onthicaptoc.com
BÀI TOÁN THỰC TẾ BÀI CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Câu 1. Cường độ âm thanh (dB) tại một địa điểm được đo liên tục trong 12 giờ là một hàm số có bảng biến thiên như sau:
Tại thời điểm bằng bao nhiêu trong thời gian khảo sát thì cường độ âm thanh là nhỏ nhất ?
Câu 2. Một vật chuyển động theo quy luật với là khoảng thời gian tính từ khi vật đó bắt đầu chuyển động và là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian giây, kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bào nhiêu?
Câu 3. Một cửa hàng cà phê bán cà phê espresso, nhận thấy rằng lợi nhuận của cửa hàng (tính theo đơn vị triệu đồng/ngày) phụ thuộc vào giá bán (chục nghìn đồng) mỗi ly espresso. Qua khảo sát, cửa hàng mô tả lợi nhuận theo hàm số sau: . Hỏi cửa hàng nên chọn mức giá mỗi ly là bao nhiêu nghìn đồng để lợi nhuận tối ưu nhất?
Câu 4. Một vật chuyển động với vận tốc được xác định bởi hàm số với . Khi đó là gia tốc của vật tại thời điểm (giây). Vận tốc của vật đạt được cao nhất trong khoảng thời gian 3 giây đầu là bao nhiêu m/s?
Câu 5. Doanh số bán hàng của một loại sản phẩm (chục triệu đồng) trong một phiên livestream bán hàng kéo dài sáu giờ theo quy luật hàm số trong đó thời gian được tính bằng giờ kể từ khi bắt đầu livestream.
Khi đó, đạo hàm sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi sau bao nhiêu giờ kể từ khi bắt đầu phiên livestream thì doanh số bán hàng là lớn nhất?
Câu 6. Chào đón năm mới , Thành phố trang trí đèn led biểu tượng hình chữ được ghép từ các thanh , sao cho tam giác vuông tại . Để tăng hiệu ứng, các kỹ sư đã thiết kế một chuỗi led chạy từ xuống với vận tốc phút và một chuỗi led chạy từ lên với vận tốc phút. Sau khi đóng nguồn điện thì cả hai chuỗi led đồng thời xuất phát. Hỏi sau bao nhiêu giây từ thời điểm đóng nguồn thì khoảng cách giữa hai điểm sáng đầu tiên của hai chuỗi led là nhỏ nhất ?
Câu 7. Vận tốc của một tàu con thoi từ lúc cất cánh tại thời điểm cho đến thời điểm được cho bởi công thức (vận tốc được tính bằng đơn vị ). Hỏi tại thời điểm tàu con thoi đạt gia tốc nhỏ nhất thì vận tốc tàu con thoi gần bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Câu 8. Giả sử doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) tuân theo quy luật logistic được mô hình hoá bằng hàm số trong đó thời gian được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi sau khi phát hành bao nhiêu năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)
Câu 9. Anh Ba đang trên chiếc thuyền tại vị trí A cách bờ sông , anh dự định chèo thuyền vào bờ và tiếp tục chạy bộ theo một đường thẳng để đến một địa điểm B tọa lạc ven bờ sông, B cách vị trí O trên bờ gần với thuyền nhất là (hình vẽ). Biết rằng anh Ba chèo thuyền với vận tốc và chạy bộ trên bờ với vận tốc . Khoảng thời gian ngắn nhất để anh Ba từ vị trí xuất phát đến được điểm B là bao nhiêu phút?
Câu 10. Nồng độ của một hoá chất sau giờ tiêm vào cơ thể được xác định bởi công thức với . Sau khoảng bao nhiêu giờ tiêm thì nồng độ của hoá chất trong máu là lớn nhất? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)
Câu 11. Một vật chuyển động với vận tốc phụ thuộc vào thời gian có đồ thị của hàm số dạng hàm bậc ba như hình bên. Biết rằng tại thời điểm vật có vận tốc và tại thời điểm vật có vận tốc . Hỏi vận tốc của vật tại thời điểm bằng bao nhiêu km/h?
Câu 12. Một xưởng sản xuất nón bảo hiểm có hàm chi phí sản xuất cho chiếc nón là (nghìn đồng). Giá bán mỗi chiếc nón là 50 nghìn đồng. Hãy xác định số lượng nón cần sản xuất để xưởng đạt lợi nhuận tối đa.
Câu 13. Trong một phản ứng hóa học, tốc độ phản ứng được biểu diễn theo công thức: trong đó:
 là tốc độ phản ứng (mol/l/s),
 là hằng số tốc độ phản ứng,
[A] và [B] lần lượt là nồng độ của hai chất phản ứng (mol/l).
Giả sử tổng nồng độ ban đầu của [A] và [B] là , tức là Hãy tìm nồng độ của [A] tại đó tốc độ phản ứng đạt cực đại.
Câu 14. Giả sử tổng chi phí sản xuất đơn vị sản phẩm mỗi ngày tại một nhà máy được cho bởi công thức (nghìn đồng) và toàn bộ chúng được bán hết với giá nghìn đồng một sản phẩm. Tìm mức sản lượng (đó là số lượng sản phẩm được sản xuất) để chi phí trung bình tính trên mỗi đơn vị sản phẩm là đạt cực tiểu.
Câu 15. Lợi nhuận tổng hàng ngày (tính theo đô la) mà TKK Corporation thu được từ việc sản xuất và bán đĩa DVD có thể ghi lại được cho bởi hàm lợi nhuận
Tìm mức sản xuất để lợi nhuận hàng ngày đạt cực đại. (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)
Câu 16. Vận tốc trung bình của dòng xe trên đoạn đường 124 từ 6#A.M. đến 10#A.M. được xấp xỉ bởi trong đó tính bằng giờ kể từ A.M. và tính bằng km/giờ. Hỏi vào thời điểm mấy giờ trong buổi sáng (giữa 6#A.M. và 10#A.M.) thì vận tốc trung bình thấp nhất?
Câu 17. Trong một nghiên cứu tại Viện Sức khỏe Tâm thần Quốc gia, các nhà khoa học theo dõi độ dày vỏ não (cortex) của 307 trẻ em có IQ cao (121-149) qua tuổi (tính bằng năm), với mô hình
Hỏi vỏ não của trẻ có IQ siêu trí tuệ đạt độ dày cực đại vào khoảng bao nhiêu tuổi (làm tròn kết quản đến hàng đơn vị)
Câu 18. Định mức cầu mỗi tháng của đồng hồ đeo tay Peget phụ thuộc vào giá đơn vị theo phương trình cầu trong đó tính bằng đô la và tính bằng nghìn chiếc. Hỏi nhà sản xuất phải bán bao nhiêu nghìn chiếc để doanh thu đạt cực đại?
Câu 19. Một bể ban đầu chứa 10 gal dung dịch muối với 2 lb muối. Dung dịch vào có nồng độ chảy vào với tốc độ phút, và hỗn hợp trong bể chảy ra với tốc độ phút. Người ta cho biết lượng muối trong bể sau phút là (pound), với
Hỏi lượng muối tối đa có thể có trong bể tại một thời điểm nào đó là bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)
Câu 20. Sau khi kinh tế suy giảm, giá thuê văn phòng cao ngất ngưởng cuối thập niên 1990 bắt đầu hạ nhiệt. Hàm cho giá thuê (USD/ ) của văn phòng hạng A ở khu Back Bay và Financial District (Boston) từ đầu 1997 đến đầu là
Hỏi giá thuê cao nhất trong giai đoạn này là bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)
Câu 21. Một bồn hình trụ cao chứa nước. Theo định luật Torricelli, vận tốc tia nước chảy qua lỗ ở độ sâu so với mặt nước là . Người ta cho rằng tầm xa (feet) của tia nước được cho bởi
Biết lỗ phun nên đặt ở độ cao so với mặt bồn thì tầm xa đạt cực đại. Tìm ?
Câu 22. Một con thuyền rời bến trên một bờ sông, luôn đi với vận tốc không đổi 20 dặm/giờ hướng về bến (phía đông của ); đồng thời nước sông chảy ngược lên phía bắc với tốc độ 5 dặm/giờ. Người ta cho rằng đường đi của thuyền là
Tìm độ lệch bắc lớn nhất mà thuyền đạt được trong suốt hành trình.
Câu 23. Khi chế tạo một biến áp , một lõi sắt dạng hình chữ thập được đặt vào cuộn dây (xem hình). Giả sử bán kính cuộn là . Hỏi góc bằng bao nhiêu độ để tổng diện tích bề mặt lõi sắt là lớn nhất.
Câu 24. Một tay lái mô tô nặng 180 (lb), di chuyển với vận tốc không đổi 30 dặm/giờ, thực hiện một khúc cua trên đường cho bởi đồ thị
Có thể chứng minh rằng độ lớn của lực pháp tuyến tác dụng lên tay lái mô tô xấp xỉ
(đơn vị lb)
Hãy tìm lực pháp tuyến lớn nhất tác dụng lên tay lái trong suốt khúc cua (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)
Câu 25. Khi chất thải hữu cơ được đổ vào một cái ao, quá trình ôxy hóa xảy ra sẽ làm giảm hàm lượng ôxy trong nước. Tuy nhiên, theo thời gian, tự nhiên sẽ phục hồi lại mức ôxy về giá trị bình thường. Trong đồ thị kèm theo, cho biết phần trăm hàm lượng ôxy (so với mức bình thường) sau ngày kể từ khi chất thải được đổ vào ao.
Giả sử hàm số cho hàm lượng ôxy là (mức bình thường),
Khi đó tọa độ của điểm trên đồ thị là điểm cực trị của đồ thị hàm số . Tính ?
Câu 26. Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ là (người). Nếu xem là tốc độ truyền bệnh (người/ ngày) tại thời điểm thì tốc độ truyền bệnh lớn nhất sẽ vào ngày thứ bao nhiêu?
Câu 27. Một người có một dây ruy băng dài 130 cm, người đó cần bọc dải ruy băng này quanh một hộp quà hình trụ. Khi bọc quà, người này dùng 10 cm của dải ruy băng để thắt nơ ở trên nắp hộp (như hình vẽ). Dải ruy băng có thể bọc được hộp quà có thể tích bằng . Giá trị lớn nhất của là bao nhiêu?
Câu 28. Hai chất điểm và chuyển động thẳng đều cùng hướng về (như hình vẽ), biết rằng vận tốc và góc . Biết rằng khi khoảng cách giữa hai chất điểm và là nhỏ nhất thì số đo góc Tìm
Câu 29. Cho một tấm bìa hình vuông có cạnh . Từ tấm bìa này làm một mô hình kim tự tháp Ai Cập, người ta cắt bỏ bốn tam giác cân bằng nhau có cạnh đáy là các cạnh của hình vuông rồi gấp lên và ghép lại thành một hình chóp tứ giác đều. Thể tích của mô hình lớn nhất khi cạnh đáy của mô hình bằng (nguyên tố cùng nhau). Tính tổng ?
Câu 30. Một cái hồ rộng có hình chữ nhật. Tại một góc hồ người ta đóng một cái cọc ở vị trí cách bờ là và cách bờ là , rồi dùng một cây sào thẳng ngăn một góc của hồ để thả bèo (như hình vẽ). Tính chiều dài ngắn nhất của cây sào để cây sào có thể chạm vào hai bờ và cây cọc (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của mét).
Câu 31. Khi một vật lạ mắc kẹt trong khí quản khiến ta phải ho, cơ hoành đẩy lên trên gây ra tăng áp lực trong phổi, theo đó cuống họng co thắt làm hẹp khí quản khiến không khí đi qua mạnh hơn. Đối với một lượng không khí bị đẩy ra trong một khoảng thời gian cố định, khí quản càng nhỏ thì luồng không khí càng đẩy ra nhanh hơn. Vận tốc luồng khí thoát ra càng cao, lực tác động lên vật lạ càng lớn.
Qua nghiên cứu một số trường hợp, người ta nhận thấy vận tốc của luồng khí liên hệ với bán kính của khí quản theo công thức:
trong đó là hằng số và là bán kính khí quản ở trạng thái bình thường
(Theo James Stewart, J. (2015). Calculus. Cengage Learning).
Khi đó thì vận tốc luồng khí của một cơn ho trong trường hợp này
là lớn nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
LỜI GIẢI
Câu 1. Cường độ âm thanh (dB) tại một địa điểm được đo liên tục trong 12 giờ là một hàm số có bảng biến thiên như sau:
Tại thời điểm bằng bao nhiêu trong thời gian khảo sát thì cường độ âm thanh là nhỏ nhất ?
Lời giải
Trả lời: 8
Từ bảng biến thiên ta thấy tại thời điểm thì hàm số đạt cường độ âm thanh nhỏ nhất là 25.
Câu 2. Một vật chuyển động theo quy luật với là khoảng thời gian tính từ khi vật đó bắt đầu chuyển động và là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian giây, kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bào nhiêu?
Lời giải
Trả lời: 24
Vận tốc của vật chuyển động là
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn
Ta có
Vậy vận tốc lớn nhất là .
Câu 3. Một cửa hàng cà phê bán cà phê espresso, nhận thấy rằng lợi nhuận của cửa hàng (tính theo đơn vị triệu đồng/ngày) phụ thuộc vào giá bán (chục nghìn đồng) mỗi ly espresso. Qua khảo sát, cửa hàng mô tả lợi nhuận theo hàm số sau: . Hỏi cửa hàng nên chọn mức giá mỗi ly là bao nhiêu nghìn đồng để lợi nhuận tối ưu nhất?
Lời giải
Trả lời: 30
Ta có Giải
Với đồ thị hàm bậc 4 trùng phương hệ số , ta chọn để hàm số đạt cực đại.
Vậy giá bán để tối ưu lợi nhuận là 30 nghìn đồng/ly.
Câu 4. Một vật chuyển động với vận tốc được xác định bởi hàm số với . Khi đó là gia tốc của vật tại thời điểm (giây). Vận tốc của vật đạt được cao nhất trong khoảng thời gian 3 giây đầu là bao nhiêu m/s?
Lời giải
Trả lời: 4
Bảng biến thiên
Vận tốc của vật đạt được cao nhất là
Câu 5. Doanh số bán hàng của một loại sản phẩm (chục triệu đồng) trong một phiên livestream bán hàng kéo dài sáu giờ theo quy luật hàm số trong đó thời gian được tính bằng giờ kể từ khi bắt đầu livestream.
Khi đó, đạo hàm sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi sau bao nhiêu giờ kể từ khi bắt đầu phiên livestream thì doanh số bán hàng là lớn nhất?
Lời giải
Trả lời: 2
Ta có:

Ta có bảng biến thiên với :
Vậy sau 2 giờ kể từ khi bắt đầu phiên livestream thì doanh số bán hàng là lớn nhất.
Câu 6. Chào đón năm mới , Thành phố trang trí đèn led biểu tượng hình chữ được ghép từ các thanh , sao cho tam giác vuông tại . Để tăng hiệu ứng, các kỹ sư đã thiết kế một chuỗi led chạy từ xuống với vận tốc phút và một chuỗi led chạy từ lên với vận tốc phút. Sau khi đóng nguồn điện thì cả hai chuỗi led đồng thời xuất phát. Hỏi sau bao nhiêu giây từ thời điểm đóng nguồn thì khoảng cách giữa hai điểm sáng đầu tiên của hai chuỗi led là nhỏ nhất ?
Lời giải
Trả lời: 16
Gọi (phút) là khoảng thời gian cả hai chuỗi led đồng thời xuất phát đến và là hai điểm sáng đầu tiên
với
Xét tam giác vuông tại
Xét tam giác ta có :
Để khoảng cách giữa hai điểm sáng đầu tiên của hai chuỗi led nhỏ nhất
Xét với
đạt giá trị nhỏ nhất (phút) (giây)
Vậy sau 16 giây thì hai điểm sáng đầu tiên của chuỗi led có khoảng cách nhỏ nhất.
Câu 7. Vận tốc của một tàu con thoi từ lúc cất cánh tại thời điểm cho đến thời điểm được cho bởi công thức (vận tốc được tính bằng đơn vị ). Hỏi tại thời điểm tàu con thoi đạt gia tốc nhỏ nhất thì vận tốc tàu con thoi gần bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Lời giải
Trả lời: 20,8
Ta có:
Ta có BBT hàm .
Thời điểm tàu con thoi đạt gia tốc nhỏ nhất là
ft/s
Câu 8. Giả sử doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) tuân theo quy luật logistic được mô hình hoá bằng hàm số trong đó thời gian được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi sau khi phát hành bao nhiêu năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)
Lời giải
Trả lời: 1,6
Ta có:
Tốc độ bán hàng là lớn nhất khi lớn nhất.
Đặt .

Ta có bảng biến thiên với :
Vậy sau khi phát hành khoảng năm thì thì tốc độ bán hàng là lớn nhất.
Câu 9. Anh Ba đang trên chiếc thuyền tại vị trí A cách bờ sông , anh dự định chèo thuyền vào bờ và tiếp tục chạy bộ theo một đường thẳng để đến một địa điểm B tọa lạc ven bờ sông, B cách vị trí O trên bờ gần với thuyền nhất là (hình vẽ). Biết rằng anh Ba chèo thuyền với vận tốc và chạy bộ trên bờ với vận tốc . Khoảng thời gian ngắn nhất để anh Ba từ vị trí xuất phát đến được điểm B là bao nhiêu phút?
Lời giải
Trả lời: 40
Đặt .
Khoảng thời gian để anh Ba từ vị trí xuất phát đến được điểm B là:
.
BBT:
Từ BBT suy ra khoảng thời gian ngắn nhất để anh Ba từ vị trí xuất phát đến được điểm B là:
(phút).
Câu 10. Nồng độ của một hoá chất sau giờ tiêm vào cơ thể được xác định bởi công thức với . Sau khoảng bao nhiêu giờ tiêm thì nồng độ của hoá chất trong máu là lớn nhất? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)
Lời giải
Trả lời:
Ta có .
.
Ta có bảng biến thiên
Do đó ở thời điểm giờ thì nồng độ của hoá chất trong máu là lớn nhất.
Câu 11. Một vật chuyển động với vận tốc phụ thuộc vào thời gian có đồ thị của hàm số dạng hàm bậc ba như hình bên. Biết rằng tại thời điểm vật có vận tốc và tại thời điểm vật có vận tốc . Hỏi vận tốc của vật tại thời điểm bằng bao nhiêu km/h?
Lời giải
Trả lời: 16
Giả sử hàm số vận tốc có dạng: (với và ).
Ta có: .
Dựa vào đồ thị hàm số, tại các thời điểm đồ thị hàm vận tốc đi qua các điểm cực trị .
Khi đó: .
Suy ra: .
Vậy vận tốc của vật tại thời điểm là: .
Câu 12. Một xưởng sản xuất nón bảo hiểm có hàm chi phí sản xuất cho chiếc nón là (nghìn đồng). Giá bán mỗi chiếc nón là 50 nghìn đồng. Hãy xác định số lượng nón cần sản xuất để xưởng đạt lợi nhuận tối đa.
Lời giải
Trả lời: 1500
* Doanh thu từ việc bán x chiếc nón là: R(x) = 50x (nghìn đồng)
* Lợi nhuận là hiệu số giữa doanh thu và chi phí nên
.
*
* .
* với mọi nên là điểm cực đại.
* Kết luận: Xưởng cần sản xuất 1500 chiếc nón bảo hiểm để đạt lợi nhuận tối đa.
Câu 13. Trong một phản ứng hóa học, tốc độ phản ứng được biểu diễn theo công thức: trong đó:
 là tốc độ phản ứng (mol/l/s),
 là hằng số tốc độ phản ứng,
[A] và [B] lần lượt là nồng độ của hai chất phản ứng (mol/l).
Giả sử tổng nồng độ ban đầu của [A] và [B] là , tức là Hãy tìm nồng độ của [A] tại đó tốc độ phản ứng đạt cực đại.
Lời giải
Ta có nên với
Đạo hàm của theo [A] là
hoặc
* Với tốc độ phản ứng (loại vì không có ý nghĩa thực tế).
* Với thì (mol/l/s), đây là giá trị hợp lý.
Kết luận: Với thì tốc độ phản ứng đạt cực đại.
Câu 14. Giả sử tổng chi phí sản xuất đơn vị sản phẩm mỗi ngày tại một nhà máy được cho bởi công thức (nghìn đồng) và toàn bộ chúng được bán hết với giá nghìn đồng một sản phẩm. Tìm mức sản lượng (đó là số lượng sản phẩm được sản xuất) để chi phí trung bình tính trên mỗi đơn vị sản phẩm là đạt cực tiểu.
Lời giải
Đáp án: .
Kí hiệu là chi phí trung bình tính trên mỗi đơn vị sản phẩm.
Ta có .
Đạo hàm: (vì ).
Bảng biến thiên như sau
Vậy mức sản lượng .
Câu 15. Lợi nhuận tổng hàng ngày (tính theo đô la) mà TKK Corporation thu được từ việc sản xuất và bán đĩa DVD có thể ghi lại được cho bởi hàm lợi nhuận
Tìm mức sản xuất để lợi nhuận hàng ngày đạt cực đại. (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)
Lời giải
Trả lời: 1667
Tính đạo hàm :
Xét :
Chia cả hai vế cho :
Giải phương trình bậc hai:
Kết quả: (loại)
Chọn (nằm trong đoạn ).
Lập bảng biến thiên ta suy ra được đạt cực đại tại .
Để lợi nhuận hàng ngày lớn nhất, TKK Corporation nên sản xuất khoảng DVD
Câu 16. Vận tốc trung bình của dòng xe trên đoạn đường 124 từ 6#A.M. đến 10#A.M. được xấp xỉ bởi trong đó tính bằng giờ kể từ A.M. và tính bằng km/giờ. Hỏi vào thời điểm mấy giờ trong buổi sáng (giữa 6#A.M. và 10#A.M.) thì vận tốc trung bình thấp nhất?
Lời giải
Trả lời: 7
Tính đạo hàm
Xét :
Lập bảng xét dấu ta được:
Suy ra vận tốc trung bình thấp nhất 30 mph xảy ra vào 7:00#A.M. .
Câu 17. Trong một nghiên cứu tại Viện Sức khỏe Tâm thần Quốc gia, các nhà khoa học theo dõi độ dày vỏ não (cortex) của 307 trẻ em có IQ cao (121-149) qua tuổi (tính bằng năm), với mô hình
Hỏi vỏ não của trẻ có IQ siêu trí tuệ đạt độ dày cực đại vào khoảng bao nhiêu tuổi (làm tròn kết quản đến hàng đơn vị)
Lời giải
Trả lời: 11
Ta có:
Giải
Ta có
Vậy nghiệm khả dụng duy nhất trên [5,19] là
Lập bảng biến thiên hàm số suy ra là điểm cực đại.
Vậy độ dày vỏ não của nhóm trẻ IQ cao đạt cực đại tại tuổi.
Câu 18. Định mức cầu mỗi tháng của đồng hồ đeo tay Peget phụ thuộc vào giá đơn vị theo phương trình cầu trong đó tính bằng đô la và tính bằng nghìn chiếc. Hỏi nhà sản xuất phải bán bao nhiêu nghìn chiếc để doanh thu đạt cực đại?
Lời giải
Trả lời: 10
Doanh thu là
Tính đạo hàm
Giải :
Có bảng xét dấu:
Suy ra được hàm số đạt cực đại tại
Giá trị cực đại là .
Câu 19. Một bể ban đầu chứa 10 gal dung dịch muối với 2 lb muối. Dung dịch vào có nồng độ chảy vào với tốc độ phút, và hỗn hợp trong bể chảy ra với tốc độ phút. Người ta cho biết lượng muối trong bể sau phút là (pound), với
Hỏi lượng muối tối đa có thể có trong bể tại một thời điểm nào đó là bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)
Lời giải
Trả lời: 7,43
Ta có công thức lượng muối (pound) trong bể sau phút:
Đặt . Khi chạy từ 0 đến 10 thì chạy từ 10 xuống 0.
Khi đó
Tính đạo hàm theo ta được:
Xét
Lập bảng xét dấu ta được:
Suy ra tại :
Lượng muối trong bể đạt tối đa khoảng 7,43 lb tại thời điểm phút kể từ lúc bắt đầu.
Câu 20. Sau khi kinh tế suy giảm, giá thuê văn phòng cao ngất ngưởng cuối thập niên 1990 bắt đầu hạ nhiệt. Hàm cho giá thuê (USD/ ) của văn phòng hạng A ở khu Back Bay và Financial District (Boston) từ đầu 1997 đến đầu là
Hỏi giá thuê cao nhất trong giai đoạn này là bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)
Lời giải
Tính đạo hàm
Giải :
Áp dụng công thức nghiệm:
Hai nghiệm thu được:
Lập bảng biến thiên ta suy ra được hàm số đạt cực đại tại
Hay giá thuê cao nhấtlà
Câu 21. Một bồn hình trụ cao chứa nước. Theo định luật Torricelli, vận tốc tia nước chảy qua lỗ ở độ sâu so với mặt nước là . Người ta cho rằng tầm xa (feet) của tia nước được cho bởi
Biết lỗ phun nên đặt ở độ cao so với mặt bồn thì tầm xa đạt cực đại. Tìm ?
Lời giải
Trả lời: 0,5
Thay vì trực tiếp tối đa , ta có thể tối đa (vì hàm căn là tăng):
Tính đạo hàm:
Giải :
Lập bảng biến thiên ta có là điểm cực đại.
Vậy lỗ phun nên đặt ở độ cao để tầm xa của tia nước đạt tối đa.
Câu 22. Một con thuyền rời bến trên một bờ sông, luôn đi với vận tốc không đổi 20 dặm/giờ hướng về bến (phía đông của ); đồng thời nước sông chảy ngược lên phía bắc với tốc độ 5 dặm/giờ. Người ta cho rằng đường đi của thuyền là
Tìm độ lệch bắc lớn nhất mà thuyền đạt được trong suốt hành trình.
Lời giải
Đặt
Khi đó
Tính đạo hàm theo :
Vì trên , ta chỉ cần giải
Lập bảng xét dấu ta có
Suy ra đạt điểm cực đại tại
Chuyển lại thành và tính
- Tương ứng .
- Độ lệch bắc cực đại là
Do đó giá trị tại
Kết luận:
Trong suốt hành trình, con thuyền bị dòng nước đẩy lệch về phía bắc cực đại khoảng
76,6 (đơn vị chiều dài) khi nó đã đi được (đơn vị tương ứng) về phía đông.
Câu 23. Khi chế tạo một biến áp , một lõi sắt dạng hình chữ thập được đặt vào cuộn dây (xem hình). Giả sử bán kính cuộn là . Hỏi góc bằng bao nhiêu độ để tổng diện tích bề mặt lõi sắt là lớn nhất.
Lời giải
Trả lời: 31,7
Đặt suy ra trên khoảng .
Ta có
Tính đạo hàm :
Giải :
Vì , nghiệm duy nhất là
Lập bảng biến thiên ta có: tại là điểm cực đại hay tổng diện tích bề mặt lõi sắt lớn nhất khi
Khi đó:
Vậy nghiệm tối ưu là
Câu 24. Một tay lái mô tô nặng 180 (lb), di chuyển với vận tốc không đổi 30 dặm/giờ, thực hiện một khúc cua trên đường cho bởi đồ thị
Có thể chứng minh rằng độ lớn của lực pháp tuyến tác dụng lên tay lái mô tô xấp xỉ
(đơn vị lb)
Hãy tìm lực pháp tuyến lớn nhất tác dụng lên tay lái trong suốt khúc cua (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)
Lời giải
Trả lời: 419
Đặt khi đó
Để tìm cực đại, xét
Tính
Cho đạo hàm bằng 0:
Lập bảng biến thiên cho hàm số ta có được hàm số đạt cực đại tại
Trả về biến :
(thuộc miền ).
Giá trị cực đại
- Lực pháp tuyến đạt cực đại khi .
- Giá trị cực đại là khoảng (lb).
Câu 25. Khi chất thải hữu cơ được đổ vào một cái ao, quá trình ôxy hóa xảy ra sẽ làm giảm hàm lượng ôxy trong nước. Tuy nhiên, theo thời gian, tự nhiên sẽ phục hồi lại mức ôxy về giá trị bình thường. Trong đồ thị kèm theo, cho biết phần trăm hàm lượng ôxy (so với mức bình thường) sau ngày kể từ khi chất thải được đổ vào ao.
Giả sử hàm số cho hàm lượng ôxy là (mức bình thường),
Khi đó tọa độ của điểm trên đồ thị là điểm cực trị của đồ thị hàm số . Tính ?
Lời giải
Trả lời: 85
Ta có:
Khi đó
Lập bảng biến thiên ta có là điểm cực tiểu của hàm số
Thay vào :
Vậy điểm có tọa độ
Câu 26. Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ là (người). Nếu xem là tốc độ truyền bệnh (người/ ngày) tại thời điểm thì tốc độ truyền bệnh lớn nhất sẽ vào ngày thứ bao nhiêu?
Lời giải
Đáp án: 15.
Ta có: ;
Bảng biến thiên:
Vậy tốc độ truyền bệnh lớn nhất sẽ vào ngày thứ 15.
Câu 27. Một người có một dây ruy băng dài 130 cm, người đó cần bọc dải ruy băng này quanh một hộp quà hình trụ. Khi bọc quà, người này dùng 10 cm của dải ruy băng để thắt nơ ở trên nắp hộp (như hình vẽ). Dải ruy băng có thể bọc được hộp quà có thể tích bằng . Giá trị lớn nhất của là bao nhiêu?
Lời giải
Đáp án: 1000.
Gọi lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ .
Độ dài dải dây ruy băng còn lại khi đã thắt nơ là: 120 cm.
Ta có: .
Thể tích khối hộp quà là: . Thể tích lớn nhất khi hàm số , đạt giá trị lớn nhất.
Ta có ;
Cho .
Lập bảng biến thiên ta thấy thể tích đạt GTLN là:
Câu 28. Hai chất điểm và chuyển động thẳng đều cùng hướng về (như hình vẽ), biết rằng vận tốc và góc . Biết rằng khi khoảng cách giữa hai chất điểm và là nhỏ nhất thì số đo góc Tìm
Lời giải
Đáp số:
Gọi lần lượt là khoảng cách các vật và đến lúc đầu (), đồng thời . Gọi là thời điểm mà . Khi đó ở và ở như hình vẽ.
Kí hiệu góc .
Áp dụng định lý sin trong tam giác ta có:

Do và áp dụng , ta có:
mà
Do đó ta có
Xét . Ta có
Vậy, khi thì khoảng cách giữa hai chất điểm và là nhỏ nhất.
Câu 29. Cho một tấm bìa hình vuông có cạnh . Từ tấm bìa này làm một mô hình kim tự tháp Ai Cập, người ta cắt bỏ bốn tam giác cân bằng nhau có cạnh đáy là các cạnh của hình vuông rồi gấp lên và ghép lại thành một hình chóp tứ giác đều. Thể tích của mô hình lớn nhất khi cạnh đáy của mô hình bằng (nguyên tố cùng nhau). Tính tổng ?
Lời giải
Trả lời: 41
Gọi độ dài cạnh đáy của hình chóp là . Do .
Ta có: .
Do vậy: .
Khi đó thể tích khối chóp là: .
Xét , ta có:
Ta có bảng biến thiên:
Ta thấy thể tích của mô hình lớn nhất khi cạnh đáy của mô hình là.
Câu 30. Một cái hồ rộng có hình chữ nhật. Tại một góc hồ người ta đóng một cái cọc ở vị trí cách bờ là và cách bờ là , rồi dùng một cây sào thẳng ngăn một góc của hồ để thả bèo (như hình vẽ). Tính chiều dài ngắn nhất của cây sào để cây sào có thể chạm vào hai bờ và cây cọc (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của mét).
Lời giải
Đáp án: 174.
Đặt .
Gọi và lần lượt là hình chiếu vuông góc của xuống và . Suy ra .
Ta có: hay .
Vi nên .
Khi đó .
Xét hàm số trên khoảng .
Ta có:
Bảng biến thiên:
Do đó .
Vậy chiều dài ngắn nhất của cây sào có thể chạm vào hai bờ và cây cọc là 174 m.
Câu 31. Khi một vật lạ mắc kẹt trong khí quản khiến ta phải ho, cơ hoành đẩy lên trên gây ra tăng áp lực trong phổi, theo đó cuống họng co thắt làm hẹp khí quản khiến không khí đi qua mạnh hơn. Đối với một lượng không khí bị đẩy ra trong một khoảng thời gian cố định, khí quản càng nhỏ thì luồng không khí càng đẩy ra nhanh hơn. Vận tốc luồng khí thoát ra càng cao, lực tác động lên vật lạ càng lớn.
Qua nghiên cứu một số trường hợp, người ta nhận thấy vận tốc của luồng khí liên hệ với bán kính của khí quản theo công thức:
trong đó là hằng số và là bán kính khí quản ở trạng thái bình thường
(Theo James Stewart, J. (2015). Calculus. Cengage Learning).
Khi đó thì vận tốc luồng khí của một cơn ho trong trường hợp này
là lớn nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Lời giải
Trả lời: 0,67
Xét hàm số với cố định và .
Do là hằng số dương nên vận tốc của luồng khí của một cơn ho lớn nhất khi đạt giá trị lớn nhất.
Ta có:
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, ta có: .
Vậy vận tốc của luồng khí của một con ho lớn nhất khi .
Đáp án: .
onthicaptoc.com

onthicaptoc.com 30 Bai toan thuc te bai Cuc tri cua ham so