onthicaptoc.com
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 2018 SỐ 1
Câu 1. (2,0 điểm)
a) Giải bất phương trình:
b) Giải hệ phương trình:
Câu 2. (2,0 điểm)
Tìm tất cả các giá trị của tham số để hệ phương trình sau có nghiệm
Câu 3.(2,0 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho điểm và các đường thẳng . Viết phương trình đường tròn có tâm sao cho cắt tại và cắt tại thỏa mãn
Câu 4. (2,0 điểm)
1. Cho tam giác ABC có AB= c ,BC=a ,CA=b .Trung tuyến CM vuông góc với phân giác trong AL và .Tính và .
2. Cho a,b thỏa mãn: .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Câu 5. (2,0 điểm)
Cho với a,b thỏa mãn điều kiện: Tồn tại các số nguyên đôi một phân biệt và sao cho: . Tìm tất cả các bộ số (a;b).
Câu 6: (2,0 điểm) Giải phương trình .
Câu 7 (2,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn tâm và điểm . Viết phương trình đường thẳng đi qua , cắt tại hai điểm phân biệt sao cho diện tích tam giác lớn nhất.
Câu 8 (2,0 điểm). Giải hệ phương trình
Câu 9 (2,0 điểm). Cho các số không âm sao cho tổng hai số bất kì đều dương. Chứng minh rằng :.
Câu 10.(2 điểm) Trong mặt phẳng Oxy , cho .
a) Gọi D là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo . Xác định tọa độ D.
b) Viết phương trình đường thẳng qua A , cắt đoạn thẳng CD tại M sao cho tứ giác ABCM
có diện tích bằng 24.
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN ĐỀ 01
Câu1
Đáp án
Điểm
1điểm
Điều kiện: Đặt () thì Khi đó ta có
1.0
(do ).
Với ta có
Đối chiếu điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là
1 điểm
Điều kiện:
1,0
Th1: không thỏa mãn
Th2: ta có: với t=x/y
t=y hay
Thay vào (2):
Đối chiếu đk ta được nghiêm hệ là:
Câu2
Hệ đã cho tương đương với:
2.0
3 điểm
Phương trình (2) (ẩn ) có nghiệm là
Th1: ta có Suy ra thỏa mãn.
Th2: Phương trình (1) (ẩn ) không có nghiệm thuộc khoảng (*) là (1) vô nghiệm hoặc (1) có 2 nghiệm đều thuộc điều kiện là
(B)
(với là 2 nghiệm của phương trình (1)).
(A)(B)
Hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) (ẩn ) có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng hay (*) không xảy ra, điều kiện là Vậy tất cả các giá trị cần tìm là
Câu3
2 điểm
Gọi hình chiếu của trên lần lượt là khi đó
2,0
Gọi là bán kính của đường tròn cần tìm ()

Theo giả thiết ta có:
(do ) ( do )
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là
4.a
1 điểm
Ta có:
1.0

Theo giả thiết:

Khi đó:



4.b
1điểm
C/M được : . ấu bằng xẩy ra khi:
1.0
Áp dụng (1) ta có :
Mặt khác: (2)
Mà: (3)
Từ (1) và (3) suy ra: .Dấu “=” xẩy ra khi: a=1 và
Vậy: Đạt được khi a=1 và .
Câu 5
2 điểm
3 số f(m),f(n),f(p) hoặc cùng dương, âm hoặc có 2 số cùng dấu nên:
Th1: f(m),f(n),f(p) cùng bằng 7 hoặc -7 loại vì phương trình f(x)-7=0 có 3 nghiệm phân biệt
2,0
Th2:và
Không mất tính tổng quát,giả sử m>n và ta có: m,n là nghiệm pt: và p là nghiệm pt: nên :

Th3: và,khiđó hoàn toàn tương tự ta có:
hoặc
Do m,n,p nên tìm được 4 bộ là: (a;b)=.
Câu 6
2,0
Điều kiện: (*). PT đã cho tương đương
+)
+
Đối chiếu điều kiện (*), suy ra nghiệm của PT là
Câu 7
2,0
có tâm , bán kính . Ta có nên M nằm trong đường tròn (C). Gọi H là hình chiếu của I trên AB và đặt , .
Ta có . Xét hàm .
Ta có , suy ra đồng biến trên
Vậy lớn nhất khi , hay
Khi đó nhận là véc tơ pháp tuyến, suy ra .
Câu 8
2,0 điểm
Đặt . Để cho tiện ta đặt
Từ phương trình thứ hai của hệ, ta có: .
Từ , suy ra và
0,25
Phương trình thứ nhất của hệ trở thành:
Ta có hệ , suy ra
.
0,25
- Nếu thì .
- Nếu thì
0,25
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là .
0,25
Câu 9
2,0 điểm
Đặt
Giả sử , khi đó
0,25
Suy ra .
0,25
Đặt thì .
0,25
Ta có (AM-GM). Do đó (đpcm).
0,25
Chú ý: Đẳng thức xảy ra khi và chẳng hạn một bộ thỏa mãn là (HS có thể không cần nêu bước này).
Câu 10(2,0 điểm)
a/
b/;Pt(AB): .
Do M thuộc đoạn thẳng CD, suy ra M là trung điểm CD.
Pt (AM) là:
--------Hết--------
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 2018 SỐ 2
Câu 1 (3,0 điểm)
a) Cho hàm số và hàm số . Tìm m để đồ thị các hàm số đó cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B đồng thời khoảng cách từ trung điểm I của đoạn thẳng AB đến các trục tọa độ bằng nhau.
b) Giải bất phương trình:
Câu 2 (3,0 điểm)
a) Trong mặt phẳng tọa độ cho tam giác ABC có . Đường thẳng là đường phân giác trong của góc A có phương trình ; Khoảng cách từ C đến gấp 3 lần khoảng cách từ B đến . Tìm tọa độ của A và C biết C nằm trên trục tung.
b) Cho tam giác ABC vuông ở A, gọi là góc giữa hai đường trung tuyến BM và CN của tam giác. Chứng minh rằng
Câu 3 (3,0 điểm)
a) Cho tam giác ABC. Gọi D, E lần lượt là các điểm thỏa mãn: . Tìm vị trí của điểm K trên AD sao cho 3 điểm B, K, E thẳng hàng.
b) Cho tam giác ABC vuông ở A; BC = a; CA = b; AB = c. Xác định điểm I thỏa mãn hệ thức: ; Tìm điểm M sao cho biểu thức () đạt giá trị lớn nhất.
Câu 4 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình:
b) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng:
.
Câu 5: (3,0 điểm)
a) Cho . Chứng minh : .
b) Chứng minh : .
c) .
Câu 6: (3,0 điểm) Giải các phương trình sau:
a)
b) .
c) ;
Câu 7(1,0 điểm): Tìm các giá trị để phương trình :
có nghiệm x =1.
Câu 8(2,0 điểm):
a).Trong mặt phẳng 0xy ,cho vectơ =(-2;1), đường thẳng d có phương trình 2x –3y +3 =0 . Hãy xác định phương trình của d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ .
b) Trong mặt phẳng 0xy , cho đường tròn ( C) có phương trình :.Tìm ảnh của ( C) qua phép tịnh tiến theo vec tơ =(-2;5).
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 2
Câu
Ý
Nội dung
Điểm
1
a
Cho hàm số và hàm số . Tìm m để đồ thị các hàm số đó cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B đồng thời trung điểm của đoạn thẳng AB cách đều các trục tọa độ.
1,5
Yêu cầu bài toán PT sau có hai nghiệm phân biệt
hay (*)có m>1
Gọi là 2 nghiệm của (*), I là trung điểm AB ta có ;
Yêu cầu bài toán
Kết hợp ĐK, kết luận
b
Giải bất phương trình: (1)
1,5
TXĐ:
0,25
(1)
Nếu thì , bất phương trình nghiệm đúng với mọi x:
0,25
Nếu bất pt đã cho
0,25

0,25
Kết hợp nghiệm, trường hợp này ta có:
Tập nghiệm của bpt đã cho:
0,25
2
a
Trong mặt phẳng tọa độ cho tam giác ABC có . Đường thẳng là đường phân giác trong của góc A có phương trình ; khoảng cách từ C đến gấp 3 lần khoảng cách từ B đến . Tìm tọa độ của A và C biết C nằm trên trục tung.
1,5
D(B;)=; C(0:y0) ; D(C;)=, theo bài ra ta có
0,25
Vẽ hệ trục tọa độ, điểm B, chú ý C khác phía B đối với suy ra C(0;-8)
0,25
Gọi B’(a;b) là điểm đối xứng với B qua thì B’nằm trên AC.
Do nên ta có: ;
Trung điểm I của BB’ phải thuộc nên có: Từ đó ta có: a= -7/5; b=4/5
0,25
Theo định lý Ta - Let suy ra
0,25
Từ đó suy ra ;C(0;-8)
0,25
b
Xét các tam giác vuông ABC vuông ở A, gọi là góc giữa hai đường trung tuyến BM và CN của tam giác. Chứng minh rằng
1,5
Gọi a, b và c tương ứng là độ dài các cạnh đối diện các góc A, B và C của tam giác. Có
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có
=; Do đó
Có
Do đó
Hay . Dấu bằng có khi tam giác vuông cân đỉnh A
3
a
Cho tam giác ABC. Gọi D, E lần lượt là các . Tìm vị trí của điểm K trên AD sao cho 3 điểm B, K, E thẳng hàng.
1,5
Vì
Giả sử
Mà nên
Vì B, K, E thẳng hàng(B) nên có m sao cho
Do đó có:
Hay
Do không cùng phương nên Từ đó suy ra . Vậy
3
b
Cho tam giác ABC vuông ở A; BC = a; CA = b; AB = c.
Xác định điểm I thỏa mãn hệ thức: ; Tìm điểm M: biểu thức đạt giá trị lớn nhất.
1,5
Kẻ đường cao AH, ta có nên . Do đó:
Suy ra
Kết hợp giả thiết suy ra hay
Do đó điểm I thỏa mãn gt là I thỏa mãn A là trung điểm IH
Với x, y, z tùy ý thỏa mãn:(*) bình phương vô hướng 2 vế (*), chú ý rằng ta có:
Từ đó có
Mặt khác
Tương tự cho yMB2; zMC2 rồi cộng các đẳng thức đó lại ta có
Thay số có:
Dấu bằng xảy ra khi M trùng I
4
a
Giải phương trình: (*)
1,5
ĐK:
(*)
Giải(a) và đối chiếu ĐK có 1 nghiệm
Giải (b) vô nghiệm. Kết luận (*) có 1 nghiệm
b
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng:
(I)
1,5
Giả thiết suy ra: . Ta Có:
Viết hai BĐT tương tự rồi cộng lại ta được:
Ta sẽ CM:
Điều này luông đúng
Dấu bằng có khi và chỉ khi x=y=z
Vậy (I) được CM, dấu bằng có khi và chỉ khi x=y=z=
Câu 5(2,0 điểm)
a) Đặt = t thì = 4t ,do đó :
Mặt khác : . Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
b)VT =
= = ( đpcm).
c) VT = =
= = =….
=
Câu 6(2,0 điểm): a)
giải phương trình này ta được nghiệm .
b)Đặt y = 12cosx +5 sinx + 14 ,ta có phương trình giải phương trình này ta được y =1vày =5. Do đó :

Giải (1) và (2) ta được :; với và .
c)ĐK: ;


Câu 7(1,0 điểm) x= 1 là nghiệm của phương trình đã cho khi và chỉ khi ta có đẳng thức
hay. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
Câu 8(2,0 điểm)
a) Lấy M(0;1) thuộc d .Khi đó . Vì d’ song song với d nên d’ có phương trình dạng : 2x-3y + C = 0 .Thay toạ độ M’vào pt d’ ta được C =10 . Vậy phương trình d’ : 2x –3y +10 =0.
b) Đường tròn ( C) có tâm I (1;-2) ,R= 3.Gọi và ( C’) là ảnh của ( C) qua phép tịnh tiến theo vectơ thì ( C’) có tâm I’ bán kính R’= 3 có pt :
Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 2018 SỐ 3
Câu 1 (2 điểm)
a. Cho hàm số và hàm số . Tìm m để đồ thị các hàm số đó cắt nhau tại hai điểm phân biệt và hoành độ của chúng đều dương.
b.Giải bất phương trình:
Câu 2 (2 điểm)
a. Giải phương trình:
b. Giải phương trình:
Câu 3 (2 điểm)
a. Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm . Đường thẳng d qua M, d cắt trục hoành tại A(hoành độ của A dương), d cắt trục tung tại B(tung độ của B dương). Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác OAB.
b. Trong mặt phẳng tọa độ cho đường tròn (C): và điểm . Đường thẳng qua A, cắt (C) tại M và N. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MN.
Câu 4 (3 điểm)
a. Chứng minh rằng tứ giác lồi ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi .
b.Tìm tất cả các tam giác ABC thỏa mãn: (trong đó AB=c; AC=b; đường cao qua A là ).
Câu 5 (1 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương . Chứng minh rằng:
Câu 6(2,0 điểm) Giải phương trình:
Câu 7(2,0 điểm) Giải hệ phương trình:
Câu 8: (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn, phía bên ngoài của tam giác ABC dựng hai tam giác đều ABM và ACN. Tìm một phép dời hình biến đoạn thẳng MC thành đoạn BN .Từ đó suy ra MC=BN.
Câu 9:(2,0 điểm)
Khảo sát tính chẵn - lẻ, tính tuần hoàn và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
Câu 10: (2.0 điểm)
Trong mph¼ng to¹ ®é Oxy cho tam gi¸c ABC có diÖn tÝch b»ng vµ ®iÓm A(2;-3), B(3;-2) träng t©m G cña tam gi¸c n»m trªn ®­êng th¼ng
(d): 3x- y - 8 = 0. T×m to¹ ®é ®iÓm C.
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN SỐ 03
Câu
Ý
Nội dung
Điểm
1
a
Tìm m: và cắt nhau tại hai điểm phân biệt và hoành độ dương
1,00
Yêu cầu bài toán PT sau có hai nghiệm dương phân biệt
0,25
0,25
Kết hợp nghiệm, kết luận
0,25
b
Giải bất phương trình:
1,00
TXĐ:
0,25
Nếu thì , bất phương trình nghiệm đúng với mọi x:
0,25
Nếu bất pt đã cho
0,25
Kết hợp nghiệm, trường hợp này ta có:
Tập nghiệm của bpt đã cho:
0,25
2
a
Giải phương trình: (1)
1,00
Đặt . (1) có dạng: Khi đó nghiệm của (1) là x ứng với (x;y) là nghiệm của (I)
0,25
(I)
0,25
TH1: y = -x kết hợp(2), có nghiệm của (1):
0,25
TH2: . Nếu có nghiệm thì . Tương tự cũng có. Khi đó VT (2) . Chứng tỏ TH2 vô nghiệm. KL (1) có 1 nghiệm
0,25
b
Giải phương trình:
1,00
ĐK: .
0,25
(*)
0,25
Do nên pt(*)
0,25
. Vậy pt đã cho có 1 nghiệm x=3
0,25
3
a
. Đg thẳng d qua M, d cắt trục hoành tại A; d cắt trục tung tại B. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác OAB()
1,00
Giả sử A(a;0); B(0;b), a>0; b>0. PT đường thẳng AB:
0,25
Vì AB qua M nên
0,25
0,25
Diện tích tam giác vuông OAB( vuông ở O)là S. Vậy S nhỏ nhất bằng 8 khi d qua A(2;0), B(0;8)
0,25
b
(C): ;. qua A, cắt (C) tại M và N. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MN.
1,0
(C) có tâm I(2;-3), bán kính R=3. Có A nằm trong đường tròn(C) vì
0,25
Kẻ IH vuông góc với MN tại H ta có
0,25
Mà
0,25
Vậy MN nhỏ nhất bằng khi H trùng A hay MN vuông góc với IA tại A
0,25
4
a
Chứng minh rằng tứ giác lồi ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi
1,5
Tứ giác lồi ABCD là hình bình hành
0,25
0,25
(*)
( vì )
0,25
0,25
0,25
(*)(Đpcm)
( Chú ý: nếu chỉ làm được 1 chiều thì cho 0,75 đ)
0,25
4
b
Tìm tất cả các tam giác ABC thỏa mãn: (1)
1,5
Có
0,25
0,25
(1)
0,25
0,25
0,25
Vậy tam giác ABC vuông ở A hoặc có
0,25
5

1,00
XétM=
0,25
0,25
Vì ;
0,25
Làm hoàn toàn tương tự với hai biểu thức còn lại
Suy ra M (Đpcm); “=”
0,25
Hình vẽ câu 3b:
Câu 6
2,0 đ
Đ/k: cosx . Pt đã cho

Câu 7
2,0 điểm
ĐK:
Hệ phương trình tương đương với
Đặt
Ta có:
Từ đó suy ra hệ phương trình có bốn nghiệm
Câu 8
2,0 điểm
Qua phép quay thì điểm M biến thành B;điểm C biến thành điểm N .Do đó ,qua phép quay thì đoạn MC biến thành đoạn BN .Vậy MC=BN
Câu 9
2,0 điểm
Tập xác định của hàm số là (đối xứng qua 0)
Vậy, f chẵn (f không lẻ vì nó không đồng nhất bằng 0)
Vậy, f tuần hoàn
Tập giá trị của hàm số là nên

Câu10
2,0 điểm
* Ta có (1)
* Đường thẳng AB có véctơ chỉ phương
Þ véctơ pháp tuyến là Þ AB: x-y-5=0
Gäi ®iÓm G(xG, yG) th× C( 3xG-5 ;3yG +5)
Ta có Ta có
VËy có hai ®iÓm tho¶ m·n C1(1;-1) , C2(-2;-10)
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 2018 SỐ 4
Câu 1.(4,0 điểm). Cho parabol (P): và đường thẳng (d) đi qua điểm và có hệ số góc là . Gọi A và B là các giao điểm của (P) và (d). Giả sử A, B lần lượt có hoành độ là .
1) Tìm để trung điểm của đoạn thẳng AB nằm trên trục tung.

onthicaptoc.com 30 de thi hsg toan 11