CHUYÊN ĐỀ TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
Bài 1: Cho ABC nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H, CMR:
HƯỚNG DẪN:
Từ H kẻ
Khi đó:
(1)
Tương tự:
(2)
Cộng (1) và (2) theo vế ta được:
Bài 2: Cho BHC có tù, Vẽ BE vuông góc với CH tại E và CD vuông góc với BH tại D. Chứng minh rằng:
HƯỚNG DẪN:
Kẻ:
=> (1)
Tương tự ta có:
=> (2)
Cộng (1) và (2) theo vế ta được:
VT
Bài 3: Cho ABC có góc A bằng 1200, AD là đường phân giác. CMR:
HƯỚNG DẪN:
Kẻ là tam giác đều
có :
(đpcm)
Bài 4: Cho A’, B’, C’ nằm trên các cạnh BC, AC, AB của ABC,
biết AA’, BB’, CC’ đồng quy tại M, Chứng minh rằng:
HƯỚNG DẪN:
Qua A vẽ đường thẳng song song với BC
cắt BB’ tại D và cắt CC’ tại E, Khi đó:
có (1)
có (2)
Từ (2) và (2) ta có:
(*)
Chứng minh tương tự ta cũng có:
có (3)
có:
Từ (3) và (4) ta có: (**)
Từ (*) và (**) => (đpcm)
Bài 5: Cho ABC, M là điểm tùy ý nằm trong tam giác các đường thẳng AM, BM, CM lần lượt cắc các cạnh BC, AC, AB tại A’, B’, C’. Chứng minh rằng:
HƯỚNG DẪN:
Từ A, M vẽ
có:
Mặt khác:
Chứng minh tương tự:

Cộng theo vế ta được đpcm
Bài 6: Cho ABC, M là điểm tùy ý nằm trong tam giác, đường thẳng đi qua M và trọng tâm G của tam giác cắt BC, CA, AB lần lượt tại A’, B’, C’, CMR :
HƯỚNG DẪN:
Gọi AM cắt BC tại A1, Từ M vẽ đường thẳng song song với AI cắt BC tại D,
với I là trung điểm BC
có: (1)
có (2)
Từ (1) và (2) ta có:
Chứng minh tương tự ta có:
mà ta có: từ bài 6 =>
Bài 7: Cho ABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:
a, AEF đồng dạng ABC
b, H là giao các đường phân giác của DEF
c,
HƯỚNG DẪN:
a, Ta có:
=>
b, Chứng minh tương tự ta cũng có:
(c.g.c) và (c.g.c)
=> Do
Mà: => HE là phân giác góc E
Chứng minh tương tự FH là phân giác góc F, DH là phân giác góc D
c, (1)
và (2)
Cộng (1) và (2) theo vế ta được đpcm
Bài 8: Cho ABC, AD là đường phân giác của tam giác, CMR :
HƯỚNG DẪN:
Trên AD lấy điểm E sao cho:
(1)
lại có:
(2)
Lấy (1) - (2) theo vế ta được:
Bài 10: Cho tứ giác ABCD, trong đó: , Gọi E là giao điểm của AB và CD, CMR:
HƯỚNG DẪN:
Trên nửa mặt phẳng bờ BE,
không chứa C vẽ tia Ex sao cho:
=> Ex cắt AC tại N =>
Ta có :
(1)
Tương tự : (2)
Lấy (2) - (1) theo vế ta được đpcm
Bài 11: Cho HBH ABCD đường chéo lớn AC, Từ C kẻ CE vuông góc với AB, CF vuông góc với AD. Chứng minh rằng: Hệ thức:
HƯỚNG DẪN:
Vì AC là đường chéo lớn => ,
Kẻ
=>
(1)
Tương tự kẻ
(2)
Cộng (1) và (2) theo vế ta được:
Vì ( cạnh huyền - góc nhọn) => AK=HC
Bài 12: Cho ABC và 1 điểm O thuộc miền trong của tam giác, đường thẳng đi qua O và // với AB cắt BC tại D và cắt AC tại G, đường thẳng đi qua O và //BC cắt AB tại K và AC tại F, đường thẳng đia qua O và //AC cắt AB tại H và BC tại E
a, CMR: b, CMR:
HƯỚNG DẪN:
a,
Nên
b, Ta có:
và ,
Khi đó:
Bài 13: Cho ABC có đường trung tuyến BM cắt tia phân giác CD tại N, Chứng minh rằng:
HƯỚNG DẪN:
Vẽ DE / / BM ( )
có (*)
có DC là tia phân giác nên: (1)
và có DE//BM (2)
Từ (1) và (2) ta có : (**)
Lấy (*) - (**), ta có :
Bài 14: Cho ABC có các đường phân giác AD, BE, CF. Chứng minh:
HƯỚNG DẪN:
có AD là tia phân giác nên: ,
Tương tự: ,
Nhân theo vế ta được đpcm
Bài 15: Cho HBH ABCD đường thẳng a đi qua A lần lượt cắt BD, BC, DC tại E, K, G
Chứng minh rằng:
a,
b,
c, Khi a thay đổi thì tích có giá trị không đổi?
HƯỚNG DẪN:
a, có (1)
có (2)
Từ (1) và (2) ta có:
b, Từ:
có (3)
Tương tự: có (4)
Khi đó: =>đpcm
c, ta có: và
Nhân theo vế ta được không đổi
Bài 16: Cho ABC nhọn, H là trực tâm. Chứng minh :
HƯỚNG DẪN:
Ta có:
(1)
Tương tự:
(2)
(3)
Cộng (1), (2) và (3) theo vế ta được: đpcm
Bài 17: Cho ABC, M là điểm nằm trong ABC, Gọi D là giao điểm của AM và BC, E là giao điểm của BM và CA, F là giao điểm của CM và AB, đường thẳng đi qua M và // với BC cắt DE, DF lần lượt tại K và I. Chứng minh rằng : MI=MK
HƯỚNG DẪN:
Gọi IK cắt AB. AC lần lượt tại N và Q
có
có (1)
có ,
có
(2)
Nhân (1) và (2) theo vế ta được: (*)
Tương tự ta cũng có:
có và có
Do đó: (3)
Và: có , có
Do đó: (4)
Nhân (3) với (4) ta được: (**)
Từ (*) và (**) ta có MI = MK
Bài 18: Cho ABC, các đường trung tuyên BM, CN cắt nhau tại G, K là điểm trên cạnh BC, đường thẳng qua K và // CN cắt AB ở D, đường thẳng qua K và // với BM cắt AC ở E, Gọi I là giao điểm của KG và DE, CMR: I là trung điểm của DE
HƯỚNG DẪN:
Gọi DK cắt BG tại H, KE cắt GC tại O và GK cắt HO tại J
Tứ giác HGOK có: => HGOK là hình bình hành
=> J là trung điểm của HO => HJ=OJ
có (1)
có (2)
Từ (1) và (2) ta có (*)
CMTT ta có: có (3)
có (4)
Từ (3) và (4) => (**)
Từ (*) và (**) có
Lại có J là trung điểm HO=> I là trung điểm DE
Bài 19: Cho hình thang ABCD (AB//CD) có BC=BD, Gọi H là trung điểm của CD, đường thẳng đi qua H cắt AC, AD lần lượt tại E và F, Chứng minh rằng:
HƯỚNG DẪN:
Gọi BF cắt DC tại K, BE cắt DC tại I, và EF cắt AB tại G
có (1)
có (2)
Từ (1) và (2)
(*)
Tương tự:
có (3)
có (4)
Từ (3) và (4) ta có: (**)
Từ (*) và (**) => , Mà DH=HC (gt)=>DK=IC
Mặt khác: BD=BC(gt)=> cân=>
=> đpcm
Bài 20: Cho ABC có G là trọng tâm, một đường thẳng bất kỳ qua G, cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M và N, Chứng minh rằng:
HƯỚNG DẪN:
Gọi O là trung điểm của BC,
Kẻ BH, CK lần lượt // MN
có (1)
có (2)
Cộng (1) và (2) theo vế ta được:
Bài 21: Cho tứ giác ABCD, có M, N lần lượt là trung điểm của các đường chéo BD và AC (M # N) đường thẳng MN cắt AD, BC lần lượt tại E và F, Chứng minh: AE.BF=DE.CF
HƯỚNG DẪN:
Từ A kẻ đường thẳng song song với BD cắt EF tại H
Từ C kẻ đường thẳng song song với BD cắt EF tại G
có (1)
có (2)
Mặt khác: (3) và
Từ (1), (2) và (3) ta có:
Bài 22: Cho tam giác ABC, AD là đường trung tuyến, M là điểm nằm trên đoạn AD, gọi E là giao điểm của BM và AC, F là giao điểm của CM và AB. Chứng minh: EF //BC
HƯỚNG DẪN:
Lấy N trên tia đối của tia DM sao cho MD= ND
=> Tứ giác BMCN là hình bình hành =>
có (1)
có (2)
Từ (1) và (2) => =>
Bài 23: Cho tứ giác ABCD, gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD và CB, O là giao điểm của AM và DN, biết . Chứng minh rằng: ABCD là hình bình hành
HƯỚNG DẪN:
Vẽ đường thẳng đi qua O và //AD cắt DC tại H
Vẽ đường thẳng đi qua M và // BC cắt DN tại K
Vì M là trung điểm của DC nên K là trung điểm DN
có (1)
Vì
Tương tự ta có: có , mà (2)
Từ (1) và (2) =>
Chứng minh tương tự=> AB//DC=> ABCD là hình bình hành
Bài 24: Cho tứ giác ABCD, có E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC, đường thẳng EF cắt các đường thẳng AB, CD lần lượt tại M và N, CMR: MA.NC = MB.ND
HƯỚNG DẪN:
Từ A kẻ đường thẳng song song BC cắt ME tại G
Từ D kẻ đường thẳng song song BC cắt EF tại H
=> có
có (1)
Ta lại có:
Thay vào (1) ta được:
đpcm
Bài 25: Cho tam giác ABC đều, gọi M, N lần lượt là các điểm trên AB, BC sao cho BM =BN, gọi G là trọng tâm của tam giác BMN, I là trung điểm của AN, P là trung điểm của MN
a/ CMR: GPI và GNCđồng dạng
b/ CMR: IC vuông góc với GI
HƯỚNG DẪN:
a, Vì G là trọng tâm nên ,
Lại có : MA=NC=> và
Vì ABC đều => BMN đều
=>
Và
b, có theo câu a=> GIC vuông tại I=> IC GI
Bài 26: Cho tam giác ABC nhọn, trên các đường cao BE, CF lấy các điểm theo thứ tự I, K sao cho
a, CMR: AI=AK
b, Cho , Tính diện tích tam giác AEF
HƯỚNG DẪN:
a, (1)
Chứng minh tương tự:
(2)
Lại có
(3)
Từ (1), (2) và (3) ta có:
B, Vì
=>
Bài 27: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, I là trung điểm của AC, F là hình chiếu của I trên BC, trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng chứa AC, vẽ tia Cx vuông góc với AC cắt IF tại E, Gọi giao của AH, AE với BI theo thứ tự tại G và K
a/ IHE và BHA đồng dạng
b, BHI và AHE đồng dạng
c, AE vuông góc với BI
HƯỚNG DẪN:
a, Ta có: AHC vuông cân tại H,
có I là trung điểm AC =>
=> I nằm trên đường trung trực của HC
=> IF là đường trung trực
=> EH=EC=>IHE=ICE ( c.c.c)
=>
Mặt khác:
b, Theo câu a ta có: IHEBHA
=> và
c, Giả sử: AE giao với HI tại M =>
Từ câu b=>
Bài 28: Cho HCN ABCD, nối AC, kẻ DE vuông góc với AC, gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, AE, DE, nối MN, ND, CP, CMR:
a,AND và DPC đồng dạng
b, ND và MN vuông góc với nhau
HƯỚNG DẪN:
a, Ta có: ( cùng phụ )
và
mà AE= 2. AN và DE= 2. DP
b, Ta có :
=> Tứ giác là hình bình hành =>
Lại có :
Bài 29: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, Gọi P và Q theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng BH, AH. Chứng minh rằng:
a, ABP và ACQ đồng dạng
b, AP vuông góc với CQ
HƯỚNG DẪN:
a, Ta có: ( Phụ )
=>
mà AH=2. AQ, và BH= 2. BP
=>
b, Gọi AP cắt CQ tại K, Vì
mà
Bài 30: Cho ABC cân tại A, H là trung điểm của BC, I là hình chiếu của H trên AC và O là trung điểm của HI
a, CMR: BIC và AOH đồng dạng
b, AO vuông góc với IC
HƯỚNG DẪN:
a, Ta có: (Cùng phụ ) (1)
lại có :
Mà
Thay vào ta được : (2)
Từ (1) và (2) ta có :
b, Vì theo câu a nên
và
Bài 31: Cho ABC có ba góc nhọn, các điểm M, N theo thứ tự là trung điểm của BC, AC, Gọi H, O G theo thứ tự là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm ABC
a, Tìm các đồng dạng với AHB
b, CMR: HAG đồng dạng với OMG
c, 3 điểm H, O, G thẳng hàng
HƯỚNG DẪN:
a, Dự đoán ,
Chứng minh:
Vì
Mặt khác: ( cùng vuông góc BC)
=>
Tương tự ta có:
BH//ON vì cùng vuông góc với AC
=>
b, ta có:
Mặt khác: Và
c, Vì
Mà thẳng hàng
Bài 32: Cho ABC vuông cân đỉnh A, BD là đường trung tuyến, Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với BD cắt BC tại E, CME: BE=2EC
HƯỚNG DẪN:
Vẽ đường cao AH
ABC vuông cân nên AH là đường trung trực
=> G là trọng tâm => BG=2. GD
Cần chứng minh GE// DC
ABE có G là giao 2 đường cao
=> G là trực tâm =>
BDC có GE// DC =>
Bài 33: Cho ABC, trên AC lấy 2 điểm D và E sao cho AD=DE=EC, trung tuyến AM cắt BD tại P và trung tuyến CN cắt BE tại Q
a, CMR: Q là trung điểm của CN
b, PQ//AC
c,
HƯỚNG DẪN :
a, Vì và ND//BE => QE// ND
mà E là trung điểm DC nên Q là trung điểm NC
b, Chứng minh tương tự => P là trung điểm của AM,
Gọi G là trọng tâm của ABC => PG=AG - AP =
Tương tự
c, Tự chứng minh
Bài 34 : Cho ABC cân tại A, đường thẳng vuông góc với BC tại B, cắt đường thẳng vuông góc với AC tại C là điểm D, vẽ BE vuông góc với CD tại E, Gọi M là giao của AD và BE, vẽ EN vuông góc với BD tại N, CMR : MN//AB, M là trung điểm của BE
HƯỚNG DẪN :
ta có : AC// BE => (1)
lại có : NE//BC => (2)
từ (1) và (2) ta có :
Giả sử : AC cắt BD tại I
Ta có:
mà => ABI cân tại A
=> BA là đường trung trực => AI =AC
Dễ dàng chứng minh được M là trung điểm BE
Bài 35 : Cho hình vuông ABCD, Gọi M, N theo thứ tự là các trung điểm của các cạnh AB, AD và P là giao điểm của BN, CM
a, CMR : BN vuông góc với CM
b, CMR: DP=DC
c, DP cắt AB tại F, CMR: F là trung điểm của MB
HƯỚNG DẪN:
a, Ta có: BAN = CBM (c.g.c) => mà
b, Kéo dài BN cắt DC tại I
=> có
=>I là trung điểm IC,
PIC vuông có D là trung điểm IC => PD =PC
c, Tự chứng minh
Bài 36: Cho ABC (ABHƯỚNG DẪN:
Giả sử AK là tia phân giác góc A
ADE cân tại A => AD = AE
Ta có: BDM có AK// DM => ,
Mặt khác CAK có
Mà BM= CM => và
Bài 37: Cho HCN có AD = 2.DC, M alf điểm trên AB, tia phân giác của góc cắt BC tại E, CMR: CM = AM+2EC
HƯỚNG DẪN:
Lấy N trên tia đối tia CB sao cho AM= 2CM
=>
Lại có: DM=2.DN (1)
và cân tại N
=> ND=EN=EC+CN
=> AM+2. EC=2CN+2.EC=2.ND (2)
từ (1) và (2) ta có : DM = 2.DN= AM+2EC
Bài 38: Cho hình vuông ABCD, gọi O là giao của hai đường chéo, lấy G trên BC, H trên CD sao cho , Gọi M là trung điểm của AB, CMR:
a, HOD đồng dạng với OGB
b, MG // AH
HƯỚNG DẪN:
a, ta có: , Mặt khác:
=>
b, Theo câu a,
=> , Đặt MB=a, AD=2a
=>
=> , mà
( đồng vị) => AH//MG
Bài 39: Cho HCN ABCD, từ 1 điểm P thuộc đường chéo AC, dựng HCN AEPF (E AB, FAD), CMR:
a, EF//DB
b, BF và DE cắt nhau tại Q nằm trên AC
HƯỚNG DẪN:
a, Ta có: EP//BC => và

b, Gọi I, O lần lượt là tâm của 2 HCN
,
Mà 2.IE = EF, 2. DO= DB=>
và
Mà => A, Q, O thẳng hàng=> Q nằm trên AC
Bài 40: Cho hình vuông ABCD, trên BC lấy E sao cho , trên tia đối của CD lấy điểm F sao cho , M là giao AEvà BF, Chứng minh: AM vuông góc với CM
HƯỚNG DẪN:
Gọi G là giao AM và DC,
H là giao của AB và CM
GAD có
Lại có: AB//DG=>
Khi đó: ABE = CBH (c.g.c) =>
Bài 41: Cho tứ giác lồi ABCD, từ 1 điểm E thuộc cạnh AD và G thuộc cạnh AB, ta kẻ các đường thẳng song song với đường chéo AC, các đường thẳng này cắt CD, BC lần lượt tại F và H
a, So sánh các tỉ số các đoạn thẳng do BD định ra trên EF và GH
b, CMR: EG và HF cắt nhau tại I nằm trên BD
HƯỚNG DẪN:
a, Gọi O là giao điểm 2 đường chéo AC, BD
BD cắt EF, GH lần lượt tại N và M
=>
Tương tự ta cũng có:
Từ hai điều trên ta có:
b, Giả sử : GE cắt BD tại I’
=> (1),
Tương tự Giả sử HF cắt BD tại I’: (2)
Theo câu a ta có: (3)
Từ (1), (2) và (3) => , hay I là giao điểm GE, HF, DB
Bài 42: Cho hình vuông ABCD, trên AB lấy điểm M, vẽ BH vuông góc với CM, nối DH, vẽ HN vuông góc với DH (N BC)
a, CMR: DHC và NHB đồng dạng
b, CMR: AM.NB=NC.MB
HƯỚNG DẪN:

onthicaptoc.com 21. Chuyen de boi duong HSG toan 8 Tam giac Dong dang