CHUYÊN ĐỀ : CÁC BÀI TOÁN VỀ TỨ GIÁC
MỤC LỤC
CHỦ ĐỀ 1: TỨ GIÁC 2
Dạng 1. Tính số đo góc của tứ giác 2
Dạng 2. So sánh các độ dài đoạn thẳng 5
CHỦ ĐỀ 2: HÌNH THANG – HÌNH THANG CÂN 11
Dạng 1. Bài tập về hình thang 11
Dạng 2. Bài tập về hình thang cân 13
CHỦ ĐỀ 3: ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, CỦA HÌNH THANG 20
Dạng 1. Bài tập về đường trung bình của tam giác. 20
Dạng 2. Bài tập về đường trung bình của hình thang 26
CHỦ ĐỀ 3: HÌNH BÌNH HÀNH 29
Dạng 1. Bài tập vận dụng tính chất hình bình hành 29
Dạng 2. Nhận biết hình bình hành 33
Dạng 3. Dựng hình bình hành 34
CHỦ ĐỀ 3: HÌNH CHỮ NHẬT 35
Dạng 1. Bài tập vận dụng tính chất và dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật 35
Dạng 2. Tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông 39
Dạng 3. Đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước 41
CHỦ ĐỀ 6: HÌNH THOI VÀ HÌNH VUÔNG 43
Dạng 1. Bài tập vận dụng tính chất và dấu hiệu nhận biết hình thoi 43
Dạng 2. Bài tập vận dụng tính chất và dấu hiệu nhận biết hình vuông 45
CHỦ ĐỀ 7: ĐỐI XỨNG TRỤC – ĐỐI XỨNG TÂM 50
Dạng 1. Bài tập vận dụng đối xứng trục 50
Dạng 2. Bài tập vận dụng đối xứng tâm 53
Chủ đề 8.HÌNH PHỤ ĐỂ GIẢI TOÁN TRONG CHƯƠNG TỨ GIÁC 55
A. Kiến thức cần nhớ 55
B. Bài tập vận dụng 56
CHỦ ĐỀ 8: TOÁN QUỸ TÍCH 65
A. Kiến thức cần nhớ 65
B. Bài tập áp dụng 65
CHỦ ĐỀ 1: TỨ GIÁC
Dạng 1. Tính số đo góc của tứ giác
* Phương pháp: Vân dụng định lý tổng 4 góc của tứ giác, tính chất góc ngoài của tam giác, hai góc bù nhau, phụ nhau
* Bài tập vận dụng:
Bài 1.1 Cho tứ giác ABCD, . Các tia phân giác của góc C và góc D cắt nhau tại O. Cho biết . Chứng minh rằng .
* Tìm cách giải
Muốn chứng minh ta chứng minh .
Đã biết hiệu nên cần tính tổng .
* Lời giải:
Xét có
(vì ; ).
Xét tứ giác ABCD có: , do đó
Vậy . Theo đề bài nên .
Mặt khác, nên . Do đó .
Bài 1.2 Cho tứ giác ABCD có . Các tia phân giác ngoài tại đỉnh C và D cắt nhau tại K. Tính số đo của góc CKD.
Lời giải:
Xét tứ giác ABCD có:
Suy ra:
Do đó .
Xét có:
Bài 1.3 Tứ giác ABCD có . Chứng minh rằng các đường phân giác của góc B và góc D song song với nhau hoặc trùng nhau.
Lời giải:
Xét tứ giác ABCD có: .
Vì , nên . (1)
Xét có . (2)
Từ (1) và (2) suy ra . Do đó //.
Bài 1.4 Tứ giác ABCD có AB = BC và hai cạnh AD, DC không bằng nhau. Đường chéo DB là đường phân giác của góc D. Chứng minh rằng các góc đối của tứ giác này bù nhau.
* Tìm cách giải
Để chứng minh hai góc A và C bù nhau ta tạo ra một góc thứ ba làm trung gian, góc này bằng góc A chẳng hạn. Khi đó chỉ còn phải chứng minh góc này bù với góc C
* Lời giải:
- Xét trường hợp AD < DC
Trên cạnh DC lấy điểm E sao cho DE = DA
Ta có: (c.g.c) và .
Mặt khác, nên .
Vậy cân .
Ta có:
Do đó:
- Xét trường hợp AD > DC
CMTT như trên, ta được: ;
Bài 1.5 Tứ giác ABCD có Các tia phân giác của các góc C và D cắt nhau ở E. Các đường phân giác của các góc ngoài tại các đỉnh C và D cắt nhau ở F. Tính 
Lời giải:
Tứ giác ABCD có
nên .
có
Vì DE và là các tia phân giác của hai góc kề bù nên . Tương tự,
Xét tứ giác CEDF:
Có:
Bài 1.6 Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng tổng hai góc ngoài tại hai đỉnh A và C bằng tổng hai góc trong tại hai đỉnh B và D.
Lời giải:
Gọi các góc trong của đỉnh A và C là và còn các góc ngoài của đỉnh A và C là và .
Ta có: (hai góc kề bù)
(hai góc kề bù)
Suy ra: và
(1)
Ta lại có: (tổng 4 góc tứ giác)
(2) . Từ (1) và (2)
Bài 1.7 Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai góc ngoài tại hai đỉnh bằng tổng hai góc trong tại hai đỉnh còn lại.
Lời giải:
* Trường hợp hai góc ngoài tại hai đỉnh kề nhau
Gọi , là số đo hai góc trong; , là số đo hai góc ngoài tại hai đỉnh kề nhau là C và D. Ta có:
. (1)
Xét tứ giác ABCD có: . (2)
Từ (1) và (2) suy ra: .
Trường hợp hai góc ngoài tại hai đỉnh đối nhau (xem VD4)
Bài 1.8 Cho tứ giác ABCD có ; ; . Tính số đo góc A, góc B.
(Olympic Toán Châu Á - Thái Bình Dương 2010 )
Lời giải
Vẽ đường phân giác của các góc và chúng cắt nhau tại E.
Xét có .
(c.g.c) .
(c.g.c) .
Suy ra do đó ba điểm A, E, B thẳng hàng
Vậy. Do đó .
Bài 1.9 Cho tứ giác , là giao điểm của các đường thẳng và là giao điểm của các đường thẳng và . Các tia phân giác của các góc và cắt nhau ở . Chứng minh rằng :
a) Nếu thì IE vuông góc với IF.
b) Góc EIF bằng nửa tổng của một trong hai cặp góc đối của tứ giác .
Lời giải
a) Xem cách giải tống quát ở câu b
b) Giả sử và có vị trí như trên hình bên, các tia phân giác của các góc và cắt nhau tại I. Trước hết ta chứng minh rằng .
Thây vậy, gọi H và là giao điểm của FI với AB và CD
Theo tính chất góc ngoài của tam giác ta có:
nên
Do đó
Bài tập tự giải
Bài 1. Cho tứ giác ABCD có và .
a) Nếu , hãy tính các góc chưa biết của tứ giác.
b) Chứng minh .
Bài 2. Nêu cách vẽ tứ giác biết và
Bài 3. Tứ giác ABCD có . Các tia phân giác của các góc C và D cắt nhau tại I và . Tính các góc và .
Bài 4. Cho tứ giác ABCD có và . Tính các góc còn lại.
Bài 5. Tính các góc trong và ngoài của tứ giác PQRS, biết: số đo góc ngoài tại đỉnh R và số đo góc P cùng bằng ,
Dạng 2. So sánh các độ dài đoạn thẳng
* Lý thuyết:
Định lý về tứ giác lồi: Nếu tứ giác ABCD là tứ giác lồi khi và chỉ khi hai đường chéo AC và BD cắt nhau
* Bài tập
Bài 2.1 Tứ giác ABCD có tổng hai đường chéo bằng a. Gọi M là một điểm bất kì. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng .
* Tìm cách giải
Để tìm giá trị nhỏ nhất của tổng ta phải chứng minh ( là hằng số).
Ghép tổng trên thành hai nhóm .
Ta thấy ngay có thể dùng bất đẳng thức tam giác mở rộng.
* Trình bày lời giải
Xét ba điểm M, A, C có (dấu “=” xảy ra khi ).
Xét ba điểm M, B, D có (dấu ‘=’ xảy ra khi ).
Do đó: .
Vậy min khi M trùng với giao điểm O của đường chéo AC và BD.
Bài 2.2 Tứ giác có là giao điểm của hai đường chéo, , . Tính độ dài .
* Lời giải:
Kẻ AH ^ BD. Đặt BH = x, AH = y. Áp dụng định lý Pytago vào các tam giác vuông ABH và AOH, ta có:
Giải hệ trên ta tìm được:
Áp dụng định lý Pytago vào các tam giác vuông ADH, ta có:
Bài 2.3 Cho tứ giác MNPQ. Chứng minh rằng nếu NQ thì .
* Lời giải:
Gọi O là giao điểm hai đường chéo MP và NQ
Ta có : MN < MO + ON và (Bđt tam giác) suy ra ;
mà nên
Bài 2.4 Có hay không một tứ giác mà độ dài các cạnh tỉ lệ với 1, 3, 5, 10 ?
* Lời giải:
Giả sử tứ giác ABCD có CD là cạnh dài nhất.
Ta sẽ chứng minh CD nhỏ hơn tổng của ba cạnh còn lại (1).
Thật vậy, xét ta có: .
Xét có: . Do đó .
Ta thấy nếu các cạnh tỉ lệ với 1, 3, 5, 10 thì không thỏa mãn
điều kiện (1) nên không có tứ giác nào mà các cạnh tỉ lệ với 1, 3, 5, 10.
Bài 2.5 Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc. Biết . Tính độ dài AD.
* Lời giải:
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo.
Xét , vuông tại O, ta có:
.
Chứng minh tương tự, ta được:
Do đó: .
Suy ra:
Bài 2.6 Chứng minh rằng trong một tứ giác tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác.
* Lời giải:
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của tứ giác ABCD.
Gọi độ dài các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt là a, b, c, d. Vận dụng bất đẳng thức tam giác ta được:
Do đó
hay . (1)
Chứng minh tương tự, ta được: . (2)
Cộng từng vế của (1) và (2), ta được:
Xét các và ta có: . (3)
Tương tự có: . (4)
Cộng từng vế của (3) và (4) được: .
Từ các kết quả trên ta được điều phải chứng minh.
Bài 2.7 Cho bốn điểm A, B, C, D trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng, bất kì hai điểm nào cũng có khoảng cách lớn hơn 10. Chứng minh rằng tồn tại hai điểm đã cho có khoảng cách lớn hơn 14.
Trước hết ta chứng minh một bài toán phụ:
Cho . Chứng minh:
Giải
Vẽ . Vì nên H nằm trên tia đối của tia AC.
Xét và vuông tại H, ta có:
.
Vì nên ( dấu “=” xảy ra khi tức là khi vuông).
Vận dụng kết quả trên để giải bài toán đã cho
Trường hợp tứ giác ABCD là tứ giác lồi (h.a)
Ta có: .
Suy ra trong bốn góc này phải có một góc lớn hơn hoặc bằng , giả sử .
Xét ta có suy ra , do đó .
Trường hợp tứ giác ABCD là tứ giác lõm (h.b)
Nối CA, Ta có: .
Suy ra trong ba góc này phải có một góc lớn hơn hoặc bằng .
Giả sử , do đó là góc tù
Xét có .
Suy ra .
Vậy luôn tồn tại hai điểm đã cho có khoảng cách lớn hơn 14.
Bài 2.8 Cho tứ giác ABCD có độ dài các cạnh là , , , đều là các số tự nhiên. Biết tổng chia hết cho , cho , cho , cho . Chứng minh rằng tồn tại hai cạnh của tứ giác bằng nhau.
* Lời giải
Ta chứng minh bằng phương pháp phản chứng.
Giả sử không có hai cạnh nào của tứ giác bằng nhau.
Ta có thể giả sử .
Ta có: .
Do đó .
Ta đặt thì . (*)
Ta có: (1)
(2)
(3)
(4)
Từ (4) và (*) do đó .
Vì nên từ (1), (2), (3), (4) suy ra .
Do đó .
Từ (1), (2), (3), (4) suy ra .
Ta có: .
Từ đó: , vô lí.
Vậy điều giả sử là sai, suy ra tồn tại hai cạnh của tứ giác bằng nhau.
Bài 2.9 Cho tứ giác MNPQ. Biết chu vi tam giác MNP không lớn hơn chu vi tam giác NPQ, chứng minh .
* Lời giải:
Ta có: Chu vi
Chu vi
Theo giai thiết, ta có
Suy ra MN + MP PQ + NQ (1)
Theo bài 8, ta có: (2)
Cộng các bất đẳng thức (1) và (2) theo từng vế, ta có . Suy ra
Bài 2.10 So sánh độ dài cạnh và đường chéo của tứ giác biết rằng chu vi tam giác nhỏ hơn hoặc bằng chu vi tam giác .
* Lời giải:
Ta có: Chu vi
Chu vi
Theo giả thiết:
(1)
Mặt khác ta có: (2) (kết quả bài 8)
Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được:
2AB < 2AC AB < AC
Bài 2.11 Lấy trong tứ giác MNPQ một điểm O. Gọi CV là chu vi của tứ giác. Chứng minh
* Lời giải:
Ta có
Cộng các bất đẳng thức trên theo từng vế, ta có
Vậy:
Bài 2.12 Chứng minh tứ giác là tứ giác lồi khi và chi khi hai đường chéo và BD cắt nhau.
* Lời giải:
a) Cho tứ giác ABCD lồi. Cần chứng minh hai đường chéo AC và BD cắt nhau.
Do tứ giác ABCD lồi nên B và C cùng nằm trên nữa mặt phẳng bờ chứa AD.
Giả sử , khi đó tia AB nằm giữa hai tia AD và nên cắt cạnh (Vô lý).
Vậy . Do đó tia AC nằm giữa hai tia AB và AD tức là AC cắt đoạn thằng BD
Chưng minh tương tự, ta có tia BD cắt đoạn thẳng . Vậy hai đường chéo AC và BD cắt nhau.
b) Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau. Cần chứng minh tứ giác ABCD là tứ giác lồi.
Khi AC và BD cắt nhau thì AC là tia nằm trong góc DAB. Do đó và trên nửa mặt phẳng bờ chứa AD; AD và AC nằm trên nửa mặt phẳng bờ chứa AB.
Chứng minh tương tự, ta có và CD cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ chứa BC, CA và CB nằm trên nửa mặt phẳng bờ chứa CD.
Vậy A, B, C, D nằm trên nửa mặt phẳng bờ chứa bất kỳ đường thẳng nào của tứ giác nên tứ giác ABCD là tứ giác lồi.
Bài toán giải bằng phương trình tô màu
Bài 2.13 Có chín người trong đó bất kì ba người nào cũng có hai người quen nhau. Chứng minh rằng tồn tại một nhóm bốn người đôi một quen nhau.
* Lời giải
Coi mỗi người như một điểm, ta có chín điểm A, B, C,…
Nối hai điểm với nhau ta được một đoạn thẳng. Ta tô màu xanh nếu hai người không quen nhau, ta tô màu đỏ nếu hai người quen nhau. Ta sẽ chứng minh tồn tại một tứ giác có các cạnh và đường chéo cùng tô màu đỏ.
Trường hợp có một điểm là đầu mút của bốn đoạn thẳng màu xanh AB, AC, AD, AE vẽ nét đứt (hình.a)
Xét có hai đoạn thẳng AB, AC màu xanh nên đoạn thẳng BC màu đỏ vì bất kì tam giác nào cũng có một đoạn thẳng màu đỏ. Tương tự các đoạn thẳng CD, DE, EB, BD, CE cũng có màu đỏ (vẽ nét liền) (hình.b). Do đó tứ giác BCDE có các cạnh và đường chéo được tô đỏ nghĩa là tồn tại một nhóm bốn người đôi một quen nhau.
Trường hợp mọi điểm đều là đầu mút của nhiều nhất là ba đoạn thẳng màu xanh. Không thể mọi điểm đều là đầu mút của ba đoạn thẳng màu xanh vì khi đó số đoạn thẳng màu xanh là .
Như vậy tồn tại một điểm là đầu mút của nhiều nhất là hai đoạn thẳng màu xanh, chẳng hạn đó là điểm A, do đó A là đầu mút của ít nhất là sáu đoạn thẳng màu đỏ, giả sử đó là AB, AC, AD, AE, AF, AG (h.1.19)
Trong sáu điểm B, C, D, E, F, G tồn tại ba điểm là đỉnh của một tam giác có ba cạnh cùng màu (đây là bài toán cơ bản về phương pháp tô màu) chẳng hạn đó là (h.1.20).
Trong có một cạnh màu đỏ (theo đề bài) nên ba cạnh của cùng màu đỏ. Khi đó tứ giác ABCD là tứ giác có các cạnh và đường chéo được tô đỏ, nghĩa là tồn tại một nhóm bốn người đôi một quen nhau.
CHỦ ĐỀ 2: HÌNH THANG – HÌNH THANG CÂN
Dạng 1. Bài tập về hình thang
Bài 1. Cho hình thang ABCD (AB // CD), các tia phân giác của góc A, góc D cắt nhau tại M thuộc cạnh BC. Cho biết AD = 7cm. Chứng minh rằng một trong hai đáy của hình thang có độ dài nhỏ hơn 4CM
* Tìm cách giải
Để chứng minh một cạnh đáy nào đó nhỏ hơn 4cm ta có thể xét tổng của hai cạnh đáy rồi chứng minh tổng này nhỏ hơn 8cm. Khi đó tồn tại một cạnh đáy có độ dài nhỏ hơn
* Trình bày lời giải
Gọi N là giao điểm của tia AM và tia DC
Ta có: AB // CD nên (so le trong )
Mặt khác: nên cân tại
Xét có nên đồng thời là đường trung tuyến :
Ta có: Vậy
Vậy một trong hai đáy phải có độ dài nhỏ hơn
Bài 2. Cho tứ giác . Gọi là trung điểm là trung điểm , là trung điểm là trung điểm .
a) Chứng minh .
b) Nếu tứ giác là hình thang đáy là và
Chứng minh .
* Lời giải
a) Ta có (tính chất đường trung bình của tam giác) nên .
Với ba điểm M, I, K ta có (BĐT tam giác)
Vậy
b) Nếu tứ giác là hình thang, ta có AB // CD. Suy ra M, N, I, K thẳng hàng
Khi đó
Bài 3. Cho tam giác có , các đường trung tuyến , . Lấy các điểm trên cạnh sao cho . Gọi I là giao điểm cùa AM và BD, là giao điểm của AN và CE. Tính độ dài IK.
* Lời giải:
Ta có : DN la đường trung bình của tam giác ACM nên DN // AM.
có , MI // ND nên I là trung điểm của BD. Tương tự là trung điểm của .
Hình thang BEDC có I và K là trung điểm của hai đường chéo nên dễ dàng chứng minh được

Bài 4. Cho hình thang (AB // CD). Gọi là trung điểm của BC. Cho biết .
a) Chứng minh rằng: AD = AB + DC.
b) DM là tia phân giác của góc D.
* Lời giải
a) Gọi N là giao điểm của AM với DC
Ta có (g-c-g)
Suy ra AM = MN và AB = CN. (1)
có AD là đường cao và đồng thời là đường trung
tuyến nên là tam giác cân tại D. Suy ra AD = DN = DC + CN (2)
Kêt hợp (1) và (1) AD = AB + DC.
b) Do cân tại D nên AD là đường cao đồng thời là đường phân giác
Hay AD là phân giác của góc D
Bài 5. Cho hình thang vuông tại và . Gọi là trung điểm của . Cho biết .
c) Chứng minh rằng: .
d) Vẽ . Chứng minh rằng tứ giác là hình thang.
* HD:
a) Gọi E là giao điểm của BM với CD.
Chứng minh
có CM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nên là tam giác cân.
(vì ).
b) Chứng minh cân (cùng vuông góc với CM)
là hình thang.
Bài 6. Cho tứ giác . Các tia phân giác của góc , góc cắt nhau tại . Các tia phân giác của góc , góc cắt nhau tại . Cho biết , chứng minh rằng :
a) Tứ giác là hình thang.
b) Chứng minh.
Bài 7. Cho hình thang vuông tại và . Cho biết và . Tính độ dài .
* HD : Kẻ BH DC
ĐS : AB = 27
Bài 8. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Một đường thẳng d không cắt các cạnh của tam giác. Gọi A’, B’, C’, G’, lần lượt là hình chiếu của A, B, C, G trên d.
Chứng minh: AA’ + BB” + CC’ = 3GG’
* Lời giải
Gọi T là trung điểm của BG, T’ là hình chiếu của T trên d. Dựa theo tính đường trung bình của hình thang, ta có

Suy ra
Bài 9. Lấy M, N trên đoạn thẳng AB ( M nằm giữa AN). Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các tam giác AMD, MEN, NFB. Chứng minh khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác DEF đến AB không phụ thuộc vào vị trí của các điểm M, N
* Lời giải
Gọi D’, E’. F’ lần lượt là hình chiếu của D, E. F trên AB. Tổng các đường cao DD, EE. FF của ba tam giác đều ADM. MEN, NFB bằng đường cao tam giác đều AKB (không đổi). Goi G là trọng tâm của tam giác DEF ; G’ là hình chiếu của trên . Theo bài 8, ta có
không đổi. Vậy khoảng cách từ G đến AB không phụ thuộc vào vị trí của M và N
Dạng 2. Bài tập về hình thang cân
Bài 1. Một hình thang cân có đường cao bằng nửa tổng hai đáy. Tính góc tạo bởi hai đường chéo hình thang.
* Lời giải:
Xét hình thang cân , đường cao và (1)
Qua B kẻ đường thẳng song song với , cắt DC ở .
Ta có nên .
BDE cân tại B, đường cao BH nên (2)
Ta có nên (3)
Từ , (3) suy ra .
Các giác BHD, BHE vuông cân tại nên .
Ta có nên
Bài 2. Một hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên và góc kề với đáy lớn bằng . Biết chiều cao của hình thang cân này là . Tính chu vi của hình thang cân.
* Tìm cách giải
Ta đã biết hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau, hai cạnh đáy bằng nhau. Từ đó ta vẽ thêm hình phụ để tìm sự liên hệ giữa đáy lớn và ba cạnh còn lại. Ta vẽ Mặt khác, đề bài có cho góc , gợi ý cho ta vận dụng tính chất của tam giác đều để tính độ dài mỗi cạnh theo chiều cao của nó .
* Trình bày lời giải
Ta đặt
Vẽ ta được và
cân, có nên là tam giác đều, suy ra:
Vẽ thì là đường cao của hình thang cân, cũng là đường cao của tam giác đều:
. Vì nên
Do đó chu vi của hình thang cân là :
Nhận xét: Qua một đỉnh vẽ đường thẳng song song với một cạnh bên của hình thang là một cách vẽ hình phụ để giải bài toán về hình thang.
Bài 3. Cho tam giác đều , mỗi cạnh có độ dài bằng . Gọi là một điểm bất kì ở trong tam giác. Trên các cạnh lần lượt lấy các điểm sao cho và . Xác định vị trí của điểm để tam giác là tam giác đều. Tính chu vi của tam giác đều đó.
* Lời giải
Tứ giác có nên là hình thang. Hình thang này có nên là hình thang cân.
Chứng minh tương tự ta được các tứ giác cũng là hình thang cân.
Suy ra: .
Do đó là tam giác đều .
là giao điểm của ba đường trung trực của .
Trong tam giác đều, giao điểm của ba đường trung trực cũng là giao điểm của ba đường cao, ba đường trung tuyến.
Chiều cao của tam giác đều cạnh được tính theo công thức: .
. Do đó chu vi của là: .
Bài 4. Cho hình thang . Chứng minh rằng : .
* Lời giải
Trên nửa mặt phẳng bờ có chứa vẽ tia sao cho .
Tia cắt tia tại .
Khi đó hình thang là hình thang cân.
và .
Xét có góc là góc ngoài nên (vì ).
Do đó .
Bài 5. Cho góc có số đo lớn hơn nhưng nhỏ hơn . Trên cạnh lấy điểm , trên cạnh lấy điểm . Chứng minh rằng: .
* Lời giải
* Xét trường hợp
là tam giác cân.
Vì nên .
Do đó: .
* Xét trường hợp
Trên tia lấy điểm , trên tia lấy điểm sao cho .
Các và cân tại nên:
.
Tứ giác là hình thang.
Mặt khác nên là hình thang cân .
Gọi là giao điểm của và . Ta có : .
(1).
Vì (2).
nên từ (1) và (2) suy ra : (3).
Xét có nên .
Tương tự . Do đó : (4).
Từ (3) và (4) suy ra : hay . Do đó .
* Xét trường hợp : Chứng minh tương tự.
Bài 6. Tứ giác có và . Hỏi tứ giác có phải là hình thang cân không?
* Lời giải
Qua vẽ một đường thẳng song song với cắt tia tại . Hình thang có hai góc ở đáy bằng nhau nên là hình thang cân.
* Vậy nếu trùng với thì tứ giác là hình thang cân.
* Nếu không trùng với , ta có: .
Mặt khác, nên .
Do đó cân , vô lí.
Vậy trùng với và tứ giác là hình thang cân.
Bài toán dựng hình
Bài 1. Dựng hình thang biết:
a) Phân tích
Giả sử ta đã dựng được hình thang thỏa mãn đề bài. Vẽ ta được
và
- dựng được ngay
- Điểm thỏa mãn hai điều kiện: nằm trên tia và cách là
- Điểm thỏa mãn hai điều kiện: nằm trên tia ( hai tia và cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ ) và cách là
b) Cách dựng
- Dựng sao cho
- Dựng tia (hai tia và cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ ).
- Trên tia đặt
- Trên tia đặt
- Nối ta được hình thang phải dựng.
c) Chứng minh
Theo cách dựng tứ giác có nên nó là hình thang.
Xét hình thang có
nên do đó
Như vậy hình thang có và
d) Biện luận: Bài toán có một nghiệm hình.
Bài 2. Dựng tam giác biết và

onthicaptoc.com 19. Chuyen de boi duong HSG toan 8 Tu giac Phan 2