CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC
A. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa:
- Các mệnh đề “ A > B ” hoặc “ A < B ” được gọi là bất đẳng thức. (BĐT)
- Các mệnh đề: “ ” hoặc “ “ được gọi là các bất đẳng thức suy rộng.
2. Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương:
- Nếu từ BĐT A > B mà ta biến đổi được thành C > D thì ta nói rằng BĐT C > D là BĐT hệ quả của BĐT A > B. kí hiệu A > B => C > D
- Nếu BĐT A > B là hệ quả của BĐT C > D và C > D cũng là BĐT hệ quả của BĐT A > B thì ta nói hai BĐT trên tương đương với nhau, Kí hiệu A > B <=> C > D
3. Tính chất:
- ( Cộng hai vế của BĐT với cùng một số)
- (Nhân hai vế của BĐT với cùng một số)
- ( Cộng hai BĐT cùng chiều)
- (Nhân hai BĐT cùng chiều)
- hoặc Với A > 0, (Nâng hai vế của BĐT lên một lũy thừa)
- (Khai căn hai vế của một BĐT)
- (Tính chất giá trị tuyệt đối).
B. LUYỆN TẬP
Dạng 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA: A > B TA XÉT HIỆU A – B > 0, CHÚ Ý BĐT
Bài 1: CMR : với mọi x, y, z thì
HD:
Xét hiệu ta có:
Dấu bằng xảy ra khi x = y = z
Bài 2: CMR : với mọi x, y, z thì
HD:
Xét hiệu ta có:
Dấu bằng xảy ra khi x + z = y
Bài 3: CMR : với mọi x, y, z thì
HD:
Xét hiệu ta có: , Dấu bằng khi x = y = z = 1
Bài 4: CMR : với mọi a, b ta có :
HD :
Xét hiệu ta có : <=>
, Dấu bằng khi a = - b
Bài 5: CMR : với mọi a, b, c ta có :
HD:
Ta có:


, Dấu bằng khi a = b = c
Bài 6: CMR :
HD:
Ta có:

, Dấu bằng khi a = b = c
Bài 7: CMR :
HD:
Ta chứng minh:
, Dấu bằng khi a = b
Ta chứng minh , Dấu bằng khi a = b
Bài 8: Cho a, b, c là các số thực. CMR:  
HD:
Ta có:
Dấu bằng khi b = 2a
Bài 9: Cho a, b, c là các số thực. CMR :
HD:
Ta có:
.
Dấu bằng khi a = b = 1
Bài 10: Cho a, b, c, d là các số thực . CMR :
HD:
Ta có:



Dấu bằng xảy ra khi a = 2b = 2c = 2d = 2e
Bài 11: Cho a, b thỏa mãn: a + b = 1, a > 0, b > 0. CMR:
HD:
Ta có: VT
. Dấu bằng khi
Bài 12: Cho
HD:
Ta có: , Dấu bằng khi x = y
Bài 13: Cho a > 0, b > 0. CMR:
HD:
Ta có:

Dấu bằng khi a = b
Bài 14: Cho CMR:
HD:
Xét hiệu:
, Dấu bằng khi a = b hoặc a.b = 1
Bài 15: CMR : với mọi số thực x, y, z, t ta luôn có :
HD:
Ta có:

Dấu bằng khi x = 2y = 2z = 2t = 0
Bài 17: CMR :
HD:
Ta có:

Bài 19: CMR :
HD:
Ta có:

Bài 20: CMR :
HD:
Ta có:
, Dấu bằng khi x = z = 1, y =
Bài 21: CMR :
HD:
Ta có :

Bài 22: CMR :
HD:
Ta có:
Bài 23: CMR :
HD:
Ta có:
Bài 24: CMR :
HD:
Đặt , Khi đó ta có:
Bài 25: CMR :
HD:
Ta có:


Bài 26: CMR :
HD:
Ta có:

Bài 27: Cho a, b > 0, CMR :
HD:
Ta có:


Bài 28: Cho a, b > 0, CMR:
HD:
Ta có:



Bài 29: Cho a, b, c > 0, CMR:
HD:
Ta có:

Bài 30: CMR:
HD:
Ta có:


Bài 31: CMR:
HD:
Ta có:

Bài 32: CMR:
HD:
Ta có:

Bài 33: CMR:
HD:
Ta có:

Bài 34: CMR:
HD:
Ta có:

Bài 35: CMR:
HD:
Ta có:
Không xảy ra dấu bằng.
Bài 36: CMR:
HD:
Ta có:
Bài 37: CMR:
HD:
Ta có: , Vì x > 0
Bài 39: CMR:
HD:

Đặt , Khi đó ta có: , Dấu bằng khi t = 0
Bài 40: CMR:
HD:
Ta có :
( ĐPCM)
Bài 41: CMR :
HD:
Ta có:
Bài 42: CMR : với a, b, c >0
HD:
Ta có:
Bài 43: CMR: với a,b,c>0
HD:
Ta có:
Vì , Nhân theo vế ta được ĐPCM
Bài 44: CMR: Với mọi x, y # 0 ta có:
HD:
Ta có:

Bài 45: CMR : Nếu , thì
HD:
Ta có:
Bài 46: Cho a, b, c > 0, CMR :
HD:
Ta có:
Bài 47: CMR :
HD:
Ta có: <=>
Bài 48: CMR :
HD:
Ta có: .
Đặt Khi đó: ,
Dấu bằng khi
Bài 49: CMR :
HD:
Ta có:
Bài 50: CMR : , Với a,b > 0
HD:
Ta có:
Bài 51: CMR :
HD:
Ta có:
Bài 52: CMR :
HD:
Ta có:

Bài 53: Cho a + b + c = 0, CMR :
HD:
Ta có:
Dấu bằng khi a = b = c = 0
Bài 54: Cho x,y,z , CMR :
HD:
Ta có:

Bài 55: CMR : Với mọi x, y khác 0, ta luôn có :
HD:
Ta có:

Bài 56: CMR :
HD:
Ta có:
Bài 57: CMR :
HD:
Ta có:
Bài 58: CMR :
HD:
Ta có:
Bài 59: CMR :
HD:
Ta có:

Bài 60: CMR :
HD:
Ta có:

Đặt =>
Bài 61: CMR : , Với
HD:
Ta có:
Bài 62: Cho a, b dương có tổng 1, CMR :
HD:
Quy đồng
( đúng)
Bài 63: CMR : Với a, b, c > 0 thì
HD:
Ta có:
Bài 64: CMR :
HD:
Ta có:


Bài 65: CMR :
HD:
Ta có:

Bài 66: Cho a, b, c dương có abc=1, và , CMR :
HD:
Ta có: ,
Xét =>
Bài 67: Cho a, b > 0, thỏa mãn : , CMR :
HD:
Ta có:

Bài 68: CMR :
HD:
Ta có:
,
Giả sử a > b => => ĐPCM
Nếu a < b => => ĐPCM
Bài 79: CMR :
HD:
Ta có: <=>
Cộng theo vế ta được:
Bài 70: Cho a + b = 2, CMR :
HD:
Ta có:
Giả sử Nếu
Bài 71: CMR :
HD:
Ta có:
Giả sử : và => ĐPCM
Bài 72: CMR : Với mọi a, b, c > 0 thì
HD:
Xét
Giả sử => Các ngoặc đều dương => ĐPCM
Bài 73: Cho a, b là hai số dương, CMR :
HD:
Ta có:
Bài 74: Cho a, b là hai số dương, CMR :
HD:
Ta có:

Bài 75: CMR :
HD:
Ta có:
Bài 76: Cho a,b là hai số có tổng bằng 2, CMR :
HD:
Ta có:

Bài 77: Cho a,b,c là ba số thỏa mãn : a + b + c = 3, CMR :
HD:
Ta có:
Bài 78: Cho , CMR :
HD:
Xét tích
Mà , Mà
Bài 79: Cho và x + y + z = 0, CMR :
HD:
Xét , Cộng theo vế ta có:
Bài 80: Cho x > 0, y > 0, z > 0, CMR : , Với
HD:
Ta có:

Bài 81: Cho 0 < a, b, c < 1, CMR :
HD:
Do =>
Mặt khác: 0< a, b<1=>
Vậy , Chứng minh tương tự => ĐPCM
Bài 82: CMR :
HD:
Chuyển vế ta có:
Bài 83: Cho a, b, c, d > 0 thỏa mãn: , , CMR:
HD:
Ta có: , Nhân vào ta được ĐPCM
Bài 84: Cho , CMR :
HD:
Ta có: ( do ab >0)
Do
Chứng minh tương tự => ĐPCM
Bài 85: Cho a.b.c=1, , CMR :
HD:
Xét hiệu
, Do ĐPCM
Bài 87: Cho hai số a, b thỏa mãn: Chứng minh rằng:
HD:
Ta có:



(ĐPCM)
Bài 88: Cho hãy so sánh : , và
HD:
Vì
, lại có:

Bài 89: Cho x, y > 0 thỏa mãn điều kiện: , Chứng minh rằng: , Dấu bằng xảy ra khi nào?
HD:
Áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có:
, Do vậy
,()
Mà: , nên
Do vậy
Dấu bằng xảy ra khi:
Bài 90: Chứng minh BĐT sau:
HD:
Ta có:

Bài 91: Cho a, b là các số dương thỏa mãn: , Chứng minh rằng:
HD:
Ta có:


Bài 92: Cho các số a, b, c , chứng minh rằng:
HD:
Do a, b,c , nên:


Do , từ đó ta có:

Dạng 2 : SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ
Các BĐT phụ hay dùng :

Bài 1: Cho a + b > 1, CMR :
HD:
Ta có:
=> , Vậy
Bài 2: Cho a + b = 1, CMR :
HD:
Ta có:
Bài 3: Cho a + b > 2, CMR :
HD:
Ta có:
Bài 4: Cho , CMR:
HD:
Ta có:
Cộng theo vế ta được:
Bài 5: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR:
HD:
Ta có: Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác nên ta có:
Bài 6: Cho a, b là hai số thực bất kỳ có tổng bằng 1, CMR:
HD:
Ta có: =>
Bài 8: Cho a, b, c > 0, CMR :
HD:
Ta có: , Do
Khi đó
Chứng minh tương tự ta có:
và
Khi đó ta có:
Bài 10: Cho a, b, c > 0, CMR :
HD:
Từ , Đặt
=>
<=>=>
Bài 11: Cho a, b > 0, CMR :
HD:
Ta có:
Bài 15: CMR :
HD:
Ta có:
Bài 16: Cho a, b, c dương có tổng là 1, CMR :
HD:
Vì
Bài 18: Cho x, y, z > 0, CMR :
HD:
Ta có: , Tương tự và
Cộng theo vế ta có:
Bài 19: Cho a, b là các số dương thỏa mãn: a + b < ab, CMR : a + b > 4
HD:
Ta có: Do
Bài 21: Cho a, b, c thỏa mãn: , CMR:
HD:
Ta có:
=> (1)
Mặt khác: (2)
Cộng (1) và (2) theo vế ta được ĐPCM
Bài 22: CMR: , với mọi x, y là số thực
HD:
Ta có: (1)
Tương tự: (2)
Cộng theo vế ta được :

onthicaptoc.com 15. Chuyen de boi duong HSG toan 8 Bat dang thuc