thỏa mãn .
» Bước 1: Dựa vào bảng nguyên hàm, tính chất nguyên hàm, các phương pháp biến đổi.
» Bước 2: Dựa vào điều kiện của giả thiết để tìm .
» Bước 3: Kết luận.
Ví dụ 4: Tìm nguyên hàm của hàm số thoả mãn .
Lời giải
Ta có:
Theo đề: .
Ví dụ 5: Cho là một nguyên hàm của thỏa mãn . Tìm .
Lời giải
Ta có: .
Theo đề: .
Ví dụ 6: Cho hàm số Tìm nguyên hàm của thỏa mãn
Lời giải
Ta có: .
Mà . Vậy
Ví dụ 7: Cho hàm số xác định trên khoảng . Biết rằng với mọi và . Tính giá trị .
Lời giải
Với mọi , ta có: .
Vì .
Ví dụ 8: Cho hàm số có đạo hàm với mọi và . Biết là nguyên hàm của thoả mãn . Tính giá trị .
Lời giải
Với mọi , ta có: .
Vì .
Lại có:
.
Dạng 5. Bài toán thực tế (liên quan đến vận tốc, gia tốc, quãng đường,…)
» Bước 1: Xét mối liên hệ giữa các đại lượng
▪ Xét mối quan hệ giữa các đại lượng vận tốc , quãng đường và thời gian .
+ Đạo hàm của quãng đường là vận tốc: .
+ Nguyên hàm của vận tốc là quãng đường: .
▪ Xét mối quan hệ giữa các đại lượng vận tốc , gia tốc và thời gian .
+ Đạo hàm của vận tốc là gia tốc: .
+ Nguyên hàm của gia tốc là vận tốc: .
» Bước 2: Dựa vào điều kiện của giả thiết để tìm đại lượng yêu cầu.
» Bước 3: Kết luận.
Ví dụ 9: Một ô tô đang chạy với vận tốc thì hãm phanh và chuyển động chậm dần với tốc độ Kể từ khi hãm phanh, quãng đường ô tô đi được sau 5 giây là bao nhiêu?
Lời giải
Ta có .
Vì . Suy ra .
Vậy sau 5 giây thì quãng đường ô tô đi được là
Ví dụ 10: Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ mặt đất. Giả sử tại thời điểm giây (coi là thời điểm viên đạn được bắn lên), vận tốc của nó được cho bởi . Tìm độ cao của viên đạn (tính từ mặt đất)
a) sau giây.
b) khi nó đạt độ cao lớn nhất (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
Lời giải
Gọi là độ cao của viên đạn bắn lên từ mặt đất sau giây kể từ thời điểm đạn được bắn lên.
Khi đó .
Do nên .
a) Sau giây.
Độ cao của viên đạn sau giây là .
b) Khi nó đạt độ cao lớn nhất (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
Viên đạn đạt độ cao lớn nhất là khi giây.
C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Phần 1. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Câu 1. Cho hai hàm số và liên tục trên . Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. . B. .
C. với . D. .
Câu 2. Biết . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. . B. . C. . D. .
Câu 3. Cho hàm số . Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của trên ?
A. B. C. D.
Câu 4. Cho hàm số . Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của trên ?
A. B. C. D.
Câu 5. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số là
A. B. C. D.
Câu 6. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số là
A. B.
C. D.
Câu 7. Một nguyên hàm của hàm số là
A. B.
C. D.
Câu 8. Họ tất cả nguyên hàm của hàm số là
A. B. C. D.
Câu 9. Biết là một nguyên hàm của hàm số trên khoảng . Mệnh đề nào đúng?
A. B. C. D.
Câu 10. Họ nguyên hàm của hàm số là
A. B. C. D.
Câu 11. Tìm họ nguyên hàm của hàm số .
A. B.
C. D.
Câu 12. Nguyên hàm của hàm số là
A. B. C. D.
Câu 13. Nguyên hàm của hàm số là
A. B. C. D.
Câu 14. Một nguyên hàm của hàm số có dạng . Tính .
A. B. C. D.
Câu 15. Cho hàm số là một nguyên hàm của hàm số . Tính .
A. 25. B. 125. C. 5. D. 625.
Câu 16. Cho là một nguyên hàm của . Biết . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Câu 17. Nguyên hàm của hàm số thỏa mãn là
A. B.
C. D.
Câu 18. Cho hàm số thỏa mãn và . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. B. C. D.
Câu 19. Biết là một nguyên hàm của của hàm số và đồ thị hàm số đi qua điểm . Tính .
A. B. C. D.
Câu 20. Cho hàm số có đạo hàm là và . Biết là nguyên hàm của thỏa mãn . Tính .
A. B. C. D.
Phần 2. Trắc nghiệm đúng – sai
Câu 1. Cho hàm số là một nguyên hàm của hàm số .
a) Nếu hàm số là một nguyên hàm của hàm số và thì ,.
b) Nếu hàm số là một nguyên hàm của hàm số và thì,.
c) Nếu hàm số là một nguyên hàm của hàm số và thì ,.
d) Nếu hàm số là một nguyên hàm của hàm sốvà thì ,.
Câu 2. Cho là hàm số liên tục trên .
a) b)
c) d)
Câu 3. Giả sử là phương trình vận tốc của một vật chuyển động theo thời gian (giây), là phương trình gia tốc của vật đó chuyển động theo thời gian (giây).
a) b)
c) d)
Câu 4. Cho hàm số . Gọi là 1 nguyên hàm của .
a) . b) Biết thì .
c) . d) .
Câu 5. Cho và là nguyên hàm của trên .
a) b) .
c) với . d) Cho , khi đó .
Phần 3. Trả lời ngắn
Câu 1. Cho hàm số là một nguyên hàm của hàm số và . Tính .
Câu 2. Cho hàm số là một nguyên hàm của hàm số và . Tính (viết kết quả dưới dạng số thập phân và làm tròn đến hàng phần trăm).
Câu 3. Cho hàm số có đạo hàm là và . Biết là nguyên hàm của thỏa mãn . Tính .
Câu 4. Cho hàm số thỏa mãn và . Khi đó hàm số có dạng với là các số nguyên. Tính .
Câu 5. Biết , với . Tính . (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Câu 6. Cường độ dòng điện (đơn vị: ) trong một dây dẫn tại thời điểm giây là với là điện lượng (đơn vị: C) truyền trong dây dẫn tại thời điểm . Biết khi giây thì điện lượng truyền trong dây dẫn là . Tính diện lượng truyền trong dây dẫn khi .
Câu 7. Người ta truyền nhiệt cho một bình nuôi cấy vi sinh vật từ Tốc độ tăng nhiệt độ của bình tại thời điểm phút được cho bởi hàm số phút . Biết rằng nhiệt độ của bình đó tại thời điểm là một nguyên hàm của hàm số . Tìm nhiệt độ của bình tại thời điểm 3 phút kể từ khi truyền nhiệt.
II. TÍCH PHÂN
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa
Cho là hàm số liên tục trên đoạn Giả sử là một nguyên hàm của trên đoạn
Hiệu số được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số kí hiệu là
Ta dùng kí hiệu để chỉ hiệu số .
Vậy .
2. Tính chất của tích phân
a) b)
c) d) ()
B. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Dạng 1. Tính tích phân theo định nghĩa – tính chất
Ví dụ 1: Cho và . Tính:
a) . b) .
c) . d)
Lời giải
a) .
b) .
c) .
d) .
Ví dụ 2: Cho , . Tính .
Lời giải
Ta có: , .
Khi đó: .
. Vậy .
Ví dụ 3: Cho , là hai hàm liên tục trên đoạn thoả mãn , . Tính .
Lời giải
.
.
Đặt , .
Từ và ta có hệ phương trình:.
Do đó ta được: và. Vậy .
Dạng 2. Tích phân hàm số chứa dấu trị tuyệt đối
Tính tích phân:
Phương pháp:
Bước 1. Xét dấu trên đoạn .
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu trên đoạn để khử . Sau đó sử dụng các phương pháp tính tích phân đã học để tính .
Ví dụ 3: Tính các tích phân sau:
a) . b) .
Lời giải
a) .
Xét trên đoạn .
Cho .
Bảng xét dấu:
Do đó:
b) .
Xét trên .
Cho .
Bảng xét dấu:
Do đó:
Dạng 3. Tích phân hàm số cho bởi nhiều công thức
Ví dụ 4: Cho hàm số . Tính .
Lời giải
Ta có: .
Ví dụ 5: Cho hàm số . Tính .
Lời giải
Khi đó .
Dạng 4. Bài toán thực tế
Ví dụ 6: Một vật chuyển động với vận tốc thì tăng tốc với gia tốc . Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc.
Lời giải
Hàm vận tốc .
Lấy mốc thời gian lúc tăng tốc.
Ta được: .
Sau 10 giây kể từ lúc tăng tốc, quãng đường vật đi được là
.
Ví dụ 7: Một vật chuyển động dọc theo một đường thẳng sao cho vận tốc của nó tại thời điểm (giây) là (m/s). Trong khoảng thời gian ,
a) Tìm độ dịch chuyển của vật.
b) Tìm tổng quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian này.
Lời giải
a) Tìm độ dịch chuyển của vật.
Độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian là
.
b) Tìm tổng quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian này.
Tổng quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian là
.
C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Phần 1. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Câu 1. Nếu và . Khi đó bằng
A. 5. B. 6. C. 1. D. -1.
Câu 2. Cho hàm số liên tục trên đoạn và thỏa mãn , . Giá trị của biểu thức bằng
A. B. C. D.
Câu 3. Cho . Khi đó bằng
A. 10. B. C. D.
Câu 4. Biết là một nguyên hàm của hàm số trên . Giá trị của là
A. 7. B. 9. C. D.
Câu 5. Cho hàm số liên tục trên . Gọi là một nguyên hàm của trên thỏa mãn . Khi đó bằng
A. 6. B. 15. C. 10. D. 5.
Câu 6. Nếu thì bằng
A. 4. B. 7. C. 3. D. 2.
Câu 7. Tính .
A. B. 2. C. D.
Câu 8. Cho hàm số xác định và liên tục trên , thỏa mãn . Tính .
A. B. C. D.
Câu 9. Cho biết , với là các số nguyên. Tính .
A. 1. B. -4. C. 6. D. 3.
Câu 10. Cho hàm số . Tính tích phân .
A. B. 1. C. D.
Câu 11. Tính tích phân .
A. . B. . C. . D. .
Câu 12. Cho hàm số thì bằng
A. B. C. D.
Câu 13. Cho hàm số . Giả sử là nguyên hàm của trên thỏa mãn . Giá trị của bằng
A. 16. B. 8. C. 18. D. 2.
Câu 14. Một vật chuyển động với gia tốc , biết rằng tại thời điểm bắt đầu chuyển động, vật có vận tốc bằng 0. Tính quãng đường vật đi được từ thời điểm đến thời điểm .
A. B. C. D.
Câu 15. Để đảm bảo an toàn khi lưu thông trên đường, các xe ô tô khi dừng đèn đỏ phải cách nhau tối thiểu . Một ô tô đang chạy với vận tốc bỗng gặp ô tô đang đứng chờ đèn đỏ nên ô tô hãm phanh và chuyển động chậm dần đều bởi vận tốc được biểu thị bởi công thức . Để hai ô tô và đạt khoảng cách an toàn khi dừng lại thì ô tô phải hãm phanh khi cách ô tô một khoảng ít nhất là mét. Giá trị của bằng
A. 23,5. B. 21. C. 22,9. D. 21,6.
Phần 2. Trắc nghiệm đúng – sai
Câu 1. Cho .
a) . b) .
c) . d) .
Câu 2. Cho hàm số .
a) . b) .
c) . d) .
Câu 3. Cho số thực và hàm số .
a) . b) .
c) Khi , . d) Điều kiện cần và đủ để là .
Câu 4. Cho hàm số liên tục trên .
a) Nếu và thì .
b) Nếu thì .
c) Nếu thì .
d) Nếu thì , . Khi đó .
Phần 3. Trả lời ngắn
Câu 1. Biết . Tính .
Câu 2. Biết . Tính .
Câu 3. Nếu và thì giá trị của bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ 2)
Câu 4. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên có và . Tích phân (với tối giản và . Tính .
Câu 5. Biết với là các số nguyên. Tính giá trị của biểu thức .
Câu 6. Cho . Tính .
Câu 7. Cho . Có bao nhiêu giá trị nguyên của để ?
Câu 8. Cho trong đó là hàm số có đồ thị như Hình vẽ. Tính .
III. ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1) Tính diện tích hình phẳng:
a) Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số liên tục trên đoạn , trục hoành và hai đường thẳng .
b) Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số liên tục trên và hai đường thẳng .
2) Tính thể tích vật thể:
+ Định nghĩa: Gọi là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục tại các điểm và là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm
Giả sử là hàm số liên tục trên đoạn
Khi đó, thể tích của vật thể được xác định: .
+ Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi , và hai đường thẳng quanh trục
B. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Dạng 1. Xây dựng công thức tính diện tích theo hình vẽ
Phương pháp
▪ Xác định công thức diện tích hình phẳng:
» Bước 1: Xác định đồ thị của các hàm số được cho trên hình vẽ.
» Bước 2: Xác định các vị trí tương giao giữa các đồ thị.
» Bước 3: Áp dụng công thức tính diện tích .
» Bước 4: Phá trị tuyệt đối: Lấy công thức hàm số của đồ thị nằm trên trừ công thức hàm số của đồ thị nằm dưới
▪ Xác định công thức thể tích khối tròn xoay:
» Bước 1: Xác định đồ thị của các hàm số được cho trên hình vẽ.
» Bước 2: Xác định các vị trí tương giao giữa các đồ thị.
» Bước 3: Áp dụng công thức tính diện tích .
Ví dụ 1: Gọi S là diện tích miền hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ bên dưới. Xây dựng công thức tính S.
Lời giải
Thấy rằng đồ thị hàm số cắt trục tại ba điểm .
Do đó .
Ví dụ 2: Cho đồ thị như hình vẽ bên. Xác định công thức diện tích miền được gạch sọc ở hình bên.
Lời giải
Ta có: .
Ta có: (do trên đoạn phần đồ thị nằm trên đồ thị ).
Ví dụ 3: Cho hàm số liên tục và có đồ thị như hình bên. Gọi là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số đã cho và trục . Quay hình phẳng quanh trục ta được khối tròn xoay có thể tích được xác định theo công thức gì?
Lời giải
Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng quanh trục : .
Dạng 2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f(x), Ox và x = a, x = b
Phương pháp
Diện tích hình phẳng giới hạn: .
Để phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta thường làm như sau:
» Bước 1: Giải tìm nghiệm .
» Bước 2: Tính
Chú ý: Ngoài cách trên, ta có thể dựa vào đồ thị để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
Ví dụ 4: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành , các đường thẳng , .
Lời giải
Diện tích hình phẳng là .
Ví dụ 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng .
Lời giải
Xét phương trình .
Ta có:
Ví dụ 6: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi , , , .
Lời giải
Xét phương trình hoành độ giao điểm: .
Diện tích: .
Ví dụ 7: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành, trục tung và đường thẳng .
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm .
.
Dạng 3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f(x), y = g(x) và x = a, x = b
Phương pháp
Diện tích hình phẳng giới hạn: .
Để phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta thường làm như sau:
» Bước 1: Giải tìm nghiệm .
» Bước 2: Tính
Chú ý: Ngoài cách trên, ta có thể dựa vào đồ thị để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
Ví dụ 8: Hình phẳng giới hạn bởi các đường cong và có diện tích bằng bao nhiêu?
Lời giải
Ta có:
Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong và .
Khi đó
( đvdt).
Dạng 4. Thể tích vật thể tính theo mặt cắt vuông góc trục hoành
Ví dụ 9: Tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng và biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục tại điểm có hoành độ thì được thiết diện là một hình chữ nhật có hai cạnh là và .
Lời giải
Ta có diện tích thiết diện: .
Khi đó .
Ví dụ 10: Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng và , biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ là một tam giác đều cạnh .
Lời giải
Ta có diện tích thiết diện: .
.
Dạng 5. Thể tích khối tròn xoay
Ví dụ 11: Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường , trục và hai đường thẳng ; khi quay quanh trục hoành được tính bởi công thức nào?
Lời giải
Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục , và được tính bởi công thức
.
Ví dụ 12: Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau xung quanh trục : .
Lời giải
Thể tích khối tròn xoay .
C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Phần 1. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Câu 1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng , đồ thị hàm số và trục là
A. B. . C. . D. .
Câu 2. Gọi là thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường quay quanh . Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. . B. . C. . D. .
Câu 3. Cho hàm số liên tục trên . Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường (như hình vẽ). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. B.
C. D.
Câu 4. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường , trục hoành và hai đường thẳng (như hình vẽ). Đặt . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. B. C. D.
Câu 5. Diện tích hình phẳng phần gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào sau đây?
A. B.
C. D.
Câu 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong và .
A. B. C. D.
Câu 7. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số và là
A. 12. B. 32. C. D.
Câu 8. Diện tích phần sạch sọc trong hình vẽ bằng
A. B. C. D.
Câu 9. Diện tích của phần hình phẳng gạch chéo trong hình bên bằng
A. B. C. D.
Câu 10. Cho hình là hình phẳng giới hạn bởi đường cong , đường thẳng và trục hoành (phần gạch chéo trong hình vẽ). Diện tích hình phẳng là
A. B. C. D.
Câu 11. Tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng , có thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ là một tam giác đều có cạnh bằng .
A. B. C. D.
Câu 12. Tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng và , biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục tại điểm có hoành độ ( ) thì được thiết diện là một hình vuông có độ dài cạnh bằng .
A. 90. B. C. D. 72.
Câu 13. Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , các đường thẳng và trục hoành. Thế tích khối tròn xoay sinh bởi khi quay quanh trục hoành là
A. B. C. 4. D.
Câu 14. Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi hai đường và quanh trục bằng
A. B. C. D.
Câu 15. Thể tích vất thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành quay quanh là
A. B. C. D.
Câu 16. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường , trục hoành và . Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục bằng
A. B. C. D. 8.
Câu 17. Cho hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số và đồ thị của hàm số (tham khảo hình vẽ). Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay quanh trục bằng
A. B. C. D.
Câu 18. Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi các đường khi quay quanh trục là
A. B. C. D.
Câu 19. Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và đường thẳng quay quanh trục . Thể tích khối tròn xoay sinh ra bằng
A. B. C. D.
Câu 20. Tính thể tích chứa được của một cái chén, biết phần trong của nó có dạng khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục hình phẳng giới hạn bởi đường và trục (như hình vẽ), bát có độ sâu 5 cm, đơn vị trên trục là centimet (làm tròn đến hàng đơn vị).
A. B. C. D.
Phần 2. Trắc nghiệm đúng – sai
Câu 1. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường , và trục .
a) Diện tích của hình phẳng là .
b) Thể tích của vật tròn xoay là .
c) Các đường và đều đi qua điểm .
d) Nếu (với là phân số tối giản) thì .
Câu 2. Cho hình phẳng được tô trong hình bên dưới.
a) Hình phẳng được tô màu trong hình trên được giới hạn các đồ thị .
b) Thể tích của vật tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng trên quanh trục là .
c) Thể tích của vật tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường ; quanh trục bằng .
d) Diện tích hình phẳng tô màu trong hình vẽ là .
Câu 3. Đồ thị các đường cho bởi hình vẽ bên. Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường , trục hoành, . diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường , trục hoành, .
a) . b) .
c) . d) Diện tích hình phẳng phần gạch chéo trên hình bằng .
Câu 4. Để tham dự hội chợ xuân người ta dự định dựng một lều trại có dạng parabol, với kích thước: nền trại là hình chữ nhật ABCD có chiều rộng là mét, chiều sâu là mét và trải thảm, đỉnh I của parabol cách mặt đất là mét. Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho: O là trung điểm của cạnh AB, A, B thuộc trục hoành và I thuộc trục tung.
a) Tọa độ các điểm . b) Phương trình của parabol là .
c) Diện tích thảm làm nền là . d) Thể tích phần không gian phía trong trại là .
Câu 5. Cho đồ thị hàm số và đường thẳng . (hình vẽ)
a) Đường thẳng cắt đồ thị tại ba điểm .
b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị và đường thẳng bằng .
c) Biết đường thẳng cắt đồ thị thành hai miền và . Tỉ số .
d) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị , trục hoành, đường thẳng bằng .
Câu 6. Cho D là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số phương trình , trục hoành và hai đường thẳng , . Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D xung quanh trục là .
a) Thể tích được tính theo công thức .
b) Thể tích .

onthicaptoc.com 4. CHUYEN DE NGUYEN HAM VA TICH PHAN