onthicaptoc.com
BÀI TOÁN THỰC TẾ PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Câu 1. Phần mềm điểu khiển máy in 3D cho biết đầu in phun của máy đang đặt tại điểm ( đơn vị cm). Tính khoảng cách từ đầu in đến khay đặt vật in có phương trình ?
Câu 2. Trong giờ thể dục học về kỹ thuật chuyền bóng hơi, Bình và An tập chuyền bóng cho nhau. Ở một động tác Bình chuyền bóng cho An, quả bóng bay lên cao nhưng lại lệch sang bên trái của An và rơi xuống vị trí cách chỗ An đứng và cách chỗ Bình . Chọn hệ trục tọa độ sao cho gốc tọa độ tại vị trí của Bình, vị trí của An nằm trên tia và mặt phẳng là mặt đất (tham khảo hình vẽ)
Biết rằng quỹ đạo của quả bóng nằm trong mặt phẳng và vuông góc với mặt đất. Khi đó, giá trị của bằng bao nhiêu?
Câu 3. Hình vẽ bên minh họa hình ảnh một tòa nhà trong không gian với hệ tọa độ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Biết là hình chóp cụt có hai đáy nằm trên hai mặt phẳng song song, là hình chữ nhật nằm trong mặt phẳng , , và điểm . Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng bao nhiêu mét? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)?
Câu 4. Trong không gian (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét), một ngôi nhà như hình vẽ dưới đây có sàn nhà nằm ngang trên mặt phẳng . Hai mái nhà lần lượt nằm trên các mặt phẳng , . Hỏi chiều cao của ngôi nhà tính từ sàn nhà đến nóc nhà (điểm cao nhất của mái nhà) là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng phần chục)
.
Câu 5. Trong không gian ba chiều , tọa độ các khu vực được xác định như sau:
Khu vục nằm trên mặt đất, cách trung tâm thành phố .
Khu vục nằm trên tòa nhà cao tầng và ở độ cao .
Khu vục nằm trên một đỉnh đồi ở độ cao .
Gọi vị trí lắp đặt trạm phát sóng là sao cho khoảng cách từ đến ba khu vực kể trên là bằng nhau và có khoảng cách đến chúng là nhỏ nhất. Tính (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Câu 6. Trong hệ toạ độ (đơn vị độ dài trên mỗi trục tính là mét), một vườn hoa nằm trên mặt phẳng . Có hai bóng đèn chiếu sáng cố định được đặt tại các điểm . Để đảm bảo kĩ thuật chiếu sáng, các kỹ sư muốn thiết kế trên mặt vườn một đường ray để lắp đặt một đèn chiếu sáng di động trên đường ray ấy. Yêu cầu kĩ thuật đặt ra là góc tạo bởi với mặt vườn và góc tạo bởi với mặt vườn phải luôn bằng nhau. Độ dài đường ray là bao nhiêu mét? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Câu 7. Mô phỏng trong không gian với hệ tọa độ (đơn vị trên mỗi trục số là kilômét), một máy bay đang ở vị trí và sẽ hạ cánh ở điểm có tọa độ trên đường băng. Có một lớp mây mỏng được mô phỏng bởi một mặt phẳng đi qua ba điểm và . Tính khoảng cách giữa máy bay và đường băng ngay khi máy bay bay xuyên qua lớp mây (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm của kilômét).
Câu 8. Trong một trò chơi mô phỏng bắn súng, một người chơi đặt điểm ngắm tại điểm O là giao điểm của và trong căn phòng hình hộp chữ nhật có kích thước . Người chơi di chuyển trên đoạn có nhiệm vụ bắn trúng một mục tiêu di động trên mặt phẳng Tính khoảng cách ngắn nhất từ điểm ngắm đó đến mục tiêu (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2).
Câu 9. Một nhóm chuyên gia đang nghiên cứu dựng một tấm kính cường lực hình tam giác để đặt vào một góc tường. Biết ba mặt của góc tường đôi một vuông góc và giao tuyến của chúng lần lượt là các tia sao cho trùng với mặt phẳng sàn nhà, mỗi đơn vị trong hệ trục tọa độ ứng với thực tế. Mặt phẳng kính luôn đi qua điểm , điểm này cách các mặt phẳng lần lượt là . Khi khoảng cách từ chiếc đèn có tọa độ tới mặt phẳng kính lớn nhất, tính diện tích tấm kính cường lực theo (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)?
Câu 10. Trong một quảng trường, có hai bức tượng nghệ thuật được đặt cố định tại các vị trí và .
Một trụ đèn chiếu sáng thông minh được lắp đặt trên một tấm kính lớn cố định, có phương trình: . Gọi tọa độ điểm đặt trụ đèn là .
Để tạo hiệu ứng ánh sáng đối xứng hoàn hảo giữa hai bức tượng, qua tính toán người thiết kế yêu cầu trụ đèn phải cách đều hai điểm và sao cho
Tính giá trị của .
Câu 11. Khối rubik được gắn với hệ toạ độ có đơn vị bằng độ dài cạnh của hình lập phương nhỏ (hình vẽ). Xét bốn điểm với đồng phẳng. Biết rằng tọa độ điểm . Khi đó giá trị bằng bao nhiêu?
Câu 12. Hình vẽ minh họa một khu nhà đang xây dựng được gắn hệ trục tọa độ (đơn vị trên các trục là mét). Mỗi cột bê tông có dạng hình lăng trụ tứ giác đều và tâm của mặt đáy trên lần lượt là các điểm . Biết rằng 4 điểm đồng phẳng, tính giá trị của (viết kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Câu 13. Hình ảnh bên minh hoạ một cánh cửa hình chữ nhật có chiều rộng 1 m và chiều cao 2 m khi đang mở. Chọn hệ toạ độ như hình vẽ, biết cánh cửa tạo với bức tường một góc , bờ tường vuông góc với mặt sàn. Bỏ qua bề dày của cánh cửa thì phương trình mặt phẳng chứa cánh cửa là . Tính giá trị .
Câu 14. Một sân vận động được xây dựng theo mô hình là hình chóp cụt có hai đáy song song với nhau. Mặt sân là hình chữ nhật và được gắn hệ trục như hình vẽ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Mặt sân có chiều dài , chiều rộng và tọa độ điểm . Giả sử phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng . Tính giá trị biểu thức .
Câu 15. Trong không gian với hệ trục tọa độ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là kilômét), một máy bay đang ở vị trí và sẽ hạ cánh ở vị trí trên đường băng (như hình vẽ). Có một lớp mây được mô phỏng bởi mặt phẳng () đi qua ba điểm . Độ cao của máy bay khi máy bay xuyên qua đám mây để hạ cánh là bao nhiêu km (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Câu 16. Trong một khung lưới ô vuông gồm các hình lập phương, người ta đưa ra một cách kiểm tra bốn nút lưới (đỉnh hình lập phương) bất kì có đồng phẳng hay không bằng cách gắn hệ trục toạ độ vào khung lưới ô vuông và lập phương trình mặt phẳng đi qua ba nút lưới trong bốn nút lưới đã cho. Giả sử có ba nút lưới mà toạ độ lần lượt là và mặt phẳng đi qua ba nút lưới đó có phương trình . Giá trị của là bao nhiêu?
Câu 17. Một phần sân trường được định vị bởi các điểm , như hình vẽ.
Bước đầu chúng được lấy “ thăng bằng” để có cùng độ cao. Biết là hình thang vuông ở và với độ dài , , . Do yêu cầu kĩ thuật, khi lát phẳng phần sân trường phải thoát nước về góc sân ở nên người ta lấy độ cao ở các điểm , , xuống thấp hơn so với độ cao ở lần lượt là , , tương ứng sao cho bốn điểm đồng phẳng. Giá trị của là
Câu 18. Một công trình đang xây dựng được gắn hệ trục (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Ba bức tường lần lượt thuộc các mặt phẳng (như hình vẽ) của tòa nhà lần lượt có phương trình: , , .
Độ rộng của bức tường thuộc mặt phẳng của tòa nhà bằng bao nhiêu mét? (Làm tròn kết quả đến chữ số hàng phần chục).
Câu 19. Biết góc quan sát ngang của một camera là . Trong không gian , camera được đặt tại điểm và chiếu thẳng về phía mặt phẳng . Hỏi vùng quan sát được trên mặt phẳng của camera là hình tròn có diện tích bằng bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số hàng phần chục).
Câu 20. Một nắp bể nước hình chữ nhật nằm cạnh bờ tường có kích thước được kéo dài ra từ mặt sàn, do tác dụng của trọng lực nên nắp bể không thể mở ra được nếu không có người giữ. Người ta dùng một sợi dây xích dài 15 dm và kéo căng nối đỉnh của hình chữ nhật với điểm nằm phía trên bờ tường sao cho và vuông góc với mặt sàn. Chọn hệ trục như hình vẽ, khi đó nắp bể mở ra và tạo với mặt sàn một góc (đơn vị trên mỗi trục tọa độ tính bằng dm). Bỏ qua độ dày của nắp bể.
Phương trình mặt phẳng chứa nắp bể sau khi kéo lên là . Tính
Câu 21. Trên sườn dốc được xác định bởi các điểm và , tại điểm có đặt một ăng-ten.
Tại điểm sẽ lắp một thanh chống, sao cho thanh này vuông góc và chạm vào sườn dốc tại điểm . Hãy tính chiều dài của thanh chống đó (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)
Câu 22. Một chiếc thuyền máy di chuyển trong một vùng nước có mặt đáy phẳng nhưng hơi dốc lên. Các điểm và là các điểm thuộc mặt đáy. Trên thuyền có một cảm biến đo tiếng vọng đặt ở mặt nước.
Khoảng cách từ cảm biến đến mặt đáy là bao nhiêu khi cảm biến ở điểm ? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)
Câu 23. Một buổi biểu diễn sân khấu diễn ra trên một sân khấu nghiêng về phía khán giả.
Cuối buổi biểu diễn, nữ diễn viên chính rời sân khấu trong một chiếc ghế treo trên dây, di chuyển từ điểm đến điểm . Sau khi đi được quãng đường, cô ấy dừng lại để thực hiện động tác cuối. Hãy tính khoảng cách của cô ấy đến mặt phẳng sân khấu tại thời điểm đó (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)
Câu 24. Do có ánh kim loại và màu vàng óng, pyrit còn được gọi là vàng găm. Thường gặp dưới dạng lập phương hoặc bát diện hoàn hảo, đôi khi nhiều tinh thể dính liền nhau. Thỉnh thoảng cũng thấy các khối lập phương pyrit bị mất một góc, tạo thành một hình chóp tam giác đều.
Xét một khối lập phương pyrit cạnh 3 cm, bị mất một góc dưới dạng hình chóp tam giác đều có các cạnh bên dài 1 cm.
Phương trình của mặt phẳng vỡ có dạng . Tìm
Câu 25. Trong quá trình ông An xây nhà thì phải đổ bê tông cho một mái vát để lợp ngói. Ông tính toán việc ghép cốt pha đi qua điểm B trên một chân tường và điểm C trên cột góc nhà và tận dụng một chiếc cột có sẵn cách đều hai bức tường 1m và chiều cao 1m ( đỉnh cột là điểm M) để chống mặt ghép, đồng thời mặt ghép cốt pha phải đi qua điểm A trên một chân tường còn lại cách điểm O một khoảng 4m (tham khảo hình vẽ). Biết rằng hai bức tường được xây vuông góc với nhau, mỗi bức tường đều vuông góc với sàn mái nhà. Diện tích nhỏ nhất của khung ghép cốt pha ABC là bao nhiêu mét vuông (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
Câu 26. Trong hoạt động quay phim và chụp ảnh chuyên nghiệp, tấm hắt sáng là một công cụ không thể thiếu. Một ê-kíp nhận dự án chụp hình cho một căn hộ phục vụ cho mục đích quảng quảng. Tấm hắt sáng được đặt trên một bề mặt gỗ mỏng hình tam giác, mỗi đỉnh của mặt gỗ đặt trên một chiếc cọc lần lượt cao 2m, 1m và 0,5m. Cọc cao nhất đặt ở góc tường, cọc cao 1m sẽ đặt ở tường sau nhà, cách tường trái 2m, cọc còn lại đặt ở tường bên trái, cách tường sau 1m. Để đảm bảo sự chắc chắn, người ta chống một chiếc cọc vuông góc mặt đất và đỡ phía dưới mặt gỗ, cách mỗi bức tường 0,5m (chân cọc chống đỡ ở mặt đất).
Hỏi chiếc cọc chống đỡ này có chiều dài bao nhiêu mét?
Câu 27. Cho tờ giấy có hình dạng như sau: một hình vuông có cạnh bằng 8 , ở hai cạnh đối diện và lần lượt gắn hai nửa đường tròn có đường kính là mỗi cạnh ấy. Trên cung tròn , lấy 2 điểm chia thành ba đoạn bằng nhau, lấy điểm gần là . Trên cung tròn , lấy điểm chia thành hai đoạn bằng nhau. Gấp tờ giấy lên theo hai đường thẳng và sao cho hai nửa đường tròn dựng đứng (cùng phía) lên khỏi mặt phẳng . Khi đó, từ hai điểm và ta hạ các đường vuông góc xuống mặt phẳng được các hình chiếu là và .
Người ta cho biết và nằm bên trong hình vuông sao cho Gọi là góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng . Hỏi giá trị của bằng bao nhiêu?
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1. Phần mềm điểu khiển máy in 3D cho biết đầu in phun của máy đang đặt tại điểm ( đơn vị cm). Tính khoảng cách từ đầu in đến khay đặt vật in có phương trình ?
Lời giải
Đáp số:
Ta có phương trình mặt phẳng là
Khoảng cách từ đầu in đến khay đặt vật là:
Câu 2. Trong giờ thể dục học về kỹ thuật chuyền bóng hơi, Bình và An tập chuyền bóng cho nhau. Ở một động tác Bình chuyền bóng cho An, quả bóng bay lên cao nhưng lại lệch sang bên trái của An và rơi xuống vị trí cách chỗ An đứng và cách chỗ Bình . Chọn hệ trục tọa độ sao cho gốc tọa độ tại vị trí của Bình, vị trí của An nằm trên tia và mặt phẳng là mặt đất (tham khảo hình vẽ)
Biết rằng quỹ đạo của quả bóng nằm trong mặt phẳng và vuông góc với mặt đất. Khi đó, giá trị của bằng bao nhiêu?
Lời giải
Đáp số: -400.
Quả bóng rơi xuống tại điểm .
Mặt phẳng đi qua nên , điểm thuộc nên có .
Mặt khác vuông góc với mặt đất nên .
Vậy mặt phẳng có phương trình là .
.
Câu 3. Hình vẽ bên minh họa hình ảnh một tòa nhà trong không gian với hệ tọa độ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Biết là hình chóp cụt có hai đáy nằm trên hai mặt phẳng song song, là hình chữ nhật nằm trong mặt phẳng , , và điểm . Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng bao nhiêu mét? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)?
Lời giải
Đáp án: .
Từ hình vẽ ta có , .
Khi đó , .
Suy ra mặt phẳng có véc-tơ pháp tuyến là . Mà đi qua điểm nên phương trình mặt phẳng là .
Khoảng cách từ đến mặt phẳng là .
Câu 4. Trong không gian (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét), một ngôi nhà như hình vẽ dưới đây có sàn nhà nằm ngang trên mặt phẳng . Hai mái nhà lần lượt nằm trên các mặt phẳng , . Hỏi chiều cao của ngôi nhà tính từ sàn nhà đến nóc nhà (điểm cao nhất của mái nhà) là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng phần chục)
.
Lời giải
Đáp án: 4,8.
Cần tìm tọa độ một điểm thuộc đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng và
Cho , ta giải hệ phương trình:
Do đó gốc tọa độ thuộc đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng và
Khi đó chiều cao từ sàn nhà đến nóc nhà là
Câu 5. Trong không gian ba chiều , tọa độ các khu vực được xác định như sau:
Khu vục nằm trên mặt đất, cách trung tâm thành phố .
Khu vục nằm trên tòa nhà cao tầng và ở độ cao .
Khu vục nằm trên một đỉnh đồi ở độ cao .
Gọi vị trí lắp đặt trạm phát sóng là sao cho khoảng cách từ đến ba khu vực kể trên là bằng nhau và có khoảng cách đến chúng là nhỏ nhất. Tính (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Lời giải
Đáp số: 110.
Do sao cho khoảng cách từ đến ba khu vực kể trên là bằng nhau và có khoảng cách đến chúng là nhỏ nhất nên là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác .
Có
Chọn vecto pháp tuyến của là , nên PTMP là:
.
Do cách đều
.
Vậy thỏa mãn
nên .
Câu 6. Trong hệ toạ độ (đơn vị độ dài trên mỗi trục tính là mét), một vườn hoa nằm trên mặt phẳng . Có hai bóng đèn chiếu sáng cố định được đặt tại các điểm . Để đảm bảo kĩ thuật chiếu sáng, các kỹ sư muốn thiết kế trên mặt vườn một đường ray để lắp đặt một đèn chiếu sáng di động trên đường ray ấy. Yêu cầu kĩ thuật đặt ra là góc tạo bởi với mặt vườn và góc tạo bởi với mặt vườn phải luôn bằng nhau. Độ dài đường ray là bao nhiêu mét? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Lời giải
Đáp án: 1720
Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng
Khi đó yêu cầu bài toán đặt ra
Ta có
Xét điểm thuộc đường tròn đường kính
Mặt khác ta có
Vậy điểm chuyển động trên đường tròn đường kính bằng độ dài của đường day là
Câu 7. Mô phỏng trong không gian với hệ tọa độ (đơn vị trên mỗi trục số là kilômét), một máy bay đang ở vị trí và sẽ hạ cánh ở điểm có tọa độ trên đường băng. Có một lớp mây mỏng được mô phỏng bởi một mặt phẳng đi qua ba điểm và . Tính khoảng cách giữa máy bay và đường băng ngay khi máy bay bay xuyên qua lớp mây (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm của kilômét).
Lời giải
Mặt phẳng đi qua ba điểm nên phương trình đoạn chắn của mặt phẳng là
Gọi là giao điểm của và . Khi đó, do và cùng phương nên tồn tại số thực
Do nên ta có
Do đó khoảng cách giữa máy bay và đường băng ngay khi máy bay bay xuyên qua lớp mây là
Đáp án: 5,02.
Câu 8. Trong một trò chơi mô phỏng bắn súng, một người chơi đặt điểm ngắm tại điểm O là giao điểm của và trong căn phòng hình hộp chữ nhật có kích thước . Người chơi di chuyển trên đoạn có nhiệm vụ bắn trúng một mục tiêu di động trên mặt phẳng Tính khoảng cách ngắn nhất từ điểm ngắm đó đến mục tiêu (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2).
Lời giải
Đáp số:
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có , và
Phương trình mặt phẳng
Do . Khoảng cách ngắn nhất từ điểm bắn đến mục tiêu chính là khoảng cách từ đến mặt phẳng . Do vậy ta có
Vậy khoảng cách ngắn nhất từ điểm ngắm đến mục tiêu là khoảng mét.
Câu 9. Một nhóm chuyên gia đang nghiên cứu dựng một tấm kính cường lực hình tam giác để đặt vào một góc tường. Biết ba mặt của góc tường đôi một vuông góc và giao tuyến của chúng lần lượt là các tia sao cho trùng với mặt phẳng sàn nhà, mỗi đơn vị trong hệ trục tọa độ ứng với thực tế. Mặt phẳng kính luôn đi qua điểm , điểm này cách các mặt phẳng lần lượt là . Khi khoảng cách từ chiếc đèn có tọa độ tới mặt phẳng kính lớn nhất, tính diện tích tấm kính cường lực theo (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)?
Lời giải
Đáp số:
Từ giả thiết: điểm cách các mặt phẳng lần lượt là .
Điểm có tọa độ .
Giả sử lần lượt là giao điểm của mặt phẳng chứa kính cường lực với các tia .
Gọi là hình chiếu vuông góc của điểm trên mặt phẳng .
Ta có: .
Dấu “=” xảy ra khi trùng với .
Khi đó vuông góc với mặt phẳng .
Ta có .
Gọi lần lượt là giao điểm của với các tia , suy ra:
.
Diện tích của tấm kính cường lực:
Vậy khi khoảng cách từ chiếc đèn có tọa độ tới mặt phẳng kính lớn nhất, diện tích tấm kính cường lực xấp xỉ bằng .
Câu 10. Trong một quảng trường, có hai bức tượng nghệ thuật được đặt cố định tại các vị trí và .
Một trụ đèn chiếu sáng thông minh được lắp đặt trên một tấm kính lớn cố định, có phương trình: . Gọi tọa độ điểm đặt trụ đèn là .
Để tạo hiệu ứng ánh sáng đối xứng hoàn hảo giữa hai bức tượng, qua tính toán người thiết kế yêu cầu trụ đèn phải cách đều hai điểm và sao cho
Tính giá trị của .
Lời giải
Trả lời: 0,5
Đưa bài toán về thuần ta được: cho điểm thuộc mặt phẳng sao cho . Tìm giá trị của
+ Gọi là mặt phẳng trung trực của đoạn , khi đó qua điểm và có vec tơ pháp tuyến , nên có phương trình là: .
+ Vì nên thuộc mặt phẳng , do đó thỏa mãn hệ
.
+ Có
+ Vậy .
Câu 11. Khối rubik được gắn với hệ toạ độ có đơn vị bằng độ dài cạnh của hình lập phương nhỏ (hình vẽ). Xét bốn điểm với đồng phẳng. Biết rằng tọa độ điểm . Khi đó giá trị bằng bao nhiêu?
Trả lời: 5
Phương trình mặt phẳng là: .
Vì thuộc mặt phẳng nên
. Vậy . Khi đó giá trị .
Câu 12. Hình vẽ minh họa một khu nhà đang xây dựng được gắn hệ trục tọa độ (đơn vị trên các trục là mét). Mỗi cột bê tông có dạng hình lăng trụ tứ giác đều và tâm của mặt đáy trên lần lượt là các điểm . Biết rằng 4 điểm đồng phẳng, tính giá trị của (viết kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Trả lời: 0,8.
Ta có: .
Xét:
Hay là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .
Phương trình mặt phẳng là: .
Vì đồng phẳng nên thay tọa độ điểm vào phương trình mặt phẳng () ta được
Câu 13. Hình ảnh bên minh hoạ một cánh cửa hình chữ nhật có chiều rộng 1 m và chiều cao 2 m khi đang mở. Chọn hệ toạ độ như hình vẽ, biết cánh cửa tạo với bức tường một góc , bờ tường vuông góc với mặt sàn. Bỏ qua bề dày của cánh cửa thì phương trình mặt phẳng chứa cánh cửa là . Tính giá trị .
Trả lời: 3.
Giả sử .
Vì ta đã có dạng của phương trình mặt phẳng chứa cánh cửa (chứa 3 ẩn ) nên để viết được phương trình mặt phẳng , ta cần đi tìm được 3 điểm thuộc mặt phẳng đó.
Ta vẽ lại hình như và kí hiệu các điểm như hình sau:
Với là các điểm thuộc mặt phẳng . Kẻ .
Dựa vào hình vẽ, ta thấy mặt phẳng cần tìm đi qua các điểm .
Trong tam giác vuông tại , ta có
Suy ra .
Vì đều thuộc mặt phẳng nên ta có hệ phương trình .
Vậy .
Câu 14. Một sân vận động được xây dựng theo mô hình là hình chóp cụt có hai đáy song song với nhau. Mặt sân là hình chữ nhật và được gắn hệ trục như hình vẽ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Mặt sân có chiều dài , chiều rộng và tọa độ điểm . Giả sử phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng . Tính giá trị biểu thức .
Lời giải
Trả lời: -5.
Từ giả thiết, ta có ;
Suy ra mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là .
Phương trình tổng quát của mặt phẳng là .
Do đó . Vậy .
Câu 15. Trong không gian với hệ trục tọa độ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là kilômét), một máy bay đang ở vị trí và sẽ hạ cánh ở vị trí trên đường băng (như hình vẽ). Có một lớp mây được mô phỏng bởi mặt phẳng () đi qua ba điểm . Độ cao của máy bay khi máy bay xuyên qua đám mây để hạ cánh là bao nhiêu km (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Lời giải
Trả lời: 0,60.
Giả sử là vị trí mà máy bay xuyên qua đám mấy để hạ cánh
Mặt phẳng có phương trình là
Vì và là hai vectơ cùng hướng nên tồn tại số thực sao cho
Vì nên
Vậy
Độ cao của máy bay khi máy bay xuyên qua đám mây là
Câu 16. Trong một khung lưới ô vuông gồm các hình lập phương, người ta đưa ra một cách kiểm tra bốn nút lưới (đỉnh hình lập phương) bất kì có đồng phẳng hay không bằng cách gắn hệ trục toạ độ vào khung lưới ô vuông và lập phương trình mặt phẳng đi qua ba nút lưới trong bốn nút lưới đã cho. Giả sử có ba nút lưới mà toạ độ lần lượt là và mặt phẳng đi qua ba nút lưới đó có phương trình . Giá trị của là bao nhiêu?
Lời giải
Trả lời: -10
Xét các điểm .
Khi đó, ta có .
Gọi là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đi qua ba điểm .
Chọn .
Suy ra phương trình của mặt phẳng đi qua ba nút lưới là

Vậy nên .
Câu 17. Một phần sân trường được định vị bởi các điểm , như hình vẽ.
Bước đầu chúng được lấy “ thăng bằng” để có cùng độ cao. Biết là hình thang vuông ở và với độ dài , , . Do yêu cầu kĩ thuật, khi lát phẳng phần sân trường phải thoát nước về góc sân ở nên người ta lấy độ cao ở các điểm , , xuống thấp hơn so với độ cao ở lần lượt là , , tương ứng sao cho bốn điểm đồng phẳng. Giá trị của là
Lời giải
Trả lời: 17,2
Chọn hệ trục tọa độ sao cho: , tia ; tia .
Khi đó, ; ; ;.
Khi hạ độ cao các điểm ở các điểm , , xuống thấp hơn so với độ cao ở là , , tương ứng ta có các điểm mới ; ;.
Theo bài ra có bốn điểm ; ; ; đồng phẳng.
Phương trình mặt phẳng .
Do nên có: .
Vậy .
Câu 18. Một công trình đang xây dựng được gắn hệ trục (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Ba bức tường lần lượt thuộc các mặt phẳng (như hình vẽ) của tòa nhà lần lượt có phương trình: , , .
Độ rộng của bức tường thuộc mặt phẳng của tòa nhà bằng bao nhiêu mét? (Làm tròn kết quả đến chữ số hàng phần chục).
Lời giải
Đáp án: 3,1
Ta có:
có vectơ pháp tuyến là .
có vectơ pháp tuyến là .
có vectơ pháp tuyến là .
Ta có: nên hai bức tường và song song với nhau.
nên bức tường vuông góc với hai bức tường và .
Chọn điểm . Do hai bức tường và song song nhau nên:
m.
Vậy độ rộng bức tường của tòa nhà là .
Câu 19. Biết góc quan sát ngang của một camera là . Trong không gian , camera được đặt tại điểm và chiếu thẳng về phía mặt phẳng . Hỏi vùng quan sát được trên mặt phẳng của camera là hình tròn có diện tích bằng bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số hàng phần chục).
Lời giải
Đáp án: 32,2
Gọi là các điểm như hình vẽ bên dưới và là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng .
Hình vẽ
Theo đề .
Khi đó (đvđd).
Xét tam giác vuông tại , ta có: (đvđd).
Vậy vùng quan sát của camera trên mặt phẳng là hình tròn có diện tích (đvdt).
Câu 20. Một nắp bể nước hình chữ nhật nằm cạnh bờ tường có kích thước được kéo dài ra từ mặt sàn, do tác dụng của trọng lực nên nắp bể không thể mở ra được nếu không có người giữ. Người ta dùng một sợi dây xích dài 15 dm và kéo căng nối đỉnh của hình chữ nhật với điểm nằm phía trên bờ tường sao cho và vuông góc với mặt sàn. Chọn hệ trục như hình vẽ, khi đó nắp bể mở ra và tạo với mặt sàn một góc (đơn vị trên mỗi trục tọa độ tính bằng dm). Bỏ qua độ dày của nắp bể.
Phương trình mặt phẳng chứa nắp bể sau khi kéo lên là . Tính
Lời giải
Đáp án : 3
Điểm M nẳm trên mặt phẳng với .
Chiếu lần lượt lên các mặt phẳng ta được .
Ta có:
.
Mặt phẳng kéo lên qua điểm chứa và
Ta có: và
Vecto pháp tuyến của mặt là
Vậy phương trình mặt phẳng chứa nắp pể sau khi kéo lên là . Cách2: Mặt phẳng kéo lên đi qua trục nên có phương trình tổng quát là .
Mặt phẩng kéo lên đi qua nên .
Vậy phương trình mặt phẳng chứa nắp bể sau khi kéo lên là .
Câu 21. Trên sườn dốc được xác định bởi các điểm và , tại điểm có đặt một ăng-ten.
Tại điểm sẽ lắp một thanh chống, sao cho thanh này vuông góc và chạm vào sườn dốc tại điểm .
Hãy tính chiều dài của thanh chống đó (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)
Lời giải
Trả lời: 4,47
Vì (cùng ) và (cùng ), suy ra phương trình mặt phẳng
Thanh chống từ vuông góc mặt phẳng
Chiều dài thanh chống
Câu 22. Một chiếc thuyền máy di chuyển trong một vùng nước có mặt đáy phẳng nhưng hơi dốc lên. Các điểm và là các điểm thuộc mặt đáy. Trên thuyền có một cảm biến đo tiếng vọng đặt ở mặt nước.
Khoảng cách từ cảm biến đến mặt đáy là bao nhiêu khi cảm biến ở điểm ? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)
Lời giải
Trả lời: 15
Phương trình mặt đáy
Qua , mặt đáy có:
Khoảng cách từ cảm biến tại đến mặt đáy
Câu 23. Một buổi biểu diễn sân khấu diễn ra trên một sân khấu nghiêng về phía khán giả.
Cuối buổi biểu diễn, nữ diễn viên chính rời sân khấu trong một chiếc ghế treo trên dây, di chuyển từ điểm đến điểm . Sau khi đi được quãng đường, cô ấy dừng lại để thực hiện động tác cuối. Hãy tính khoảng cách của cô ấy đến mặt phẳng sân khấu tại thời điểm đó (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)
Lời giải
Trả lời: 5,82
Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có: , và
Mặt phẳng sân khấu
Vectơ pháp tuyến rút gọn được ().
Phương trình mặt phẳng qua :
Di chuyển treo dây từ đến ; dừng ở quãng đường
Điểm dừng:
Khoảng cách vuông góc đến mặt phẳng sân khấu:
Câu 24. Do có ánh kim loại và màu vàng óng, pyrit còn được gọi là vàng găm. Thường gặp dưới dạng lập phương hoặc bát diện hoàn hảo, đôi khi nhiều tinh thể dính liền nhau. Thỉnh thoảng cũng thấy các khối lập phương pyrit bị mất một góc, tạo thành một hình chóp tam giác đều.
Xét một khối lập phương pyrit cạnh 3 cm, bị mất một góc dưới dạng hình chóp tam giác đều có các cạnh bên dài 1 cm.
Phương trình của mặt phẳng vỡ có dạng . Tìm
Lời giải
Trả lời:
Ta có
Phương trình mặt phẳng đi qua điểm
Câu 25. Trong quá trình ông An xây nhà thì phải đổ bê tông cho một mái vát để lợp ngói. Ông tính toán việc ghép cốt pha đi qua điểm B trên một chân tường và điểm C trên cột góc nhà và tận dụng một chiếc cột có sẵn cách đều hai bức tường 1m và chiều cao 1m ( đỉnh cột là điểm M) để chống mặt ghép, đồng thời mặt ghép cốt pha phải đi qua điểm A trên một chân tường còn lại cách điểm O một khoảng 4m (tham khảo hình vẽ). Biết rằng hai bức tường được xây vuông góc với nhau, mỗi bức tường đều vuông góc với sàn mái nhà. Diện tích nhỏ nhất của khung ghép cốt pha ABC là bao nhiêu mét vuông (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
Lời giải
Đáp án:
Gọi mặt phẳng đi qua có phương trình là . Mặt khác ta có đi qua điểm .
Từ .
Mặt khác và từ .
Khi đó . Xét .
Vậy . Làm tròn đến hàng phần trăm ta có .
Câu 26. Trong hoạt động quay phim và chụp ảnh chuyên nghiệp, tấm hắt sáng là một công cụ không thể thiếu. Một ê-kíp nhận dự án chụp hình cho một căn hộ phục vụ cho mục đích quảng quảng. Tấm hắt sáng được đặt trên một bề mặt gỗ mỏng hình tam giác, mỗi đỉnh của mặt gỗ đặt trên một chiếc cọc lần lượt cao 2m, 1m và 0,5m. Cọc cao nhất đặt ở góc tường, cọc cao 1m sẽ đặt ở tường sau nhà, cách tường trái 2m, cọc còn lại đặt ở tường bên trái, cách tường sau 1m. Để đảm bảo sự chắc chắn, người ta chống một chiếc cọc vuông góc mặt đất và đỡ phía dưới mặt gỗ, cách mỗi bức tường 0,5m (chân cọc chống đỡ ở mặt đất).
Hỏi chiếc cọc chống đỡ này có chiều dài bao nhiêu mét?
Lời giải
Trả lời: 1
Gắn hệ tọa độ vào phía góc tường, điểm trùng với góc tường, trục cao trùng với cọc cao nhất và hai trục , lần lượt là hai đường chân tường. Mỗi đơn vị ứng với 1 mét thực tế.
Đỉnh của các cọc có chiều cao giảm dần lần lượt là các điểm . Chiếc cọc chống đặt tại điểm và điểm tiếp xúc giữa mặt gỗ và cọc chống là điểm .
Theo đề bài, ta được các điểm: ; ; ; .
Khi đó chiều dài cọc chống chính là độ dài đoạn thẳng và là điểm thỏa mãn nằm trên sao cho cùng phương với .
Ta có: .
Mặt phẳng nhận là vectơ pháp tuyến.
Có .
Khi đó mặt phẳng có phương trình:
.
Gọi
Có . Mà cùng phương với .
.
Lại có .
Khi đó .
Như vậy chiều dài cọc chống đỡ này là 1 mét.
Câu 27. Cho tờ giấy có hình dạng như sau: một hình vuông có cạnh bằng 8 , ở hai cạnh đối diện và lần lượt gắn hai nửa đường tròn có đường kính là mỗi cạnh ấy. Trên cung tròn , lấy 2 điểm chia thành ba đoạn bằng nhau, lấy điểm gần là . Trên cung tròn , lấy điểm chia thành hai đoạn bằng nhau. Gấp tờ giấy lên theo hai đường thẳng và sao cho hai nửa đường tròn dựng đứng (cùng phía) lên khỏi mặt phẳng . Khi đó, từ hai điểm và ta hạ các đường vuông góc xuống mặt phẳng được các hình chiếu là và .
Người ta cho biết và nằm bên trong hình vuông sao cho Gọi là góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng . Hỏi giá trị của bằng bao nhiêu?
Lời giải
Trả lời: 40
Gắn hệ trục tọa độ , sao cho , tia , tia , tia thẳng đứng lên.
Gọi là trung điểm của , khi đó
Suy ra tọa độ và
Gọi là trung điểm , khi đó tam giác là tam giác đều có cạnh dài bằng .
Kẻ tại , khi đó , từ đó ta suy ra được
Suy ra tọa độ và
Xét có: là một tam giác cân tại , suy ra
Xét ta có:
Suy ra
Ta dễ thấy được là hình chiếu vuông góc của tam giác lên mặt phẳng nên:
Lời bình của mình sau khi giải bài này
Ở bài này, đối với một số bạn học sinh, sau khi tìm được tọa độ, các bạn sẽ tìm vecto pháp tuyến, rồi tìm góc, nhưng tính toán sẽ dài và dễ sai. Cho bên mình giải theo cách này sẽ đẹp mắt hơn!
onthicaptoc.com

onthicaptoc.com 30 Bai toan thuc te bai Phuong trinh mat phang