PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
A. Các bài toán về biểu thức nguyên
1.
2.
3.
4.
5. Nhị thức Newton:
Bài 1: Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 14. Tính A = a4 + b4 + c4
Lời giải:
Ta có:
Lại có:
Từ (1)
Bài 2: Cho x + y + z = 0 và xy + yz + xz = 0. Tính
Lời giải :
Từ :
Bài 3 : Cho x + y + z = 0 , chứng minh rằng
a. b.
c.
Lời giải:
a.
Từ (1)(2)
Thay vào (1), ta được :
b.
Từ
Theo câu a, ta có : khi x + y + z = 0
Thay vào (1), ta được :
c. Ta có : , thay vào (*), ta được :

Bài 4 : Chứng minh rằng
a.
b.
Lời giải :
a.
b.
Bài 5 : Cho a + b + c = 4m. Chứng minh rằng
a.
b.
Lời giải:
a.
b. Từ
Tương tự:
Bài 6:
a. Cho
b. Nếu
Lời giải:
a. Theo (*)
Giả sử:
b. Theo câu a, ta có:
Vì là số chẵn 1 trong 3 số x, y, z là số chẵn
Bài 7 : Cho . Tính
Lời giải :
Ta có :
Tương tự :
Mặt khác ta lại có :
Có 1 số = 1 và 2 số = 0
Bài 8 : Tìm các số a, b, c sao cho :
Lời giải:
Ta có:
Bài 9: Cho a, b thỏa mãn:
Lời giải:
Bài 10: Chứng minh rằng
Lời giải:
+) Xét
+)
+)
-
-
Vậy A > 0 với mọi x.
BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 1: Tìm các số a, b, c, d sao cho: là bình phương của đa thức
Lời giải:
+)
+)
Bài 2: Cho Tính
Lời giải:
Ta có:
Bài 3: Chứng minh rằng:
Lời giải
+) Với
+) Với
+) Với Do dấu “ = ’’ không xảy ra
Bài 4: Chứng minh rằng
a. Nếu a + b + c ≥ 0 thì
b.
Lời giải
a. Có:
mà:
b.
CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
A. Rút gọn, tính giá trị của biểu thức thỏa mãn điều kiện cho trước
Bài 1: a. Cho a – 2b = 5. Tính giá trị biểu thức
Lời giải
Ta có:
b. Biết 2a – b = 7. Tính
Lời giải
c. Biết . Tính
Lời giải
Từ giải thiết:
d. Cho và Tính
Lời giải
Cách 1: Từ
Cách 2:
Do
e. Biết . Tính
Lời giải
Có:
Bài 2: Cho . Tính giá trị của các biểu thức sau:
a. b. c. d.
Lời giải
a.
b.
c.
d.
Cách 2:
Bài 3: Cho . Tính và
Lời giải
Có:
Chia cả hai vế cho x ta được:
Ta có:
Bài 4: Cho . Tính và
Lời giải
Có:
Từ:
Lấy (1).(2) được:
Bài 5: Cho . Tính
Lời giải
Ta có:
Từ (2)
Thay (3) vào (4), ta được:
Bài 6: Biết và . Tính
Lời giải
Ta có:
Bài 7: Tính , biết
Lời giải
Đặt
Ta phải tạo ra nhân tử: a + b + c
Lại có :
Bài 8: Cho a.b.c = 2, rút gọn :
Lời giải
Bài 9: Cho a + b + c = 0, rút gọn :
Lời giải
Từ:
Tương tự:
Từ:
Bài 10: Cho ba số a, b, c khác 0 thỏa mãn: . Tính
Lời giải
Từ:
Mặt khác:
Bài 11: [ HSG Yên Phong – 2015 ]
Cho a, b, c thỏa mãn: .
Tính
Lời giải
Ta có:
Vậy M = 1 với a = b = c = 1.
Bài 12: Cho ba số a, b, c khác 0 và thỏa mãn: a + b + c = 0.
Tính
Lời giải
Từ:
Từ:
Bài 13: Cho x, y, z đôi một khác nhau và Từ: . Tính
Lời giải
Từ :
Có :
Tử số của
Bài 14: Tính
Lời giải
+) TH1 :
+) TH2 :
BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 1: Cho ba số a, b, c khác 0 và thỏa mãn: a + b + c = 0.
Tính
Lời giải
Từ :
Tương tự :
Bài 2*: Tính giá trị của biểu thức sau, biết a + b + c = 0
Lời giải
Đặt
Ta có:
Tương tự:
Ta có:
B. Chứng minh đẳng thức thỏa mãn điều kiện của biến
Bài 1: Cho . CMR:
Lời giải
Từ (1)
Bài 2: Cho , thỏa mãn
Chứng minh rằng:
Lời giải
Ta có:
+)
Chứng minh tương tự, ta có điều phải chứng minh.
Bài 3: Cho . Chứng minh rằng
Lời giải
Để xuất hiện a2, b2, c2 ta nhân với a + b + c
Bài 4: Cho a + b + c = x + y + z = 0 và . CMR :
Lời giải
Cách 1: Ta có 
Ta có :
Cách 2 : Ta có
Do đó :
Từ
Có:
Bài 5: [ GVG- Yên Phong – 2014]
Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn : và a + b + c = 1. CMR :
Lời giải
Ta có :
Có :
Bài 6: Cho . CMR : hoặc
Lời giải
Từ :
Bài 7: Cho . CMR :
Lời giải
Từ :
nhân với
Tương tự :
Bài 8: Cho x, y, a, b là những số thực thỏa mãn : và
Chứng minh rằng :
Lời giải
Nếu xong
Ta có :
Bài 9 : [ HSG Quảng Xương – 20/04/2015]
Cho ba số a, b, c khác 0, thỏa mãn: . CMR:
Lời giải
Từ
Tương tự:
Bài 10: Cho với và . CMR:
Lời giải
Đặt
Từ:
Bài 11: Cho và . CMR:
Lời giải
Có
Chia cả hai vế cho abc
Bài 12: Cho và . CMR:
Lời giải
Ta có:
Theo đầu bài:

RÚT GỌN BIỂU THỨC
Bài 1: Rút gọn
Lời giải
Có:
Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau
a.
b.
Đặt
Tử số
Mẫu số
Tuơng tự:
Bài 3: Rút gọn
Lời giải
+)
+)
+)
Bài 4: Thực hiện phép tính sau
Lời giải
Đặt
MS:
Tương tự:
Tử số của
Bài 5: Cho a, b, c là ba số phân biệt. CMR giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị x
Lời giải
+)
+)
Bài 6: Cho a, b, c đôi một khác nhau. Chứng minh rằng giá trị các biểu thức sau không phụ thuộc vào a, b, c
a.
+)
+)
+)
b.

C. Chứng minh phân số tối giản
- Có hai cách cơ bản chứng minh tử số và mẫu số có ƯCLN bằng 1
+) Cách 1: Giả sử d = (a,b), sau đó chỉ ra d = 1
+) Giải sử d ± 1 ( d ≥2)
- Gọi p là ước nguyên tố của d
- Chỉ ra rằng p = 1 ( Vô lý)
- Kết luận d = 1
Bài 1: Chứng minh rằng phân số là phân số tối giản
Lời giải
Giải sử
Vậy phân số là phân số tối giản
Bài 2: Chứng minh rằng phân số là phân số tối giản
Lời giải
Gọi
Bài 3: Chứng minh rằng phân số là phân số tối giản
Lời giải
Gọi
Bài 4: Chứng minh rằng phân số là phân số tối giản
Lời giải
Gọi
Ta có:
Bài 5: Cho
a. Rút gọn A
b. Chứng minh rằng nếu thì giá trị tìm được ở câu a là phân số tối giản
Lời giải
a.
b. Gọi
Lại có:
Bài 6: Cho phân số . Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn 2009 sao cho phân số A chưa tối giản
Lời giải
Để A là phân số chưa tối giản thì là phân số chưa tối giản
Ta có:

D. Các bài toán về biểu thức hữu tỷ
Các bước rút gọn biểu thức hữu tỷ
- Tìm điều kiện xác định: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử, cho tất cả các nhân tử khác 0
- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử rồi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung
Bài 1: Cho biểu thức
a. Rút gọn A b. Tìm x để A = 0
c. Tìm giá trị của A khi
Lời giải
a. ĐKXĐ:
b.
c.
Bài 2: Cho biểu thức
a. Rút gọn A b. Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên
c. Tìm giá trị của A khi x = 6
Lời giải
a. Nếu
Nếu
Nếu không xác định
b. Để A nguyên thì hoặc có giá trị nguyên
+) có giá trị nguyên
Ta có:
+) có giá trị nguyên
Ta có:
c.
Bài 3 : [ HSG – Yên Phong – 2015]
Cho biểu thức
a. Rút gọn A
b. Tính giá trị của A khi x > y > 0 và thỏa mãn :
Lời giải
a.
b.
Thay x = 2y vào A, ta được :
Bài 4: Cho
a. Rút gọn A
b. Tính giá trị của A khi
c. Tìm x để A > 0
d. Tìm x để A nhận giá trị nguyên dương
Lời giải
a. Ta có:
b.
c.
d. A nguyên dương
Bài 5: [ HSG – Long Biên – 2014 ]
Cho
a. Rút gọn A
b. Tính giá trị của A khi
c. Tìm x để A < 0
d. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị là số nguyên
Lời giải
a. ĐKXĐ:
b.
c.
d. A có giá trị nguyên
BIỂU THỨC CÓ TÍNH QUY LUẬT
Bài 1: Tính
a.
b.
Lời giải
a. Ta có:
b. Ta có:
Bài 2: Cho . Tính A. B
Lời giải

onthicaptoc.com 3.Chuyen de boi duong HSG toan 8 Phan thuc dai so