BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHOẢNG CÁCH
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1. Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng.
Cho điểm và một đường thẳng . Trong gọi là hình chiếu vuông góc của trên . Khi đó khoảng cách được gọi là khoảng cách từ điểm đến .
Nhận xét:
2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
Khoảng cách giữa hai đường thẳng và :
- Nếu và cắt nhau hoặc trùng nhau thì .
- Nếu và song song với nhau thì
3. Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng.
Cho mặt phẳng và một điểm , gọi là hình chiếu của điểm trên mặt phẳng . Khi đó khoảng cách được gọi là khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .

4. Khoảng cách từ một đường thẳng tới một mặt phẳng.
Cho đường thẳng và mặt phẳng song song với nhau. Khi đó khoảng cách từ một điểm bất kì trên đến mặt phẳng được gọi là khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng .
.
- Nếu cắt hoặc nằm trong thì .
5. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng.
Cho hai mặt phẳng và song song với nhau, khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳn kia được gọi là khoảng cách giữa hai mặt phẳng và .
.
6. Khoảng cách giữa hai đường thẳng.
Cho hai đường thẳng chéo nhau . Độ dài đoạn vuông góc chung của và được gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng và .
B – BÀI TẬP
Câu 1: Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây?
A. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
B. Nếu hai đường thẳng a và b chéo nhau và vuông góc với nhau thì đường vuông góc chung của chúng nằm trong mặt phẳng (a) chứa đường này và (a) vuông góc với đường kia.
C. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách từ một điểm M thuộc (a) chứa a và song song với b đến một điểm N bất kì trên b.
D. Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (a) song song với a là khoảng cách từ một điểm A bất kì thuộc a tới mặt phẳng (a)
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A.
Câu 2: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia
B. Một đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau nếu nó vuông góc với cả hai đường thẳng đó
C. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì nằm trong mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia
D. Một đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau nếu nó cắt cả hai đường thẳng đó.
Hướng dẫn giải:
Ÿ Đáp án A: Đúng
Ÿ Đáp án B: Sai, do phát biểu này thiếu yếu tố cắt nhau.
Ÿ Đáp án C: Sai, vì mặt phẳng đó chưa chắc đã tồn tại.
Ÿ Đáp án D: Sai, do phát biểu này thiếu yếu tố vuông góc.
Chọn đáp án D.
Câu 3: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Nếu hai đường thẳng a và b chéo nhau và vuông góc với nhau thì đường thẳng vuông góc chung của chúng nằm trong mặt phẳng (P) chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia.
B. Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a là khoảng cách từ một điểm A bất kỳ thuộc a tới mp(P).
C. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách từ một điểm M thuộc mặt phẳng (P) chứa a và song song với b đến một điểm N bất kỳ trên b.
D. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C.
DẠNG 1: TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG .
Phương pháp:
Để tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng ta cần xác định được hình chiếu của điểm trên đường thẳng , rồi xem là đường cao của một tam giác nào đó để tính. Điểm thường được dựng theo hai cách sau:
 Trong vẽ
 Dựng mặt phẳng qua và vuông góc với tại
.
Hai công thức sau thường được dùng để tính
 vuông tại và có đường cao thì .
 là đường cao của thì .
Câu 1: Cho hình chóp tam giác với vuông góc với và Diện tích tam giác bằng . Khoảng cách từ S đến BC bằng bao nhiêu?
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải:
Kẻ vuông góc với
Khoảng cách từ S đến BC chính là SH
Dựa vào tam giác vuông ta có
Câu 2: Cho hình chóp trong đó đôi một vuông góc và Khoảng cách giữa hai điểm nhận giá trị nào trong các giá trị sau ?
A. B. C. 2. D.
Hướng dẫn giải:
Do nên
Như vậy

Chọn đáp án B.
Câu 3: Cho hình chóp có cạnh là tam giác đều cạnh bằng Biết và là trung điểm của Khoảng cách từ đến đường thẳng bằng
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải:
Do đều cạnh nên đường cao
Chọn đáp án C.
Câu 4: Trong mặt phẳng cho tam giác đều cạnh . Trên tia vuông góc với mặt phẳng lấy điểm sao cho . Khoảng cách từ đến bằng
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải:
Ÿ Gọi là trung điểm của ; là hình chiếu vuông góc của trên
Ÿ Ta có và nên
Mà , do đó .
Vậy
Ÿ
Chọn đáp án C.
Câu 5: Cho tứ diện trong đó, , vuông góc với nhau từng đôi một và, ,. Khoảng cách từ đến đường thẳng bằng:
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B.

+ Dựng .
+ , cắt cùng nằm trong .
.
Xét trong vuông tại có là đường cao ta có:
.
+ Ta dễ chứng minh được vuông tại .
Áp dụng hệ thức lượng trong vuông tại ta có:
.
Câu 6: Cho hình chóp có cạnh và là tam giác đều cạnh bằng . Biết và là trung điểm của . Khoảng cách từ đến đường thẳng bằng
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B.
Dựng .
Vì là tam giác đều cạnh và là trung điểm của nên dễ tính được .
Xét vuông tại có là đường cao, ta có:
.
Câu 7: Cho hình chóp đáy là hình chữ nhật. Biết Khoảng cách từ đến bằng:
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải:
nên .
Suy ra Trong kẻ vuông góc tại . Khi đó
.
Chọn đáp án C.
Câu 8: Hình chóp đều có cạnh đáy bằng cạnh bên bằng Khoảng cách từ S đến bằng :
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải:
Gọi là chân đường cao của hình chóp.
Ta có
Chọn đáp án C.
Câu 9: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh . Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy, . Gọi là trung điểm của . Khoảng cách từ đến nhận giá trị nào trong các giá trị sau?
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải:
þ Khoảng cách từ đến :
Chọn đáp án D.
Câu 10: Cho hình chóp có cạnh và là tam giác đều cạnh bằng . Biết và là trung điểm của . Khoảng cách từ đến đường thẳng bằng:
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có: (Định lý 3 đường vuông góc) .
(vì tam giác BCD đều).
Ta có: .
Câu 11: Cho hình chóp có , đáy là hình thoi cạnh bằng và . Biết . Tính khoảng cách từ đến .
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Kẻ , khi đó .
là hình thoi cạnh bằng và đều nên .
Trong tam giác vuông ta có:
.
Câu 12: Cho hình chóp có , , là hình vuông cạnh bằng . Gọi là tâm của , tính khoảng cách từ đến .
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Kẻ , khi đó . Ta có: (g-g) nên .
Mà: , .
Vậy .
Câu 13: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng và góc hợp bởi một cạnh bên và mặt đáy bằng . Khoảng cách từ tâm của đáy đến một cạnh bên bằng
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
, là tâm của hình vuông .
Kẻ , khi đó , .
Ta có: .
Câu 14: Cho hình chóp trong đó , , vuông góc với nhau từng đôi một. Biết , , . Khoảng cách từ đến bằng
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Vì , , vuông góc với nhau từng đôi một nên .
Kẻ , khi đó .
Ta có: .
Trong tam giác vuông ta có:
.
Câu 15: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và góc hợp bởi một cạnh bên và mặt đáy bằng Khoảng cách từ tâm của đáy đến một cạnh bên bằng:
A. cosα B. atan C. sinα D. acotα
Hướng dẫn giải:
Ÿ
Ÿ Khoảng cách cần tìm là đoạn .

Chọn đáp án C.
Câu 16: Cho tứ diện có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng và là tam giác đều cạnh bằng Biết và là trung điểm của Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng bằng
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B.
Nối . Kẻ
Suy ra
Xét có
Vậy .
Câu 17: Cho tứ diện có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng và là tam giác đều cạnh bằng Biết và là trung điểm của Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng bằng
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án D.
Ta có
Lại có với là trung điểm mà đều nên
Từ đó ta có
Suy ra
Xét tam giác vuông , ta có

Vậy .
Câu 18: Cho hình chóp trong đó vuông góc với nhau từng đôi một. Biết Khoảng cách từ đến bằng
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B.
Ta có

Suy ra vuông tại
Kẻ . Ta có
Lại có
.
Câu 19: Cho hình lập phương có cạnh bằng Khoảng cách từ đỉnh của hình lập phương đó đến đường thẳng bằng
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Gọi là trung điểm của . Do là hình lập phương nên tam giác là tam giác đều cạnh .
Đáp án: B.
Câu 20: Cho hình lập phương có cạnh bằng Khoảng cách từ đỉnh của hình lập phương đó đến đường thẳng bằng
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Gọi là chân đường vuông góc hạ từ xuống .
Dễ thấy vuông đỉnh .
Đáp án D.
Câu 21: Cho hình lập phương có cạnh bằng Khoảng cách từ ba điểm nào sau đây đến đường chéo bằng nhau ?
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Dễ thấy các tam giác là các tam giác vuông bằng nhau nên các đường cao hạ từ đỉnh góc vuông xuống canh huyền cũng bằng nhau.
Vậy:
Đáp án B.
DẠNG 2: TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG.
Để tính được khoảng từ điểm đến mặt phẳng thì điều quan trọng nhất là ta phải xác định được hình chiếu của điểm trên .
Phương pháp này, chúng tôi chia ra làm 3 trường hợp sau (minh hoạ bằng hình vẽ):
TH 1: A là chân đường cao, tức là .
Bước 1: Dựng
và .
Bước 2: Dựng
TH 2: Dựng đường thẳng AH, .
Lúc đó: .
TH 2: Dựng đường thẳng AH, .
Lúc đó:
 Một kết quả có nhiều ứng dụng để tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng đối với tứ diện vuông (tương tư như hệ thức lượng trong tam giác vuông) là:
 Nếu tứ diện có đôi một vuông góc và có đường cao thì
.
Câu 1: Cho hình chóp trong đó , , vuông góc với nhau từng đôi một. Biết , . Khoảng cách từ đến bằng:
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Kẻ .
Ta có: .
Suy ra .
Trong tam giác vuông ta có:
.
Câu 2: Cho hình chóp có , đáy là hình chữ nhật. Biết , . Khoảng cách từ đến bằng:
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Kẻ , mà vì nên .
Trong tam giác vuông ta có:
.
Câu 3: Cho hình chóp tam giác đều cạnh đáy bằng và chiều cao bằng . Tính khoảng cách từ tâm của đáy đến một mặt bên:
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
, với là trọng tâm của tam giác . là trung điểm của .
Kẻ , ta có
nên suy ra .
Ta có:
.
Câu 4: Cho tứ diện đều có cạnh bằng . Khoảng cách từ đến bằng:
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có: là trọng tâm tam giác .
.
Câu 5: Cho hình chóp có đáy là hình thoi tâm O cạnh a và có góc Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy và Khoảng cách từ đến mặt phẳng là:
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải:
Trong mặt phẳng kẻ
Mà nên suy ra hai mặt phẳng và vuông góc nhau theo giao tuyến
Trong mặt phẳng kẻ
Suy ra:
Câu 6: Cho hai tam giác và nằm trong hai mặt phẳng hợp với nhau một góc cân ở cân ở Đường cao của bằng Khoảng cách từ đến bằng
A. cm B. cm C. cm D. cm
Hướng dẫn giải:
 Gọi là trung điểm suy ra:
 Gọi là hình chiếu vuông góc của lên

Chọn đáp án B.
Câu 7: Cho hình lập phương có cạnh bằng Khi đó khoảng cách từ tâm của hình lập phương đến mặt phẳng bằng
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Bài toán chứng minh trong sách giáo khoa đã có. Không chứng minh lại.
Dễ dàng tìm được
Đáp án: D
Câu 8: Cho hình lập phương cạnh Khoảng cách từ đến bằng
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Ta có
Đáp án B.
Câu 9: Cho hình lập phương cạnh Khoảng cách từ đến bằng
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Ta có:
Nên tứ diện là tứ diện đều.
Gọi là trung điểm , là trọng tâm tam giác .
Khi đó ta có:
Vì tam giác đều nên .
Theo tính chất trọng tâm ta có: .
Trong tam giác vuông có: . Chọn C
Câu 10: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân tại với Mặt bên chứa của hình chóp vuông góc với mặt đáy, hai mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng đáy .
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Gọi là hình chiếu của lên , vì mặt bên vuông góc với nên
Dựng , theo đề bài ta có .
Do đó tam giác (cạnh góc vuông - góc nhọn)
Suy ra .
Lại có

Vậy trùng với trung điểm của . Từ đó ta có là đường trung bình của tam giác nên .
Tam giác vuông tại và có vuông cân.
Do đó: .Chọn đáp án A.
Câu 11: Cho hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy bằng , với Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định bên dưới.
A. . B. .
C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Gọi là trung điểm của , là trọng tâm tam giác .
Do là hình chóp đều nên .
Ta có .
. Chọn.
Câu 12: Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng và đường cao Khoảng cách từ điểm đến cạnh bên bằng
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Vì hình chóp đều có là đường cao là tâm của
Gọi là trung điểm cạnh .
Tam giác đều nên .
Kẻ .. Xét tam giác vuông tại :
.
Câu 13: Cho hình lập phương cạnh bằng Gọi là trung điểm của Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng bao nhiêu?
A. B. C. D. a
Hướng dẫn giải:
Gọi là trung điểm cạnh và
Khi đó ta chứng minh được
suy ra
Chọn đáp án A.
Câu 14: Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng cạnh bên bằng . Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng:
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải:
Ÿ Gọi là trọng tâm tam giác . Do là chóp đều nên .
Ÿ
Ÿ vuông tại
Chọn đáp án C.
Câu 15: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng và chiều cao bằng . Tính khoảng cách từ tâm của đáy đến một mặt bên:
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
, với là tâm của hình vuông . là trung điểm của .
Kẻ , ta có:
.
nên suy ra .
Ta có:
.
Câu 16: Cho hình chóp có đáy là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính và có cạnh vuông góc với mặt phẳng đáy với . Khoảng cách từ và đến mặt phẳng lần lượt là:
A. ; B. ; C. ; D. ;
Hướng dẫn giải:
þ.
þ
Chọn đáp án A.
Câu 17: Cho hình hộp chữ nhật có ba kích thước AB = a, AD = b, AA1 = c. Trong các kết quả sau, kết quả nào sai?
A. khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CC1 bằng b.
B. khoảng cách từ A đến mặt phẳng (B1BD) bằng .
C. khoảng cách từ A đến mặt phẳng (B1BD) bằng .
D.
Hướng dẫn giải:
þ Câu A đúng.
þ . Câu B đúng.
þ Suy ra câu C sai.
þ Suy ra câu D đúng, đường chéo hình chữ nhật bằng .
Chọn đáp án C.
Câu 18: Cho hình chóp có mặt đáy là hình thoi tâm cạnh và góc đường cao Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Vì hình thoi có bằng
Suy ra tam giác đều cạnh .
Kẻ đường cao của tam giác
.
Kẻ tại .
Kẻ

Xét tam giác vuông ta có:
.
Chọn.
Câu 19: Cho hình chóp có mặt đáy là hình chữ nhật với Hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt phẳng là điểm thuộc cạnh sao cho Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng bằng Khoảng từ điểm đến mặt phẳng tính theo bằng
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Kẻ
góc giữa hai mặt phẳng và
là
Có ,
Có ,
Kẻ , mà


Mà .
Chọn.
Câu 20: Cho hình chóp có mặt đáy là hình thoi cạnh . Hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt phẳng là trọng tâm của tam giác Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng tính theo bằng
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Xác định khoảng cách:
- Đặc điểm của hình: Có đáy là hình thoi, góc nên tam giác đều cạnh
Tam giác vuông ở , có đường cao nên ;
Xét hình chóp có chân đường cao trùng với tâm của đáy nên .
- Dựng hình chiếu của lên mặt phẳng : Kẻ đường cao của tam giác với O là tâm của hình thoi.

. Vậy
- Tính độ dài

Với ; ;
.
Cách khác: Nhận xét tứ diện có tất cả các cạnh bằng Do đó là tứ diện đều, vậy .
Chọn đáp án.
Câu 21: Cho hình chóp có đáy là hình vuông, và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng bằng Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải:
+ Đặc điểm của hình: Đáy là hình vuông nên .
Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng là góc .Vậy tam giác vuông cân tại .
- Xác định khoảng cách: . Với là chân đường cao của tam giác .
- Tính : . Chọn đáp án
Câu 22: Cho hình chóp có đáy là hình vuông tâm cạnh Hình chiếu vuông góc của đỉnh trên mặt phẳng là trung điểm của cạnh góc giữa hai mặt phẳng bằng Khoảng cách từ đến mặt phẳng tính theo bằng
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải:
- Đặc điểm của hình: Góc giữa hai mặt phẳng là .
- Xác định khoảng cách: . Với là đường cao của tam giác với là trung điểm .
- Tính .
Xét tam giác vuông có

onthicaptoc.com 155 cau trac nghiem KHOANG CACH