onthicaptoc.com
BÀI TẬP TRẢ LỜI NGẮN PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Câu 1: Phương trình mặt phẳng đi qua điểm và chứa trục có dạng . Tính .
Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt phẳng đi qua điểm và cắt các tia lần lượt tại sao cho độ dài theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội bằng . Khi đó phương trình mặt phẳng có dạng , . Giá trị của biểu thức bằng bao nhiêu?
Câu 3: Phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng và cách điểm một khoảng bằng có dạng với là một số dương. Tính .
Câu 4: Phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng và cách đều 2 điểm và có dạng . Tính .
Câu 5: Phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm ; và cách đều 2 điểm và có dạng với là một số nguyên. Tính .
Câu 6. Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho các điểm , và mặt phẳng . Biết điểm nằm trên mặt phẳng sao cho đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm tung độ của điểm .
Câu 7. Trong không gian , cho mặt phẳng . Gọi là mặt phẳng song song với , cắt các tia lần lượt tại các điểm , , sao cho thể tích khối tứ diện bằng . Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Câu 8. Trong không gian , cho điểm . Gọi là mặt phẳng đi qua và cắt 3 tia lần lượt tại các điểm (khác ) sao cho đạt giá trị nhỏ nhất. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (kết quả là tròn đến hàng phần trăm).
Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm , và mặt phẳng . Gọi là điểm thuộc sao cho biểu thức đạt GTNN. Tính tổng .
Câu 10. Trong không gian cho các điểm . Gọi là mặt phẳng song song với mặt phẳng , cách đều và mặt phẳng . Phương trình của mặt phẳng là với . Giá trị của bằng bao nhiêu?
Câu 11. Cho hai điểm , , và mặt phẳng. Gọi là điểm thuộc mặt phẳng sao có giá trị min . Tính tổng .
Câu 12. Manhattanhenge (Hình 1) là một sự kiện diễn ra khi Mặt Trời mọc hoặc khi Mặt Trời lặn nằm thẳng hàng với các tuyến phố Đông - Tây thuộc mạng lưới đường phố chính tại quận Manhattan của thành phố New York. Khi mặt trời lặn, tia sáng song song mặt đất lệch một góc khoảng so với hướng tây (Hình 2).
Hình 1
Hình 2
Giả sử mặt tiền các tòa nhà hai bên đường nằm trong 2 mặt phẳng song song cách nhau và vuông góc với mặt đất. Biết rằng mặt phẳng phía bắc đi qua gốc của hệ trục , với tia vuông góc với mặt đất và hướng lên trên. Phương trình mặt phẳng thứ hai có dạng , với . Tính .
Câu 13. Một sân vận động được xây dựng theo mô hình là hình chóp cụt có hai đáy song song với nhau. Mặt sân OAGD là hình chữ nhật và được gắn hệ trục như hình vẽ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Mặt sân có chiều dài , chiều rộng và tọa độ điểm . Giả sử phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng . Tính giá trị biểu thức .

Câu 14. Biết góc quan sát ngang của một camera là . Trong không gian , camera được đặt tại điểm và chiếu thẳng về phía mặt phẳng . Hỏi vùng quan sát được trên mặt phẳng của camera là hình tròn có đường kính bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến chữ số hàng chục)
Câu 15. Một phần sân trường được định vị bởi các điểm , như hình vẽ.
Bước đầu chúng được lấy “thăng bằng” để có cùng độ cao, biết là hình thang vuông ở và với độ dài , , . Do yêu cầu kĩ thuật, khi lát phẳng phàn sân trường phải thoát nước về góc sân ở nên người ta lấy độ cao ở các điểm , , xuống thấp hơn so với độ cao ở là , , tương ứng. Giá trị của là
Câu 16. Trong tiết thể dục học về kĩ thuật chuyền bóng hơi, Nam và An đang tập chuyền bóng cho nhau, Nam ném bóng cho An đỡ, quả bóng bay lên cao nhưng lại lệch sang phải của Nam và rơi xuống vị trí cách An và cách Nam được mô tả bằng hình vẽ bên dưới
Biết rằng quỹ đạo của quả bóng nằm trong mặt phẳng và vuông góc với mặt đất. Khi đó giá trị của bằng (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
Câu 17: Cho hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy; tứ giác là hình vuông; . Bằng cách thiết lập hệ trục tọa độ như hình vẽ, phương trình mặt phẳng có dạng: . Tính .

Câu 18: Cho hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy; tứ giác là hình vuông; . Bằng cách thiết lập hệ trục tọa độ như hình vẽ, tính khoảng cánh từ điểm đến mặt phẳng . (làm tròn đến hàng phần trăm)

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI
Câu 1: Phương trình mặt phẳng đi qua điểm và chứa trục có dạng . Tính .
Lời giải
Đáp án: 6.
Trục chứa điểm và điểm .
Do mặt phẳng đi qua điểm và chứa trục nên mặt phẳng có cặp vectơ chỉ phương:

Do đó mặt phẳng có vectơ pháp tuyến: .
Phương trình mặt phẳng là:
Vậy .
Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt phẳng đi qua điểm và cắt các tia lần lượt tại sao cho độ dài theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội bằng . Khi đó phương trình mặt phẳng có dạng , . Giá trị của biểu thức bằng bao nhiêu?
Lời giải
Đáp án:
Gọi , điều kiện
Độ dài theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội bằng
Suy ra
Nên
Khi đó phương trình mặt phẳng là: .
Vì nên
.
Câu 3: Phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng và cách điểm một khoảng bằng có dạng với là một số dương. Tính .
Lời giải
Đáp án: .
Do mặt phẳng song song với mặt phẳng nên phương trình mặt phẳng có dạng .
Ta có:

Do
Phương trình mặt phẳng là: .
Vậy .
Câu 4: Phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng và cách đều 2 điểm và có dạng . Tính .
Lời giải
Đáp án: .
Do mặt phẳng song song với mặt phẳng nên phương trình mặt phẳng có dạng .
Ta có:

Phương trình mặt phẳng là: .
Vậy .
Câu 5: Phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm ; và cách đều 2 điểm và có dạng với là một số nguyên. Tính .
Lời giải
Đáp án: .
Phương trình mặt phẳng có dạng: .
Do .
Do
Ta có:

Với .
Phương trình mặt phẳng là: .
Vậy .
Câu 6. Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho các điểm , và mặt phẳng . Biết điểm nằm trên mặt phẳng sao cho đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm tung độ của điểm .
Lời giải
Đáp án: 4
Gọi là trung điểm của nên


đạt giá trị nhỏ nhất Û đạt giá trị nhỏ nhất Û đạt giá trị nhỏ nhất.
có vectơ pháp tuyến
Do nên là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng .
Suy ra:
Vậy tung độ của điểm là .
Câu 7. Trong không gian , cho mặt phẳng . Gọi là mặt phẳng song song với , cắt các tia lần lượt tại các điểm , , sao cho thể tích khối tứ diện bằng . Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Lời giải
Đáp án: 1,60
Do song song với nên có phương trình: , điều kiện .
Khi đó: cắt các tia lần lượt tại các điểm là: , , , với .
Thể tích khối tứ diện bằng nên
(do )
(thỏa mãn).
Ta có: .
Câu 8. Trong không gian , cho điểm . Gọi là mặt phẳng đi qua và cắt 3 tia lần lượt tại các điểm (khác ) sao cho đạt giá trị nhỏ nhất. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (kết quả là tròn đến hàng phần trăm).
Lời giải
Đáp án: 5,14
Giả sử với
Phương trình mặt phẳng ;
.
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:
Dấu “” xảy ra khi Nên
Vậy .
Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm , và mặt phẳng . Gọi là điểm thuộc sao cho biểu thức đạt GTNN. Tính tổng .
Lời giải
Chọn điểm thỏa mãn
Ta có:
Suy ra, là hình chiếu của trên mặt phẳng
Gọi là đường thẳng đi qua và vuông góc với
Vậy .
Câu 10. Trong không gian cho các điểm . Gọi là mặt phẳng song song với mặt phẳng , cách đều và mặt phẳng . Phương trình của mặt phẳng là với . Giá trị của bằng bao nhiêu?
Lời giải
Phương trình mặt phẳng là:
Mặt phẳng song song với mặt phẳng nên có dạng:
Vì cách đều và mặt phẳng nên ta có:.
Vậy phương trình mặt phẳng là: .
Câu 11. Cho hai điểm , , và mặt phẳng. Gọi là điểm thuộc mặt phẳng sao có giá trị min . Tính tổng .
Lời giải
Gọi , sao cho là trong tâm .
Ta có:

, (mà )

Vì điểm cố định nên có giá trị không đổi.
Để có giá trị min min.
Mà cố định nên là hình chiếu của lên, suy ra .
Vậy .
Câu 12. Manhattanhenge (Hình 1) là một sự kiện diễn ra khi Mặt Trời mọc hoặc khi Mặt Trời lặn nằm thẳng hàng với các tuyến phố Đông - Tây thuộc mạng lưới đường phố chính tại quận Manhattan của thành phố New York. Khi mặt trời lặn, tia sáng song song mặt đất lệch một góc khoảng so với hướng tây (Hình 2).
Hình 1
Hình 2
Giả sử mặt tiền các tòa nhà hai bên đường nằm trong 2 mặt phẳng song song cách nhau và vuông góc với mặt đất. Biết rằng mặt phẳng phía bắc đi qua gốc của hệ trục , với tia vuông góc với mặt đất và hướng lên trên. Phương trình mặt phẳng thứ hai có dạng , với . Tính .
Lời giải
Đáp án: 68
Gọi là giao điểm của mp với trục và , là hình chiếu vuông góc của lên .
Vì khoảng cách giữa hai mặt phẳng bằng nên
Theo giả thiết, ta có góc , khi đó , ,
Tọa độ điểm , chọn VTPT
Mặt phẳng đi qua vuông góc nhận làm véc tơ pháp tuyến có phương trình
Vậy .
Câu 13. Một sân vận động được xây dựng theo mô hình là hình chóp cụt có hai đáy song song với nhau. Mặt sân OAGD là hình chữ nhật và được gắn hệ trục như hình vẽ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Mặt sân có chiều dài , chiều rộng và tọa độ điểm . Giả sử phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng . Tính giá trị biểu thức .

Lời giải
Đáp án: -10
Gắn hình chóp cụt vào hệ trục , ta có:
Do nên .
Suy ra mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là .
Phương trình tổng quát của mặt phẳng là .
Do đó . Vậy .
Câu 14. Biết góc quan sát ngang của một camera là . Trong không gian , camera được đặt tại điểm và chiếu thẳng về phía mặt phẳng . Hỏi vùng quan sát được trên mặt phẳng của camera là hình tròn có đường kính bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến chữ số hàng chục)
Lời giải
Gọi là các điểm như hình vẽ bên dưới và là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng .
Hình vẽ
Theo đề .
Khi đó (đvđd).
Xét tam giác vuông tại , ta có:
(đvđd).
Suy ra (đvđd)
Vậy vùng quan sát của camera trên mặt phẳng là hình tròn có đường kính khoảng (đvđd).
Câu 15. Một phần sân trường được định vị bởi các điểm , như hình vẽ.
Bước đầu chúng được lấy “thăng bằng” để có cùng độ cao, biết là hình thang vuông ở và với độ dài , , . Do yêu cầu kĩ thuật, khi lát phẳng phàn sân trường phải thoát nước về góc sân ở nên người ta lấy độ cao ở các điểm , , xuống thấp hơn so với độ cao ở là , , tương ứng. Giá trị của là
Lời giải
Chọn hệ trục tọa độ sao cho: , tia ; tia .
Khi đó, ; ; ;.
Khi hạ độ cao các điểm ở các điểm , , xuống thấp hơn so với độ cao ở là , , tương ứng ta có các điểm mới ; ;.
Theo bài ra có bốn điểm ; ; ; đồng phẳng.
Phương trình mặt phẳng .
Do nên có: .
Vậy .
Câu 16. Trong tiết thể dục học về kĩ thuật chuyền bóng hơi, Nam và An đang tập chuyền bóng cho nhau, Nam ném bóng cho An đỡ, quả bóng bay lên cao nhưng lại lệch sang phải của Nam và rơi xuống vị trí cách An và cách Nam được mô tả bằng hình vẽ bên dưới
Biết rằng quỹ đạo của quả bóng nằm trong mặt phẳng và vuông góc với mặt đất. Khi đó giá trị của bằng (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
Lời giải
Chọn hệ trục như hình vẽ. Gọi là điểm mà quả bóng chạm đất.
Khi đó ,
Vì nên có véc tơ chỉ phương .
Mà có véc tơ chỉ phương
Khi đó véc tơ pháp tuyến của là .
Vậy nên .
Câu 17: Cho hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy; tứ giác là hình vuông; . Bằng cách thiết lập hệ trục tọa độ như hình vẽ, phương trình mặt phẳng có dạng: . Tính .

Lời giải
Đáp án: .
Trong hệ trục tọa độ như hình vẽ ta có
.
Mặt phẳng có cặp vectơ chỉ phương .
Do đó, mặt phẳng có vectơ pháp tuyến .
Phương trình mặt phẳng là: .
Vậy
Câu 18: Cho hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy; tứ giác là hình vuông; . Bằng cách thiết lập hệ trục tọa độ như hình vẽ, tính khoảng cánh từ điểm đến mặt phẳng . (làm tròn đến hàng phần trăm)

Lời giải
Đáp án: .
Trong hệ trục tọa độ như hình vẽ ta có
.
Mặt phẳng có cặp vectơ chỉ phương .
Do đó, mặt phẳng có vectơ pháp tuyến .
Phương trình mặt phẳng là: .
Vậy .
onthicaptoc.com

onthicaptoc.com 20 Cau tra loi ngan phuong trinh mat phang giai chi tiet (1)