onthicaptoc.com
BÀI TOÁN THỰC TẾ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Câu 1. Khi gắn hệ toạ độ (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét) vào không gian, người ta thấy rằng một không gian phủ sóng điện thoại có dạng một hình cầu (tập hợp những điểm nằm trên và nằm trong mặt cầu tương ứng). Biết mặt cầu có phương trình . Khoảng cách xa nhất giữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng là bao nhiêu kilômét?
Câu 2. Trong không gian với hệ trục Oxyz, giả sử mặt đất trùng với mặt phẳng . Một bóng đèn trang trí dạng khối cầu có tâm và bán kính được treo cố định lên trần nhà (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là ). Một con kiến bò tùy ý trên bóng đèn và một con kiến khác bò tùy ý trên mặt đất, giả sử vectơ tạo bởi tọa độ vị trí của 2 con kiến luôn cùng phương với đường thẳng (coi mỗi con kiến là một điểm). Biết lúc 2 con kiến gần nhau nhất có khoảng cách bằng . Bán khối cầu có độ dài bao nhiêu .
Câu 3. Một cơ sở sản xuất Kem làm một mô hình Kem ốc quế lớn gồm 2 phần: Phần Kem có dạng hình cầu, phần ốc quế có dạng hình nón (như hình vẽ bên). Chủ cơ sở sản xuất muốn gắn một chiếc đèn Led lớn chiếu thẳng cây kem vào buổi tối, biết rằng chiếc đèn nằm trên mặt phẳng chứa đường tròn là phần tiếp xúc giữa phần Kem và phần ốc quế. Chọn hệ trục tọa độ trong không gian thỏa mãn
phần Kem hình cầu có tâm, bán kính và phần đỉnh của hình nón là điểm đáy là đường tròn có bán kính. Để tối ưu hóa lượng ánh sáng chiếc đèn có thể chiếu vào cây kem người ta tính toán rằng chiếc đèn Led sẽ phải ở vị trí và từ điểm kẻ được 2 tiếp tuyến với đường tròn sao cho góc giữa 2 tiếp tuyến đó không bé hơn. Có bao nhiêu vị trí đặt chiếc đèn Led thỏa mãn yêu cầu của chủ cơ sở.
Câu 4. Trong không gian hệ trục tọa độ , đài kiểm soát không lưu sân bay có tọa độ ,mỗi đơn vị trên trục ứng với 1km. Máy bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí chuyển động theo đường thẳng có véc tơ chỉ phương và hướng về đài kiểm soát không lưu (như hình vẽ). Tọa độ của vị trí sớm nhất mà máy bay xuất hiện trên màn hình ra đa là . Khi đó bằng bao nhiêu?
Câu 5. Một khinh khí cầu nghiên cứu khí tượng được phóng lên để thu thập dữ liệu trong tầng bình lưu. Khí cầu này có thiết bị định vị sử dụng tín hiệu từ các vệ tinh của công ty S để xác định vị trí trong không gian. Tại thời điểm quan sát, khí cầu đang bay ở độ cao 50 km và nhận được tín hiệu từ ba vệ tinh S có toạ độ trong không gian (đơn vị km) như sau: Vệ tinh A tại vị trí , vệ tinh B tại vị trí , vệ tinh C tại vị trí . Từ thời gian truyền tín hiệu, hệ thống xác định rằng khoảng cách từ vị trí của khinh khí cầu đến các vệ tinh là: , , . Tính khoảng cách từ khinh khí cầu đến gốc toạ độ . (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của km).
Câu 6. Bạn Bình đố bạn Nam tìm được đường kính của quả bóng rổ, biết rằng nếu đặt quả bóng ở một góc căn phòng hình hộp chữ nhật, sao cho quả bóng chạm (tiếp xúc) với hai bức tường và nền nhà của căn phòng đó (khi đó khoảng cách từ tâm quả bóng đến hai bức tường và nền nhà đều bằng bán kính của quả bóng) thì có một điểm M) trên quả bóng với khoảng cách lần lượt đến hai bức tường và nền nhà là 17 cm, 18 cm và 21 cm (Hình bên dưới). Tính đường kính của quả bóng rổ đó, biết rằng loại bóng rổ tiêu chuẩn có đường kính từ 23 cm đến 24,5 cm (kết quả làm tròn đến hàng phần chục, đơn vị là cm).
Câu 7. Một công ty xây dựng một hệ thống Giám sát môi trường tại khu công nghiệp. Hai cảm biến không dây được đặt tại hai vị trí trong không gian 3 chiều để thu thập dữ liệu không khí. Để đảm bảo tín hiệu truyền giữa hai cảm biến ổn định, công ty thiết kế một bóng bảo vệ tín hiệu hình cầu di động nhưng luôn đi qua cả hai cảm biến và . Bóng này cần tiếp xúc với mặt đất để đảm bảo tính ổn định. Giả sử trong không gian với hệ toạ độ , toạ độ các điểm là , và mặt đất được mô tả bằng mặt phẳng: Trong quá trình mô phỏng, điểm tiếp xúc giữa bóng bảo vệ và mặt đất (gọi là ) thay đổi. Kỹ sư cần xác định khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm tiếp xúc để đánh giá mức độ ảnh hưởng từ vị trí đặt thiết bị. Gọi là giá trị lớn nhất, và là giá trị nhỏ nhất của độ dài Tính giá trị
Câu 8. Hệ thống định vị toàn cầu (tên tiếng Anh là: Global Positioning System, viết tắt là GPS) là một hệ thống cho phép xác định chính xác vị trí của một vật thể bất kì trong không gian. Với hệ trục tọa độ thích hợp, một vệ tinh đang ở vị trí tọa độ thường xuyên truyền tín hiệu đến các trạm thu ở các vị trí và trên mặt đất. Biết rằng mặt đất được mô hình hóa bởi phương trình mặt cầu . Người ta xác định được tọa độ điểm thuộc mặt đất sao cho tổng độ dài nhỏ nhất. Tính giá trị và làm tròn đến hàng phần chục.
Câu 9. Hệ thống định vị toàn cầu GPS (Global Positioning System) hiện tại có 24 vệ tinh, mỗi vệ tinh cách trái đất , ta coi trái đất là khối cầu có bán kính (nghìn km). Với một hệ tọa độ đã chọn, là tâm trái đất và đơn vị trên mỗi trục là nghìn km, hai vệ tinh có tọa độ Xét điểm thuộc bề mặt trái đất. Tính giá trị nhỏ nhất của theo đơn vị nghìn km (làm tròn đến hàng đơn vị).
Câu 10. Một robot khảo sát không gian hoạt động trong môi trường 3D có một cảm biến hình cầu, được lập trình để di chuyển sao cho cảm biến này tiếp xúc tại một điểm Q trên một bức tường nghiêng có phương trình là mặt phẳng để đo đạc. Trong lúc khảo sát, cảm biến luôn phải đi qua hai điểm chuẩn đã cố định sẵn trong không gian là điểm - vị trí cảm biến tại lần đo đầu tiên và điểm vị trí cảm biến tại lần đo tiếp theo. Để tối ưu hoá phần mềm điều hướng, kỹ sư muốn xác định rằng: Dù cảm biến (hình cầu) có di chuyển sao cho tiếp xúc ở đâu trên bức tường, điểm tiếp xúc đó luôn nằm trên một đường tròn cố định. Tính bán kính của đường tròn cố định đó, từ đó giúp lập trình robot dò tìm tiếp điểm dễ dàng hơn trong các lần đo tiếp theo.
Câu 11. Trong không gian với hệ trục toạ độ (đơn vị trên mỗi trục là kilômét), đài kiểm soát không lưu sân bay ở vị trí và được thiết kế phát hiện máy bay ở khoảng cách tối đa km. Một máy bay đang ở vị trí và chuyển động với vận tốc không đổi theo quỹ đạo là đường thẳng có vectơ chỉ phương Tính khoảng cách từ vị trí đến khi đài kiểm soát không lưu phát hiện được máy bay (đơn vị km, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Câu 12. Trong trong không gian Oxyz, bề mặt Trái Đất có phương trình: .(1 đơn vị dài trong không gian Oxyz tương ứng với 6 371 krn trên thực tế); vị trí P có vĩ độ, kinh độ tương ứng là có toạ độ . Ứng dụng Google Maps cho phép xác định khoảng cách giữa hai vị trí trên bề mặt Trái Đất khi biết vĩ độ và kinh độ của chúng. Khoảng cách giữa hai vị trí P và Q trên bề mặt Trái Đất là độ dài cung nhỏ PQ của đường tròn có tâm O và đi qua hai điểm P, Q. Tính khoảng cách trên mặt đất giữa hồ Hoàn Kiếm (Hà Nội) ở vị trí và đảo Trường Sa ở vị trí (đơn vị: km, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
Câu 13. Một trạm có chức năng thu - phát sóng điện thoại. Bán kính phủ sóng của trạm là Chọn hệ trục tọa sao cho trùng với trạm và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là Từ một nơi nằm ngoài vùng phủ sóng của trạm bạn An đi xuyên qua khu vực trạm phủ sóng và đi trên một con đường dạng đường thẳng có phương trình: Quãng đường bạn An đi vào vùng phủ sóng của trạm bằng bao nhiêu kílômét? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)
Câu 14. Hình chỏm cầu có một đáy là một phần của hình cầu bị chia bởi một mặt phẳng. Một rađa có thể phát hiện các mục tiêu trong khu vực của một hình chỏm cầu với chiều rộng trên mặt đất là một hình tròn với bán kính km và chiều cao km. Chọn hệ trục tọa độ với mặt phẳng là mặt đất (xem mặt đất là mặt phẳng), trục hướng lên cao và gốc tọa độ trùng với vị trí của rađa (tham khảo hình vẽ bên), mỗi đơn vị trên trục là km. Một tên lửa được phóng lên cao, bắt đầu từ vị trí , dự định bay thẳng với vận tốc không đổi km/ giây hướng thẳng đến vị trí của rađa. Thời gian dự kiến từ khi tên lửa bị rađa phát hiện đến khi nó bắn trúng rađa là bao nhiêu giây? (làm tròn đến hàng đơn vị)
Câu 15. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là mét), một thiết bị phát sóng wifi được đặt tại vị trí . Vùng phủ sóng của thiết bị là một hình cầu có bán kính R = 10m. Một người sử dụng điện thoại đứng ở vị trí . Sau đó, người đó di chuyển đến vị trí . Tìm giá trị nguyên của x sao cho cả hai vị trí K và H đều có thể bắt được tín hiệu wifi từ thiết bị.
Câu 16. Một nguồn âm phát ra sóng âm là sóng cầu ( mặt đầu sóng là mặt cầu). Khi gắn hệ trục tọa độ với đơn vị trên mỗi trục là mét, vị trí nguồn âm có tọa độ , cường độ âm chuẩn phát ra có bán kính là mét. Một bạn học sinh di chuyển theo phương thẳng từ vị trí đến vị trí để nhận nguồn âm. Khi bạn học sinh đó di chuyển từ N đến M thì vị trí đầu tiên nhận được nguồn âm là .Tính tổng .
Câu 17. Trong một tiết thực hành về quan sát quả địa cầu có một nhóm học sinh cầm một quả địa cầu sao cho nó không chạm vào mặt bàn. Trên mặt bàn có một tờ giấy hình tam giác. Xét trong không gian , tam giác có . Giả sữ bề mặt quả địa cầu là mặt cầu . Cô giáo khẳng định trên quả địa cầu tồn tại duy nhất một điểm sao cho biểu thức đạt giá trị lớn nhất và yêu cầu nhóm học sinh đó đi tìm điểm nêu trên. Tổng bằng bao nhiêu?(Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Câu 18. Tại lễ Tri ân và trưởng thành của học sinh khối 12 của một trường THPT CPV. Kết thúc buổi lễ, một học sinh khối 12 đại diện cho các bạn thả một khinh khí cầu với khát vọng bay cao và vươn xa. Trong không gian , mỗi đơn vị ứng với 1m, giả sử khinh khí cầu đang ở vị trí có phương trình là . Cùng thời điểm đó có ba chiếc flycam cách nhau 3m, 4m, 5m và tạo thành một tam giác có ba cạnh tiếp xúc với mặt cầu , biết rằng mặt phẳng song song với mặt phẳng và có phương trình dạng . Tổng giá trị của bằng bao nhiêu?
Câu 19. Một quả bóng hình cầu có bán kính r đang được treo trong một góc của tường nhà (hai bờ tường vuông góc với nhau). Một điểm B cố định nằm trên mép hai bờ tường và cách mặt đất 80 cm, sợi dây treo quả bóng có độ dài AB = 30 cm và đây cũng là độ dài ngắn nhất nối điểm B với mặt xung quanh của quả bóng. Biết rằng quả bóng tiếp xúc với hai bên bờ tường và điểm thấp nhất của quả bóng cách mặt đất 20 cm. Hỏi quả bóng có đường kính là bao nhiêu cm ? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
Câu 20. Một bồn chứa khí hình cầu có đường kính 10 m tiếp xúc trực tiếp với một bức tường thẳng đứng tại điểm .
Bồn được che chắn bằng một tấm chắn nghiêng, cố định xuống mặt đất tại các điểm
và , đồng thời được chống đỡ bởi các thanh thẳng đứng tại các điểm và .
Tính khoảng cách an toàn giữa tấm chắn và mặt cầu là bao nhiêu mét
Câu 21. Cho tam giác với:
Bên trong tam giác có một lỗ tròn tâm , bán kính .
Trong lỗ này đặt một quả cầu bán kính .
Tâm của quả cầu là . Tính
Câu 22. Một trạm quan sát hình cầu có đường kính 10 m và tâm được đỡ bởi bốn cột thép như hình vẽ.
Các cột thép này chạy dọc theo các cạnh của một hình chóp tứ giác đều, với đỉnh .
Vị trí các điểm cột nối với mặt cầu khi nối lại sẽ tạo thành 1 đa giác. Tính diện tích của đa giác đó.
Câu 23. Mô hình quả cầu
Một nhà sản xuất ổ bi đã đặt một mô hình quả cầu khổng lồ trên mái nghiêng của nhà xưởng. Mặt mái có thể được mô tả bằng mặt phẳng . Trong đó là giao điểm của mặt phẳng với các trục tọa độ. Một mô hình quả cầu bán kính được đặt tiếp xúc với mặt phẳng tại điểm . Từ kẻ đường vuông góc với tại . Khi thay thế quả cầu, nó lăn trên đường thẳng cho đến khi quả cầu vừa tiếp xúc với mặt phẳng tại thì dừng lại. Tính
Câu 24. Một bồn chứa khí hình cầu đặt ở ven sông
Tâm , bán kính (các số đo tính bằng mét).
Từ trạm bơm có một đường ống dẫn khí theo hướng về tâm .
Trên đoạn thẳng với và dựng một bức tường chắn thẳng đứng.
Xác định điểm mà đường ống dẫn khí cắt bức tường cách mặt đất () bao nhiêu mét?
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1. Khi gắn hệ toạ độ (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét) vào không gian, người ta thấy rằng một không gian phủ sóng điện thoại có dạng một hình cầu (tập hợp những điểm nằm trên và nằm trong mặt cầu tương ứng). Biết mặt cầu có phương trình . Khoảng cách xa nhất giữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng là bao nhiêu kilômét?
Lời giải
Đáp án: 6.
Mặt cầu có tâm và bán kính .
Gọi là hai điểm thuộc vùng phủ sóng. Khi đó có khoảng cách xa nhất khi đoạn là đường kính của mặt cầu.
Vậy khoảng cách xa nhất giữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng là 6 kilômét.
Câu 2. Trong không gian với hệ trục Oxyz, giả sử mặt đất trùng với mặt phẳng . Một bóng đèn trang trí dạng khối cầu có tâm và bán kính được treo cố định lên trần nhà (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là ). Một con kiến bò tùy ý trên bóng đèn và một con kiến khác bò tùy ý trên mặt đất, giả sử vectơ tạo bởi tọa độ vị trí của 2 con kiến luôn cùng phương với đường thẳng (coi mỗi con kiến là một điểm). Biết lúc 2 con kiến gần nhau nhất có khoảng cách bằng . Bán khối cầu có độ dài bao nhiêu .
Lời giải
+ Gọi là góc tạo bởi và mặt suy ra: . Gọi H là hình chiếu của I lên , gọi là giao điểm của và khối cầu . là giao điểm của đường thẳng qua và song song với .
Vì là độ dài ngắn nhất giữa khối cầu và nên lúc 2 con kiến gần nhau nhất thì một con ở và một con ở .
+ Theo giả thiết: , suy ra: . Vậy
Đáp số: .
Câu 3. Một cơ sở sản xuất Kem làm một mô hình Kem ốc quế lớn gồm 2 phần: Phần Kem có dạng hình cầu, phần ốc quế có dạng hình nón (như hình vẽ bên). Chủ cơ sở sản xuất muốn gắn một chiếc đèn Led lớn chiếu thẳng cây kem vào buổi tối, biết rằng chiếc đèn nằm trên mặt phẳng chứa đường tròn là phần tiếp xúc giữa phần Kem và phần ốc quế. Chọn hệ trục tọa độ trong không gian thỏa mãn
phần Kem hình cầu có tâm, bán kính và phần đỉnh của hình nón là điểm đáy là đường tròn có bán kính. Để tối ưu hóa lượng ánh sáng chiếc đèn có thể chiếu vào cây kem người ta tính toán rằng chiếc đèn Led sẽ phải ở vị trí và từ điểm kẻ được 2 tiếp tuyến với đường tròn sao cho góc giữa 2 tiếp tuyến đó không bé hơn. Có bao nhiêu vị trí đặt chiếc đèn Led thỏa mãn yêu cầu của chủ cơ sở.
Lời giải
Đáp số: .
Gọi là tâm của đường tròn và là hai tiếp tuyến kẻ từ đến
* Ta có:
Vậy hình nón có đáy là đường tròn có tâm
* Gọi mặt phẳng chứa đường tròn .
Phương trình mặt phẳng
Điểm
hay
* Từ điểm kẻ được hai tiếp tuyến
(1)
* Góc giữa hai tiếp tuyến không bé hơn
(2)
* Từ và .
Vậy có giá trị nguyên thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 4. Trong không gian hệ trục tọa độ , đài kiểm soát không lưu sân bay có tọa độ ,mỗi đơn vị trên trục ứng với 1km. Máy bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí chuyển động theo đường thẳng có véc tơ chỉ phương và hướng về đài kiểm soát không lưu (như hình vẽ). Tọa độ của vị trí sớm nhất mà máy bay xuất hiện trên màn hình ra đa là . Khi đó bằng bao nhiêu?
Lời giải
Đáp án: 463.
Vùng phủ sóng Rada được phát ra từ trạm kiểm soát là tập hợp những điểm cách tâm O(0;0;0) không quá 417km. Đây là những điểm nằm trên bề mặt và bên trong khối cầu có phương trình .
Quỹ đạo chuyển động của máy bay là một đường thẳng có phương trình
Máy bay bắt đầu thuộc vùng kiểm soát của ra đa khi thỏa mãn (*)
Vậy .
Câu 5. Một khinh khí cầu nghiên cứu khí tượng được phóng lên để thu thập dữ liệu trong tầng bình lưu. Khí cầu này có thiết bị định vị sử dụng tín hiệu từ các vệ tinh của công ty S để xác định vị trí trong không gian. Tại thời điểm quan sát, khí cầu đang bay ở độ cao 50 km và nhận được tín hiệu từ ba vệ tinh S có toạ độ trong không gian (đơn vị km) như sau: Vệ tinh A tại vị trí , vệ tinh B tại vị trí , vệ tinh C tại vị trí . Từ thời gian truyền tín hiệu, hệ thống xác định rằng khoảng cách từ vị trí của khinh khí cầu đến các vệ tinh là: , , . Tính khoảng cách từ khinh khí cầu đến gốc toạ độ . (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của km).
Lời giải
Đáp án: 229
Gọi . Ta có:
là mặt cầu tâm , bán kính
là mặt cầu tâm , bán kính
là mặt cầu tâm bán kính
Lấy trừ ta được
Lấy trừ ta được
Nhận xét các phương trình và đều là phương trình mặt phẳng.
Suy ra điểm thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng và .
Ta có
Chọn điểm vừa thuộc , vừa thuộc
Phương trình tham số của là .
Mà với .
Thay vào phương trình ta được
.
Vậy toạ độ là .
Câu 6. Bạn Bình đố bạn Nam tìm được đường kính của quả bóng rổ, biết rằng nếu đặt quả bóng ở một góc căn phòng hình hộp chữ nhật, sao cho quả bóng chạm (tiếp xúc) với hai bức tường và nền nhà của căn phòng đó (khi đó khoảng cách từ tâm quả bóng đến hai bức tường và nền nhà đều bằng bán kính của quả bóng) thì có một điểm M) trên quả bóng với khoảng cách lần lượt đến hai bức tường và nền nhà là 17 cm, 18 cm và 21 cm (Hình bên dưới). Tính đường kính của quả bóng rổ đó, biết rằng loại bóng rổ tiêu chuẩn có đường kính từ 23 cm đến 24,5 cm (kết quả làm tròn đến hàng phần chục, đơn vị là cm).
Lời giải
Xét quả bóng tiếp xúc với các bức tường và chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ:
Gọi là tâm của mặt cầu và .
Phương trình mặt cầu của quả bóng là
.
Giả sử nằm trên mặt cầu (bề mặt của quả bóng) sao cho
Khi đó . Khi đó ta có phương trình
Vậy đường kính của quả bóng rổ là .
Câu 7. (Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2025) Một công ty xây dựng một hệ thống Giám sát môi trường tại khu công nghiệp. Hai cảm biến không dây được đặt tại hai vị trí trong không gian 3 chiều để thu thập dữ liệu không khí. Để đảm bảo tín hiệu truyền giữa hai cảm biến ổn định, công ty thiết kế một bóng bảo vệ tín hiệu hình cầu di động nhưng luôn đi qua cả hai cảm biến và . Bóng này cần tiếp xúc với mặt đất để đảm bảo tính ổn định. Giả sử trong không gian với hệ toạ độ , toạ độ các điểm là , và mặt đất được mô tả bằng mặt phẳng: Trong quá trình mô phỏng, điểm tiếp xúc giữa bóng bảo vệ và mặt đất (gọi là ) thay đổi. Kỹ sư cần xác định khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm tiếp xúc để đánh giá mức độ ảnh hưởng từ vị trí đặt thiết bị. Gọi là giá trị lớn nhất, và là giá trị nhỏ nhất của độ dài Tính giá trị
Lời giải
Đáp án:
cùng phương nên ,
và
cố định
Do tiếp xúc với mặt cầu tại nên tại
, ta có:
thuộc đường tròn tâm bán kính
Ta có: ,
Gọi là hình chiếu của lên mặt phẳng ,
, nên nằm trong đường tròn tâm bán kính . Suy ra
đạt min hoặc max đạt min hoặc max
Vậy
Câu 8. Hệ thống định vị toàn cầu (tên tiếng Anh là: Global Positioning System, viết tắt là GPS) là một hệ thống cho phép xác định chính xác vị trí của một vật thể bất kì trong không gian. Với hệ trục tọa độ thích hợp, một vệ tinh đang ở vị trí tọa độ thường xuyên truyền tín hiệu đến các trạm thu ở các vị trí và trên mặt đất. Biết rằng mặt đất được mô hình hóa bởi phương trình mặt cầu . Người ta xác định được tọa độ điểm thuộc mặt đất sao cho tổng độ dài nhỏ nhất. Tính giá trị và làm tròn đến hàng phần chục.
Lời giải
Đáp án: .
Mặt cầu có tâm , bán kính .
Ta có .
.
Do nên mặt phẳng cắt mặt cầu theo giao tuyến là một đường tròn bán kính bằng .
Chọn điểm thuộc sao cho đều, suy ra .
Xét điểm thuộc cung nhỏ , lấy thuộc đoạn sao cho .
Mặt khác (góc nội tiếp cùng chắn cung ). Vì vậy tam giác đều.
Xét hai tam giác và có . Do đó hai tam giác , bằng nhau, suy ra .
Từ và suy ra .
Dấu đằng thức xảy ra khi hay .
Ta có: phương trình tham số của đường thẳng là .
Thay phương trình vào phương trình thì .
Với ta có điểm .
Với ta có điểm ; suy ra .
Câu 9. Hệ thống định vị toàn cầu GPS (Global Positioning System) hiện tại có 24 vệ tinh, mỗi vệ tinh cách trái đất , ta coi trái đất là khối cầu có bán kính (nghìn km). Với một hệ tọa độ đã chọn, là tâm trái đất và đơn vị trên mỗi trục là nghìn km, hai vệ tinh có tọa độ Xét điểm thuộc bề mặt trái đất. Tính giá trị nhỏ nhất của theo đơn vị nghìn km (làm tròn đến hàng đơn vị).
Lời giải
Đáp số: 44
Phương trình mặt cầu trái đất tâm bán kính là .
Ta có tâm cầu cùng nằm trên mặt phẳng kính . Do đó đạt giá trị nhỏ nhất thì nằm trên đường tròn lớn thuộc mặt phẳng.
Ta đưa bài toán về xét trên mặt phẳng.
Gọi và lần lượt là hình chiếu của điểm và trên đường thẳng , do tam giác cân tại nên là trung điểm của .
Ta có:
Lại có suy ra
Do đó
Dấu bằng xảy ra khi trùng với trung điểm của và thuộc đoạn
Câu 10. Một robot khảo sát không gian hoạt động trong môi trường 3D có một cảm biến hình cầu, được lập trình để di chuyển sao cho cảm biến này tiếp xúc tại một điểm Q trên một bức tường nghiêng có phương trình là mặt phẳng để đo đạc. Trong lúc khảo sát, cảm biến luôn phải đi qua hai điểm chuẩn đã cố định sẵn trong không gian là điểm - vị trí cảm biến tại lần đo đầu tiên và điểm vị trí cảm biến tại lần đo tiếp theo. Để tối ưu hoá phần mềm điều hướng, kỹ sư muốn xác định rằng: Dù cảm biến (hình cầu) có di chuyển sao cho tiếp xúc ở đâu trên bức tường, điểm tiếp xúc đó luôn nằm trên một đường tròn cố định. Tính bán kính của đường tròn cố định đó, từ đó giúp lập trình robot dò tìm tiếp điểm dễ dàng hơn trong các lần đo tiếp theo.
Lời giải
Đáp án: 6.
* Đường thẳng MN có phương trình tham số là .
* Gọi khi đó tọa độ điểm ứng với thỏa mãn:
Do mặt cầu (S) đi qua M, N và tiếp xúc với đường thẳng IQ tại điểm Q nên ta có:
Vậy Q luôn thuộc đường tròn tâm I bán kính .
Câu 11. Trong không gian với hệ trục toạ độ (đơn vị trên mỗi trục là kilômét), đài kiểm soát không lưu sân bay ở vị trí và được thiết kế phát hiện máy bay ở khoảng cách tối đa km. Một máy bay đang ở vị trí và chuyển động với vận tốc không đổi theo quỹ đạo là đường thẳng có vectơ chỉ phương Tính khoảng cách từ vị trí đến khi đài kiểm soát không lưu phát hiện được máy bay (đơn vị km, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Lời giải
Đáp án: 761.
Gọi là giao điểm của đường thẳng với mặt cầu tâm bán kính Khi đó, yêu cầu bài toán là tính độ dài đoạn
Ta có:
Tìm
Vậy
Câu 12. Trong trong không gian Oxyz, bề mặt Trái Đất có phương trình: .(1 đơn vị dài trong không gian Oxyz tương ứng với 6 371 krn trên thực tế); vị trí P có vĩ độ, kinh độ tương ứng là có toạ độ . Ứng dụng Google Maps cho phép xác định khoảng cách giữa hai vị trí trên bề mặt Trái Đất khi biết vĩ độ và kinh độ của chúng. Khoảng cách giữa hai vị trí P và Q trên bề mặt Trái Đất là độ dài cung nhỏ PQ của đường tròn có tâm O và đi qua hai điểm P, Q. Tính khoảng cách trên mặt đất giữa hồ Hoàn Kiếm (Hà Nội) ở vị trí và đảo Trường Sa ở vị trí (đơn vị: km, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
Lời giải
Đáp án: 1524.
Gọi P và Q lần lượt là vị trí tương ứng với hồ Hoàn Kiếm và đảo Trường Sa
Ta có ,
Suy ra
, .
Do đó vì P, Q thuộc mặt đất nên
Do đó . Suy ra
Mặt khác, mặt cầu tâm O, đi qua P, Q có bán kính 1 nên cung nhỏ của đường tròn đó có độ dài xấp xỉ bằng .
Do 1 đơn vị dài trong không gian Oxyz tương ứng với 6 371 km trên thực tế, nên khoảng cách trên mặt đát giữa hai vị trí P, Q xấp xỉ bằng (km).
Câu 13. Một trạm có chức năng thu - phát sóng điện thoại. Bán kính phủ sóng của trạm là Chọn hệ trục tọa sao cho trùng với trạm và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là Từ một nơi nằm ngoài vùng phủ sóng của trạm bạn An đi xuyên qua khu vực trạm phủ sóng và đi trên một con đường dạng đường thẳng có phương trình: Quãng đường bạn An đi vào vùng phủ sóng của trạm bằng bao nhiêu kílômét? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)
Lời giải
Đáp án: 1,4.
Phương trình vùng phủ sóng là:
Quảng đường bạn An đi trong vùng phủ sóng là đoạn với là hai giao điểm của .
Ta có phương trình
Câu 14. Hình chỏm cầu có một đáy là một phần của hình cầu bị chia bởi một mặt phẳng. Một rađa có thể phát hiện các mục tiêu trong khu vực của một hình chỏm cầu với chiều rộng trên mặt đất là một hình tròn với bán kính km và chiều cao km. Chọn hệ trục tọa độ với mặt phẳng là mặt đất (xem mặt đất là mặt phẳng), trục hướng lên cao và gốc tọa độ trùng với vị trí của rađa (tham khảo hình vẽ bên), mỗi đơn vị trên trục là km. Một tên lửa được phóng lên cao, bắt đầu từ vị trí , dự định bay thẳng với vận tốc không đổi km/ giây hướng thẳng đến vị trí của rađa. Thời gian dự kiến từ khi tên lửa bị rađa phát hiện đến khi nó bắn trúng rađa là bao nhiêu giây? (làm tròn đến hàng đơn vị)
Lời giải
Đáp án: 37.
Giả sử trục cắt mặt cầu tại điểm ; trục cắt mặt cầu tại điểm như hình vẽ.
Gọi mặt cầu là và có tâm là với .
Ta có . Suy ra mặt cầu có tâm và nên có phương trình là .
Đường thẳng có phương trình là .
Thay vào phương trình mặt cầu ta được
.
Khi đó đường thẳng cắt mặt cầu tại 2 điểm và . Tên lửa bị rađa phát hiện tại điểm thỏa mãn cùng phía so với mặt phẳng . Khi đó cao độ nên tọa độ điểm ứng với
.
Thời gian dự kiến từ khi tên lửa bị rađa phát hiện đến khi nó bắn trúng rađa là
(giây).
Câu 15. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là mét), một thiết bị phát sóng wifi được đặt tại vị trí . Vùng phủ sóng của thiết bị là một hình cầu có bán kính R = 10m. Một người sử dụng điện thoại đứng ở vị trí . Sau đó, người đó di chuyển đến vị trí . Tìm giá trị nguyên của x sao cho cả hai vị trí K và H đều có thể bắt được tín hiệu wifi từ thiết bị.
Lời giải
Đáp án: 1.
Cả hai vị trí K và H đều có thể bắt được tín hiệu wifi từ thiết bị
(). Do x nguyên nên x = 1.
Câu 16. Một nguồn âm phát ra sóng âm là sóng cầu ( mặt đầu sóng là mặt cầu). Khi gắn hệ trục tọa độ với đơn vị trên mỗi trục là mét, vị trí nguồn âm có tọa độ , cường độ âm chuẩn phát ra có bán kính là mét. Một bạn học sinh di chuyển theo phương thẳng từ vị trí đến vị trí để nhận nguồn âm. Khi bạn học sinh đó di chuyển từ N đến M thì vị trí đầu tiên nhận được nguồn âm là .Tính tổng .
Lời giải
Đáp án: 10.
Phương trình mặt cầu mô tả sóng âm phát ra từ nguồn âm là
, phương trình đường thẳng MN là
Tọa độ giao điểm của mặt cầu và đường thẳng MN là nghiệm của hệ
Các giao điểm là và
; .
Ta có nên là vị trí đầu tiên nhận được nguồn âm. Khi đó
Câu 17. Trong một tiết thực hành về quan sát quả địa cầu có một nhóm học sinh cầm một quả địa cầu sao cho nó không chạm vào mặt bàn. Trên mặt bàn có một tờ giấy hình tam giác. Xét trong không gian , tam giác có . Giả sữ bề mặt quả địa cầu là mặt cầu . Cô giáo khẳng định trên quả địa cầu tồn tại duy nhất một điểm sao cho biểu thức đạt giá trị lớn nhất và yêu cầu nhóm học sinh đó đi tìm điểm nêu trên. Tổng bằng bao nhiêu?(Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Lời giải.
Đáp án:
+ Gọi là trọng tâm tam giác ta có khi đó:
. Do đó biểu thức đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi lớn nhất.
+ Ta có trong đó là tâm mặt cầu . Khi đó đường thẳng
+ Thay vào phương trình mặt cầu ta có . Hay đường thẳng cắt mặt cầu tại hai điểm .
+ Dễ thấy cùng hướng nên lớn nhất khi hay .
Khi đó .
Câu 18. Tại lễ Tri ân và trưởng thành của học sinh khối 12 của một trường THPT CPV. Kết thúc buổi lễ, một học sinh khối 12 đại diện cho các bạn thả một khinh khí cầu với khát vọng bay cao và vươn xa. Trong không gian , mỗi đơn vị ứng với 1m, giả sử khinh khí cầu đang ở vị trí có phương trình là . Cùng thời điểm đó có ba chiếc flycam cách nhau 3m, 4m, 5m và tạo thành một tam giác có ba cạnh tiếp xúc với mặt cầu , biết rằng mặt phẳng song song với mặt phẳng và có phương trình dạng . Tổng giá trị của bằng bao nhiêu?
Lời giải
Đáp án: -22
Mặt cầu có tâm .
Gọi có bán kính là đường tròn giao tuyến giữa mặt phẳng với mặt cầu .
Ta có đường tròn nội tiếp tam giác .
Vì tam giác có độ dài ba cạnh 3m, 4m, 5m nên tam giác vuông.
Ta có .
Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng là .
Do mặt phẳng song song với nên phương trình mặt phẳng có dạng: với
.
Vậy phương trình là .
Câu 19. Một quả bóng hình cầu có bán kính r đang được treo trong một góc của tường nhà (hai bờ tường vuông góc với nhau). Một điểm B cố định nằm trên mép hai bờ tường và cách mặt đất 80 cm, sợi dây treo quả bóng có độ dài AB = 30 cm và đây cũng là độ dài ngắn nhất nối điểm B với mặt xung quanh của quả bóng. Biết rằng quả bóng tiếp xúc với hai bên bờ tường và điểm thấp nhất của quả bóng cách mặt đất 20 cm. Hỏi quả bóng có đường kính là bao nhiêu cm ? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
Lời giải
Đáp án: 38.
Gọi tâm quả bóng hình cầu là bán kính r. Dựa vào hình vẽ ta có và điểm.
Ta có . Do đó (1)
Quả bóng tiếp xúc với hai bên bờ tường nên (2)
Điểm thấp nhất của quả bóng cách mặt đất 20 cm nên (3)
Vì dây treo quả bóng nên điểm I phải thấp hơn điểm . Do đó c < 80 nên r + 20 < 80 Þ r < 60.
Thế (2), (3) vào (1) ta có
.
Đối chiếu r < 60 thì . Vậy đường kính quả cầu là
Câu 20. Một bồn chứa khí hình cầu có đường kính 10 m tiếp xúc trực tiếp với một bức tường thẳng đứng tại điểm .
Bồn được che chắn bằng một tấm chắn nghiêng, cố định xuống mặt đất tại các điểm
và , đồng thời được chống đỡ bởi các thanh thẳng đứng tại các điểm và .
Tính khoảng cách an toàn giữa tấm chắn và mặt cầu là bao nhiêu mét
Lời giải
Trả lời: 1
- Tường thẳng đứng là mặt phẳng .
- Mặt cầu bán kính , tiếp xúc tường tại tâm
- Tấm chắn hiện tại đi qua và
Phương trình mặt cầu
Phương trình mặt phẳng tấm chắn
Khoảng cách an toàn giữa và mặt cầu
Khoảng hở giữa bề mặt: .
Câu 21. Cho tam giác với:
Bên trong tam giác có một lỗ tròn tâm , bán kính .
Trong lỗ này đặt một quả cầu bán kính .
Tâm của quả cầu là . Tính
Lời giải
Trả lời: 1
Mặt phẳng tam giác :
véc tơ pháp tuyến .
Trong mặt phẳng có một vòng tròn tâm , bán kính .
Quả cầu bán kính cắt theo vòng tròn ấy, nên tâm của cầu cách một khoảng và nằm trên đường thẳng vuông góc qua .
Phương trình đường thẳng
Khi đó:
Do đó
Câu 22. Một trạm quan sát hình cầu có đường kính 10 m và tâm được đỡ bởi bốn cột thép như hình vẽ.
Các cột thép này chạy dọc theo các cạnh của một hình chóp tứ giác đều, với đỉnh .
Vị trí các điểm cột nối với mặt cầu khi nối lại sẽ tạo thành 1 đa giác. Tính diện tích của đa giác đó.
Lời giải
Ta đặt hệ như hình. Quả cầu tâm , bán kính (đường kính 10 m). Bốn cột thép trùng với bốn cạnh của một chóp tứ giác đều đỉnh có chân ở mặt đất tại
Vị trí các điểm cột nối với mặt cầu
Lấy cạnh làm mẫu: có . Suy ra
Điểm trên đường này thuộc mặt cầu khi
Suy ra điểm nối là
Tương tự cho ba cạnh còn lại:
Tứ giác nằm trên mặt phẳng , nên ta tính diện tích trên mặt phẳng với bốn điểm .
Ta dễ chứng minh được đây là hình vuông
Diện tích: (đơn vị diện tích)
Câu 23. Mô hình quả cầu
Một nhà sản xuất ổ bi đã đặt một mô hình quả cầu khổng lồ trên mái nghiêng của nhà xưởng. Mặt mái có thể được mô tả bằng mặt phẳng . Trong đó là giao điểm của mặt phẳng với các trục tọa độ. Một mô hình quả cầu bán kính được đặt tiếp xúc với mặt phẳng tại điểm . Từ kẻ đường vuông góc với tại . Khi thay thế quả cầu, nó lăn trên đường thẳng cho đến khi quả cầu vừa tiếp xúc với mặt phẳng tại thì dừng lại. Tính
Lời giải
Trả lời: 7,8
Mái: .
Giao của với các trục
* Với trục () ⟹ ⟹ .
* Với trục () ⟹ ⟹ .
* Với trục () ⟹ ⟹ .
Có
Điều kiện :
.
Vì quả cầu tiếp xúc với tại nên là vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua tâm quả cầu, khi đó đường thẳng tìm được là
Khi đó suy ra
Quả cầu lăn theo đường thẳng qua và , nhận làm vecto chỉ phương
Vậy quỹ đạo tâm:
Cuối cùng quả cầu đặt xuống mặt phẳng ()
Khi tiếp xúc : .
Vậy là điểm tiếp xúc với .
Câu 24. Một bồn chứa khí hình cầu đặt ở ven sông
Tâm , bán kính (các số đo tính bằng mét).
Từ trạm bơm có một đường ống dẫn khí theo hướng về tâm .
Trên đoạn thẳng với và dựng một bức tường chắn thẳng đứng.
Xác định điểm mà đường ống dẫn khí cắt bức tường cách mặt đất () bao nhiêu mét?
Lời giải
Trả lời: 4
Đường ống từ hướng về
Véc tơ chỉ phương: .
Phương trình đường thẳng:
Bức tường thẳng đứng qua , khi đó: , .
. Mặt phẳng tường:
Thay vào
onthicaptoc.com

onthicaptoc.com 25 Bai toan thuc te bai PHUONG TRINH MAT CAU